1、1熱統2熱統定域粒子組成的系統，滿足經典極限條件（非簡并條件）的近定域粒子組成的系統，滿足經典極限條件（非簡并條件）的近獨立粒子系統獨立粒子系統 玻耳茲曼系統（玻耳茲曼分布）玻耳茲曼系統（玻耳茲曼分布）1)2(2/32 hmkTNVe 23/23()12NhenVmkT2/321)2( hmVZ 經典極限條件經典極限條件（非簡并條件）（非簡并條件）1ZNe 一、從非簡并到簡并一、從非簡并到簡并1leall 1 eleall 玻色分布和費米分布玻色分布和費米分布 趨向于玻耳茲曼分布。趨向于玻耳茲曼分布。100lllllaZee 孤立系統孤立系統3熱統1 leall 玻色統計玻色統計費米統計費米統

2、計llelll )1()1ln(lnlell 不滿足非簡并條件氣體稱為不滿足非簡并條件氣體稱為簡并氣體：簡并氣體：無相互作用無相互作用采用玻色分布或費米分布采用玻色分布或費米分布二、巨配分函數二、巨配分函數1 leaUllllll 1lllllNae對比對比玻耳茲曼分布玻耳茲曼分布leZll 01 第九章推導開放系統，與源達到動態平衡，粒子數在能級上的平均分布。第九章推導開放系統，與源達到動態平衡，粒子數在能級上的平均分布。 全同性原理帶來的量子統計關聯對簡并氣體的宏觀性質有決定性影響全同性原理帶來的量子統計關聯對簡并氣體的宏觀性質有決定性影響然后確定粒子數和內能4熱統)1ln(lnlell

3、1lllllNae)1ln(lnlell llllee 1)1( llle1 NlnN 1 平均粒子數平均粒子數 eZN1對比對比玻耳茲曼分布玻耳茲曼分布三、用巨配分函數表示熱力學量三、用巨配分函數表示熱力學量 ：開系：開系N5熱統1 leaUllllll )1ln(lnlell lllllee 1)( lllle1 U ln U2 內能內能)1ln(lnlell 對比對比玻耳茲曼分布玻耳茲曼分布1lnZUN 6熱統3 廣義力廣義力)1ln(1ln1leyyll yeelllll 1)1(yellll 1Y ln1yY yalll 壓強壓強 ln1Vp )1ln(lnlell lllYay對比

4、對比玻耳茲曼分布玻耳茲曼分布1ln1ZYNy VZNp 1ln 7熱統4 其它熱力學函數：熵其它熱力學函數：熵()(ln)ln(ln)dUYdydNddydy dddyydd ln)ln(lnln)ln(*)(ln)ln()ln( ddd *)lnln(ln dTdSTdSdNYdydU 由開系的熱力學公式由開系的熱力學公式8熱統)lnln(ln dTdS)lnln(ln kS熵熵kT1 kT (ln)SkUN lnkS()dUYdydN(lnlnln)dSkd ln UlnN 與玻耳茲曼關系比較與玻耳茲曼關系比較TdSdNYdydU kT1 kT 9熱統)(lnNUkS lllllEBaa)

5、!1( !)!1(.ln()ln()lnln(6.7.4)B Elllllllllllaaaa對于玻色分布對于玻色分布.ln()ln()lnln )B ElllllllllllSkkaaaa.ln()ln()lnln )B Elllllllllllkkaaaa能否推導出10熱統lnln(1)(8.1.3)llle 1 leall lllaael llllaa lnlllael1lnlllla llaUlaN()ln()lllllllllaUNaaaaa(ln)(lnln()llllllllaSkUNkaaa.lnB Ek)(lnNUkS 11熱統)(lnNUkS .!()!lF Dllllaa

6、.lnlnln()ln()F Dlllllllllllaaaa對于費米分布對于費米分布.ln(lnln()ln()F DlllllllllllSkkaaaa.ln(lnln()ln()F Dlllllllllllkkaaaa？12熱統lnln(1)llle 1lllaellllaealnllllaa1llllea lnllllallaUlaN()ln()lllllllllaUNaaaa aaa(ln)(lnln()llllllllaSkUNkaaa.lnF Dk13熱統)(lnNUkS 1(ln)(ln)SkUNkUNkTkTkT1 kT lnlnkTUNTSkTUNTS 14熱統勒讓德變換1

7、5熱統 玻色統計與費米統計描述不可區分的粒子系統。主要是空間中不可玻色統計與費米統計描述不可區分的粒子系統。主要是空間中不可區分。但當粒子在空間可以區分時（稀薄氣體），應該由描述可區分區分。但當粒子在空間可以區分時（稀薄氣體），應該由描述可區分粒子系統的理論玻耳茲曼統計描述。粒子系統的理論玻耳茲曼統計描述。1leall leall 1 e一、一、 弱簡并氣體弱簡并氣體1 leall (1)lllee 雖小但不可忽略雖小但不可忽略 e)1(111llleee 111llee xxxeee2111進一步保留到第三項做論文16熱統考慮平動考慮平動mp22 dmhVgdD2/12/33)2(2)( d

8、aDN)()(0 1)2(22/102/33 ledmhVg 3/21/2302(2 )(1)llVgmeedh )()2(2202/102/12/33 dedeemhVgll )211()2(2/32/32 eVehmkTgN總粒子數總粒子數粒子微觀狀態數粒子微觀狀態數6.2.17式式17熱統0( ) ( )UDad )211 ()2(232/52/32ekTVehmkTg兩式相除得到兩式相除得到5/231(1)22UNkTe內能內能)211()2(2/32/32 eVehmkTgN又又xxxeee211118熱統23/21/21/23002(2 )()llVNgmeededhdel02/1

9、23202/1202/122edeedel,t令dtdt1,1212121則232302230212302/1242212dyeydtetdeytl附錄附錄 C.15)21 ()2()21 (2)2(2)()2(22323223232/33202/102/12/33eVehmkTgeemhVgdedeemhVgll近似求解過程：近似求解過程：19熱統xe2321令eeeeeeeeexxxxxx2522232521121211)1)(211 (1211211211)211()2(2/32/32 eVehmkTgN)211 ()2(232/52/32ekTVehmkTgUxxxeee2111)21

10、1(232/5 eNkTU20熱統二、二、 弱簡并條件物理含義弱簡并條件物理含義利用玻耳茲曼統計的結果利用玻耳茲曼統計的結果1ZNe2/32)2(1mkThgVN1)2(1211 (232/322/5mkThgVNNkTU第二項：微觀粒子全同性引起的量子統計關聯導致的第二項：微觀粒子全同性引起的量子統計關聯導致的 附加內能附加內能費米粒子費米粒子相互排斥相互排斥；玻色粒子；玻色粒子相互吸引相互吸引。第一項：根據玻耳茲曼分布得到的內能第一項：根據玻耳茲曼分布得到的內能5/231(1)22UNkTe21熱統一、玻色氣體的化學勢一、玻色氣體的化學勢11kTllllleea玻色分布下一個能級玻色分布下

11、一個能級的粒子數的粒子數01lllkTae取最低能級取最低能級 000),(VTN11 kTllleVVNn 在粒子數給定情況下，在粒子數給定情況下， 與與T T的關系的關系 隨溫度的升高而降低隨溫度的升高而降低kT 1kTle0T0cT22熱統連續化連續化1)2(22/102/33 kTedmhn .)2(2)(2/12/33 dmhVdD 11 kTllleVVNn 001( )1( ) ( )llNDna dDadVVV1)2(22/102/33 ckTedmhn 臨界溫度臨界溫度Tc：所有玻色粒子都在：所有玻色粒子都在非零能級的最低溫度非零能級的最低溫度1)2(22/102/330 k

12、Tedmhnn 0能級能級0能級能級cTT 0n可以忽略可以忽略cTT n0可以和所有激發態能級上粒子數相比較，可以和所有激發態能級上粒子數相比較，即粒子都往即粒子都往 能級聚集。能級聚集。023熱統用8.3.5式的積分替代8.3.4式的求和時，由于狀態密度中含有因子 ，在改寫時能量為零的項被丟掉了。 與8.3.6式相比1/23/2302(2 )(8.3.6)1ckTdnmhe24熱統0, cTT1)2(22/102/330 kTedmhn 0 1)2(22/102/33 xedxxmkTh 3/223/2)612. 2(2nmkTc ckTx 1)2(22/102/33 xcedxxmkTh

13、 1)2(2)(2/102/332/3 xccedxxmkThTT 2/3)(cTTn )(1 2/30cTTnn nn0TcTT0cT1)2(22/102/33 ckTedmhn 令令1/202.61212xxdxe1 / 23 / 20302:(2)1ckTdTTnnmhe0/nn25熱統0)(1 2/30 cTTnn0 0 nTTnnc 2/30)( cTT 玻色粒子都在高能級。玻色粒子都在高能級。0)(1 2/30 cTTnn0 0 nTTnnc 2/30)( cTT 高能級裝不下所有玻色粒子，高能級裝不下所有玻色粒子，必有可觀數目粒子出現在零能必有可觀數目粒子出現在零能級。級。 玻色

14、玻色愛因斯坦凝聚愛因斯坦凝聚。26熱統27熱統因此，為了容易實現玻色愛因斯坦因此，為了容易實現玻色愛因斯坦凝聚，需要提高臨界溫度。凝聚，需要提高臨界溫度。為此，要提高氣體密度，減小氣體粒為此，要提高氣體密度，減小氣體粒子質量。子質量。二、熱力學量二、熱力學量1)2(22/102/33 kTedmhn 1)2(22/302/33 kTedmhU 2/3)(770. 0cTTNkT 2/3)(925. 1cVTTNkC 3/223/2)612. 2(2nmkTc TTc，理想玻色氣體的，理想玻色氣體的Cv與與T3/2成正比，成正比， T=T c達極大值。達極大值。 高溫時趨于經典值高溫時趨于經典值

15、Nk23TT2T146熱統3. 壓強、輻射通量密度壓強、輻射通量密度223Vdc d 中量子態數中量子態數 0232)1ln()1ln(ln decVelllkTx/ 02332)1ln()(1lndxexcVx 分部積分分部積分 030302131)1ln(3)1ln(xxxedxxexdxex33203332)(1451)(13ln cVedxxcVx l47熱統332)(145ln cV 4334215lnTcVkU 4334245ln1TckVp VUp31 44cc UJuV33342454)(ln)ln(lnTcVkUkkS 平衡輻射通量密度平衡輻射通量密度2442360kTc習題

16、習題7.2結果結果習題習題8.11結果結果48熱統NkTU3 NkCV3 每個原子貢獻一個電子，每個原子貢獻一個電子，晶格中的自由電子氣體。晶格中的自由電子氣體。近獨立，高電導率高熱導率近獨立，高電導率高熱導率晶格晶格三維線性振子三維線性振子電子對熱容量的電子對熱容量的貢獻未計！貢獻未計！一、固體一、固體49熱統量子性質：金屬中的自由電子形成強簡并的費米氣體量子性質：金屬中的自由電子形成強簡并的費米氣體例例Cu：3.9.8cmg 密密度度63 原原子子量量628-3008.910nNN8.51063mmMkgm31101.9 32723323.5410340012NhenVmkTT31n非簡并

17、條件非簡并條件弱簡并弱簡并強簡并強簡并室溫300K50熱統二、二、T=0K1. 費米氣體費米氣體一個量子態的平均費米粒子數一個量子態的平均費米粒子數電子電子 g=2； d 間粒子數間粒子數1/23/234(2 )1kTVdmhe11 kTef 每個量子態上最多能容納一個粒子（費米子遵從泡利原理）。每個量子態上最多能容納一個粒子（費米子遵從泡利原理）。1llkTae服從費米分布服從費米分布3/21/23/21/23324( )(2 )(2 )VVDdgmdmdhh粒子微觀狀態數粒子微觀狀態數6.2.17式式( )fDd51熱統NedmhVkT 1)2(42/102/33 ),(VTN 對能量積分

18、得到粒子數總數對能量積分得到粒子數總數2. 化學勢化學勢111kTfe kTT1, 0)0( 0 f)0( 1 ff1NdmhV )0(02/12/33)2(4 NmhV 2/32/33)0()2(38 泡令不相容原理泡令不相容原理1/23/2304(2 )1kTVdmhe52熱統3/222)3(2)0(VNm 費米能級費米能級mp2)0()0(2 費米動量費米動量3/12)3()0(VNp NmhV 2/32/33)0()2(38 能量能量53熱統(0)3/23/2304(2 )Vmdh內能內能2/52/33)0()2(58 mhV )0(53 N 例例Cu328105 . 8 mVNeVJVNm0 .