1、第第2章章 系統數學模型及其相互轉換系統數學模型及其相互轉換 仿真研究仿真研究就是首先根據實際物理系統的數學模型，將它轉換成能在計算機上運行的仿真模型，然后利用計算機程序將仿真模型編程到計算機上進行數值計算的過程。從計算方法學中我們知道，微分方程的數值解基本上是針對高階微分方程組的。而描述系統的數學模型有多種表示形式，這些表示形式之間是可以相互轉換的。因此本章對幾種常見的表示形式進行歸納，并討論如何轉換成易于仿真的狀態空間表達形式。 本章主要講解系統數學模型及其相互轉換，介紹了系統仿真所使用的各類數學模型的表示以及相互間的轉換。2.1 系統的數學模型2.2 實現問題2.3 從系統結構圖向狀態方

2、程的轉換2.4 連續系統的離散化方程 2.1 系統的數學模型系統的數學模型 在控制理論中，我們知道表述連續系統的數學模型有很多種。但基本上可以分為連續時間模型連續時間模型、離離散時間模型散時間模型和連續離散混合模型連續離散混合模型。本節將對他們的形式作一介紹，并且我們還將介紹目前在不確定系統分析時經常使用的不確定性模型不確定性模型。考慮到Matlab語言的普及性，在每一部分介紹中我們還將向讀者介紹如何使用Matlab語言來描述這些模型，以及模型之間的轉換。 2.1.1 連續系統的數學模型連續系統的數學模型 連續系統的數學模型通常可以用以下幾種形式表示：微分方程、傳遞函數、狀態空間表達式。本節僅

3、對這些數學模型做簡單復習，以便于在建立仿真程序時，選擇適當的系統數學模型形式。一、微分方程一、微分方程一個連續系統可以表示成高階微分方程，即ucdtudcdtudcyadtdyadtydadtydadtydannnnnnnnnnnnn22211112221110(2.1.1)初始條件為： 式中： 系統的輸出量； 系統的輸入量。若引進微分算子 則(2.1.1)式可以寫成 即 不失一般性，令 便可寫成下面的形式 (2.1.2)dtdp ,00000000utuutuytyytyyuucupcupcyapyaypaypannnnnnn22111110100niiinjnjjnupcypa, 10an

4、jjjnniiinpapcuy010 二二 傳遞函數傳遞函數 對(2.1.1)式兩邊取拉普拉斯變換，假設y及u的各階導數(包括零階)的初值均為零，則有 (2.1.3)式中 輸出量y(t)的拉普拉斯變換；輸入量u(t)的拉普拉斯變換。 于是系統(2.1.1)式的傳遞函數描述形式如下： (2.1.4) sUcssUcsUscsUscsYassYasYsasYsnnnnnnnn)()(12211111 sY sU nnnnnnnnnasasasascscscscsUsYsG1221112211 將式(2.1.4)與式(2.1.2)比較可知，在初值為零的情況下，用算子所表示的式子與傳遞函數G(s)表示

5、的式子在形式上是完全相同的。三狀態空間表達式三狀態空間表達式 線性定常系統的狀態空間表達式包括下列兩個矩陣方程： (2.1.5) (2.1.6)(2.1.5)式由n個一階微分方程組成，稱為狀態方程；(2.1.6)式由個線性代數方程組成，稱為輸出方程。 p tDutCxty)()()(tButAxtxl 式中，為維的狀態向量；為維的控制向量；為維的輸出向量；為 維的狀態矩陣，由控制對象的參數決定；為維的控制矩陣；為維的輸出矩陣；為維的直接傳輸矩陣。如果表示該系統的傳遞函數為嚴格真分式，則為零。假如一個連續系統可用微分方程來描述，即 (2.1.7) nRtxn mRtum lRtylAnnBmnC

6、nl DDml uyadtdyadtydadtydadtydnnnnnnnn1222111 引入各狀態變量 (2.1.8)則有 (2.1.9)1112223121nnnndtydxxdtydxxdtdyxxyxuxaxaxaxauyadtdyadtydadtydadtydxnnnnnnnnnnnnn1211211222111 將上述 個一階微分方程組寫成矩陣形式可得 (2.1.10) (2.1.11)其中 (2.1.12)nBuAxxCxy 00110010010010011CBaaaAnn 狀態變量的初值可由引入狀態變量的關系式獲得： 即 (2.1.13)若系統微分方程中不僅包含輸入項 ，而

7、且包含輸入項 的導數項，如(2.1.1)式所示，則由(2.1.2)式右端上下同乘 后得 (2.1.14) 000000001321nnyxyxyxyx 000000121nnyyyxxxuuxnjjjnniiinxpaxpcuy010 由(2.1.14)式分母對應相等得 令 (2.1.15)則有 由于 ，故有uxpajnjjn01jjxxp1, 2 , 1 , 0njuxpaxanjnjjn011010auxaxpnjjjnn101 可得 (2.1.16)由(2.1.14)式分子對應相等得即 (2.1.17)由(2.1.16)、(2.1.17)式與(2.1.10)、(2.1.11)是比較可見，

8、狀態方程的形式仍相同，但輸出方程變了，這種表示的結構形式成為可控標準型。uxxxaaaxxxnnnn100101000010211121nnnjniinxcxcxcxpcy121110 xcccynn11 由于 不再與狀態變量 直接相等，而是 的組合，因此系統得出只是由輸入輸出及其各階導數的初值給定的。由(2.1.15)式可見，各狀態變量的初值不能明顯地用 及其各階導數項表示，因此在這種形式下，用上述可控標準型表示的形式，在計算初值不為零時就不太方便了。下面給出一種易于寫出狀態變量初值的狀態空間表達式。假設給出的微分方程為 (2.1.18)即 y1xnxxx,21uy,upcypajnijnj

9、njjn00ucupcupcupcyapyaypaypannnnnnnn221101110 令則有又令則有同理有nnnnnpxucyapucyapucyap1111100ucyaucyappxnnnnn0122112001nnnnnpxucyapucyapucyapucyaxpxnnnn111ucyaxpxjjjj1 而 (2.1.19)因此獲得如下的狀態方程與輸出方程（令 ）: (2.1.20)njucyaucyapucyapucyapxjjjjjjj, 2 , 1112211200110auaccaccaccaccxxxxaaaaxxxxnnnnnnnnnn0101202101121121

10、121000100001001 (2.1.21)若已知 及其各階導數項的初始值，則可由(2.1.19)式直接求出各個狀態變量的初置。這是因為由(2.1.20)、(2.1.21)式表示的狀態方程的狀態變量僅與輸入 和輸出 及其各階導數有關，而與其他狀態變量無關。ucxxxxynn0121001uy,uy 例2.1.1 已知微分方程及初值如下，將其化成狀態空間表達式，并給出狀態變量的初值。解: 據(2.1.20)、(2.1.21)式可寫出狀態空間表達式如下： 40, 20, 100023127222233uuyyyudtdudtuddtdydtyddtyd uxxxxxx2310001012017

11、321321321001xxxy 由(2.1.19)式，得 即 須注意，由(2.1.19)式求出的狀態變量初值是對應(2.1.20)、(2.1.21)式狀態空間表達式的狀態變量初值，而不對應(2.1.16)、(2.1.17)式可控標準型的狀態變量初值。由上述可見，只要狀態變量選取的形式不同，則可得不同形式的狀態空間表達式。除以上給出的形式外，還可以寫出其它各種表示形式。 100301200700600700100321uyuyyxuyyxyx 1061000321xxx 2.1.2 離散時間模型離散時間模型假定一個系統的輸入量、輸出量及其內部狀態量是時間的離散函數，即為一個時間序列： 其中 為

12、離散時間間隔，這樣可以使用離散時間模型來描述該系統。讀者應注意離散時間模型與前面介紹的離散事件模型的差別。離散時間模型有差分方程、離散傳遞函數、權序列、離散狀態空間模型等形式。一、差分方程一、差分方程差分方程的一般表達式為： (2.1.22)(),(),(kTxkTykTuT)() 1()() 1()(11kubnkubkyaknyaknynn 若引入后移算子 ， ，則(2.1.22)可以改寫成 即： 或 (2.1.23)二、二、 傳遞函數傳遞函數若系統的初始條件均為零，即 對(2.1.22)式兩邊取 變換，則可得 (2.1.24)1q) 1()(1kykyqnjjjnjjjknuqbknyq

13、a10)()(njjjnjjjqaqbknukny01)()(njjjnjjjqaqbkuky01)()(z)0( , 0)()(kkukyz)()()()(11110zUzbzbzYzazaannnn 定義 稱為系統的 傳遞函數，則有 (2.1.25)可見，在系統初始條件均為零的情況下， 與 等價。三、權序列三、權序列若對一個初始條件均為零的系統施加一個單位脈沖序列 ，則其響應稱為該系統的權序列 ，而單位脈沖序列 定義為 )()()(zUzYzG)(zGnjjjnjjjzazbzG01)(z1z1q)(k)( kh)(k0, 00, 1)(kkk 若輸入序列為任意一個 ，則根據卷積公式，可得

14、此時系統響應 為 (2.1.26)可以證明： (2.1.27)四、離散狀態空間模型四、離散狀態空間模型與連續系統模型類似，以上三種模型由于只描述了系統的輸入序列和輸出序列之間的關系，因此稱為外部模型。有時仿真要求采用內部模型，即離散狀態空間模型。對(2.1.22)式所表示的模型，若設 (2.1.28)(ku)(kykiikhiuky0)()()()()(zHkhZ)()(0kuknxqanjjj 并令： (2.1.29)則有： 即：設 ，并令 ， 則不難得到 ), 2 , 1()()(1njkxknxqjnj)()()(01kuknxaknxqanjjj)()()(011kuknxanxanj

15、jnj10a) 1()(kxknxn)()() 1()(11kunxakxknxnjjnjn 根據方程(2.1.29)和(2.1.30)，可列出以下 個一階差分方程： (2.1.31)寫成矩陣形式： (2.1.32)其中 n)()()()() 1()() 1()() 1()() 1(121113221kukxakxakxakxkxkxkxkxkxkxnnnnnn)()() 1(kGukFxkx1000100001011GaaaFnn 為了推導狀態輸出方程，可將方程(2.1.28)帶入方程(2.1.22)，可得 故有 (2.1.33)其中： 方程(2.1.32)和(2.1.33)組成為系統的離散

16、時間狀態空間模型，如同連續時間的狀態空間模型一樣，對同一物理系統該模型也不是唯一的。njjjnjnjjjjjnjjjknxqaqbkuqbkyqa0110)()()()()()()(111kxkxbknxqbkynjjnjnjjj11bbbnn 2.1.3 Matlab語言中的模型表示語言中的模型表示在Matlab語言中有豐富的系統模型指令來處理各種不同的問題，最常使用的模型有：傳遞函數模型、傳遞函數模型、零極點增益模型、狀態空間模型零極點增益模型、狀態空間模型三種形式。下面給出他們的使用方法說明。 指令ss( )：產生一個狀態空間模型，或將模型變換為狀態空間模型。例：sys = ss(A,B

17、,C,D)產生一個連續時間狀態空間模型sys，模型的參數矩陣為A,B,C,D。 sys = ss(A,B,C,D,Ts) 產生一個離散時間狀態空間模型sys，采樣時間是Ts sys = ss(sys1)變換一個線性時不變模型sys1為狀態空間模型sys，即計算模型sys1的狀態空間實現。 sys = ss(sys1,min) 計算模型sys1的最小狀態空間實現sys. 指令 tf( )： 產生一個傳遞函數模型，或將模型變換為傳遞函數模型。例：sys = tf(NUM,DEN)根據模型的分子多項式NUM和分母多項式DEN產生一個連續時間傳遞函數模型sys。 sys = tf(NUM,DEN,TS

18、) 根據模型的分子多項式NUM、分母多項式DEN和采樣時間產生一個離散時間傳遞函數模型sys。指令tf( )還可以產生有 個輸入和 個輸出地多輸入和多輸出系統。例如 H = tf( -5 ; 1 -5 6 , 1 -1 ; 1 1 0)或者 num=-5 ; 1 -5 6; den=1 -1 ; 1 1 0; h=tf(num,den)則傳遞函數的輸出為: sssss226515mp 該傳遞函數還可以這樣做： h11=tf(-5,1 -1)； h21=tf(1 -5 6,1 1 0)； H=h11；h21 指令zpk( ): 產生一個零極點增益模型，或將模型變換為零極點增益模型。例：sys =

19、 zpk(Z,P,K) 根據系統的零點Z、極點P和增益K產生一個零極點增益模型sys。 sys = zpk(Z,P,K,Ts) 根據系統的零點Z、極點P、增益K和采樣時間產生一個離散時間零極點增益模型sys。指令zpk( )還可以產生有 個輸入和 個輸出地多輸入和多輸出系統。例如 H = zpk( ;2 3 , 1;0 -1 , -5;1 )或者： Zeros = ;2 3； Poles = 1;0 -1； Gains = -5;1； H = zpk(Zeros,Poles,Gains)則產生的傳遞函數為： sssss226515mp 指令dss( )：產生一個描述符狀態空間模型，可以是連續時

20、間模型，也可以是離散時間模型。 例：sys = dss(a,b,c,d,e) 產生一個連續時間的描述符狀態空間模型 其中 是非奇異的。如果 是奇異的，則系統稱為廣義系統，需要另外的處理方法。sys = dss(a,b,c,d,e,Ts)產生一個離散時間的描述符狀態空間模型 采樣時間是TsDuCxyBuAxxEEE)()()()()()1(nDunCxnynBunAxnEx 2.1.4 不確定模型不確定模型 我們知道描述實際物理系統的數學模型往往是通過近似和簡化得到的，因此對于狀態空間模型 (2.1.34)系統(2.1.34)的系數矩陣 已經不再是常數矩陣，而往往依賴不確定參數的不確定矩陣，其對

21、應的模型被稱為不確定系統。在魯棒控制中，不確定模型的概念是相當重要的。在Matlab語言中引入兩類不確定模型。)()()()()()(tDutCxtytButAxtxEDCBAE, 一、多胞型模型一、多胞型模型多胞型模型是以下的一類時變系統模型 (2.1.35)該系統系統矩陣為 (2.1.36)在以下一個給定的矩陣多胞型模型中取值，即 (2.1.37)()()()()()()()()()()(tutDtxtCtytutBtxtAtxtE)()()()()()(tDtCtBtjEtAtS1, 0:,)(111kiiikiiikSSSCotS 其中： 是已知的矩陣 (2.1.38) 是不確定參數。

22、注意這些不確定參數未必是系統的物理參數。因此這種不確定性模型的表示也稱為是參數不確定性的隱式表示。在有些文獻中，多胞型模型也稱為多胞型線性微分包含。kiSS ,kkkkkkDCBjEASDCBjEAS,111111k,1 多胞型模型在魯棒控制理論中起著重要的作用，因為它可以描述許多實際系統，例如： 一個系統的多模型表示，其中的每一個模型表示系統在一個特定運行條件下的狀況。例如，一個飛機模型按不同的飛行高度作的線性化模型。 表示一個非線性系統，例如 ，其狀態矩陣 位于多胞型模型 描述一類仿射依賴時變參數的狀態空間模型。 多胞型模型可以通過其系統矩陣所在多胞型的焦點 來描述。Matlab中的LMI

23、工具箱提供了函數psys來描述多胞型模型。xxx)(sinxAsin 1 , 11 , 1CoAkiSS , 二、仿射參數依賴模型二、仿射參數依賴模型一個含有不確定參數的線性系統可以有以下的表示 (2.1.39)其中系統矩陣 是參數向量 的已知矩陣函數。這類模型常常出現在運動、空氣動力學、電路等系統中。)()()()()()()()()()()(tupDtxpCtytupBtxpAtxpE)(),(),(),(),(pEpDpCpBpA,1nppp 如果模型中的系統矩陣仿射依賴于參數向量 ，即 (2.1.40)其中 是已知的常數矩陣。具有這樣系數矩陣地模型稱為仿射參數依賴模型。由于仿射參數依賴

24、模型的特點，使得Lyapunov方法可以有效地用于這類模型的分析和綜合。如果記 (2.1.41)pnnnnnnnnnnEpEpEpEDpDpDpDCpCpCpCBpBpBpBApApApA110110110110110)()()()()(iiiiiEDCBA,)()()()()()(pDpCpBpjEpApSiiiiiiDCBjEAS 則仿射參數依賴模型的系統矩陣可以表示成 (2.1.42)因此， 完全刻畫了所要描述的仿射參數依賴模型。注意，這里的 并不代表有物理意義的實際系統。有時為了處理的方便，可以通過適當地變換將不確定參數標準化，即將 表示成：例如：系統 ， 這樣一個不確定系統可以表示成

25、這時，參數 已經沒有具體的物理意義。根據這一表示，Matlab中的LMI工具箱提供的函數psys可以用來描述一個仿射參數依賴模型。函數pdsimul則給出了仿射參數依賴模型時間響應的仿真。 nnSpSpSpS110)(nSS,0nSS,0)(pS1,)(110innSSSS7 . 01 . 0 ,xx 1,)3 . 04 . 0(xx 下面通過一個例子來說明如何使用Matlab語言來描述多胞型模型和參數依賴模型。例2.1.2：考慮由以下方程描述的一個電路 其中的電感 、電阻 、電容 是不確定參數，它們的容許變化范圍分別是：該系統在無驅動下的一個狀態空間模型可表示為 VCidtdiRdtidL2

26、2LRC150,100,2 , 1 ,20,10CRLxCRLAxCRLE),(),( 其中： 這個仿射系統模型可以用函數psys描述如下：a0=0 1;0 0;e0=1 0;0 0; s0=ltisys(a0,e0)aL=zeros(2); eL=0 0;0 1; sL=ltisys(aL,eL)aR=0 0;-1 0; sR=ltisys(aR,0)aC=0 0;0 -1; sC=ltisys(aC,0)pv=pvec(box,10 20;1 2;100 150)pds=psys(pv,s0,sL,sR,sC)0010000001001),(100001000001010),(/CRLLC

27、RLECRLCRCRLAdtdiixT 所得到的系統可以用psinfo和pvinfo來檢驗 psinfo(pds)Affine parameter-dependent model with 3 parameters (4 systems) Each system has 2 state(s), 0 input(s), and 0 output(s) pvinfo(pv)Vector of 3 parameters ranging in a box對于 的一組給定的值，可以利用函數psinfo求得對應的確定系統。例如對于 ， ， ，其對應的確定性系統的系統矩陣可以用如下指令得到CRL,15L2

28、. 1R150C sys=psinfo(pds,eval,15 1.2 150); A,B,C,D=ltiss(sys)由得到的仿射模型通過使用函數aff2pol也可以得到一個多胞型模型表示： pols=aff2pol(pds); psinfo(pols)Polytopic model with 8 vertex systems Each system has 2 state(s), 0 input(s), and 0 output(s)2.2 實現問題實現問題因為狀態方程是一階微分方程組，所以非常適宜用數字計算機求其數值解。如果一個物理系統已用狀態空間表達式來描述，便可以直接用這個表達式來編

29、制仿真程序。然而許多物理系統中的數學模型大多采用傳遞函數的表達形式，為便于使用面向一階微分方程組的仿真程序，就有必要將傳遞函數表示形式，轉換成狀態空間表達式。根根據已知的系統傳遞函數矩陣據已知的系統傳遞函數矩陣 求相應的狀態空間求相應的狀態空間表達式稱為實現問題。表達式稱為實現問題。對于一個可實現的傳遞函數或傳遞函數矩陣，其實現不是唯一的。這一節僅介紹幾種有代表性的實現。 sG 一、可控標準型一、可控標準型將(2.1.4)式改寫為 (2.2.1)再將(2.2.1)式取拉氏反變換，可得 取一組狀態變量為 sZsYsUsZasasasascscscscsUsYsGnnnnnnnnn12211122

30、11 tzcdttdzcdttzdcdttzdctytutzadttdzadttzdadttzdadttzdnnnnnnnnnnnnnn12221111222111121nnzxzxzx 便可得到可控標準型實現 (2.2.2)其中 和 同(2.1.12)一樣， 可表示為 在具體應用中實現的中間步驟無須一一寫出，(2.2.2)式可對應(2.2.1)是直接寫出。二、可觀標準型二、可觀標準型這一部分研究當物理系統的初始值不為零時其可觀標準型實現問題。設(2.2.1)可化為高階微分方程CxyBuAxx ABC121ccccCnn 考慮(2.2.3)式的非零初始條件下的拉氏變換 取(2.2.3)式非零初

31、始條件的拉氏變換，并將 同次項合并整理，便得 tuctudtdctudtdctudtdctyatydtdatydtdatydtdatydtdnnnnnnnnnnnnnn12221111222111s 00001221nnnnnnnysyysyssYstydtd (2.2.4) 若取一組狀態變量 0001111221112211122 11yaysyasasasassuasasasascscscscsYnnnnnnnnnnnnnnn 3212121000000nnsucucyayaysuc 000001211211ucucyayaynnnnn (2.2.5)將其寫成矩陣形式則為 (2.2.6)

32、ucxaxucucucucyayayayxucxaxucucucyayayxucxaxucucyayayxucxaxucyayxyxnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn112211111011213221121112212121211111 CxyBuAxx 其中 (2.2.6)式既是可觀標準型實現，其狀態變量初始值由(2.2.5)式可直接得到，其矩陣表達式如下： 1211000010000010aaaaAnn121ccccBnn100C 11211323211321000000010101100000nnnnnnnnnnnnyyyyyaaaaaaaxxxxx 例2.2.1

33、設一物理系統為 112311112232100000000nnnnnnnnnuuuuucccccccc + 4020100023127222233uuyyytudtdudtuddtdydtyddtyd 求其可觀標準型實現并給出狀態變量初值。解：據(2.2.6)式可直接寫出可觀標準型實現為 其對應的狀態變量初值可由(2.2.7)式求得 uxxxxxx1327101201000321321 1610420001131110010171712000321xxx 三、對角標準型三、對角標準型當傳遞函數(2.1.4)式的特征方程 有 個互異特征值 時， 可展開成如下部分分式： (2.2.8)式中 012

34、211nnnnnasasasasnn,21 sG nnnnnssscscscscsG2112211 nisGsrisii, 2 , 1lim 設 (2.2.9)對(2.2.9)式進行拉氏反變換，并取 為一組狀態變量，便可求得對角標準型實現 (2.2.10)其中 nnssUsXssUsX1,111nxxx,21CxyBuAxx ndiagA,21TB111nrrrC21 四、約旦標準型四、約旦標準型當傳遞函數的特征方程有重根時，其部分分式展開比較復雜，為了簡單起見，設 為 重特征值，其余 個特征值互異，則 的部分分式展開為 (2.2.11)式中的留數1kkn sG nkknnnnssscscscscsG1112211 nnkkkkksrsrsrsrsr11111112111 nkkjsGsrkisGsdsdirjsjkiisij, 2, 1lim, 2 , 1lim!1111111 令: (2.2.12)取 為一組狀態變量，便可求得