1、5.1 單因素方差分析單因素方差分析5.2 兩因素方差分析兩因素方差分析5.3 正交試驗設計正交試驗設計5.1 單因素方差分析單因素方差分析 例例1 1 假定某型號的電子管的使用壽命服從正態分假定某型號的電子管的使用壽命服從正態分布，并且原料差異只影響平均壽命，不影響方差布，并且原料差異只影響平均壽命，不影響方差 。現用現用三種不同來源的材料三種不同來源的材料各試生產了一批電子管。各試生產了一批電子管。從每批中各抽取若干只做壽命實驗，得數據如下表。從每批中各抽取若干只做壽命實驗，得數據如下表。2試問測試結果是否說明這批電子管的壽命有明顯差異？試問測試結果是否說明這批電子管的壽命有明顯差異？材料

2、批號材料批號壽命測定值（單位：小時）壽命測定值（單位：小時）1231600 1610 1650 1680 1700 1700 18001580 1640 1640 1700 17501460 1550 1600 1620 1640 1660 1740 18201.1.引例引例例例2 設對四種玉米品種進行對比實驗，每個品種設對四種玉米品種進行對比實驗，每個品種都在同一塊田的五個小區各做一次實驗，實驗結都在同一塊田的五個小區各做一次實驗，實驗結果如下表所示。果如下表所示。品種品種產量（斤產量（斤/小區）小區）32.3 34.0 34.3 35.0 36.5 33.3 33.0 36.3 36.8

3、34.530.8 34.3 35.3 32.3 35.81A2A3A4A 29.3 26.0 29.8 28.0 29.8試問不同品種對玉米的平均產量是否有顯著影響？試問不同品種對玉米的平均產量是否有顯著影響？類似問題類似問題 高等數學、線性代數、數理統計等許多基礎課實高等數學、線性代數、數理統計等許多基礎課實行選課制行選課制, 如何認定主講教師對學生成績有一定影響？如何認定主講教師對學生成績有一定影響？ 假定：張老師的學生平均假定：張老師的學生平均72.5, 李老師的學生平李老師的學生平均成績均成績71.8, 王老師的學生平均成績王老師的學生平均成績70.9,能否說明三能否說明三位老師的教學

4、水平有差異位老師的教學水平有差異?根據假設檢驗的原理，即檢驗根據假設檢驗的原理，即檢驗123 ？解決此類問題：解決此類問題：1是重復檢驗，是重復檢驗，2是方差分析是方差分析 在實踐中在實踐中, 影響一個事物的因素往往是很多的影響一個事物的因素往往是很多的, 人們總是要通過試驗人們總是要通過試驗, 觀察各種因素的影響觀察各種因素的影響. 例如例如:不不同型號的機器同型號的機器, 不同的原材料、不同的技術人員以不同的原材料、不同的技術人員以及不同的操作方法等等及不同的操作方法等等, 對產品的產量、性能都會對產品的產量、性能都會有影響有影響. 當然當然, 有的因素影響大有的因素影響大, 有的因素影響

5、小有的因素影響小, 有有的因素可以控制的因素可以控制, 有的因素不能控制有的因素不能控制. 如果從多種可如果從多種可控制因素中找出主要因素控制因素中找出主要因素, 通過對主要因素的控制、通過對主要因素的控制、調整調整,提高產品的產量、性能，這是人們所希望的提高產品的產量、性能，這是人們所希望的, 解決這解決這個問題的有效方法之一就是個問題的有效方法之一就是方差分析方差分析. 前面提到的產品的產量、性能等稱為試驗指標前面提到的產品的產量、性能等稱為試驗指標, 他們受因素的影響，因素的不同狀態稱為水平他們受因素的影響，因素的不同狀態稱為水平, 一一個因素可采取多個水平個因素可采取多個水平. 統計學

6、上統計學上, 不同的因素不同的因素, 不不同的水平同的水平可以看作是不同的總體可以看作是不同的總體. 通過觀察可以得通過觀察可以得到試驗指標的數據到試驗指標的數據, 這些數據可以看成從不同的總這些數據可以看成從不同的總體中得到的樣本數值體中得到的樣本數值.二、統計分析二、統計分析一一 、總平方和的分解、總平方和的分解單因素試驗的方差分析設在試驗中，因素設在試驗中，因素A有有r個不同水平個不同水平12,rA AA在水平在水平Ai下的試驗結果下的試驗結果2(,)(1,2, )iiXNir 。其中其中 和和 是未知參數。在水平是未知參數。在水平 下作下作 次獨立實驗，次獨立實驗，其結果如表其結果如表

7、5.1所示。所示。i2iAin 數學模型數學模型111121nXXX221222 nXXX331323nXXX1rXrrnX樣本均值樣本均值 2rX1XrX2X水平水平1A2ArA3A 樣樣 本本 3X11,1,2, .iniijjiXXirn 表表 5.1012:rH112:,rH 不全相等(1)由于由于 相互獨立，且相互獨立，且ijX2(,)ijiXN 1,2,;1,2, .ijn ir若記若記則則ijijiX2(0,),ijN且相互獨立且相互獨立 要判斷因素的各水平間是否有顯著差異，也就是要判斷因素的各水平間是否有顯著差異，也就是要要 判斷各正態總體的均值是否相等，即檢驗假設判斷各正態總

8、體的均值是否相等，即檢驗假設(1,2,;1,2, )ijn ir2(0,) 1,2,1,2,ijiijijijiXNjnjr相互獨立其中(2)其中其中 與與 均為未知參數。均為未知參數。式（式（2）稱為）稱為單因素方差分析的數學模型單因素方差分析的數學模型。i2則則是各水平下總體均值的加權平均，稱為是各水平下總體均值的加權平均，稱為總平均值總平均值； 代表了第代表了第i水平下的總體均值與平均值的差異，水平下的總體均值與平均值的差異，這個差異稱為這個差異稱為 的效應的效應，iiA10riiin(4)由式由式(2),(3)可以得到單因素方差分析的可以得到單因素方差分析的等價數學模型等價數學模型它滿

9、足它滿足11riiiiinn(3)再令再令1riinn式式(5)表明：樣本由表明：樣本由總平均值總平均值 因素的因素的水平效應水平效應i 隨機誤差隨機誤差ij三部分疊加而成。三部分疊加而成。因而式因而式(5)也稱為也稱為線性可加模型線性可加模型。(5)21,1,2, ;1,2,(0,)0.ijiijirijiiiXir jnNn 且且相相互互立立, ,方差分析的任務：方差分析的任務：檢驗線性統計模型檢驗線性統計模型 (1.1) 中的中的 r個總體個總體2(,)iN i 中中的的各各 的的相相等等性性，即即有有0121:1.2 ,rijHHi j （）至至少少有有一一對對0121:=01.2 :

10、0riHHi （）至至少少 ii 等等價價假假設設：檢驗此假設的問題就是檢驗此假設的問題就是方差分析方差分析. iA記記在在水水平平下下的的樣樣本本看看作作一一組組，記記組組內內平平均均為為11iniijjiXXn 111111, inrrijiiijiriiXXn Xnnnn 其其中中樣本總平均樣本總平均A1(X1)A2(X2)A3A4(X4)1XX2X4X 41X 414XX 4XX 總離差平方和為總離差平方和為211() inrTijijQXX 全部數據與總平均之間的全部數據與總平均之間的差異差異, ,又叫總變差又叫總變差211()()inrijiiijXXXX 分分解解221111()

11、()iinnrrijiiijijXXXX 11 2()()inrijiiijXXXX 下面證明交叉項為下面證明交叉項為0 0，因為，因為111111()()()()()()0iiinrijiiijnriijiijnriijiiijXXXXXXXXXXXn X1110iiniijijnijiijXXnXn X 總離差平方和分解為總離差平方和分解為EQAQ （組內離差）（組內離差）（組間離差）（組間離差）EAQQ221111()()iinnrrijiiijijXXXX 211() inrTijijQXX 211()inrEijiijQXX 組組內內離離差差 反映反映Ai 水平下的子樣均值與樣本值之

12、間的差異水平下的子樣均值與樣本值之間的差異,它它是由隨機誤差引起的是由隨機誤差引起的, 叫誤差平方和叫誤差平方和.總離差平方和的分解為：總離差平方和的分解為： TEAQQQ 22111()() inrrAiiiijiQXXn XX 組組間間離離差差 反映反映 Ai 水平下的子樣均值與總平均值之間的差異水平下的子樣均值與總平均值之間的差異,叫水平叫水平Ai 效應的平方和效應的平方和211()inrEijiijQXX 22211()1inijiijXXn （） 22221111() ) (1)inrrEijijijiQXXn 22 () EQnr 即即2()()EE Qnr 2 , ,由由分分布布

13、的的可可加加性性 2222 () , (), ().EEEEQnrQnrQQEnrEns 知知：的的自自由由度度為為并并且且有有即即22111221()() =inrrAiiiijiriiiQXXn XXn XnX = =11riiiXn Xn 222211()()()() rriiAiiiiE QEn XnXn E XnE X 1111, .inrrijiijiXXnnn 其其中中所所以以2221111(),().rriiiiiE XnD Xnnnn 22111221()() =inrrAiiiijiriiiQXXn XXn XnX = =222211()()()() rriiAiiiiE

14、QEn XnXn E XnE X221 ()(1).rAiiiE Qrn 22221()() riiiinnnn 2222111(1)2 rrriiiiiiiirnnnn221(1) .riiirn 10riiin 2221(1) riiirnn 122211(),1().riiiriiE XnnD Xnnn 即即221 ()(1).rAiiiE Qrn 22111()() inrrAiiiijiQXXn XX= = TEAQQQ211()inrEijiijQXX 2,()().EE Qnr 221()(1) . rTiiiE Qnn 2( ,)ijXN 則則且且相相互互獨獨立立. . 211

15、222()(1) jnsijjiTXXQn 012 :rH若若 2()(),EE Qnr 2()(1) . TE Qn AEQQ與與相相互互獨獨立立. .AETAEQQQQQ與與相相互互獨獨立立，QA的自由度為的自由度為r-1.-1.2222222(1), (),TAETEQQQQnQnr 022(1) HAQr 222222(1),(),(1).TEAQnQnrQr 012 :0rH 即即：若若 成成立立時時， F取取統統計計量量/(1),/(1). (1,) AEAAQQrQQrFF rnr 22/(1) /()AEQrQnr /(1):/()AAEEQrQFQnrQ F 分布的分位數回顧

16、分布的分位數回顧對于給定的正數對于給定的正數10,稱滿足條件稱滿足條件1212(,)(,)( )FnnP FFnny dya的點的點為為分位點。分位點。分布的上分布的上),(21nnF),(21nnF),(21nnF查出查出給定給定(1,)Frnr 的的值值，,AEQQF由由樣樣本本值值算算出出從從而而算算出出 的的值值，由由于于221()(1).rAiiiE Qrn 0:0 AjHQF 若若不不成成立立, ,偏偏大大, ,導導致致 偏偏大大, ,因因此此00(1,);(1,);FFrnrHFFrnrH 若若，則則拒拒絕絕若若，則則接接受受即認為因素對試驗結果無顯著影響。即認為因素對試驗結果無

17、顯著影響。2()(),EE Qnr 方差方差來源來源平方和平方和自由自由度度均方均方F值值因素因素A(組間組間)r-1誤差誤差E(組內組內)n-r總和總和Tn-11AAQQr EEQQnr AEQFQ 一元方差分析表一元方差分析表(1,). FF rnr21()riAiiQn XX 211()inriEijijQXX211()inrTijijQXX 為了計算的方便為了計算的方便, 常采用下面的簡便計算方常采用下面的簡便計算方式式, 記記22111121111() , () ,. iiinnrrijijijijinrijijQXPXnnRX , ,. AETQQPQRQ QRP可可以以證證明明：

18、例例2 2設對設對四種玉米品種四種玉米品種進行對比實驗，每個品種進行對比實驗，每個品種都在同一塊田的五個小區各做一次實驗，實都在同一塊田的五個小區各做一次實驗，實驗結果如下表所示。試問不同品種對玉米的驗結果如下表所示。試問不同品種對玉米的平均產量是否有顯著影響？平均產量是否有顯著影響？(=0.01)品種品種產量（斤產量（斤/小區）小區）32.3 34.0 34.3 35.0 36.5 33.3 33.0 36.3 36.8 34.530.8 34.3 35.3 32.3 35.81A2A3A4A 29.3 26.0 29.8 28.0 29.8解解 分別以分別以 表示不同品種玉米平均表示不同品

19、種玉米平均產量總體的均值，按題意需檢驗假設產量總體的均值，按題意需檢驗假設1234, 01234:H11234:,H 不全相等1234nnnn=5,1234nnnnn=20656.4,ijx 221677.50ijx 4r 品種地塊產量1A2A4A3A1 32.3 33.3 30.8 29.3 172.1 173.9 168.5 141.9 656.45 36.5 34.5 35.8 28.84 35.0 36.8 32.3 28.03 34.3 36.3 35.3 29.82 34.0 33.0 34.3 26.0521()ijjX521ijjX 5923.682 6048.242 5678

20、.45 4027.122 21677.5029618.41 30241.21 28392.25 20135.61 5933.03 6060.07 5696.15 4035.97 21725.22表表351ijjX521() / 5ijjX2121677.5656.42021725.22QPR，47.72ETAQQQ134.452可得方差分析表可得方差分析表656.421725.22182.17220TQ 2656.421677.520AQ表表5.4方差來源方差來源誤差誤差E因素因素A總和總和均均 方方自由度自由度平方和平方和顯著性顯著性F 比比47.72EQ 2.98EQ 15.04F 44.

21、817AQ 182.172TQ 134.452AQ 當當 時時，0.01由由F分布表可查得分布表可查得0.01(3,16)(3,16)5.29FF由于由于0.0115.045.29(3,16),FF故拒絕故拒絕0,H即認為即認為這四個品種對玉米平均產量的影響高度顯著。這四個品種對玉米平均產量的影響高度顯著。31916由上面討論，可得未知參數由上面討論，可得未知參數2,j 的估計的估計2ESns是是 的無偏估計的無偏估計。2.1111jjnnjijjjjjjjE XE Xnn11111jnssijiijijE XE Xnnn.,jjXX三、未知參數的估計三、未知參數的估計如果檢驗結果為拒絕如果檢

22、驗結果為拒絕 ，0H即即12,s 不全相等。不全相等。 有時需要對第有時需要對第j個水平及第個水平及第k個水平均個水平均值差值差 作出區間估計。作出區間估計。jk為此，我們可以取為此，我們可以取作為作為 的點估計的點估計，.jkXXjk注意到注意到.()jkjkE XX2.11()()jkjkD XXnn.()(0,1)11jkjkjkXXNnn又又2/ESns是是 的無偏估計，的無偏估計，2而而2/ES2(),ns可以證明可以證明 與與 相互獨立。相互獨立。.jkXXES.2()1/1/()jkjkjkEXXnnTSns.() ()11()jkjkEjkXXt nsSns nnjk的置信度為

23、的置信度為 的置信區間為的置信區間為1.211()()jkEjkXXtnsSnn例例3 3 求求例例2 2中未知參數中未知參數 的點估計及均的點估計及均值差的置信度為值差的置信度為0.95的區間估計。的區間估計。2J， ，解解 的點估計為的點估計為222.98EESSns= 及及 的無偏估計分別為的無偏估計分別為J45111656.432.8220ijijxn.(1,2,3,4)5jjjTxj.1134.42,5T2234.78,5T333.70,428.38。當0.05 時， /20.025(204)(16)2.1199tt0.02511(16)()EiktSnn12,13,的置信度為的置信

24、度為0.95的置信的置信區間分別為區間分別為22.11992.982.315541(34.4233.702.315,34.4233.702.315)( 1.595,3.035) 34.4228.382.315,34.4228.382.315(3.725,8.355)(34.4234.782.315,34.4234.782.315)( 2.675,1.955) 1213415.2 雙因素方差分析雙因素方差分析一、一、 雙因素非重復試驗的方差分析雙因素非重復試驗的方差分析例例1 1 在某種橡膠的配方中，考慮了三種不同的促進劑，在某種橡膠的配方中，考慮了三種不同的促進劑，四種不同份量的氧化鋅。各種配

25、方試驗一次，測得四種不同份量的氧化鋅。各種配方試驗一次，測得300%300%定強如下：定強如下： 氧化鋅氧化鋅B催化劑催化劑A1B2B3B4B1A2A3A323535.538.533.539.536.537.539.5433836問不同促進劑、不同份量氧化劑分別定強有無顯著影問不同促進劑、不同份量氧化劑分別定強有無顯著影響？響？此例中有此例中有A，B 二個因素。二個因素。123,A A A1234,B B B B因素因素A 有三種水平：有三種水平：ijAB在每種組合水平在每種組合水平 上上 做一次做一次試驗獲得了試驗值。試驗獲得了試驗值。因素因素B 有四種水平：有四種水平：問因素問因素A,B分

26、別對試驗結果有無顯著影響？分別對試驗結果有無顯著影響？因素因素 A 有有r 種水平：種水平：一般情況，一般情況，設有二個因素設有二個因素A，B12,rA AA因素因素 B 有有s 種水平：種水平：12,sB BB1B2BsBiX1X2XrXX1A2ArAjX11X21X22X2rX12X1X1rX2sX1sXrsX2XsX因素因素B因素因素A在每一種組合水平在每一種組合水平ijAB,1,2, ,1,2, ,ijXirjs上進行一次試驗，結果為上進行一次試驗，結果為ijX相互獨立。相互獨立。假設總體假設總體 服從正態分布服從正態分布 。ijX2(,)ijN 令令ijijijX20,ijN數學模型

27、數學模型ij相互獨立相互獨立令令111,rsijijrs11,siijjs11rjijir,iijj10,rii10sjj,ijij1,2, ;ir1,2,js10,rii10sij稱為因素稱為因素A在水平在水平 的效應的效應iiA檢驗假設檢驗假設0112:0rHjjB稱為因素稱為因素B在水平在水平 的效應的效應0212:0sHijijijijijX令平均數11,siijjXXs11,rjijiXXr1,2,ir1,2,js111rsijijXXrs1111rsijijXXXrs總離差平方和總離差平方和211()rsTijijQXX211()()()rsijijijijXXXXXXXX2211

28、()()rsijijsXXrXX211rsijijijXXXX112rsijijiijXXXXXX112rsijijjijXXXXXX112rsijijXXXX總離差平方和總離差平方和2211()()rsTijijQsXXrXX211rsijijijXXXX21() ,rAiiQsXX21()sBjjQrXX211rsEijijijQXXXXTABEQQQQ21()rAiiEQE sXX11siijjXXsii11sijijjs11riiXXr 21riiisE21riiisE22111()2()rrriiiiiiissEsE 221(1)riisr21rAiiiEQsE222(0,)(0,)

29、,(0,)ijijNNNsr221()1iErrs11()()0rriiiiiiEE 2221(0,),() (1)riirsNrrs同理可得2(1)(1)EEQrs221(1),sBjjEQrs221(1)rAiiEQsr令1,1AAQQr1,1BBQQs1(1)(1)EEQQrs2211riAisEQr2211sjBjrEQs2EEQ=當 成立時，01HAEEQEQAEEQEQ當 不成立時，01H0112:0rH0212:0sH 當 成立時，02HBEEQEQ當 不成立時，02HBEEQEQ221,1riAisEQr2211sjBjrEQs2EEQ當 和 都成立時，01H02H0,1,2,

30、 ;1,2, ,ijirjsijijijijX21()sBjjQr211()rsEijijijQ21rAiiiQs21riis當當 和和 都成立時，都成立時，01H02H21()sBjjQr211()rsEijijijQ21rAiiQs211()rsTijABEijQQQQ211()rsTijABEijQQQQ2221111()rsrsijijijijrs2ABEQQQrs222111,rsijijrs 2221rs2222222111111rsijABEijrsQQQ2AQ2BQ2EQ有一個約束條件：10rii2AQ的自由度為：1r 有一個約束條件：10sjj2BQ的自由度為：1s有r+s-

31、1個約束條件：10,rijiji10sijijj2EQ的自由度為：11rs2211 ,AQr2211BQs22111EQrs且且 相互獨立。相互獨立。,ABEQ Q Q命題命題1 當當H01，H02成立時，成立時，2211 ,TQrs22/(1)/(1)(1)AAEQrFQrs22/(1)/(1)(1)BBEQsFQrs1,(1)(1)AEQF rrsQ1,(1)(1)BEQF srsQ1AAQQr1BBQQs(1)(1)EEQQrs稱為均方誤差均方誤差稱為因素因素A引起的均方離差引起的均方離差稱為因素因素B引起的均方離差引起的均方離差= 給定顯著水平給定顯著水平，H01 的拒絕域為的拒絕域為

32、(1,(1)(1)AFF rrs(1,(1)(1)BFF rrsH02 的拒絕域為的拒絕域為來源來源離差平方和離差平方和自由度自由度均方離差均方離差F值值因素因素A因素因素B誤誤 差差總總 和和21()rAiiQsXX21()sBjjQrXX112rsEijiijjQXXXX211()rsTijijQXX1r 1s11rs1rs1AAQQr1BBQQs(1)(1)EEQQrsAAEQFQBBEQFQ 記記11,rsijijTx21,PTrsIIIIII,.ABETQQPQQPQRQQPQRP2I111() ,rsijijQxs 2II111() ,srijjiQxr 211,rsijijRx例

33、例1 1 在某種橡膠的配方中，考慮了三種不同的促進在某種橡膠的配方中，考慮了三種不同的促進劑，四種不同份量的氧化鋅。各種配方試驗一次，劑，四種不同份量的氧化鋅。各種配方試驗一次，測得測得300%300%定強如下：定強如下： 氧化鋅氧化鋅B催化劑催化劑A1B2B3B4B1A2A3A323535.538.533.539.536.537.539.5433836問不同促進劑、不同份量氧化劑分別定強有無顯著問不同促進劑、不同份量氧化劑分別定強有無顯著影響？影響？解解3,4,rs,ABF F可利用方差分析表得可利用方差分析表得214.15361122.030.3966.128.396.752.3556.5

34、BF 36.3AF 來源來源因子因子A因子因子B誤差誤差總和總和離差離差自由度自由度均方離差均方離差值值F查表得查表得 0.05,0.05(2.6)5.14,F5.14,4.76ABFF所以不同催化劑、氧化鋅的不同份量對橡膠定強所以不同催化劑、氧化鋅的不同份量對橡膠定強都有顯著影響。都有顯著影響。0.05(3,6)4.76F例例2 2 在一個農業試驗中，考慮四種不同的種子品種在一個農業試驗中，考慮四種不同的種子品種1234,A A A A和三種不同的施肥方法和三種不同的施肥方法 得到產得到產123,B B B量數據表如下。試分析種子和施肥對產量有無顯著影量數據表如下。試分析種子和施肥對產量有無

35、顯著影響。（響。（=0.05）農業試驗表農業試驗表（單位：（單位：kg）1A2A3A4A2B3B1B310317325330292310320370365318318316解解 本題是雙因素不考慮交互效應的方差分析問題，本題是雙因素不考慮交互效應的方差分析問題，其中其中 。計算出方差分析表中相應的數據：。計算出方差分析表中相應的數據：4,3rs211()1463.50rsEijijijQxxxx21()3824.25rAiiQsxx21()162.50sBjjQrxx/(1)3824.25/35.226/(1)(1)1463.50/6AAEQrFQrs/(1)162.50/20.3331/(1

36、)(1)1463.50/6BBEQsFQrs來源來源離差平方和離差平方和自由度自由度均方離差均方離差F值值因素因素A3824.2531274.755.226因素因素B162.50281.250.3331誤誤 差差1463.506243.58總總 和和5430.2511方差分析表方差分析表0.053, 64.76,F=不同的種子品種對產量有顯著影響不同的種子品種對產量有顯著影響 施肥方法對產量沒有顯著影響施肥方法對產量沒有顯著影響0.05(2,6)5.14F0.055.2264.763,6AFF0.050.33315.142,6BFF2.重復試驗雙因素方差分析重復試驗雙因素方差分析 在非重復實驗

37、情形，僅考慮二個因素中各個因在非重復實驗情形，僅考慮二個因素中各個因素的單獨作用，即僅有因素素的單獨作用，即僅有因素A的效應與因素的效應與因素B的效的效應。應。 一般情形，不僅各個因素在起作用，而且因素一般情形，不僅各個因素在起作用，而且因素之間的組合有時會影響試驗結果，這種就是交互效之間的組合有時會影響試驗結果，這種就是交互效應。應。因素因素 A 有有r 種水平：種水平：設有二個因素設有二個因素A，B12,rA AA因素因素 B 有有s 種水平：種水平：12,sB BB在每一種組合水平在每一種組合水平ijAB,1,2, ,1,2, ,1,2, .ijkXirjskt上進行一次試驗，結果為上進

38、行一次試驗，結果為假設假設 相互獨立。相互獨立。ijkX1BsBiX1X2XrXX1A2ArAjX 11111211, ,tXXX1X 11121, ,rrr tXXX1 11 21,ssstXXXsX 因素因素B因素因素A21121221, ,tXXX2 12 22,ssstXXX12,rsrsrstXXX假設總體假設總體2,ijijXN 令令ijkijijkX20,ijkN數學模型數學模型ijk相互獨立相互獨立令令111,rsijijrs11,siijjs11,rjijir,ii,jjijijij10,rii10,sjj10,riji10sijj稱為因素因素A在水平在水平 的效應的效應ii

39、AjjB稱為因素因素B在水平在水平 的效應的效應ijijAB稱為因素因素A,B在組合水平在組合水平 的交互效應的交互效應0112:0rH0212:0sH03:0,1,2, ,1,2,ijHirjs檢驗假設檢驗假設平均數平均數111,stiijkjkXXst111,rtjijkikXXrt 1,2,ir1,2,js1111rstijkijkXXrst1111rsijijXXXrs 11,tijijkkXXt1,2, ,ir1,2,js1B2BsBiX1X2XrXX1A2ArAjX 11X21X22X2rX12X1X 1rX2sX1sXrsX2X sX 因素因素B因素因素A總離差平方和總離差平方和

40、2111()rstTijkijkQXX22112112111()()()rsijijrsijijijrstijkijijkstXXrtXXtXXXXXX ABA BEQQQQ21()rAiiQstXX211()rsA BijijijQtXXXX 21()sBjjQrtXX 因素因素A的離差平方和的離差平方和因素因素B的離差平方和的離差平方和2111rstEijkijijkQXX因素因素A,B交互作用引起的交互作用引起的離差平方和離差平方和誤差平方和誤差平方和TABA BEQQQQQ221(1)rAiiEQrst221(1)sBjjEQsrt22111 (1)rsA BijijEQrst21EE

41、Qrs t命題命題2 2令令1,1AAQQr1,1BBQQs1,(1)(1)A BA BQQrs11EEQQrs t2211riAistEQr2211sjBjrtEQs2EEQ221111rsijA BijtEQrs=當當 成立時，成立時，01H當當 不成立時，不成立時，01H 當當 成立時，成立時，02HBEEQEQBEEQEQ當當 不成立時，不成立時，02H0112:0rH0212:0sHA BEEQEQA BEEQEQ當當 不成立時，不成立時，03H03:0,1,2, ,1,2,ijHirjs 當當 成立時，成立時，03HAEEQEQAEEQEQ當當 都成立時，都成立時，010203,H

42、HH0,1,2, ;1,2, ,ijijirjsijkijijijkijkX命題命題3 3 當當 都成立時，都成立時，010203,HHH1,1AAEFQQF rrs t1,1BBEFQQF srs t11 ,1A BA BEFQQFrsrs t= 給定顯著水平給定顯著水平，H01 的拒絕域為的拒絕域為1,1AFFrrs t1,1BFFsrs tH02 的拒絕域為的拒絕域為11 ,1A BFFrsrs tH03 的拒絕域為的拒絕域為例例3 研究樹種與地理位置對松樹生長的影響，對四研究樹種與地理位置對松樹生長的影響，對四個地區的三種同齡松樹的直徑進行測量得到數據表如個地區的三種同齡松樹的直徑進行

43、測量得到數據表如下所示。下所示。1234,B B B B表示四個不同地區。對每一種水平組合，表示四個不同地區。對每一種水平組合，進行了進行了5次測量，對此試驗結果進行方差分析。次測量，對此試驗結果進行方差分析。23 15 2613 2125 20 2116 2121 17 1624 2714 11 1920 2428 22 25 16 2630 26 26 20 2823 15 26 13 2117 21 18 26 2323 15 26 13 2115 21 22 14 1223 15 1913 22 18 12 26 22 191A2A3A1B2B3B4B解解 本題是雙因素考慮交互效應的方

44、差分析問題，其中本題是雙因素考慮交互效應的方差分析問題，其中3,4,5.rst計算出方差分析表中的數據；計算出方差分析表中的數據；2111()926.00rstEijkijijkQxx21()352.53rAiiQstxx21()58.05sBjjQrtxx 211()119.60rsA BijijijQtxxxx /(1)58.05/31.0030/(1)926.00/48BBEQsFQrs t/(1)(1)119.60/61.0333/(1)1463.50/6A BA BEQrsFQrs t5%取，/(1)352.53/29.1369/(1)926.00/48AAEQrFQrs t0.05

45、2,483.23,F0.053,482.84F0.056,482.34F而位置效應及交互效應并不顯著。而位置效應及交互效應并不顯著。所以在顯著水平所以在顯著水平 下樹種效應是高度顯著的，下樹種效應是高度顯著的，5%0.053,48BFF0.056,48A BFF0.059.13692,48AFF5.3 正交試驗設計正交試驗設計12,sr rr1 2rrrr4381 如果有s 個因素，各因素分別有種水平，共有在每一種組合水平上都作一次試驗，總共要作在每一種組合水平上都作一次試驗，總共要作種組合水平1 2rrrr次試驗。次試驗。例如例如：有4個因素，每個因素有3種水平，總共要作 次試驗。問題：問題

46、：在減少試驗次數的條件下，檢驗每個因素對試驗結果的作用是否顯著？ 如果實驗之前如果實驗之前, ,不對實驗進行合理的設計不對實驗進行合理的設計, ,不僅會不僅會造成浪費造成浪費, ,而且即使實驗次數進行得較多而且即使實驗次數進行得較多, ,結果卻不一結果卻不一定會令人滿意定會令人滿意, ,因此合理地安排一定數量的實驗因此合理地安排一定數量的實驗, ,就可就可獲得足夠的信息獲得足夠的信息, ,這是個值得研究的問題這是個值得研究的問題. . 實驗設計是數理統計的一個重要的分支實驗設計是數理統計的一個重要的分支.實驗設計實驗設計的種類很多的種類很多,其中正交實驗設計是通過事先設計好的其中正交實驗設計是

47、通過事先設計好的一套一套”正交表正交表”來安排實驗的來安排實驗的. 借助正交表可以選出具有代表性的實驗借助正交表可以選出具有代表性的實驗,以較少以較少的實驗次數所取得的數據進行統計分析的實驗次數所取得的數據進行統計分析,而能得到滿而能得到滿意的結果意的結果.-對較多因子進行較少次數的實驗對較多因子進行較少次數的實驗,希望希望獲得較好的檢驗效果獲得較好的檢驗效果. 本章只介紹如何使用正交表安排實驗本章只介紹如何使用正交表安排實驗,并進并進行統計分析行統計分析,而不討論正交表的構造原理而不討論正交表的構造原理.782L列號試驗號12345671234567811112222112211221122

48、221112121212121221211221122112212112L 正交表 8試驗次數2水平數 7表中最多可安排的因素數493L列號試驗號1234567891234111222333123123123123231312123312231342L常用的正交表有782L15162L31322L493L13273L4164L正交表有如下兩個性質:(1) 每列中不同水平出現的次數相等(n/s)(2)任意兩列,將同一橫行的兩個數字看成有序數對 時,每種數對出現的次數相等.(n/s2)rnLS 為了考察影響某種化工產品轉化率的因素，選擇三個有關因素：反應溫度（反應溫度（A）、反應時間（）、反應時間

49、（B）、用堿量（）、用堿量（C）每個因素取三種水平，列表如下： 水平水平因素因素123反應溫度反應溫度(A)反應時間反應時間(B)用堿量用堿量(C)180()C A285()C A390()C A190()B分2120()B分3150()B分15%()C26%()C37%()C對正交表的要求：對正交表的要求：（1）正交表中水平數S與每個因素水平數一致（2）正交表中因子數r大于或等于實際因素數（3）選用試驗次數n較少的正交表 493L假設三個因素中的任意二個都沒有交互作用。問：問：反應溫度、反應時間和用堿量分別對轉化率有無顯著影響？=選用 將A,B,C三個因素放到表頭“列號”的前三列，在表中的組

50、合水平上作試驗。，因為試驗次數少一些。列號試驗號 1 2 3 (A) (B) (C)組合水平試驗值1 1 1 3 3 2 1 3 3 1 2 2 2 1 2 3 2 1 2 2 3 3 1 3 2 3 1 111A B C122A B C133A B C212A B C223A B C231A B C313A B C321A B C332A B C12345 67891Y2Y3Y4Y5Y6Y7Y8Y9Y假定因素A,B,C沒有交互作用。設因素A在水平 因素B在水平123,a a a123,B B B效應效應表示一個因素在某種水平上與總體平均數的偏差。123,b b b123,A A A123,C

51、 C C123,c c c1111131333522357313791329,YabcYabcYabcYabcYabc21222Yabc42124Yabc62316Yabc83218Yabc上的效應分別為上的效應分別為因素C在水平上的效應分別為數學模型數學模型：111112122231333421245223562316731378321891329YabcYabcYabcYabcYabcYabcYabcYabcYabc1230aaa1230bbb1230ccc20,iN約束條件列號試驗號 1 2 3 (A) (B) (C)組合水平試驗值1 1 1 3 3 2 1 3 3 1 2 2 2 1

52、2 3 2 1 2 2 3 3 1 3 2 3 1 111A B C122A B C133A B C212A B C223A B C231A B C313A B C321A B C332A B C12345 67891Y2Y3Y4Y5Y6Y7Y8Y9Y檢驗假設檢驗假設01123:0Haaa02123:0Hbbb03123:0Hccc記1123,AKYYY3789AKYYY111,3AAkK2456AKYYY221,3AAkK3313AAkK分別表示因素A在1,2,3水平上試驗值123,AAAkkk的平均數。列號試驗號 1 2 3 (A) (B) (C)組合水平試驗值1 1 1 3 3 2 1

53、3 3 1 2 2 2 1 2 3 2 1 2 2 3 3 1 3 2 3 1 111A B C122A B C133A B C212A B C223A B C231A B C313A B C321A B C332A B C12345 67891Y2Y3Y4Y5Y6Y7Y8Y9Y令1147,BKYYY3369BKYYY2258BKYYY=因素B在1,2,3水平上試驗值的平均數分別為111,3BBkK221,3BBkK3313BBkK=因素C在1,2,3水平上試驗值的平均數分別為111,3CCkK3313CCkK221,3CCkK1168,CKYYY3357CKYYY令2249CKYYY試驗號A

54、CB轉化率123456789111122233323123123123231312315438534942576264化工產品轉化率的試驗值化工產品轉化率的試驗值=試驗值的平均值12341,48,61AAAkkk12347,55,48BBBkkk12345,57,48CCCkkk由轉化率試驗值,計算得1315438123AK123141,165,144BBBKKK123135,171,144CCCKkk3576264183AK2534942144AK試驗值的平均值12341,48,61AAAkkk12347,55,48BBBkkk12345,57,48CCCkkk=因素A的極差為614120因

55、素B的極差為55478因素C的極差為574512=因素A對轉化率的影響最大 因素B對轉化率的影響最小設因素A在水平 因素B在水平123,a a a123,B B B123,b b b123,A A A123,C C C123,c c c上的效應分別為上的效應分別為因素C在水平上的效應分別為數學模型數學模型：1111131333522357313791329,YabcYabcYabcYabcYabc21222Yabc42124Yabc62316Yabc83218Yabc111112122231333421245223562316731378321891329YabcYabcYabcYabcYab

56、cYabcYabcYabcYabc1230aaa1230bbb1230ccc20,iN約束條件檢驗假設檢驗假設01123:0Haaa02123:0Hbbb03123:0Hccc記樣本總平均9119iiYY總離差平方和921()TiiQYY12313AAAYkkk12313BBBkkk12313CCCkkk921()TiiQYY321111111() () () (2 )ABCABCiikYkYkYYkkkY622222224() () () (2 )ABCABCiikYkYkYYkkkY923333337() () () (2 )ABCABCiikYkYkYYkkkY2221233 ()()(

57、)AAAkYkYkY2221233 ()()()BBBkYkYkY2221233 ()()()CCCkYkYkYEQTABCEQQQQQ2221233()()() AAAAQkYkYkY2221233()()() BBBBQkYkYkY2221233()()() CCCCQkYkYkY因素A引起的離差平方和因素B引起的離差平方和因素C引起的離差平方和誤差平方和AQBQCQEQ記AQ的自由度為 2123()()()0;AAAkYkYkY同理，的自由度為 2，CQBQ910iiYY921TiiQYYAQ有一個約束條件的自由度為 2有一個約束條件TQ的自由度為 8ETABCQQQQQ8 2 2 2

58、= 2的自由度為定理定理2222(3),CABEQQQQ相互獨立。（2）當推論推論 當2,2 ,AAEFQQF2,2CCEFQQF2,2BBEFQQF 22(1)2EQ010203,HHH成立時， 2222222 ,2 ,2CABQQQ010203,HHH成立時，給定顯著水平，H01的拒絕域為(2,2)AAEFQQFH02的拒絕域為(2,2)BBEFQQFH03的拒絕域為(2,2)CCEFQQF來源來源離差離差自由自由度度均方來源均方來源F值值AQA2BQB2CQC2誤差誤差QE2總和總和QT8方差分析表方差分析表22AASQ22BBSQ22CCSQ22EESQ22AAEFSS22BBEFSS22CCEFSS 為了考察影響某種化工產品轉化率的因素，選擇三個有關因素：反應溫度（反應溫度（A）、反應時間（）、反應時間（B）、用堿量（）、用堿量（C）每個因素取三種水平，列表如下： 水平水平因素因素123反應溫度（反應溫度（A）反應時間（反應時間（B）用堿量用堿量 （C）180()C A285()C A390()C A190()