1、l在數控機床中，刀具不能嚴格地按照要求加工的曲線運動，只能用折線軌跡逼近所要加工的曲線。l插補（interpolation）定義：機床數控系統依照一定方法確定刀具運動軌跡的過程。也可以說，已知曲線上的某些數據，按照某種算法計算已知點之間的中間點的方法，也稱為“數據點的密化”。4.1 概述4.1.1 插補的概念l數控裝置向各坐標提供相互協調的進給脈沖，伺服系統根據進給脈沖驅動機床各坐標軸運動。l數控裝置的關鍵問題：根據控制指令和數據進行脈沖數目分配的運算（即插補計算），產生機床各坐標的進給脈沖。l插補計算就是數控裝置根據輸入的基本數據，通過計算，把工件輪廓的形狀描述出來，邊計算邊根據計算結果向各

2、坐標發出進給脈沖，對應每個脈沖，機床在響應的坐標方向上移動一個脈沖當量的距離，從而將工件加工出所需要輪廓的形狀。l插補的實質：在一個線段的起點和終點之間進行數據點的密化。l硬件插補器l由專門設計的數字邏輯電路組成。l插補速度快，升級不易，柔性較差。l軟件插補器l 通過軟件（編程）實現插補功能。l插補速度比硬件插補器慢，但成本低、柔性強，結構簡單，可靠性好。l特點：每次插補結束，數控裝置向每個運動坐標輸出基準脈沖序列，每個脈沖代表了最小位移，脈沖序列的頻率代表了坐標運動速度，而脈沖的數量表示移動量。l僅適用于一些中等精度或中等速度要求的計算機數控系統 1.基準脈沖插補（行程標量插補或脈沖增量插補

3、）l數字脈沖乘法器插補法l逐點比較法l數字積分法l矢量判別法l比較積分法l最小偏差法l目標點跟蹤法l單步追蹤法l直接函數法l加密判別和雙判別插補法l特點：插補運算分兩步完成。l（1）粗插補 在給定起點和終點的曲線之間插入若干個點，即用若干條微小直線段逼近給定曲線，每一微小直線段的長度都相等，且與給定速度有關。 （2）精插補 在粗插補算出的每一微小直線段的基礎上再作“數據點的密化”工作，相當于對直線的脈沖增量插補。l適用于閉環、半閉環以直流和交流伺服電機為驅動裝置的位置采樣控制系統 l直線函數法 l擴展數字積分法 l二階遞歸擴展數字積分插補法 l雙數字積分插補法 l角度逼近圓弧插補法l“改進吐斯

4、丁”（Improved Tustin Method-ITM）法 l基本思路：每走一步都要將加工點的瞬間時坐標與規定的圖形軌跡相比較，判斷其偏差，然后決定下一步的走向。如果加工點走到圖形外面，下一步就要向圖形里面走；如果加工點走到圖形里面，下一步就要向圖形外面走，以縮小偏差，這樣就能得到一個非常接近規定圖形的軌跡，最大偏差不超過一個脈沖當量。l四個步驟：偏差判別-坐標進給-新偏差判別-終點比較4.2.1 P點在直線上方，則有：P點在直線上，則有：P點在直線下方，則有：如圖所示直線OA和點P（Xi，Yi），A點（ Xe，Ye）。 0YXXYeiei0YXXYeiei0YXXYeieieieii ,

5、 iYXXYF（1）偏差判別方程式：（2）坐標進給和計算F Fi,ii,i=0=0時，向時，向x x方向走一步。方向走一步。 F Fi,ii,i0=0F0 x（3）終點判斷 每走一步判斷最大坐標的終點坐標值（絕對值）與該坐標累計步數坐標值之差是否為零，若為零，插補結束。 總步數為：N=Xa+Ya。 序號偏差判別進給方向偏差計算終點判別0F0,00,Xe=5,Ye=3n=0,N=81F0,00+XF1,0F0,0Ye-3n=12F1,0-30+YF1,1F1,0Xe2n=1+1=20+XF2,1F1,1Ye-1n=2+1=3N4F2,1-10+YF2,2F2,1Xe4n=3+1=40+XF3,2

6、F2,2Ye1n=4+1=50+XF4,2F3,2Ye-2n=5+1=6N7F4,2-20+YF4,3F4,0Xe3n=6+1=70+XF5,3F4,3Ye0n=7+1=8=N序號偏差判別進給方向偏差計算終點判別0F0,00,Xe=4,Ye=5n=0,N=91F0,00+XF1,0F0,0Ye-5n=12F1,0-50+YF1,1F1,0Xe-1n=1+1=2N3F1,1-10+YF1,2F1,1 Xe3n=2+1=30+XF2,2F1,2 Ye-2n=3+1=4N5F2,2-20+YF2,3F2,2 Xe2n=4+1=50+XF3,3F2,3Ye-3n=5+1=6N7F3,3-30+YF3,

7、4F3,3Xe1n=6+1=70+XF4,4F3,4Ye-4n=7+1=8N9F4,4-4=0F=F+XF+Xe=F+YL2-X+YL3-X-YL4+X-Y如右圖所示逆圓弧AE，C、D、B點分別在圓弧的外、內部和圓弧上。 C C點在圓弧的外部，則有點在圓弧的外部，則有 0)YX()YX(20202c2cD D點在圓弧的內部，則有點在圓弧的內部，則有 0)YX()YX(20202d2dB B點在圓弧上，則有點在圓弧上，則有 0)YX()YX(20202b2bxOyE（X0,Y0）C（Xc,Yc）D（Xd,Yd）B（Xb,Yb）A（Xe,Ye）（1）偏差判別方程式：（2）坐標進給和計算（3）終點判

8、斷：)YX()YX(F202022F Fi,ii,i=0=0時，向時，向-x-x方向走一步。方向走一步。 F Fi,ii,i 0 0時，向時，向y y方向走一步方向走一步。1X2FFYY, 1XXii , ii , 1ii1ii1i1Y2FFXX, 1YYii , i1i , ii1ii1i0e0eYYXXn注意：圓弧與直線不同，直線用于計算的自始至終是注意：圓弧與直線不同，直線用于計算的自始至終是終點坐標，而圓弧則是一個動點坐標。終點坐標，而圓弧則是一個動點坐標。 序號偏差判別進給偏差計算終點判別0F10,00N=121F10,00XF9,0 F10,0210+1-19N=12-1=112F

9、9,0-190+YF9,1 F9,0+20+1-18N=12-2=103F9,1-180+YF9,2 F9,1+21+1-15N=12-3=94F9,2-150+YF9,3 F9,2+22+1-10N=12-4=85F9,3-100+YF9,4 F9,3+23+1-3N=12-5=76F9,4-30XF8,5 F9,529+1-11N=12-7=58F8,5-110+YF8,6 F8,5+25+10N=12-8=49F8,60XF7,6 F8,628+1-15N=12-9=310F7,6-150+YF7,7 F7,6+26+1-2N=12-10=211F7,7-20XF6,8 F7,827+1

10、0N=12-12=0舉例：插補第一象限逆圓弧AB ，起點為A（6,0），終點為B（0,6）序號偏差判別進給偏差計算終點判別0F6,00N=121F6,00XF5,0 F6,026+1-11N=12-1=112F5,0-110+YF5,1 F5,0+20+1-10N=12-2=103F5,1-100+YF5,2 F5,1+21+1-7N=12-3=94F5,2-70+YF5,3 F5,2+22+1-2N=12-4=85F5,3-20XF4,4 F5,425+1-4N=12-6=67F4,4-40XF3,5 F4,524+1-2N=12-8=49F3,5-20XF2,6 F3,623+14N=12

11、-10=211F2,640XF1,6 F2,622+11N=12-11=112F1,610XF0,6 F1,621+10N=12-12=0 xOyA（6,0）B（0,6）其他象限的圓弧插補以|X|和|Y|代替X和Y。線型偏差計算進 給偏差計算進 給F=0FFY-1Y-YF+2X+1FX+1X+XSR3（順）+Y-XNR2（逆）-Y-XNR4（逆）+Y+XSR2（順）F-2X+1FX-1X+XF+2Y+1FY+1Y+YSR4（順）-X-YNR1（逆）-X+YNR3（逆）+X-Y用逐點比較法加工第二象限直線OA，起點為O（0,0），終點為A（-4,3） 序號偏差判別進給方向偏差計算終點判別0F0,

12、00,Xe=-4,Ye=3n=0,N=81F0,00XF1,0F0,0|Ye| -3n=12F1,0-30+YF1,1F1,0|Xe|1n=1+1=20XF2,1F1,1|Ye|-2n=2+1=3N4F2,1-20+YF2,2F2,1|Xe|2n=3+1=40XF3,2F2,2|Ye|-1n=4+1=5N6F3,2-10+YF3,3F3,2|Xe|3n=5+1=60XF4,3F3,3|Ye|0n=6+1=7N用逐點比較法加工第二象限順圓弧AB，起點為A（-5，0），終點為B（-3，4） 序號偏差判別進給偏差計算終點判別0F5,00N=61F5,00+XF4,0 F5,02|-5|+1-9N=6

13、-1=52F4,0-90+YF4,1 F4,0+2|0|+1-8N=6-2=43F4,1-80+YF4,2 F4,1+2|1|+1-5N=6-3=34F4,2-50+YF4,3 F5,2+2|2|+10N=6-4=25F4,30+XF3,3 F4,32|-4|+1-7N=6-5=16F3,3-70+YF3,4 F3,3+2|3|+10N=6-6=0 xOyA（4,3）xOyA（5,0）B（3,4）l同一個圓弧在不同象限，走刀方向不同。l由于采用絕對值計算，A1點與A點相同，在插補計算過程中，如果從A點插補到B點，那么會造成插補到A1點就結束。l分不同象限處理。l數字積分法也稱為數字微分分析法，

14、是在數字積分器的基礎上建立起來的一種插補方法。l基本原理：基本原理：數字積分法是利用數字積分的方法，計算刀具沿各坐標軸的位移，使得刀具沿著所加工的曲線運動。l優點：運算速度快，脈沖分配均勻，容易實現多坐標聯動。l缺點：速度調節不便，插補精度需要采用移動措施才能滿足要求。如右圖所示，由曲線yf（t）與x軸所圍成的面積S為： tdttfS0)(取t足夠小時，則有： n1i1ityS 如令t為最小的基本單位“1”時，則有： n1i1iySl設置一個累加器，并且假設累加器的容量為一個單位面積。l用該累加器來實現累加運算，那么在累加過程中超過一個單位面積時就必然產生溢出，即產生一個溢出脈沖。l累加過程中

15、所產生的溢出脈沖總數就是所求的近似值，或者說所要求的積分近似值。l以直線OE為例說明DDA插補的方法，其終點的坐標為（Xe,Ye）=(7,4)l設在10秒時間內完成插補工作（進給脈沖以整數1為單位）lX方向每個時間單位內的增量 X= Xe/100.7lY方向每個時間單位內的增量 Y=Ye/100.4l累積X方向的增量0.7+0.71.4 ，發出1個脈沖，留下0.4個脈沖在余數寄存器等待下一次累積。最后10次累積為10*0.77（X方向的終點坐標）l累積Y方向的增量0.4+0.4+0.41.2 ，3個單位后發出1個脈沖，留下0.2個脈沖在余數寄存器等待下一次累積。最后10次累積為10*0.44（

16、Y方向的終點坐標）結論：直線結論：直線OE的插補過程實質是一個累加運算過程的插補過程實質是一個累加運算過程（即積分的過程）。（即積分的過程）。tVxxtVyykeyexyvxvOAVtkxtvxextkytvyey結論：動點從原點結論：動點從原點O走走向終點向終點A的過程，可以的過程，可以看作是各坐標軸每經過看作是各坐標軸每經過一個單位時間間隔一個單位時間間隔t，分別以增量分別以增量kxe，kye同同時累加的過程。時累加的過程。各坐標軸的位移量各坐標軸的位移量nienietenienieteyktykdtkyyxktxkdtkxx110110l平面直線插補器由兩個數字積分器組成，每個積分器由累

17、加器和被積函數寄存器組成。l終點坐標值存放在被積函數寄存器中。l工作過程：每發出一個插補迭代脈沖，使kxe和kye向各自的累加器里累加一次，累加的結果有無溢出脈沖取決于累加器的容量和kxe、kye的大小。假設m次累加后（m也為累加器的容量），x、y分別到達終點，則有 11111mkykmyyktykyxkmxxktxkxeemiemieeemiemie為保證坐標軸上每次分配的進給脈沖不超過一個，則有x1和y1，即kxe1和kye1。而xe和ye受寄存器容量的限制，令寄存器的位數為n，寄存器的最大值為2n-1，則有xe2n-1，ye2n-1。于是有 121nk為保證累加次數m為整數，取 ，所以累

18、加次數m2n。所以數字積分法直線插補的終點判別為m2n。 nk21l由于KXe= Xe/2n，運算的方法為：保持數字Xe不變，只需把數Xe往右移動n位即可得到KXe。l被積函數寄存器Jvx內裝的Kxe，可改為只裝Xe即可。lKYe= Ye/2n，運算的方法為：保持數字Ye不變，只需把數Ye往右移動n位即可得到KYe。l被積函數寄存器JVY內裝的KYe 可改為只裝Ye即可。l終點計數器JEl開始： JE =0l每進行一次加法運算， JE +1l當JE=2n時運算停止。累加次數（t）X積分器Y積分器終點計數器JE備注JVx（xe）JRxxJVy（ye）JRyy0101000011000000初始狀

19、態1101101011011001第一次迭代21010101011110010 x溢出31011110110011011y溢出41011001011100100 x溢出51010011011111101x溢出61011100110101110y溢出71010111011101111x溢出810100010110001000 x、 y溢出累加次數（t）X積分器Y積分器終點計數器JE備注JVx（xe）JRxxJVy（ye）JRyy050300初始狀態155331第一次迭代2521362x溢出3573113y溢出4541344x溢出5511375x溢出6563216y溢出7531357x溢出8501

20、3018x、 y溢出如右圖所示，P點為逆圓弧AB上的一個動點，由圖可知 )(常數kxVyVRVyxtxktVytyktVxyx注意：對于第一象限逆圓弧，注意：對于第一象限逆圓弧，x坐標軸的進給方向是坐標軸的進給方向是x方向，因此，要加上負號（）。方向，因此，要加上負號（）。其余過程與直線插補相同。l坐標值x、y存入被積函數寄存器JVx、JVy的對應關系與直線不同，正好相反，JVx存放著y，JVy存放著x。l直線插補時，寄存器中始終存放著終點的坐標值，為常數，而圓弧插補則不同，寄存器中存放著動點坐標，是個變量。在插補過程中，必須根據動點位置的變化來改變JVx、JVy中的內容。與直線插補的區別：與

21、直線插補的區別：l運算開始時，x軸和y軸被積函數寄存器中分別存放著Y、X的起點坐標值。lx軸被積函數寄存器中的數與其累加器的數累加得到的溢出脈沖發到x方向。y軸被積函數寄存器中的數與累加器中的數累加得到的溢出脈沖發到y方向。l每發出一個進給脈沖后，必須將被積函數寄存器中的坐標值加以修正。即當x方向發出進給脈沖后，使y軸被積函數寄存器中的內容減1（x方向的坐標值減少1，但x坐標值存放在y軸被積函數寄存器中）；當y方向發出一個進給脈沖后，使x軸被積函數寄存器中的內容加1（y方向的坐標值增加1，但y坐標值存放在x軸被積函數寄存器中）。l終點判斷：以圓弧的終點與起點的x、y坐標值之差的絕對值作為x、y

22、方向各自發出的脈沖總數值，以此作為終點判斷。已知第一象限逆圓弧AB，起點為A（5,0），終點為B（0,5），采用三位二進制寄存器和累加器，使用DDA法進行插補加工。 xOyAB運算次數X積分器X終Y積分器Y終JVx（yi）JRx(yi)xJVy(xi)JRy(xi)y0000550051000555052000552141 3110557044120554132 5240551123 6370556027321453114 4 8460447019421343105 330010570333001154123300 23001251112300 130013560113001453101300

23、 0 數字積分法不同象限直線和圓弧插補時，均以第一象限的直線和逆圓弧為標準，以不同象限的坐標值的絕對值進行計算，其進給方向和坐標修正如下表所示。 內 容L1L2L3L4NR1NR2NR3NR4SR1SR2SR3SR4動點修正JVX 11111111JVY 11111111進給方向XYl用DDA法加工第二象限直線OA，起點為O（0,0），終點為A（5,3）。 l已知第二象限順圓弧AB，起點為A（4,3），終點為B（5,0），使用DDA法進行插補加工。 累加次數（t）X積分器Y積分器終點計數器JEJVx（xe）JRxxJVy（ye）JRyy05003000155033012521360235703

24、11345413404551137056560321675313507運算次數X積分器X終Y積分器Y終JVx（yi）JRx(yi)xJVy(xi)JRy(xi)y0300440021330444022360440114 342134401 3 4460337015421232105 2 657022 754111 851100 xOyA（5,3）xOyA（4,3）B（5，0）lDDA插補的缺點：直線插補時每個程序段都要完成m=2n次累加運算，造成行程長走刀快，行程短走刀慢。l各程序段進給速度不一致，行程短的程序段生產效率低。l解決辦法：“左移規格化處理”被積數移去前零。如：00111100l規

25、格化數：經過左移規格化處理后，在寄存器中最高位位“1”的數。反之，為非規格化數。l規格化的數累加兩次必然有一次溢出，而非規格化的數需要兩次或者多次累加才有一次溢出。（1） 進給速度的均勻化 Xe ,Ye大者最高位為1 X=0011, Y=0101,0110，1010 每左移一位，累加次數應該減少一倍，相當于終點計數器的長度要縮短一倍。如左移Q位，數值增大2Q倍，m=2n-Q。v終點判別：終點判別計數器JE用“1”從最高位輸入進行右移，縮短計算長度。 非規格化 規格化 Xe 000011 000110 011000 Ye 000101 001010 101000 JE 000000 100000

26、 111000l最大的被積數次高位為1，即保持一個前零。l避免被積函數寄存器JVX，JVY在計算過程中被修正+1時產生溢出。l左移Q位，JVX，JVY存放2Qy和2Qx。lX積分器有溢出時， JVX中的2Qy變為2Q（y+1） 2Qy+ 2QlY積分器有溢出時， JVY中的2Qx變為2Q（x+1） 2Qx+ 2Ql溢出脈沖速度與被積數成正比。l圓弧插補時2個被積數可能相差較大，一個坐標方向連續有溢出，而另一個則長時間無溢出，從而使插補軌跡偏離理論曲線，使插補精度降低。圓弧插補誤差小于或等于兩個脈沖當量（直線插補誤差小于一個脈沖當量）。l增加積分器位數，增加迭代次數，可提高插補精度，但進給速度降

27、低。l解決辦法：余數寄存器預置數法：最大容量值和0.5（半加載法）。l作用：在被積函數較小時，遲遲不能產生溢出的情況下，可以改善溢出脈沖的時間分布，減小插補誤差。l基本原理基本原理：是一種時間分割法，根據進給速度，將加工輪廓曲線分割為一定時間內（一個插補周期）的進給量（一條微小直線），即用一系列微小直線段逼近輪廓軌跡。在每個插補周期，調用插補程序一次，為下一插補周期計算出各坐標軸應該行進的增長段，并計算插補點的坐標值。l實現步驟實現步驟：粗插補（用若干微小直線段逼近曲線）和精插補（脈沖增量插補）。l解決兩個問題：選擇插補周期；計算一個周期內各坐標軸的進給量。l插補周期的選擇 （1）插補周期與插

28、補運算時間的關系。 （2）插補周期與位置反饋采樣周期的關系。 （3）插補周期與精度、速度的關系。l直線插補直線插補：用插補所形成的步長子線段逼近給定直線，與給定直線重合。l圓弧插補圓弧插補：用弦線（直接函數法）或割線（擴展DDA算法）逼近圓弧。l每個插補周期的進給步長為 L=FTl直線OPe的長度為 L=(Xe2+Ye2)0.5lx和y軸的位移增量為 X= LXe/L Y= LYe/Ll 假設k=L/Ll 插補第i點的動點坐標為 Xi=Xi-1+X= Xi-1+kXe Yi=Yi-1+Y= Yi-1+kYel基本思想：在滿足精度的前提下，用弦進給代替弧進給，即用直線逼近圓弧。l圓弧上相鄰兩點坐

29、標之間的關系如下。 sinL5 . 0YcosL5 . 0XEMOCAEDHCDOCHMDH)2tan(taniiisin5 . 0cos5 . 0tanLYLXXYiiFTL YYYXXXi1ii1i l機床加工過程中，不同尺寸、不同材質的零件，切削速度不同。lCNC系統進給速度控制包括自動調節和手動調節兩種方式。l自動調節方式：按照零件加工程序中速度功能指令中的F值進行速度控制。l手動調節方式：加工過程中由操作者根據需要隨時使用倍率旋鈕對進行速度進行手動調節。l開環系統中，坐標軸運動速度是通過向步進電機輸出脈沖的頻率來實現，其速度控制方法是根據程編F值來確定其頻率。l半閉環和閉環系統中，采用數據采樣方法進行插補加工，其速度計算是根據程編F值將輪廓曲線分割為采樣周期的輪廓步長。l因此，進給速度控制方法與系統采用的插補方法有關。l首先分析、計算每次插補運算所占用時間，然后再用各種速度要求的進給脈沖間隔時間減去每次插補運算時間，從而得到CPU再每次插補運算后應等待的時間，用CPU的空運轉循環對這段等待的時間進行計時，即采用軟件延時子程序。l也可通過置速度標志來實現程序計數。l程序計時法多用于點位直線控制系統。l不同的空運轉時間對應著不同的進給速度，空運轉等待時間越短，發出進給脈沖頻率越高，速度越快。1. 程序計