1、第二章第二章 各向異性各向異性 彈性力學基礎彈性力學基礎2.2 2.1 2.3 2.1 各向異性彈性力學各向異性彈性力學 基本方程基本方程各向異性彈性力學基本方程包括：各向異性彈性力學基本方程包括：2.1(1)工程應力 zzyzxyzyyxxzxyx 工程應變 zzyzxyzyxzxyxyx,zwyvxuzyx.;yuxvxwzuzvywxyzxyzxzzxzyyzyxxyxzxzyzzyxyyx2222222222222226個應變分量是通過個應變分量是通過3個位移分量表示的，因此，個位移分量表示的，因此， 6個應變分量不是互不相個應變分量不是互不相關的，之間存在必然聯(lián)系：關的，之間存在必然

2、聯(lián)系：（1）已知）已知3個位移分量，個位移分量，解唯一；解唯一；（2）已知）已知6個應變分量，個應變分量，如何？方程個數(shù)超過未知如何？方程個數(shù)超過未知數(shù)個數(shù)，解不唯一。數(shù)個數(shù)，解不唯一。yxzyxzxzyxzyzyxzyxzxyzxyzyzxyzxyxyzxyxz2222226個變形協(xié)調方程，其中只有個變形協(xié)調方程，其中只有3個獨立。個獨立。意義：意義：分割成無數(shù)個小分割成無數(shù)個小6面體，每個小單元體發(fā)面體，每個小單元體發(fā)生變形。如果應變分量生變形。如果應變分量不滿足協(xié)調方程，則變不滿足協(xié)調方程，則變形后，不能將小單元體形后，不能將小單元體拼合成連續(xù)體，產(chǎn)生小拼合成連續(xù)體，產(chǎn)生小裂縫。為使變形

3、后連續(xù)，裂縫。為使變形后連續(xù)，應變分量必須滿足協(xié)調應變分量必須滿足協(xié)調方程。因此方程。因此變形協(xié)調方變形協(xié)調方程是保證物體連續(xù)的一程是保證物體連續(xù)的一個必要條件。個必要條件。對于單連通物體，變形協(xié)調方程也是保證物體連續(xù)的充分條件。對于單連通物體，變形協(xié)調方程也是保證物體連續(xù)的充分條件。222222twfzyxtvfzyxtufzyxzzzyzxyyzyyxxxzxyx注：以上關系與各向同性體相同注：以上關系與各向同性體相同fx = xl + yxm + zxnfy = xyl + ym + zynfz = xzl + yzm + zn xyzxyzzyxxyzxyzzyxCCCCCCCCCCC

4、CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC 666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211(本構關系本構關系) Hooke 定理定理： 記作記作=C ， C剛度矩陣，剛度矩陣，可以證明，可以證明， C是對稱矩陣，因此它只是對稱矩陣，因此它只有有21個獨立變量。個獨立變量。如何證明？如何證明？ 同樣，同樣， S也是對稱矩陣，它也有也是對稱矩陣，它也有21個獨立變量。個獨立變量。同樣，可用應力分量表示應變分量：同樣，可用應力分量表示應變分量： S SC-1柔度矩陣。柔度矩陣。2.2 2.2.1

5、 具有一個彈性對稱面的材料 2.2.2 正交各向異性材料 2.2.3 橫觀各向同性材料 2.2.4 各向同性材料2.2 2.2 222 6xyxy5zxzx4yzyz3z2y1x6xy5zx4yz3z2y1x 應變應變應力應力 21 21 21 21 21 21266665562555644654452444633653354334233362265225422432232222611651154114311321122111CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCW2.2應變勢能密度為： 2121CW 2.2.1有一個彈性對稱面的材料 如取如取xoyxoy坐標面與彈性對稱面平行，坐標面與彈

6、性對稱面平行，取取A與與A為相互對稱點，則它們的彈性性能相同。為相互對稱點，則它們的彈性性能相同。即將即將z軸轉到軸轉到z軸時，應力應變關系不變。軸時，應力應變關系不變。如果物體內每一如果物體內每一點都有這樣一個平面，點都有這樣一個平面，在此平面的對稱點上在此平面的對稱點上彈性性能相同，這樣彈性性能相同，這樣的材料就具有一個彈的材料就具有一個彈性對稱面。彈性主軸性對稱面。彈性主軸概念。概念。2.2.1有一個彈性對稱面的材料此時：此時：z=-z，w=-w，（新舊坐標系），（新舊坐標系）yzyz4z xzx5()()wvwvyzyzuwuwzxzx 其余應變分量不變其余應變分量不變2.2.1有一個

7、彈性對稱面的材料 66362616554545443633231326232212161312110000000000000000CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC 為保證為保證W值不變值不變,將含有將含有xz和和yz( 4與與 5)一次項的一次項的Cij置為零，只剩下置為零，只剩下13個獨個獨立變量。立變量。13 66362616554545443633231326232212161312110000000000000000SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSs2.2.1 有一個彈性對稱面的材料同理：同理：2.2.2正交各向異性材料 66554433231323221213121

8、1000000000000000000000000ccccccccccccc如果具有三個正交彈性對稱面，則：如果具有三個正交彈性對稱面，則： 92.2.2正交各向異性材料 665544332313232212131211000000000000000000000000SSSSSSSSSSSSS只有九個獨立系數(shù)只有九個獨立系數(shù)重要性質，正剪無耦合重要性質，正剪無耦合2.2.3橫觀各向同性材料 各向同性面各向同性面在該平面內，在該平面內，各點的彈各點的彈性性能在各方向上相同性性能在各方向上相同。 假定：假定：1，2，3都是彈性都是彈性主軸，主軸，12面是各向同性面是各向同性面。面。則：則：S11=

9、S22， S13=S23， S44=S55， C11=C22，C13=C23， C44=C552.2.3橫觀各向同性材料 又設某點應力狀態(tài)：又設某點應力狀態(tài)： 1= ， 2= ， 4= 5 6，有有 212112112122112121 SSSSSW 將將1、2坐標軸在面內轉坐標軸在面內轉450到到1 、2，則則 1= 2 30， 6 12 ， 23 31 0：66621 SW 則：則：S662(S11 S12)2.2.3橫觀各向同性材料 121144443313131311121312112000000000000000000000000SSSSSSSSSSSSSS52.2.3橫觀各向同性材

10、料 1211444433131313111213121121000000000000000000000000CCCCCCCCCCCCCC只有五個獨立系數(shù)只有五個獨立系數(shù)2.2.4各向同性材料 如果材料任一點、任一方向彈性特如果材料任一點、任一方向彈性特性都相同。性都相同。有：有：C11=C22=C33， C12=C13 =C23， 121166554421CCCCC S11=S22=S33，S12=S13 =S23， 121166554421SSSSS 2.2.4各向同性材料 12111211121111121212111212121121000000210000002100000000000

11、0CCCCCCCCCCCCCCCC2.2.4各向同性材料 121112111211111212121112121211200000020000002000000000000SSSSSSSSSSSSSSSS只有只有2個獨立參數(shù)，個獨立參數(shù)，因為因為E、 、G之間有之間有關系。關系。2.3 2.3 3 , 2 , 1 iEiii jiij2.3.1對正交各向異性材料：對正交各向異性材料： 665544332313232212131211000000000000000000000000SSSSSSSSSSSSS2.3.1123123323213132321213132121100000010000001000000100010001GGGEEEEEEEEE2.3.1ijijijEE一般一般Ei Ej，所以，所以， ij ji 。2.3.2在在S（或（或C）中任意取第）中任意取第i1,i2,i3, i1,i2,i3, 列交點處的元素構成的行列交點處的元素構成的行列式稱為矩陣列式稱為矩陣 S（或（或C）的主子式。）的主子式。2.3.2.0, 0, 0, 0, 0, 001231233211G