1、第第5章章 機械振動機械振動圖為我國返回式衛星開展晶體研究用圖為我國返回式衛星開展晶體研究用的搭載桶正在進行振動試驗。的搭載桶正在進行振動試驗。第一節第一節 振動的基本概念振動的基本概念l機械振動：機械振動： 物體在一定的平衡位置附近作來回往復的物體在一定的平衡位置附近作來回往復的周期性運動，稱運動，稱機械振動機械振動。如：彈簧振子的運動、。如：彈簧振子的運動、心臟的跳動、昆蟲翅膀的發聲振動等，心臟的跳動、昆蟲翅膀的發聲振動等，v 振動振動：廣義上，任何一個物理量在一定值附近的反復變化。廣義上，任何一個物理量在一定值附近的反復變化。 力學角度，物體在一中心位置附近來回往復的運動。力學角度，物體

2、在一中心位置附近來回往復的運動。機械振動是生活中常見的運動形式被手撥動的彈簧片上下跳動的皮球小鳥飛離后顫動的樹枝1.運動的周期性；運動的周期性；2. 具有一個平衡位置，具有一個平衡位置，產生機械振動的基本條件：產生機械振動的基本條件：1.物體受到回復力的作用（指向平衡位置）；物體受到回復力的作用（指向平衡位置）；2.回復力和物體慣性交替作用，維持機械振動。回復力和物體慣性交替作用，維持機械振動。機械振動的基本特點：機械振動的基本特點：0F2 2 簡諧振動簡諧振動 定義：定義：物體在跟位移大小成正比，并且總物體在跟位移大小成正比，并且總是指向平衡位置的力作用下的振動叫做是指向平衡位置的力作用下的

3、振動叫做簡諧簡諧振動振動。F=-kx典型的簡諧振動：彈簧振子、單擺典型的簡諧振動：彈簧振子、單擺簡諧振動是最簡單、最基本的振動，任何簡諧振動是最簡單、最基本的振動，任何復雜振動都可看作是若干簡諧振動的合成復雜振動都可看作是若干簡諧振動的合成. . 彈簧振子彈簧振子l 由一根輕彈簧由一根輕彈簧(勁度系數為勁度系數為k)和質量為和質量為m的物體（質點）構的物體（質點）構成，系統與外界無摩擦力；成，系統與外界無摩擦力；（理想模型）（理想模型）l 彈力是使物體回到平衡位置的回復力；彈力是使物體回到平衡位置的回復力；l 彈力和慣性的交替作用使物體在平衡位置附近來回往復的彈力和慣性的交替作用使物體在平衡位

4、置附近來回往復的運動；運動；質點的振動方程：質點的振動方程：kxdtxdm 220222 xdtxd 2mk 令令)t cos(A)t (x ：小角度擺動，擺長為小角度擺動，擺長為l，小球質量為，小球質量為m構成構成.特點：1.忽略擺線的質量；2.小球視為質點；小球的運動方程：sinmgmat令：lg2)cos(tA22dtdllat mggdtdlsin2250222dtd平衡位置？平衡位置？回復力？回復力？一一. 簡諧振動簡諧振動 定義定義: :2 2 簡諧振動簡諧振動二二. 描述描述簡諧振動簡諧振動的特征量的特征量（三要素）（三要素） 1. 振幅振幅 A：振動物體離開平衡位置的最大位移的

5、振動物體離開平衡位置的最大位移的絕對值絕對值；2. 周期周期T： 物體完成一次全振動所用的時間；物體完成一次全振動所用的時間； 頻率頻率 v： 單位時間內完成全振動的次數；單位時間內完成全振動的次數； 圓圓(角角)頻率頻率 ：v = 1/T (Hz)x是描述位置的物理量是描述位置的物理量,如如 y , z 或或 等等.) cos()(tAtx 物體振動時，如果離開平衡位置的位移物體振動時，如果離開平衡位置的位移x 隨隨時間時間t 的變化可表示為余弦函數的變化可表示為余弦函數簡諧振動簡諧振動)Tt (cosA)tcos(Ax 角頻率和周期之間的關系：2 2或T 2 ,glTlg 2 ,kmTmk

6、固有周期和固有固有周期和固有(角角)頻率頻率3. 3. 相位相位(1) ( t + ) 是是 t 時刻的時刻的相位相位，確定質點在，確定質點在t時刻的時刻的運動狀態的物理量。運動狀態的物理量。 (2) 是是 t =0 時刻的相位時刻的相位初相位初相位，確定質點在，確定質點在t0時時刻的運動狀態的物理量。刻的運動狀態的物理量。) cos()(tAtx)cos(2tAa)sin(tA運動狀態是由位置和速度來表征的運動狀態是由位置和速度來表征的.由此：位移、速度、加速度由( t + ) 確定；描述描述簡諧振動簡諧振動的的（三要素）：振幅、周期、相位（三要素）：振幅、周期、相位相位的意義相位的意義:一

7、個一個相位對應一個確定的振動狀態；相位對應一個確定的振動狀態； 相位每改變相位每改變 2 振動重復一次振動重復一次. 相位相位 2 范圍內變化范圍內變化, 振動狀態不重復振動狀態不重復. txOA-A = 2 相位差相位差 )cos(1111tAx)cos(2222tAx)()(1122tt12時）（當12 同相和反相同相和反相(同頻率振動同頻率振動)當當 = 2k , k=0, 1, 2. 兩振動步調相同兩振動步調相同, ,稱稱同相同相。xtoA1-A1A2- A2x1x2T同相同相當當 = (2k+1) , k=0, 1, 2. 兩振動步調相反兩振動步調相反 , 稱稱反相反相。x2TxoA

8、1-A1A2- A2x1t反相反相 t xOA1-A1A2- A2x1x2若若 = 2- - 1 0 , 則則 x2 比比 x1 早早 達到正最大位移達到正最大位移 , 稱稱 x2 比比 x1 超前超前 (或或 x1 比比 x2 落后落后 )。3. 速度和加速度速度和加速度 2cossintAtAdtdx)cos(cos2222tAtAdtxda1.簡諧振動的各階導數簡諧振動的各階導數也都作簡諧振動也都作簡諧振動2. x,a,v相位依次相差相位依次相差 /2速度振幅速度振幅速度振幅速度振幅) cos()(tAtx例題例題3一個物體沿一個物體沿x軸作簡諧振動，振幅為軸作簡諧振動，振幅為0.12m

9、，周期為，周期為2 s，當當t=0時的位移為時的位移為0.06m，且向，且向x軸正方向運動。求：軸正方向運動。求：(1). 初相位；初相位；(2). t=0.5s時物體的位置、速度和加速度；時物體的位置、速度和加速度；11xt ()20t 0 0AA tA t0 xx繞繞O點以角速度點以角速度 逆時針旋轉的矢量逆時針旋轉的矢量 在在x 軸上的投影正好描述了一個簡諧振動。軸上的投影正好描述了一個簡諧振動。 tA 振幅矢量振幅矢量 t+ 相位相位五五. 用旋轉矢量法描述簡諧振動用旋轉矢量法描述簡諧振動 tcosAx演示演示初相位：=/3XOOXA判斷：判斷： t = 0, 振子的初位移、初速度振子

10、的初位移、初速度x0=A/2, v00（向x軸負方向運動）用旋轉矢量直觀描述簡諧振動： 確定, 振動狀態確定tXO3、用旋轉矢量描述簡諧振動：OXA=/2判斷：判斷： t = 0, 振子的振子的初初位移、位移、初初速度速度x0=0, v00 （向x軸負方向運動）3、用旋轉矢量描述簡諧振動：OXAXO=2/3判斷：判斷： t = 0, 振子的振子的初初位移、位移、初初速度速度x0=-A/2, v00 （向x軸正方向運動）3、用旋轉矢量描述簡諧振動：OXAXO=-/3判斷：判斷： t = 0, 振子的振子的初初位移、位移、初初速度速度x0=A/2, v00（向x軸正方向運動）同相同相2Axtxtx

11、2A反相反相x1A1A tAtA21 tAtA21 P259 例例5.5一個物體沿一個物體沿x軸作簡諧振動，振幅為軸作簡諧振動，振幅為0.12m，周期為，周期為2 s，當當t=0時物體的位移為時物體的位移為0.06m，且向，且向x軸正方向運動。求：軸正方向運動。求：(1). 簡諧振動方程；簡諧振動方程；(2). t=T/4 時物體的位置、速度和加速度；時物體的位置、速度和加速度；(3). 從初始時刻開始第一次通過平衡位置的時間；從初始時刻開始第一次通過平衡位置的時間；(4).從初始時刻開始到達從初始時刻開始到達x= -0.06m處，且向處，且向x軸負方向運軸負方向運動時，動時，所需的時間。所需

12、的時間。代數法代數法;旋轉矢量法旋轉矢量法;六六. .簡諧振動的能量簡諧振動的能量(以水平彈簧振子為例以水平彈簧振子為例)1. 動能動能221vmEk)(sin2122tkA2max21kAEk2. 勢能勢能221kxEp)(cos2122tkA3. 機械能機械能2222121AmkAEEEpk（簡諧振動系統機械能守恒）（簡諧振動系統機械能守恒）0minkE. .都是周期函數；都是周期函數；T/2. .步調相反；步調相反；. .總和不變；總和不變；任何一個周期性復雜振動都可分解為一系列任何一個周期性復雜振動都可分解為一系列 諧振動的疊加諧振動的疊加北京大鐘寺內的巨鐘的頻譜圖北京大鐘寺內的巨鐘的

13、頻譜圖0100200300400500v (Hz)（一）兩個同方向、同頻率簡諧振動的合成：（一）兩個同方向、同頻率簡諧振動的合成：同一直線上運動，有不同的振幅和初相位同一直線上運動，有不同的振幅和初相位)cos(111tAx)cos(222tAx)cos(tAx合振動合振動x仍然是同頻率的簡諧振動。仍然是同頻率的簡諧振動。21xxx演示演示2AA1A21XY11cosA22cosA11sinA22sinA 旋轉矢量法旋轉矢量法)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinAAAAarctg)cos(212212221AAAAA上面得到：上面得到：22112211

14、coscossinsinAAAAarctg討論一：討論一：, 2, 1, 0212kk21AAA同相同相，兩個分振動相互加強，兩個分振動相互加強，合振幅最大，稱為合振幅最大，稱為干涉相長干涉相長。 2AA1AxtA1A2A討論二：討論二：|21AAA反相反相，兩分振動相互削弱，合振幅最小，兩分振動相互削弱，合振幅最小，稱為稱為干涉相消干涉相消。A1A2時合振幅為時合振幅為0.2AA1A討論三：討論三：1A2AA, 2, 1, 0) 12(12kk|2121AAAAAk12一般情況：一般情況：)cos(212212221AAAAAxt合振動例題例題5.6：有兩個同頻率、同方向的簡諧振動，求：有兩

15、個同頻率、同方向的簡諧振動，求：（1）合振動的振幅和初相位；）合振動的振幅和初相位；(m) 520101032(m) 750101022221).tcos(x).tcos(x設一個質點同時參與了兩個振動方向相互垂直的設一個質點同時參與了兩個振動方向相互垂直的同頻率簡諧振動，即同頻率簡諧振動，即);cos(11tAx)cos(22tAy)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx)(12上式是個上式是個橢圓方程橢圓方程，具體形狀由，具體形狀由 相位差決定：相位差決定： 21AA 當當 時，時，正橢圓退化為圓正橢圓退化為圓。（三（三）兩個相互垂直、同頻率簡諧振動的合成兩個相互垂

16、直、同頻率簡諧振動的合成1.1.分振動分振動2.2.合振動（運動軌跡）合振動（運動軌跡）討論討論1 0)(120221222212AAxyAyAxxAAy12所以是在所以是在 直線上的運動。直線上的運動。yx221222212sincos2AAxyAyAx合振動軌跡方程合振動軌跡方程討論討論2 )(120221222212AAxyAyAxxAAy12所以是在所以是在 直線上的振動。直線上的振動。討論討論32)(121222212AyAx所以是在所以是在X軸半軸長為軸半軸長為 ， Y軸半軸長為軸半軸長為 的的橢圓方程，且橢圓方程，且順順時針旋轉時針旋轉。1A2Ayxxyo質點的軌道是圓。質點的軌道是圓。X和和Y方向的相位差決定旋轉方向方向的相位差決定旋轉方向。21AA 討論討論5討論討論4所以是在所以是在X軸半軸長為軸半軸長為 ， Y軸半軸長為軸半軸長為 的的橢圓方程，且橢圓方程，且逆逆時針旋轉時針旋轉。1A2A1222212AyAx23)(12xyo討論討論6k212則為任一橢圓方程。則為任一橢圓方程。321021212，kk綜上所述綜上所述：兩個頻率相同的互相垂直的簡諧：兩個頻率相同的互相垂直的簡諧振動合成后，振動合成后，合振動在一直線上或者在橢圓合振動在