1、運動學1本章內容本章內容本章內容Contentschapter 1 質點運動的描畫質點運動的描畫質點運動的兩類根本問題質點運動的兩類根本問題圓周運動及剛體轉動的描畫圓周運動及剛體轉動的描畫相對運動與伽利略變換相對運動與伽利略變換description of particle motiontwo basic kinds of particle motion problemdescriptions of circular motion and rigid body motionrelative motion and Galileo transformation2第一節質點運動的描畫ss ssDes

2、cription of particle motion質點運動的描畫質點運動的描畫 忽略物體的外形和大小，保管物體忽略物體的外形和大小，保管物體原質量的一個理想化的物理點模型。原質量的一個理想化的物理點模型。質質 點點為確定物體的位置和描畫物體運動為確定物體的位置和描畫物體運動而被選作參考的物體或物體群。而被選作參考的物體或物體群。參考系參考系坐標系坐標系coordinate system 固聯在參考系上的正交數軸組成的系統，可定量描畫物體的位置及運動。如直角坐標系、固聯在參考系上的正交數軸組成的系統，可定量描畫物體的位置及運動。如直角坐標系、自然坐標系等。自然坐標系等。reference s

3、ystemmass pointor particle質點質點 參考系參考系質點質點 參考系參考系3坐標系參考系地面參考系地面YOXz坐標系直角坐標系坐標系直角坐標系高空飛機高空飛機視為質點視為質點r參考系地心參考系地心球坐標系球坐標系衛星衛星法線法線切線切線運動質點運動質點n自然坐標系自然坐標系由運動曲線上任由運動曲線上任一點的法線和切一點的法線和切線組成線組成4矢量知識質點運動的描畫質點運動的描畫質點運動的描畫質點運動的描畫description of a particle motion 矢量根本知識矢量根本知識矢量矢量(vector)有大小、有方向，且服從平行四邊形運算法那么的量。有大小、

4、有方向，且服從平行四邊形運算法那么的量。A線段長度大小；箭頭方向。手書A印刷附有箭頭A用黑體字，不附箭頭5矢量表示式X分別為 X、Y 軸的單位矢量大小為1，方向Y0Ajixyij、分別沿 X、Y 軸正向。在在 X-Y X-Y 平面上的某矢量平面上的某矢量 A A 該矢量 A 的坐標式手書A= x i + y j印刷= x + yAij在課本中慣用印刷方式。在本演示課件中，為了配合同窗做手書作業，采用手書方式。6矢量加法矢量的根本運算矢量的根本運算(fundamental operations of vectors)矢量加法矢量加法 ( vectorial addition)A A1 12 2A

5、 Aa a2 2A A+A A1 1A A2 2A A( ( (2 2A A2 2A A反向為減法相當于將一矢量反向后再相加。+ +A A1 1A A2 2A A服從平行四邊形法那么A AA A1 12 2A A、為鄰邊為對角線假設xijy1 1+ +A A2 2x( ( (+ +( (1 1+ +y2 2( (xijy1 1A A2 2x( ( (+ +( (1 1y2 2( (那么7矢量乘法( vectorial multiplication)矢量乘法矢量乘法A A1 12 2A AaOA A1 12 2A Aa acosA A1 1 2 2A A兩矢量點乘的結果是標量A A1 12 2A

6、 Ax1 1 2 2xy1 1+ +y2 2在直角坐標中等于對應坐標乘積的代數和例如( scalar multiplication)點標乘點標乘兩矢量的點乘 = 兩量大小與它們夾角余弦的乘積8叉乘( cross multiplication)叉矢乘叉矢乘兩矢量叉乘的結果是矢量大小a asinA A1 1 2 2A AA A1 12 2A A角轉向叉號后矢量的旋進方向。方向垂直于兩矢量決議的平面，指向按右螺旋從叉號前的矢量沿小于p pA A1 12 2A A的方向A A1 12 2A Aa a兩矢量所在平面用一個三階行列式假設 的空間坐標式為2 2A A、1 1A A+ +A A1 1x1 1y

7、1 1ij+ +1 1z+ +A A2 2x2 2y2 2ij+ +kk2 2zA A1 12 2A A( third order determinant)表示A A1 12 2A Aijkx1 1y1 11 1zx2 2y2 22 2z9位置矢量YXzOrzxyr的大小為的大小為2 2rxyz2 22 2+ + +其單位是米其單位是米m)m)其三個方向余弦為其三個方向余弦為a ab bg gcosrx，cosr，ycosrza ab bg g其單為矢量為其單為矢量為 k其單為矢量為其單為矢量為 i其單為矢量為其單為矢量為 j描畫質點運動的物理量描畫質點運動的物理量描畫質點運動的物理量描畫質點

8、運動的物理量parameters for describing particle motion位置矢量位置矢量r+ +rxiyjzk+ +1 1position vectorP10運動學方程zXYOzyxr運動學方程運動學方程rrt( ( ) )2 2kinematic equation 隨時間變化rx yz0 0f, , ,( () )t從參數方程中消去從參數方程中消去所得的空間曲線方程所得的空間曲線方程稱為稱為軌跡方程軌跡方程t ( () )xxyt ( () )yt ( () )zz其投影式其投影式稱為稱為參參 數數 方方 程程+ +rijk+ +t ( () )xt ( () )yt

9、( () )z可表成可表成即即運動學方程運動學方程11位移zXYOr1 1P1 1( ( ) )t1 1r2 22 2P( ( ) )t2 2rrrtrrsrrrr1 12 2xi2 2) )( (x1 1+ +yjzk2 2) )( (1 12 2) )( (1 1+ +yzrrrirrx + +rr yj + +rr zk位移的大小位移的大小實踐路程實踐路程rrs( (rrrP2 21 1PP2 21 1P特殊：特殊：普通：普通：rr srrr，rrt 0 0時，時，rrrrrs視為相等。視為相等。rrrrrs單向單向直線運動中直線運動中在在位位 移移rrr rrrrr2 2r1 13 3

10、displacement12平均速度zXYOr1 1P1 1( ( ) )t1 1r2 22 2P( ( ) )t2 2rrr rtrrsrr怎樣描畫質點怎樣描畫質點位置變化的位置變化的快慢程度及方向？快慢程度及方向？vrrrtrrtrrrrsv當當trr0 0 時，平均速度時，平均速度v的極限值具有更重要的意義：的極限值具有更重要的意義：速速 度度平均速度平均速度vvrrrtrr方向與方向與rrr一樣一樣是矢量是矢量4 4velocitymean velocity平均速率平均速率vtrrrrsv是標量是標量vv顯然顯然mean speed13瞬時速度rrtzXYOrP當當trr0 0時時vr

11、r rvrr rvrdrdtdvrrrr t 0 0limrrtd dtd dss而且而且當當trr 0 0 時時 rrrsrr故故瞬時速度瞬時速度v速度速度簡稱簡稱instantaneousvelocityvelocityrrrvrr t 0 0limrrtd drtd drrr為為 極限方向極限方向曲線上曲線上P P點的切線方向點的切線方向方向：方向：在直角坐標中在直角坐標中vd dtd dd dtd dd drtd dd dtd dxyz+ +ij+ +kxv i+ +yv j+ +zv kv2 2xv2 22 2+ +yv + +zvv速率速率v的大小稱為的大小稱為speed14平均加

12、速度質點速度質點速度的大小和方向的大小和方向隨時都在改動。隨時都在改動。v怎樣定量描畫怎樣定量描畫質點的速度隨質點的速度隨時間的變化？時間的變化？zXOYvvvvP1 12 2Pr1 12 2rv1 1v2 22 2t1 1tv2 2v2 2vrr加速度加速度5 5accelerationv1 1v2 22 2t1 1tarrvtrr方向與方向與 一致一致rrva 的的當當trr0 0時，平均加速度時，平均加速度的極限值具有更重要的意義：的極限值具有更重要的意義：a平均加速度平均加速度amean acceleation15瞬時加速度vP2 2Pr2 2rv2 2tt tzXY當當trr0 01

13、 11 11 1td dt+ +d dv2 2arr t 0 0limvrrrrttd dd drtd dd dv2 2方向：方向：為為rrt0 0vrr時時極限方向。極限方向。acceleration瞬時加速度瞬時加速度a簡稱簡稱加速度加速度accelerationinstantaneousOa2 2d dtd d 2 2在直角坐標系中在直角坐標系中xtd dtd dd dtd dd dyd dz+ +ij + +kxvi+ +yvj + +zvk2 2d dtd d 2 22 2d dtd d 2 2axi + +ayj + +azk的大小的大小aaax2 2+ +ay2 2+ +az2

14、216自然坐標系自然坐標系自然坐標系自然坐標系自然坐標系動軌跡動軌跡平面運平面運質點的質點的+ +路程路程s- -T切向切向N法向法向t t切向單位矢量切向單位矢量n 法向單位矢量法向單位矢量M時辰位置時辰位置t0 0M初始位置初始位置質點的運動學方程質點的運動學方程st( ( ) )s，速率速率vd dsd d t17速度加速度自然坐標系自然坐標系自然坐標系自然坐標系動軌跡動軌跡平面運平面運質點的質點的+ +路程路程s- -T切向切向N法向法向t t切向單位矢量切向單位矢量n法向單位矢量法向單位矢量M時辰位置時辰位置t0 0M初始位置初始位置質點的運動學方程質點的運動學方程st ( () )

15、s，速率速率vd dsd dt自然坐標自然坐標 中的中的速度速度和和加速度加速度速度速度質點的質點的vvt tstd dd dt t加速度加速度質點的質點的va( () )vt tt tvtd dd dtd dd dtd dd d+ +td dd dvt t18切向加速度加速度加速度質點的質點的a( () )vt tvtd dd dtd dd dvt ttd dd d+ +td dd dvt t沿沿 切向切向 t t的的vtd dd d速率變化率速率變化率切向加速度切向加速度稱稱t tat tavt ttd dd dt ttd dd ds2 22 2物理意義？物理意義？td dd dt tt

16、t其中其中的意思是的意思是 的時間變化率。的時間變化率。t t是切向單位矢量，是切向單位矢量，其大小恒為其大小恒為1(1(即單位長度。即單位長度。故故 是指是指td dd dt t切線方向的時間變化率。切線方向的時間變化率。切向變化率切向變化率分析分析Pr rOrrsPnt tnt tq qrrtrrt tt tq qrrrrt ttrr0 0rrq qt tq qrrrrt t方向方向，的的大小大小n那么那么nd dt tq qd dsd dr rntd dvd dt tvr rsd dtd dnvr rn2 219法向加速度加速度加速度質點的質點的a( () )vt tvtd dd dtd

17、 dd dvt ttd dd d+ +td dd dvt t物理意義？物理意義？沿沿 切向切向 t t的的vtd dd d速率變化率速率變化率切向加速度切向加速度稱稱t tat tavt ttd dd dt ttd dd ds2 22 2td dvd dt tvr rsd dtd dnvr rn2 2稱稱沿法向沿法向 ，n法向加速度法向加速度nanat tna+ +aaa+ +t tanat tnvr r2 2+ +td dd dv大小大小at ta2 2+ +na2 2td dd dv+ +vr r2 2( () ) ( () )2 22 220物理量小結小結小結描畫質點運動的物理量描畫質點

18、運動的物理量運動學方程運動學方程rr t ( ( ) )+ +ijk+ +t ( () )xt ( () )yt ( () )z運動形狀運動形狀運動形狀的變化運動形狀的變化位位 移移rr rr2 2r1 1irr x + + rr yj+ +rr zka加速度加速度td dd dvtd dtd dd dtd dd dd d+ +ij + +kxvyvzvaxi+ +ayj+ +azk2 2d drtd d 2 2，aax2 2+ +ay2 2+ +az2 2a+ +tanat tnvr r2 2+ +td dd dvat ta2 2+ +na2，位置矢量位置矢量2 2rx y z2 2 2 2

19、+ + + +速速 度度v2 2xv2 22 2+ +yv + +zvxv i+ +yv j+ +zv k，vd dtd dd dtd dd drtd dd dtd dxyz+ +ij + +k+ +rxi yjzk+ +，21隨堂練習一 由運動學方程由運動學方程 投影式投影式 消去消去ttx2 2, ,- -y1 19 9 2 22 2x2 2( ( ( (得軌跡方程得軌跡方程- -y1 19 92 2x2 2由由 運動學方程運動學方程 坐標式坐標式xt ( ( ( (+ +iyrrt ( ( ( (t ( ( ( (j( ( (2 2t i- -1 19 9 2 2t2 2+ +j位矢位矢

20、 2 2tsr1 14 4( ( ( (mi + + 1 1j( ( (vd dtrd dxd dtd di+ +yd dtd dj2 2i+ +- -4 4t jt 2 22 2i- -8 8j( ( (s1 1ai + +yjd dtrd d2 22 2xd dtd d2 22 2d dtd d2 22 20 0i- -4 4j- -4 4j ( ( (s2 2mm隨堂練習隨堂練習知知x2 2ty- -1 19 9 2 2t2 2( (SI( (運動學方程投影式運動學方程投影式( () )sI表示表示國際單位制國際單位制長度：米長度：米( ( ) )m時間：秒時間：秒s s( ( ) )求

21、求 質點的軌跡方程質點的軌跡方程 ； 第第 2 秒秒 末的位矢；末的位矢； 第第 2 秒秒 末的速度末的速度 和加速度和加速度 。22隨堂練習二r r得得v2 2anv2 2g9.820( (2 22 23 3( (30.6(m)由法向加速度大小由法向加速度大小anr r最高點處最高點處vvcos30angv0 0v2 2anv求求知知v0 = 20 m/s足球運動軌跡最高點處足球運動軌跡最高點處的曲率半徑的曲率半徑30 隨堂練習隨堂練習23備選例一知質點運動學方程知質點運動學方程( () )sIr+ +ijtt2 2求：求：t 1 10 0s時的位矢；時的位矢；( ( ) )1 1( ( )

22、 )2 2( ( ) )3 30 0 1 10 0間的位移；間的位移；s軌跡方程及軌跡方程及0 0 1 10 0s間經過的路程。間經過的路程。( ( ) )3 3xt2 2yt( () )軌跡方程軌跡方程xy2 2 拋物線拋物線td d微路程微路程sd d+ +xd dyd d( ( ) )2 2( ( ) )2 2( ) ) 2 2td d+ +( () )2 2td d2 2t1 1+ +4 4t2 2s0 0 1 10 0s積分路程積分路程0 0 1 1 0 0sd d0 01 1 0 0td d1 1+ +4 4t2 2ln2 22 2t( ( ) )t2 2+ +1 12 22 2+

23、 +1 12 21 14 4) )( (t+ +( ( ) )t2 2+ +1 12 22 22 20 01 1 0 0( ( ) )1 10 0 1 11 1m( ( ) )1 1( ( ) )r 1 10 0( ( ) )sI+ +ij1 10 01 10 00 0rrr( ( ) )2 2( ( ) )r 1 10 0( ( ) )r0 0( ( ) )sI+ +ij1 10 01 10 00 0解法提要：解法提要：24備選例二知質點運動學方程知質點運動學方程r+ +ijtt3 3求：求：( ( ) )1 1( ( ) )2 2速度及加速度；速度及加速度；切向加速度，法向加速度及曲率半徑

24、。切向加速度，法向加速度及曲率半徑。解法提要：解法提要：( ( ) )1 12 2+ +ijt3 3vrtd dd davtd dd d6 6tj, ,( ( ) )2 2vvvxy2 2v2 2+ +4 41 1+ +9 9t, ,aa6 6tat tnar rtd dd dv8 81 1 t3 34 41 1+ +9 9tv2 2r ra2 2a at t2 26 6t4 41 1+ +9 9t, , ,at tt tat tnannanav2 24 41 1+ +9 9t6 6t4 41 1+ +9 9t4 41 1+ +9 9t6 6t2 23 3( () )25隨堂小議隨堂小議隨堂小

25、議一質點作曲線運動，r表示位矢，s表示路程，v表示速度，a表示切向加速度，以下四種表達式中，正確的選項是請點擊他要選擇的工程1d datrd d, ,d dvrtd d, ,2, ,d dt tatd dvd dvrtd d, ,4d dvtd dar, ,d dtd dv3Sd dtd d, ,vd dvtd dt ta, ,終了選擇終了選擇26隨堂小議隨堂小議一質點作曲線運動，r表示位矢，s表示路程，v表示速度，a表示切向加速度，以下四種表達式中，正確的選項是請點擊他要選擇的工程鏈接11d datrd d, ,d dvrtd d, ,2, ,d dt tatd dvd dvrtd d, ,

26、4d dvtd dar, ,d dtd dv3Sd dtd d, ,vd dvtd dt ta, ,終了選擇終了選擇27隨堂小議隨堂小議一質點作曲線運動，r表示位矢，s表示路程，v表示速度，a表示切向加速度，以下四種表達式中，正確的選項是請點擊他要選擇的工程鏈接21d datrd d, ,d dvrtd d, ,2, ,d dt tatd dvd dvrtd d, ,4d dvtd dar, ,d dtd dv3Sd dtd d, ,vd dvtd dt ta, ,終了選擇終了選擇28隨堂小議隨堂小議一質點作曲線運動，r表示位矢，s表示路程，v表示速度，a表示切向加速度，以下四種表達式中，正確

27、的選項是請點擊他要選擇的工程鏈接31d datrd d, ,d dvrtd d, ,2, ,d dt tatd dvd dvrtd d, ,4d dvtd dar, ,d dtd dv3S Sd dtd d, ,vd dvtd dt ta, ,終了選擇終了選擇29隨堂小議隨堂小議一質點作曲線運動，r表示位矢，s表示路程，v表示速度，a表示切向加速度，以下四種表達式中，正確的選項是請點擊他要選擇的工程鏈接41d datrd d, ,d dvrtd d, ,2, ,d dt tatd dvd dvrtd d, ,4d dvtd dar, ,d dtd dv3Sd dtd d, ,vd dvtd d

28、t ta, ,終了選擇終了選擇30第二節 兩類問題兩類根本問題兩類根本問題two basic kinds of particle motion problemtwo basic kinds of particle motion problem質點運動學中的質點運動學中的質點運動學中的質點運動學中的兩類根本問題兩類根本問題ss ssrr t( ( ) )運動學方程運動學方程v t ( ( ) )速速 度度任一時辰的任一時辰的a t ( ( ) )加速度加速度知知求求第一類第一類第二類第二類vv t( ( ) )rr t( ( ) )運動學方程運動學方程或或速度方程速度方程或或速度方程速度方程v

29、v t) )( () ) 0 0r) )及及加速度方程加速度方程a( () )0 0vat) ) )及及求導求導vrd dtd da2 2d dtd d2 2r方法方法, ,積分積分方法方法- -0 0vvd dtat0 0r- -r0 0d dtt0 0v由初始條件定積分常量r0 0 0 0v, ,兩類根本問題兩類根本問題Two basic kinds of particle motion problem質點運動學中的質點運動學中的質點運動學中的質點運動學中的兩類根本問題兩類根本問題31隨堂練習一x xX XO Olh hv0 0勻速拉繩勻速拉繩求船速求船速 v x解法提要：解法提要：知質點

30、位置是時間的隱函數，求速度的簡例知質點位置是時間的隱函數，求速度的簡例xl2 2h2 2段因段因 拖動，隨時間增長拖動，隨時間增長其中，其中，l其變化率其變化率tdd dlv0 0而變短，而變短，v0 0v( ( ) )xtd dd dxll2 2h2 2td dd dl+ +2 2h2 2xxtd dd dl船速船速v0 0+ +2 2h2 2xxv0 0+ +2 2hx( () )1 1沿沿 軸反方向軸反方向X作變速運動。作變速運動。隨堂練習隨堂練習32隨堂練習二知知跳傘運發動下落加速度大小的變化規律為- -aAB( ( ( tv( ( ( t均為大于零的常量A B式中, ,求求任一時辰運

31、發動下落速度大小 的表達式v( ( ( t及時t 0 0 v 0 0ad dtvd d對此題的一維情況有ad dtvd d- -A Bv由分別變量求積分d dtvd d- -A Bv0 0vt0 0vd d- -A Bv0 0v留意到( ( d d- -A Bv0 0v- -AB v ( (- -B1 1得( (t0 0- -vB1 1ln( (- -A Bvln- -A Bv- -BtA1 1ABv- -e- -BtAB1 1- -e- -Bt( ( (v( ( ( t隨堂練習隨堂練習33備選例一vtd dd dt tatd dd d+ +2 22 2vxvy留意：求切向加速度留意：求切向加

32、速度t ta是對是對 速率速率v 求導求導此題此題vxvy, , ,1 1t2 2r知知t t 2 2sIji求求 ts2 2時的時的, ,r rav, , ,t tana 和和 的大小的大小ad dd dt2 2jva2 2m m. .s2 2) )( (vd dd dtri 2 2t jvt2 2+ +( () )2 2t2 21 12 21 1+ +4 4t2 2m m. .1 1s2 24 4 1 1.) )( (avtd dd dt tatd dd d1 1+ +4 4t2 21 1+ +4 4t2 24 4tt2 241 1 9 9. .m m. .s2 2) )( ( () )n

33、a2 2t ta 2 2t2 222 24 41 1 9 9. .2 24 49 90 0. .m m. .s2 2) )( (r rv2 2nat2 22 24 4 1 1. .2 24 49 90 0. .1 13 35 5. .m m解法提要：解法提要：34備選例二Rm m2 20 00 0Ot3 3s2 20 0. .0 0 2 2t知知自然坐標系中自然坐標系中st：s( ( ) )m m( ( ) )求求s1t時的時的a解法提要：解法提要：td dd dsvt2 20 0. .0 02 26 6atd dd dt tvr rn2 2+ +v2 2t t+ +1. .t2 2( ()

34、)0 02 2 0 0t2 20 0. .0 02 26 6nt tn+ +at tan大小大小 a3 32 2. .srad2 2 as1t2 21. .t t+ +8 81. .8 8n2 2at tan+ +2 22 2a 與切向的夾角與切向的夾角a atgarcarcat tan3 312 22 23 3at taana av35備選例三用積分法求勻加速直線運動公式用積分法求勻加速直線運動公式知質點沿知質點沿X X軸以勻加速度軸以勻加速度 作直線運動作直線運動a時時0 0t, ,v0 0vxx0 0解法提要：解法提要：沿軸運動，直接用標量式沿軸運動，直接用標量式沿軸運動，直接用標量式沿

35、軸運動，直接用標量式vatd dd d由由分別變量分別變量avd dtd d兩邊積分兩邊積分vv0 0+ +at得得vd datd dvv0 00 0t由由vtd dd dxxd dvtd dtd d0 0tx0 0 xd dx分別變量分別變量xd dtd dv0 0+ +at( () )兩邊積分兩邊積分v0 0+ +at( () )得得x x0 0+ +v0 0t+ +at2 212 2聯立消去聯立消去 還可得還可得txv2 2v0 02 22 2( (ax0 0)36備選例四OXYv0 0q q0 0知知ajgt0 0求求vv trr t，解法提要：解法提要：ax0 0td dd dxv0

36、 0 xv常數常數cosv0 0q q0 0aaxai + +yjjggaytd dd dvgytd dd dvgyd dvy0 0gtd dtyvsinv0 0q q0 0，yvsinv0 0q q0 0gtv+ +xvyvjicosv0 0q q0 0i + +( () )sinv00q q0 0gtj37續選例四OXYv0 0q q0 0知知ajgt0 0求求vv trr t，解法提要：解法提要：td dd dxvx，td dxvd dxd dxOxcosv0 0q q0 0Ottd dxv0 0cosq q0 0txvcosv0 0q q0 0( () )sinv0 0q q0 0gt

37、yvtd dd dyyv，td dd dyyvyd dyO( () )sinv0 0q q0 0gttd dOtyv0 0sinq q0 0tg2 21 1t2 2ijrx + +yv0 0cosq q0 0t+ +i( (v0 0sinq q0 0tg2 21 1t2 2) )j假設聯立消去假設聯立消去 可得軌跡方程可得軌跡方程tyxtgq q0 02 2v0 02 2cosq q0 02 2gx2 238備選例五0 0求求v q qv 9 90 0解法提要：解法提要：t tatd dd d vd dd d vstd dd dsvd dd d vsvld d vd dq qq qgcosd

38、d vd dq qq qcosvgld dq qq qcosgl0 0q qd d vv0 0v1 12 2v2 2q qsingl2 2q qsinglv q qv 9 90 02 2 gl最大最大尋覓尋覓d dq qd d v 知知q q圖中質點圖中質點t tagcost 0 0q q0 0，gt tal常數：常數：，gd dslq qd dq qlq qs39第三節圓周、剛體運動descriptions of circular motion圓周運動及剛體運動的描畫圓周運動及剛體運動的描畫圓周運動及剛體運動的描畫圓周運動及剛體運動的描畫ss ssand rigid body motion圓

39、周運動圓周運動circular motion圓周運動圓周運動角參量角參量angular parameters1 1角坐標角坐標q qangular coordinatesO半徑半徑tAq qX參考軸參考軸商定：反時針為正商定：反時針為正隨時間變化的方程隨時間變化的方程q qt q q稱圓周運動的稱圓周運動的運動學方程運動學方程q qq q的單位：的單位：弧度弧度 ( () )rad一質點A作圓周運動Descriptions of circular motion and rigid body motion圓周運動及剛體運動的描畫圓周運動及剛體運動的描畫圓周運動及剛體運動的描畫圓周運動及剛體運動的

40、描畫40角坐標、角位移Descriptions of circular motion and rigid body motion圓周運動及剛體運動的描畫圓周運動及剛體運動的描畫圓周運動及剛體運動的描畫圓周運動及剛體運動的描畫圓周運動圓周運動circular motion圓周運動圓周運動角參量角參量angular parameters1 1角坐標角坐標q qangular coordinates隨時間變化的方程隨時間變化的方程q qt q q稱圓周運動的稱圓周運動的運動學方程運動學方程q qq q的單位：的單位：弧度弧度( () )radO半徑半徑tAq qX參考軸參考軸商定：反時針為正商定：反

41、時針為正角位移角位移q qrrO半徑半徑tAq qX參考軸參考軸商定：反時針為正商定：反時針為正2 2angular displacementD Dq qD D+ +ttO半徑半徑tAq qX參考軸參考軸D D q qD D+ + ttrrq q對應于質點在對應于質點在trr時間內走過時間內走過的圓弧所對的圓心角。的圓弧所對的圓心角。OXq qd dq qt tt d dq qd d大母指方向大母指方向四四 指指順順t t方方向向q qd d 的右手螺旋法那么的右手螺旋法那么在極限情況中，在極限情況中，td d瞬間的瞬間的運動方向為切向運動方向為切向t t ，td d瞬間對應的瞬間對應的微角位

42、移微角位移質點在質點在q qd dq qd d可用右手螺旋法那么可用右手螺旋法那么，表成一空間矢量表成一空間矢量41角速度limlimtrr 0 0q qrrtd dw wq qd d角速度的大小為角速度的大小為w wtrr角速度的矢量式角速度的矢量式w w矢量方向與矢量方向與q qd d一樣一樣角速度的單位為角速度的單位為s弧度弧度( () )rad秒秒1 11 13 3角速度角速度w wangular velocity42角加速度O的單位為的單位為s弧度弧度( () )rad秒秒b b2 22 2angular acceleration4 4角加速度角加速度b b表示角速度瞬時變化的快慢表

43、示角速度瞬時變化的快慢角加速度的定義為角加速度的定義為其方向為角速度增量其方向為角速度增量rrw w的極限方向的極限方向b bt d dd dw wlimlimtrr0 0 trrrrw wt d dd dq q2 22 243普通方法圓周運動角量方程圓周運動角量方程角速度角速度角加速度角加速度b bw wtd dd dq qtd dd dw wtd dd dq q2 22 2q qq q( ( ( (t積積 分分求求 導導求解圓周運動問題的普通方法求解圓周運動問題的普通方法44角線量關系sdq qd dORq qd dsd dRtd dd dvt ta2 2b bw wRsq qnatd d

44、d dtd dd dvRRtd dd dw wRtd dd d2 2q qRRv2 2Rw w2 2關系式關系式線量大小線量大小角量大小角量大小常用的常用的與與線量線量角量角量的關系的關系與與relation between angular and linear measures45證明題t t的大小恒為的大小恒為1 1，故故 實指實指td dd dt t方向方向切線切線 的時間變化率。的時間變化率。證法提要：證法提要：定性了解：定性了解：用圓周運動概念證明用圓周運動概念證明td dd dvr rnt t一樣一樣不同不同在單位時間內在單位時間內，t tr rt tt tt tv小小v大大v速率

45、速率r r半徑半徑OOv大大者者 的方向變化大。的方向變化大。t t方向方向r r一樣一樣不同不同在單位時間內在單位時間內，t tt tv者者 的方向變化大。的方向變化大。t tv速率速率r r半徑半徑小小r rt tt tv大大r rOO小小r r方向方向46續證明實際證明：實際證明：Pr rOrrsPnt tnt tq qrrtrrt tt tq qrrrrt用用 描畫描畫 時間內時間內 的方向平均變化量的方向平均變化量rrt tt ttrrtrr0 0的的 瞬間瞬間d dtrrt td dt t它的它的q qt tq q方向方向大小大小nd dd d那么那么nd dt tq qd dsd

46、 dr rntd dd dt tr rsd dtd dnvr rn1 1用圓周運動概念證明用圓周運動概念證明td dd dvr rnt t47角線關系簡例Oq qR知知tq q+ +3 3a ab bsI m m1 10 0. .Rsrad2 2b b4 4a a2 2rad求求時的時的t2 2st tana和和解法提要：解法提要：w wq qtd dd dt3 3b b2 28 84 4 1 1sradsrad2 2 b bw wt2 24 4td dd d8 84 4t tab bR4 48 80 0. .1 1srad2 2 . .naRw w2 2srad2 2 0 0. .3 32

47、24 42 24 4 8 84 48 80 0. .1 148剛體及其平動rigid body and its translation剛體及其平動剛體及其平動剛體及其平動剛體及其平動外形固定的質點系含無數剛剛 體體質點、不形變、理想體。平平 動動 剛體恣意兩點的連線堅持方向不變。各點的 一樣，可當作質點處置。rrrv arigid body translation49剛體定軸轉動rigid body rotation with a fixed axis剛體定軸轉動剛體定軸轉動剛體定軸轉動剛體定軸轉動剛體的定軸轉動 剛體每點繞同一軸線作圓周運動，且該轉軸空間位置及方向不變。OO50定軸轉動參量剛

48、體定軸轉動的運動方程q qq q( ( ) )t, ,w wd dq q轉轉動動方方向向用矢量表示 或 時，它們與 剛體的轉動方向采用右螺旋定那么 w wd dq q1. 角位置角位置q q描畫剛體定軸轉動的物理量描畫剛體定軸轉動的物理量描畫剛體上某點的位置2. 角位移角位移q qrr描畫剛體轉過的大小和方向rr t0 0rrq qd dq q, ,d dq q, ,剛體轉軸轉動平面包含p并與轉軸垂直(t)參考方向Xp p剛體中任一點pOOrq q q qq qrrq qrrp p(t+t)w w3. 角速度角速度w wtd dq qw wd dw w0 0靜止w w常量勻角速w w變角速描畫

49、剛體轉動的快慢和方向，常量是轉動形狀量。51剛體定軸轉動的運動方程q qq q( ( ) )t, ,w wd dq q轉轉動動方方向向用矢量表示 或 時，它們與 剛體的轉動方向采用右螺旋定那么 w wd dq q1. 角位置角位置q q描畫剛體定軸轉動的物理量描畫剛體定軸轉動的物理量描畫剛體上某點的位置2. 角位移角位移q qrr描畫剛體轉過的大小和方向rr t0 0rrq qd dq q, ,d dq q, ,剛體轉軸轉動平面包含p并與轉軸垂直(t)參考方向Xp p剛體中任一點pOOrq q q qq qrrq qrrp p(t+t)w w3. 角速度角速度w wtd dq qw wd dw

50、 w0 0靜止w w常量勻角速w w變角速描畫剛體轉動的快慢和方向，常量是轉動形狀量。續參量描畫剛體轉動形狀改動4. 角加速度角加速度b b的快慢和改動的方向td dd dw wb btd dd dq q2 22 2常量b b勻角加速b b0 0勻角速變角加速b b( () ) tb b常量因剛體上恣意兩點的間隔不變，故剛體上各點的 一樣。w w b b, ,O O定軸轉動的 只需w wd dq q, ,同 和反 兩個方向，故 O Ow wd dq q, , , ,b b也可用標量w wd dq q, , , ,b b中的正和負表方向替代矢量。52隨堂練習隨堂練習隨堂練習知知一質點作圓周運動一

51、質點作圓周運動半徑半徑 R = 0.1 m其運動學方程為其運動學方程為 = 2 + 4 t 3 (SI) 求求t = 2 s 時，時， 質點的質點的切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度ana關鍵是設法求關鍵是設法求 線速率線速率v( ( ( t假設由假設由, ,avd dtd dnaR2 2v關鍵是設法求關鍵是設法求 角速率角速率( ( ( tw w假設由假設由Raw wR2 2nad dtd dw w, ,此題很易求此題很易求w wd dtd dq qw wd dtd d( ( (+ +3 3t2 2 4 412 tt = 248 (rads-1)2 2b bd dtd dw wd dt

52、d d( (12 t( (2 224 tt = 248 (rads-2)aRd dtd dw wb bR4.8 ( m s-2 )naw wR2 2230.4 ( m s-2 )53第四節relative motion and Galileo transformation相對運動與伽利略變換相對運動與伽利略變換ss ss54相對運動一、相對運動一、相對運動運動具有相對性運動具有相對性球作曲線運動球垂直往返S S動系動系動系動系如何變換？如何變換？S S靜系靜系靜系靜系相對運動與伽利略變換相對運動與伽利略變換Relative motion and Galileo transformation55

53、運動的合成二、運動的合成二、運動的合成 composition of motions動系運動參考系動系運動參考系 S 的量。的量。描畫運動三參量合成的商定描畫運動三參量合成的商定絕對量絕對量absolute quantity靜系不動參考系靜系不動參考系 S的量。的量。相對量相對量relative quantity牽連量牽連量quantity of following動系對靜系的量。動系對靜系的量。56O靜系靜系ZY(S)X位矢的合成位矢的合成位矢的合成composition of position vectorsr絕r牽S 相對相對 S 作平動作平動對空間任一點對空間任一點 P Pabsolu

54、te position vector絕絕 對對 位位 矢矢S :r絕relative position vector相相 對對 位位 矢矢S :r相r絕相r牽r+ +位矢合成定理位矢合成定理position vector of following牽牽 連連 位位 矢矢r牽S 相對相對 S : ( OO )r相PY動系動系(S )XOZv57速度的合成速度的合成速度的合成composition of velocitiesr絕相r牽r+ +將位矢合成公式將位矢合成公式對時間求一次導數對時間求一次導數+ +r絕d d td d相rd d td d牽rd d td dv絕相v牽v+ +速度合成定理速度

55、合成定理relative velocityabsolute velocity velocity of followingv絕絕絕 對對 速速 度度在在 S 觀測到觀測到P點的速度點的速度:相相 對對 速速 度度在在S 觀測到觀測到P點的速度點的速度:牽牽 連連 速度速度S 相對相對 S 的速度的速度:牽v相v58加速度的合成加速度的合成加速度的合成composition of accelerationa絕relative accelerationabsolute acceleration acceleration of following絕對加速度絕對加速度在在 S 觀測到觀測到P點的加速度點

56、的加速度:相對加速相對加速 度度在在S 觀測到觀測到P點的加速度點的加速度:牽連加速度牽連加速度S 相對相對 S 的速加度的速加度:牽a相a將位矢合成公式將位矢合成公式對時間求一次導數對時間求一次導數+ +d d td dd d td dd d td dv絕相v牽v+ +v絕相v牽v加速度合成定理加速度合成定理a絕相a牽a+ +59伽利略變換三、伽利略變換三、伽利略變換Galileo transformationO靜系靜系ZY(S)XvtY動系動系(S )XOZvP(x, y, z)(x, y, z ) 伽利略變換是反映兩個相對作伽利略變換是反映兩個相對作S相對于相對于S作勻速直線運動。作勻速直線運動。 這里設這里設S 相對相對S 沿沿X 軸方向以軸方向以v速率速率 作勻速直線運動。作勻速直線運動。t = 0 時動時動(S )靜靜(S)兩系重合。兩系重合。勻速直線運動的參