1、4.2 4.2 常系數(shù)線性微分方程的解法常系數(shù)線性微分方程的解法一一 復值函數(shù)與復值解復值函數(shù)與復值解 二二 常系數(shù)齊次方程與歐拉方程常系數(shù)齊次方程與歐拉方程 三三 非齊線性方程與比較系數(shù)法非齊線性方程與比較系數(shù)法 四四 質點振動（質點振動（了解了解）一、復值函數(shù)與復值解一、復值函數(shù)與復值解1、復值函數(shù)、復值函數(shù).)()()(,)()(上的復值函數(shù)為區(qū)間我們稱上定義的實函數(shù)是區(qū)間與如果btatittzbtatt.)(,)()(上連續(xù)在則稱上連續(xù)在區(qū)間與若btatzbtatt的導數(shù)為且上可微在則稱上可微在與若)(,)(,)()(tzbtatzbtatt)()()(tittz復值函數(shù)的求導法則與實

2、函數(shù)求導法則相同復值函數(shù)的求導法則與實函數(shù)求導法則相同一、復值函數(shù)與復值解一、復值函數(shù)與復值解1、復值函數(shù)及其性質、復值函數(shù)及其性質( )( )( ), ( )( ).z tu tiv tu tv t復值1) : 、為數(shù)實函數(shù)函3）復值函數(shù)的）復值函數(shù)的求和、數(shù)乘、求導法則與求和、數(shù)乘、求導法則與實函數(shù)實函數(shù)相同相同極限、連續(xù)點、2) 復值函數(shù)（）、區(qū)間的可導: ( )( )( ), ( )( )z tu tiv tu tv t如果 、為實函數(shù)，則00000lim ( )lim ( )lim ( )( )( );ttttttz tu tiv tu tiv t極限：0000lim ( )( )(

3、 )( );ttz tz tu tiv t連續(xù)：( )( )( ).z tu tiv t導數(shù)：2 、復指數(shù)函數(shù)、復指數(shù)函數(shù))sin(cos)()(titeeetzttikt歐拉公式歐拉公式:)(21costitieet)(21sintitieeit性質性質:定義：定義：,) 1 (ktktee,)2(2121)(tktktkkeee,)3(ktktkeedtd,)4(ktnktnnekedtd. ik=其中，3、復值解、復值解) 1 . 4()()()(111tfxtadtxdtadtxdnnnnn1) 定義：定義： ( ),(4.1),atbz t 定義于區(qū)間上的實變量復值函數(shù)稱為方程的復值

4、解 如果)()()()()()(111tftztadttzdtadttzdnnnnnatb 對于恒成立.111( )( )0 (4.2)nnnnnd xdxa ta t xdtdt2) 定理定理8(4.2)( )(1,2, ),( )( )( ),( )( )( )( )( )(4.2).ia t inxz tu tiv tz tu tv tz tz t如果方程的所有系數(shù)都是實值函數(shù) 而是方程的復值解 則的實部和慮部及的共軛復數(shù)也都是方程的解)()()(111tuxtadtxdtadtxdnnnnn和)()()(111tvxtadtxdtadtxdnnnnn的解.3) 定理定理9： 若方程11

5、1 ( )( )( )( )nnnnnd xdxL xa ta t xu tiv tdtdt( )( ),( )(1,2, )( ),( ),( )( )ixtita t inu tv ttt有復值解這里及都是實值函數(shù) 則這個解的實部和虛部分別是方程二、常系數(shù)齊線性方程和歐拉方程二、常系數(shù)齊線性方程和歐拉方程1、常系數(shù)齊線性方程的求解方法、常系數(shù)齊線性方程的求解方法(Euler待定系數(shù)法待定系數(shù)法)考慮方程111 0 (4.19)nnnnnd xdxL xaa xdtdt,21為常數(shù)其中naaa稱(4.19)為n階常系數(shù)齊線性方程. 要求方程的通解，只需求它的基本解組，以下介紹求基本解組的Eu

6、ler待定指數(shù)函數(shù)法（特征根法）.0 xax有通解;atxce說明： 一階常系數(shù)齊線性方程0 xx有通解.txce受此啟發(fā),對(4.19)償試求指數(shù)函數(shù)形式的解：, (4.20)txe,其中， 是待定常數(shù) 可實也可復.把它代入方程(4.19)得0)(111tnnnnteaaaeL,(4.19):te因此為的解充要條件的是是代數(shù)方程)21. 4(, 0)(111nnnnaaaF 的根,方程(4.21)稱為方程(4.19)的特征方程,它的根為方程(4.19)的特征根.1) 特征根是單根的情形12,(4.21),(4.19)nnn 設是特征方程的 個彼此不相等的特征根 則相應方程有如下 個解12,

7、(4.22)nttteee易證，解組（4.22）的n個解線性無關。事實上：,21tttneeeWtnntntntntttttnnneeeeeeeee1121121212121下面分開討論特征根的不同情況：下面分開討論特征根的不同情況：tne)(211121121111nnnnntne)(21nijji1)(0故解組(4.22)線性無關.(1,2, ),iain( ) 若均為實數(shù)tnttnececectx2121)(.,21是任常數(shù)其中nccc的通解為從而的基本解組是方程則)19. 4(,)19. 4()22. 4(1,2, ),iin(b) 若中有復數(shù)（則因方程的系數(shù)是實常數(shù),所以復根將成對共

8、軛出現(xiàn)）12,mmii設是特征根 則也是特征根則相應方程(4.19)有兩個復值解：),sin(cos)(titeetti);sin(cos)(titeetti 由定理8知,它的實部和虛部也是方程的解. 因此,對方程的一對共軛復根:,mi 可求得(4.19)的兩個實值解為：,cos tet;sin tet例1：280.xxx求方程的通解解： 特征方程為228(4)(2)0特征根為14,22, 基本解組為4,te2,te故原方程的通解為：4212.ttxc ec e例2：0.xx求方程的通解解： 特征方程為310 特征根為11, 2,313,22i基本解組為112233,cos,sin22ttte

9、et et故原方程的通解為：112212333cossin.22tttxc ec etc et2) 特征根是重根的情形特征根是重根的情形則有重根有設特征方程,)21. 4(1k(1)111 ()()()0,kFFF且; 0)(1)(kF1100下面分和兩種情形加以討論:1( )0a設，11 0,nnn kaaa 從而; 0kna故特征方程為：, 011kknnnaa.k即特征方程有因子1( )( )kFg（）( )( )kFg則，111( )0,(4.21)nnnnFaaa從而，對應方程(4.19)變化為：0111kkknnnnndtxdadtxdadtxd211, , kkt tt顯然，它有

10、 個解： （線性無關）.21:(4.21)(4.19)1, ,.kkkt tt從而可得 特征方程的 重零根對應著方程的 個線性無關的解:1( )0,b設1(4.19),txye 作變換并把它代入方程經整理得:ttnnnnnteyLeybdtydbdtydyeL111)(1111于是，方程(4.19)化為1111 0, (4.23)nnnnnd ydyL ybb ydtdt,21仍為常數(shù)其中nbbb其中，方程(4.23)相應特征方程為)24. 4(, 0)(111nnnnbbbG1111111() nntttnnnd ydyL yebb y eL y edtdt1, 0tyeL y令代入得：11

11、 ( )0ttL yL eGe ,直接計算易得:teF)(11)()(1teLtteeL11,)()(1teG因此,)(1F),(G11,(4.21)(4.24)0,kk 可見的 重根 = 對應著的 重零根 =即就把問題轉化為前面討論過的情形(a).11121:(4.24)(4.23): 1, ,;kkkt tt從前面的討論得 方程的 重零根對應著方程的 個線性無關的解1(4.19)k因而,對應著方程的 個解1111112,; (4.25)tttktetet ete1txye的相應解為則方程而且依次為的重數(shù)的其它根假設方程類似地)19. 4(),(,)21. 4(,2122jinkkkkkji

12、mmm;,2222212tktttetettee;,12tktttmmmmmetettee)26. 4( 下面，我們證明(4.25)和(4.26)構成方程(4.19)的基本解組,為此只須證明這些函數(shù)線性無關即可.（見見P140）對特征方程有復根的情況:,ik重復根譬如有,重復根也是則ki如同單根時那樣,我們也可以.2,2)19. 4(個實值解換成個復值解的把方程kk;cos,cos,cos1tetttetetktt.sin,sin,sin1tetttetetktt3) 求方程(4.19)通解的步驟：第一步:,)19. 4(21k特征方程的特征根求第二步: 計算方程(4.19)相應的解;,)(t

13、kkea方程有解對每一個實單根;,1)(個解方程有重實根對每一個mmbk;,12tmtttkkkketettee( ),ci對每一個單根的共軛復數(shù)方程有兩個如下形式的解;sin,costtete ( )1,2dmim對每一個重數(shù)是的共軛復根方程有個如下形式的解;sin,sin,sin;cos,cos,cos11tetttetetetttetetmtttmtt第三步:( ),( ),( ),( ),(4.19).abcd根據(jù)第二步中的四種情形分別寫出方程的對應基本解組及通解例3：.0432233的通解求方程xdtxddtxd解：特征方程為43232)2)(1(, 0有特征根：, 11, 23 ,

14、 212,3,（ 是單根是二重根）基本解組為：,te;,22tttee故通解為：22123( ),tttx tc ec ec te123,c c c這里為任常數(shù).例4：.044的通解求方程 xdtxd解特征方程為014特征根： , 11,3i故方程的通解為：;sincos)(4321tctcecectxtt;,4321為任常數(shù)這里cccc, 12;4i方程的基本解組為：,cos ,sin ;tte ett例5：.022244的通解求方程xdtxddtxd解特征方程為122422) 1(, 0特征根：,2, 1i1,2, i 故方程的通解為：;sin)(cos)()(4321ttccttcctx

15、;,4321為任常數(shù)這里cccc基本解組：;sin,sin,cos,costttttt作業(yè)P164: 2、（1）（3）2、歐拉、歐拉(Euler)方程方程形如)29. 4(, 011111yadxdyxadxydxadxydxnnnnnnnn的方程,稱為歐拉方程.,21為常數(shù)這里naaa歐拉（Leonhard Euler，1707-1783），瑞士數(shù)學家。18世紀 最優(yōu)秀的數(shù)學家數(shù)學家，也是歷史上最偉大的數(shù)學家之一，被稱為“分析的化身”。他從19歲到76歲的半個多世紀共寫下了856篇論文，專著32部，其中分析、代數(shù)、數(shù)論占40%，幾何占18%，物理和力學占28%，天文學占11%，彈道學、航海學

16、、建筑學等占3%。幾乎每個數(shù)學領域都可看到歐拉的名字，從初等幾何的歐拉線，多面體的歐拉定理，立體解析幾何的歐拉變換公式，四次方程的歐拉解法到數(shù)論中的歐拉函數(shù)，微分方程微分方程的歐拉方程，級數(shù)論的歐拉常數(shù)，變分學的歐拉方程，復變函數(shù)的歐拉公式等等。歐拉的興趣十分廣泛，他研究過天文學、物理學、航海學、建筑學、地質學、化學等等。*歐拉簡介：歐拉簡介：1) 引進變換：(ln )(0)txetx xdxdydxdtdtdydtdy,dtdytex122dxyddxdydxddxdtdtdxdyd)(dtdyedtdttete2),(22dtdydtyd由歸納法原理可知：kkdxydkte,1111dtd

17、ydtyddtydkkkkk,21都是常數(shù)其中k將上述關系式代入(4.19)30. 4(, 0111ybdtydbdtydnnnnn.,21為常數(shù)其中nbbb)29. 4(, 011111yadxdyxadxydxadxydxnnnnnnnn)ln(xtext 因而可以用上述方法求出(4.30)的通解,再代回原來的變量就可得到方程(4.29)的通解.得常系數(shù)齊線性方程.即2) 從上述推演過程,我們知(4.30),的解有形如ktey ,)29. 4(的解有形如從而kxy 因此可直接求歐拉方程的,的解形如kxy ,)29. 4(的代數(shù)方程得到確定代入以kxyk)31. 4()2() 1() 1()

18、 1(1nkkkankkk0na則(4.31)正好是(4.30)的特征方程,重的方程因此m)31. 4(,;ln,ln,ln,120000 xxxxxxxmkkkk個解的對應于方程根mkk)29. 4(,021,kkkkttttmetet ete個實值解的對應于方程重復根的而方程mikm2)29. 4(,)31. 4();lncos(ln,),lncos(ln),lncos(1xxxxxxxxm);lnsin(ln,),lnsin(ln),lnsin(1xxxxxxxxm注： 0,0.txxexx 當則用,所得結果一樣. 但為方便起見，認定,而最終結果以t=ln代回例6：. 0222ydxdy

19、xdxydx求解方程解解得特征根為：故方程的通解為:;)ln()(21xxccxy;,21為任常數(shù)這里cc,代入方程設kxy 的代數(shù)方程得到確定k1) 1(kkk2) 1(k0121 kk例7：. 053222ydxdyxdxydx求解方程解解得方程的特征根為：故方程的通解為:);ln2sin()ln2cos(1)(21xcxcxxy;,21為任常數(shù)這里cc,代入方程設kxy 的代數(shù)方程得到確定k53) 1(kkk522kk0,212, 1ik三、常系數(shù)非齊線性方程的解法三、常系數(shù)非齊線性方程的解法(一一) 常規(guī)方法常規(guī)方法)32. 4()(111tfxadtxdadtxdxLnnnnn1、先

20、求齊次方程的通解；2、常數(shù)變易法；3、通解+特解。(二二) 比較系數(shù)法比較系數(shù)法特解的求法特解的求法1、類型I:(1,2,).ib im其中 和為實常數(shù)101( )(), (4.33)kmmtmx ttB tBtBe即方程為,)()(110tmmmebtbtbtf101 ()(4.32)mmtmL xb tbtbe則方程有特解形式：其中:.0:kk對應齊次方程的特征根的重數(shù)非特征根01,.mxBB將特解 代入（4.32） 中，比較t的同次冪的系數(shù)，求出B例8.133222的通解求方程txdtdxdtxd解（1）齊次方程為：123,1. 解得：所以，齊次方程的通解為：比較系數(shù)得33132BAB2

21、30,xxx則特征方程為：2230,312( ).ttx tc ec e（2）求特解 ( )31,f tt 0. 0又非特征根，*xABt故可設特解為：代入原方程得:23331BABtt131AB *1( ),3x tt從而因此原方程的通解為:.31)(231tecectxtt例932323.td xd xdxxedtdtdt求方程(t-5)的通解解（1）齊次方程為：330,xxxx則特征方程為：323231(1)0, 1 (3). 解得：重根所以，齊次方程的通解為：2123( )().tx tcc tc te比較系數(shù)得65241AB （2）求特解 ( )(5),tf tet 1 (). 三重

22、根*3()txtAtB e故可設特解為：代入原方程得:(624)(5)ttABt eet56124AB *351( )(),624tx ttte從而因此原方程的通解為:3312351( )()().624ttx tcc tc tette2、類型II: ( ( )cos( )sin)(4.32)tL xA ttB tt e,( ),( ),.A tB tm 其中為常數(shù)為實系數(shù)多項式 且兩者的最高次數(shù)為則方程（4.32）有特解形式：( )( ( )cos( )sin),tf tA ttB tt e即方程為( ) ( )cos( )sin, (4.38)ktx ttP ttQ tt e其中:.0:( )( )ikkP t