1、 將產生、存儲、變換、處理、傳送數字信號的電子電路將產生、存儲、變換、處理、傳送數字信號的電子電路叫做叫做數字電路數字電路。與模擬電路相比，數字電路主要具有以下優點：與模擬電路相比，數字電路主要具有以下優點： 電路結構簡單，制造容易，便于集成和系列化生產，電路結構簡單，制造容易，便于集成和系列化生產，成本低，使用方便。成本低，使用方便。 數字電路不僅能夠進行算術運算，而且能夠進行邏數字電路不僅能夠進行算術運算，而且能夠進行邏輯運算，具有邏輯推理和邏輯判斷的能力，因此被稱輯運算，具有邏輯推理和邏輯判斷的能力，因此被稱為數字邏輯電路或邏輯電路。為數字邏輯電路或邏輯電路。 由數字電路構成的數字系統，

2、抗干擾能力強，可靠由數字電路構成的數字系統，抗干擾能力強，可靠性高，精確性和穩定性好，便于使用、維護和故障診性高，精確性和穩定性好，便于使用、維護和故障診斷。斷。 本篇以邏輯代數為基礎，在簡要介紹集成門電路的基礎本篇以邏輯代數為基礎，在簡要介紹集成門電路的基礎上，重點介紹組合邏輯電路、時序邏輯電路的功能特點、分上，重點介紹組合邏輯電路、時序邏輯電路的功能特點、分析與設計方法以及典型的應用。主要有析與設計方法以及典型的應用。主要有 ： 數字邏輯基礎數字邏輯基礎 組合邏輯電路組合邏輯電路 觸發器和時序邏輯電路觸發器和時序邏輯電路 本節以自學為主。學習要點如下本節以自學為主。學習要點如下 ： 一種進

3、位計數制的一種進位計數制的基數基數和和權值權值的概念的概念 二進制、八進制、十六進制、十進制之間的相互轉換二進制、八進制、十六進制、十進制之間的相互轉換 常用十進制編碼的表示方法（常用十進制編碼的表示方法（84218421、余三碼）、余三碼） 常用可靠性編碼的表示方法（循環碼、奇偶校驗碼）常用可靠性編碼的表示方法（循環碼、奇偶校驗碼） 字符編碼字符編碼ASCIIASCII碼碼 6666102 6101 6100如如 十進制中采用了十進制中采用了0、1、9共十個基本數字符號，進共十個基本數字符號，進位規律是位規律是“逢十進一逢十進一”。當用若干個數字符號并在一起表示當用若干個數字符號并在一起表示

4、一個數時，處在不同位置的數字符號，其值的含義不同。一個數時，處在不同位置的數字符號，其值的含義不同。 一種進位計數制包含著一種進位計數制包含著基數基數和和權值權值兩個基本的因素：兩個基本的因素： 基數基數:一種數制中允許使用的數字符號個數。在基數為一種數制中允許使用的數字符號個數。在基數為R計數制中，包含計數制中，包含0、1、R-1共共R個數字符號，進位規律是個數字符號，進位規律是“逢逢R進一進一”。稱為。稱為R進制。進制。 權值權值:某個數位上數字符號為某個數位上數字符號為1時所表征的數值。不同數時所表征的數值。不同數位有不同的權值，某一個數位的數值等于這一位的數字符號位有不同的權值，某一個

5、數位的數值等于這一位的數字符號乘上與該位對應的位權。乘上與該位對應的位權。R進制數的權值是進制數的權值是R的整數次冪，可的整數次冪，可表示成表示成Ri的形式的形式 。 例如，十進制數的位權是例如，十進制數的位權是10的整數次冪，其個位的的整數次冪，其個位的位權是位權是100，十位的位權是，十位的位權是101 。 一個一個R進制數進制數N可以有兩種表示方法：可以有兩種表示方法： (1) 并列表示法并列表示法(又稱位置計數法又稱位置計數法) (N)R = ( an-1an-2a1a0 . a-1a-2a-m )R (2) 多項式表示法多項式表示法(又稱按權展開法又稱按權展開法)(N)R = an-

6、1Rn-1 + an-2Rn-2 +a1R1 + a0R0 + a-1R-1 + a-2R-2+ + a-mR-m 1nmiiiRK 其中：其中：R 基數基數 ; n整數部分的位數；整數部分的位數； m 小數部分的位數；小數部分的位數； ai R進制中的一個數字符號，其取值范圍進制中的一個數字符號，其取值范圍 為為 0 ai R-1 (-min-1)。 (3) 權值是權值是R的整數次冪，第的整數次冪，第i位的權為位的權為Ri (-min-1)。 R進制的特點可歸納如下：進制的特點可歸納如下： (1) 有有0、1、R-1共共R個數字符號個數字符號; (2) “逢逢R進一進一”; 因為二進制中只有

7、因為二進制中只有0 0和和1 1兩個數字符號，可以用電子器件兩個數字符號，可以用電子器件的兩種不同狀態來表示一位二進制數。例如，可以用晶體管的兩種不同狀態來表示一位二進制數。例如，可以用晶體管的截止和導通表示的截止和導通表示1 1和和0 0，或者用電平的高和低表示，或者用電平的高和低表示1 1和和0 0等。等。所以，所以，在數字系統中普遍采用二進制。在數字系統中普遍采用二進制。 二進制的優點二進制的優點: : 運算簡單、物理實現容易、存儲和傳送運算簡單、物理實現容易、存儲和傳送方便、可靠。方便、可靠。 二進制的缺點：二進制的缺點：數的位數太長且字符單調，使得書寫、數的位數太長且字符單調，使得書

8、寫、記憶和閱讀不方便。記憶和閱讀不方便。 因此，人們在進行指令書寫、程序輸入和輸出等工作因此，人們在進行指令書寫、程序輸入和輸出等工作時，時，通常采用八進制數和十六進制數作為二進制數的縮寫。通常采用八進制數和十六進制數作為二進制數的縮寫。幾種數制對照表見表幾種數制對照表見表8.12. 不同數制間的轉換不同數制間的轉換 （ 1）二進制數轉換為十進制數二進制數轉換為十進制數 將二進制數表示成按權展開式，并按十進制運算法則將二進制數表示成按權展開式，并按十進制運算法則進行計算，所得結果即為該數對應的十進制數。進行計算，所得結果即為該數對應的十進制數。 例如，例如，（1101.1011101.101）

9、2 2 = =（？）（？）1010 (1101.101) (1101.101)2 2=1=12 23 3+1+12 22 2+1+12 21 1+1+12 2-1-1+1+12 2-3-3 = 8+4+1+0.5+0.125 = 8+4+1+0.5+0.125 = (13.625) = (13.625)1010 數制轉換是指將一個數從一種進位制轉換成另一種進位數制轉換是指將一個數從一種進位制轉換成另一種進位制。從實際應用出發，要求掌握二進制數與十進制數、八進制。從實際應用出發，要求掌握二進制數與十進制數、八進制數和十六進制數之間的相互轉換。制數和十六進制數之間的相互轉換。 十進制數轉換成二進制

10、數時，應對整數和小數分別進十進制數轉換成二進制數時，應對整數和小數分別進行處理。行處理。 整數轉換整數轉換采用采用“除除2 2取余取余”的方法的方法； 小數轉換小數轉換采用采用“乘乘2 2取整取整”的方法。的方法。 整數轉換整數轉換 “除除2 2取余取余”法法：將十進制整數將十進制整數N N除以除以2 2，取余數計為，取余數計為a a0 0 ；再將所得商除以再將所得商除以2 2，取余數記為，取余數記為a a1 1；。依此類推，直至。依此類推，直至商為商為0 0，取余數計為，取余數計為a an-1n-1為止。即可得到與為止。即可得到與N N對應的對應的n n位二進位二進制整數制整數a an-1n

11、-1a a1 1a a0 0。 （2）十進制數轉換為二進制數）十進制數轉換為二進制數 例如，例如，（57）10 =（？）（？）22 82 8 0 0 （a a2 2） 1 1 （a a3 3） 1 1 （a a4 4） 1 1 （a a5 5） 2 5 72 5 7即即 (57)10=(111001)2 取余數取余數低位低位 1 1 （a a0 0）2 21 41 4 0 0 （a a1 1）2 22 27 7高位高位3 32 21 12 20 0 例如例如，（0.725）10 =（？）（？）2 小數轉換小數轉換 “乘乘2 2取整取整”法法：將十進制小數將十進制小數 N 乘以乘以2，取積的整數

12、記，取積的整數記為為a1；再將積的小數乘以；再將積的小數乘以2，取整數記為，取整數記為a2；。依此類。依此類推，直至其小數為推，直至其小數為0或達到規定精度要求，取整數記作或達到規定精度要求，取整數記作am為為止。即可得到與止。即可得到與 N 對應的對應的m位二進制小數位二進制小數0.a-1a-2a-m。 即即: : (0.725)10 (0.101110)2a-1=1a-2=0a-3=1a-4=1a-5=1a-6=00.7252=1.450.92=1.80.82=1.60.62=1.20.452=0.90.22=0.4取整數取整數(3) (3) 二進制數與八進制數之間的轉換二進制數與八進制數

13、之間的轉換 二進制數轉換成八進制數：二進制數轉換成八進制數：以小數點為界，分別往高、以小數點為界，分別往高、往低每往低每3位為一組，最后不足位為一組，最后不足3位時用位時用0補充，然后寫出每組補充，然后寫出每組對應的八進制字符，即為相應八進制數。對應的八進制字符，即為相應八進制數。 例如例如，（10111101.00111 ）2 = （？）（？）8 即即 ( (10111101.00111)2=(275.16) )8 010 111 101.001 1106275 . 1 即即： ( (451. 36 ) )8 = (= (100 101 001.011 110)2 例如，例如，（451. 3

14、6 ）8 = = （？）（？）2 八進制數轉換成二進制數時，只需將每位八進制數用八進制數轉換成二進制數時，只需將每位八進制數用3 3位位二進制數表示二進制數表示, ,小數點位置保持不變小數點位置保持不變。 1104 5 1. 3 6.001101100011 (4) (4) 二進制數與十六進制數之間的轉換二進制數與十六進制數之間的轉換 二進制數轉換成十六進制數：二進制數轉換成十六進制數：以小數點為界，分別往以小數點為界，分別往高、往低每高、往低每4位為一組，最后不足位為一組，最后不足4位時用位時用0補充，然后寫出補充，然后寫出每組對應的十六進制字符即可。每組對應的十六進制字符即可。 例如，例如

15、，（ 001010111101.00011000 ）2 = （？）（？）16 即即: (001010111101.00011000)2 = (2BD.38) 0010 1011 1101.0001 1000.DB238 十六進制數轉換成二進制數時，只需將每位十六進制十六進制數轉換成二進制數時，只需將每位十六進制數用數用4 4位二進制數表示位二進制數表示，小數點位置保持不變，小數點位置保持不變。 例如，例如，（4AF.E2 ）16 = （？）（？）2 即即： (4AF.E2 )=(1011010.1011)2 4 A F . E 2. 111110100100111000108.1.2 8.1.

16、2 編碼編碼1. 十進制數的編碼表示十進制數的編碼表示 在數字電路中，具有兩種狀態的電子元件只能表示在數字電路中，具有兩種狀態的電子元件只能表示0和和1兩種數碼，這就要求在以數字電路為基礎的計算機中處理的兩種數碼，這就要求在以數字電路為基礎的計算機中處理的文字、數字、圖形、聲音等信息都要用一組二進制代碼來表文字、數字、圖形、聲音等信息都要用一組二進制代碼來表示。用示。用n位二進制數組成位二進制數組成2n個不同的代碼，可用來表示個不同的代碼，可用來表示2n個個不同的數據或信息。不同的數據或信息。將一組二進制代碼按某種規律排列起來將一組二進制代碼按某種規律排列起來表示給定信息的過程稱為編碼。表示給

17、定信息的過程稱為編碼。 1. 十進制數的編碼表示十進制數的編碼表示 為了避免輸入、輸出時二進制數和十進制數之間進行的為了避免輸入、輸出時二進制數和十進制數之間進行的復雜轉換，可以采用一種用二進制數表示十進制數的編碼方復雜轉換，可以采用一種用二進制數表示十進制數的編碼方法，即法，即用用4位二進制代碼對十進制數字符號進行編碼，簡稱位二進制代碼對十進制數字符號進行編碼，簡稱為二為二十進制代碼，或稱十進制代碼，或稱BCD(Binary Coded Decimal)碼。碼。 BCD碼既有二進制的形式，又有十進制的特點。十進制碼既有二進制的形式，又有十進制的特點。十進制數編碼的方法有多種，常用的數編碼的方

18、法有多種，常用的BCD碼有碼有8421碼和余碼和余3碼碼。 （1 1）84218421碼碼 84218421碼碼：是用是用4 4位二進制位二進制碼碼表示表示一位十進制字符的一位十進制字符的一種有一種有權碼，權碼，4 4位二進制碼從高位至低位的權依次為位二進制碼從高位至低位的權依次為2 23 3、2 22 2、2 21 1、2 20 0，即為即為8 8、4 4、2 2、1,1,故稱為故稱為84218421碼。碼。 按按84218421碼編碼的碼編碼的0 09 9與與用用4 4位二進制數表示的位二進制數表示的0 09 9完全一完全一樣。所以，樣。所以，84218421碼是一種人機聯系時廣泛使用的中

19、間形式碼是一種人機聯系時廣泛使用的中間形式。 (1) 8421(1) 8421碼中不允許出現碼中不允許出現1010101011111111六六種組合種組合( (因為沒因為沒有十進制數字符號與其對應有十進制數字符號與其對應) )。 (2) (2) 84218421碼編碼簡單、直觀、表示容易，十進制數的碼編碼簡單、直觀、表示容易，十進制數的84218421碼與相應碼與相應ASCIIASCII碼的低四位相同，這一特點有利于簡化碼的低四位相同，這一特點有利于簡化輸入輸出過程中輸入輸出過程中BCDBCD碼與字符代碼的轉換。碼與字符代碼的轉換。 注意：注意： 8421 8421碼與十進制數之間的轉換是按位

20、進行的，即十進碼與十進制數之間的轉換是按位進行的，即十進制數的每一位與制數的每一位與4 4位二進制編碼對應。例如，位二進制編碼對應。例如， 84218421碼與十進制數之間的轉換碼與十進制數之間的轉換 (1987.35)10 = (0001 1001 1000 0111.0011 0101 )8421碼碼 (0001 0010 0000 1000)8421碼碼 = (1208)10 例如，例如， (28(28）10 10 = =（1110011100）2 2 = =（0010100000101000）84218421 注意：注意：84218421碼與二進制的區別碼與二進制的區別（2 2）余）余

21、3 3碼碼 余余3碼：碼：是由是由8421碼加上碼加上0011形成的一種無權碼，由于它的形成的一種無權碼，由于它的每個字符編碼比相應每個字符編碼比相應8421碼多碼多3，故稱為余，故稱為余3碼。碼。 例如，十進制字符例如，十進制字符5的余的余3碼等于碼等于5的的8421碼碼0101加上加上0011，即為即為1000。 2.2.余余3 3碼的表示不像碼的表示不像84218421碼那樣直觀，各位也沒有固定的碼那樣直觀，各位也沒有固定的權。但余權。但余3 3碼是一種對碼是一種對9 9的自補碼。的自補碼。 注意注意: 1. 余余3碼中不允許出現碼中不允許出現0000、0001、0010、1101、11

22、10和和1111六種狀態。六種狀態。 3. 3.兩個余兩個余3 3碼表示的十進制數進行加法運算時，能正確產碼表示的十進制數進行加法運算時，能正確產生進位信號，對和的修正方法是：如果對應位的和小于生進位信號，對和的修正方法是：如果對應位的和小于1010，結，結果減果減3 3校正，如果對應位的和大于校正，如果對應位的和大于9 9，可以加上，可以加上3 3校正，最后結校正，最后結果仍是正確的余果仍是正確的余3 3碼。碼。 余余3 3碼與十進制數碼與十進制數進行進行轉換轉換也是按位進行也是按位進行。例如，。例如， (256)(256)10 10 = (0101 1000 1001)= (0101 10

23、00 1001)余余3 3碼碼 (1000 1001 1011 1010)(1000 1001 1011 1010)余余3 3碼碼 = (5687)= (5687)1010 十進制數字符號十進制數字符號09與與8421碼和余碼和余3碼的對應關系如下表碼的對應關系如下表 0 0000 0011 0 0000 0011 1 0001 0100 1 0001 0100 2 0010 0101 2 0010 0101 3 0011 0110 3 0011 0110 4 0100 0111 4 0100 0111 5 0101 1000 5 0101 1000 6 0110 1001 6 0110 10

24、01 7 0111 1010 7 0111 1010 8 1000 1011 8 1000 1011 9 1001 1100 9 1001 1100 十進制數十進制數 84218421碼碼 余余3 3碼碼十進制數和十進制數和8421碼、余碼、余3碼之間的對應關系碼之間的對應關系 2. 可靠性編碼可靠性編碼 作用作用: 提高系統的可靠性。提高系統的可靠性。 為了減少或者發現代碼在形成和傳送過程中都可能發生為了減少或者發現代碼在形成和傳送過程中都可能發生的錯誤。形成了各種編碼方法。下面，介紹兩種常用的可靠的錯誤。形成了各種編碼方法。下面，介紹兩種常用的可靠性編碼。性編碼。 （1) 1) 循環碼也叫

25、循環碼也叫格雷格雷(Gray)(Gray)碼碼 特點：特點：任意兩個相鄰的數，其循環碼僅有一位不同。任意兩個相鄰的數，其循環碼僅有一位不同。 作用：作用：避免代碼形成或者變換過程中產生的錯誤。避免代碼形成或者變換過程中產生的錯誤。表表8.3 8.3 四位循環碼四位循環碼十進制數二進制數循環碼十進制數二進制數循環碼00000000081000110010001000191001110120010001110101011113001100101110111110401000110121100101050101011113110110116011001011411101001701110100151

26、1111000 特點：特點： 任意兩個相鄰的編碼僅有一位不同，而且存在一個任意兩個相鄰的編碼僅有一位不同，而且存在一個對稱軸（在對稱軸（在7和和8之間），對稱軸上邊和下邊的編碼，除最高位之間），對稱軸上邊和下邊的編碼，除最高位是互補外，其余各個數位都是以對稱軸為中線鏡像對稱的。是互補外，其余各個數位都是以對稱軸為中線鏡像對稱的。 （2 2） 奇偶檢驗碼奇偶檢驗碼 奇偶檢驗碼是一種用來檢驗代碼在傳送過程中是否產生奇偶檢驗碼是一種用來檢驗代碼在傳送過程中是否產生錯誤的代碼。錯誤的代碼。 b b編碼方式：編碼方式：有兩種編碼方式有兩種編碼方式. . 奇檢驗奇檢驗: :使信息位和檢驗位中使信息位和檢驗

27、位中“1 1”的個數共計為奇數；的個數共計為奇數； 偶檢驗偶檢驗: :使信息位和檢驗位中使信息位和檢驗位中“1 1”的個數共計為偶數。的個數共計為偶數。 信息位 (7位) 采用奇檢驗的檢驗位 (1位) 采用偶檢驗的檢驗位 (1位) 1001100 0 1 a a組成：組成： 信息位信息位位數不限的一組二進制代碼位數不限的一組二進制代碼 兩部分組成兩部分組成 奇偶檢驗位奇偶檢驗位僅有一位。僅有一位。 例如例如, , c c特點特點 (1) (1) 編碼簡單、容易實現編碼簡單、容易實現 ； (2) (2) 奇偶檢驗碼只有檢錯能力，沒有糾錯能力奇偶檢驗碼只有檢錯能力，沒有糾錯能力 ； (3) (3)

28、 只能發現單錯，不能發現雙錯只能發現單錯，不能發現雙錯 。 3. ASCII碼碼 數字系統中處理的數據除了數字之外，還有字母、運算數字系統中處理的數據除了數字之外，還有字母、運算符號、標點符號以及其他特殊符號符號、標點符號以及其他特殊符號, ,人們將這些符號統稱為字人們將這些符號統稱為字符。所有字符在數字系統中必須用二進制編碼表示，通常將符。所有字符在數字系統中必須用二進制編碼表示，通常將其稱為其稱為字符編碼。字符編碼。 最常用的字符編碼是美國信息交換標準碼，簡稱最常用的字符編碼是美國信息交換標準碼，簡稱ASCII碼碼(American Standard Code for Informatio

29、n Interchange)。是是當前計算機中使用最廣泛的一種字符編碼，主要用來為英文當前計算機中使用最廣泛的一種字符編碼，主要用來為英文字符編碼。字符編碼。 表表8.5給出了標準的給出了標準的7位位ASCII碼字符表。從表中可看出碼字符表。從表中可看出ASCII碼分為兩類。一類是碼分為兩類。一類是字符編碼字符編碼，這類編碼代表的字符，這類編碼代表的字符可以顯示打印。另一類編碼是可以顯示打印。另一類編碼是控制字符編碼控制字符編碼，每個都有特定，每個都有特定的含義，起控制功能。的含義，起控制功能。 邏輯代數是數字系統邏輯設計的理論基礎和重要數學工邏輯代數是數字系統邏輯設計的理論基礎和重要數學工具

30、！具！ 和普通代數一樣，邏輯代數中也有變量和常量。和普通代數一樣，邏輯代數中也有變量和常量。與普通與普通代數不同代數不同，邏輯代數中的變量只有邏輯代數中的變量只有0和和1兩個取值。它們分別兩個取值。它們分別表示完全對立的兩個邏輯狀態。表示完全對立的兩個邏輯狀態。8.2.1 8.2.1 基本邏輯運算基本邏輯運算 設：開關閉合設：開關閉合= =“1 1” 開關不閉合開關不閉合= =“0 0” 燈亮，燈亮，F=1F=1 燈不亮，燈不亮，F=0F=0 與邏輯與邏輯只有當決定一件事情的條只有當決定一件事情的條件全部具備之后，這件事情才會發生。件全部具備之后，這件事情才會發生。1 1與運算與運算BAF與邏

31、輯表達式：與邏輯表達式：AB燈燈F不閉合不閉合不閉合不閉合閉合閉合閉合閉合不閉合不閉合閉合閉合不閉合不閉合閉合閉合不亮不亮不亮不亮不亮不亮亮亮0101BFA0011輸輸 入入0001輸出輸出 與邏輯真值表與邏輯真值表BAF或者寫為：或者寫為：&ABFEFAB有有 0 出出 0；全；全 1 出出 1 2 2或運算或運算或邏輯表達式：或邏輯表達式： FA+B 或邏輯或邏輯當決定一件事情的幾個條件中，只要有一個當決定一件事情的幾個條件中，只要有一個或一個以上條件具備，這件事情就發生。或一個以上條件具備，這件事情就發生。AB燈燈F不閉合不閉合不閉合不閉合閉合閉合閉合閉合不閉合不閉合閉合閉合不閉

32、合不閉合閉合閉合不亮不亮亮亮亮亮亮亮0101BFA0011輸輸 入入0111輸出輸出 或邏輯真值表或邏輯真值表BAF或者寫為：或者寫為： 1ABFAEFB有有 1 出出 1全全 0 出出 0 3 3非運算非運算 非邏輯非邏輯某事情發生與否，僅取決于一個條件，而某事情發生與否，僅取決于一個條件，而且是對該條件的否定。即條件具備時事情不發生；條且是對該條件的否定。即條件具備時事情不發生；條件不具備時事情才發生。件不具備時事情才發生。A燈燈F閉合閉合不閉合不閉合不亮不亮亮亮FA0110非邏輯真值表非邏輯真值表非邏輯表達式：非邏輯表達式： AF AF1AEFR入入 0 出出 1入入 1 出出 0 三種

33、基本三種基本 邏輯符號對照邏輯符號對照 由基本邏輯運算組合而成由基本邏輯運算組合而成 8.2.2 8.2.2 復合邏輯復合邏輯 與非與非邏輯邏輯先與后非先與后非有有 0 出出 1全全 1 出出 010 001 1FA B10 111 0BAF&ABF01 1或非邏輯或非邏輯 先或后非先或后非有有 1 出出 0全全 0 出出 110 0YA B00 101 0 1ABFBAF與或非邏輯與或非邏輯 先與后或再非先與后或再非 1ABCFD&CDABF注意注意：異或和同或互為反函數，即：異或和同或互為反函數，即異或邏輯異或邏輯相異出相異出 1相同出相同出 000 001 1FA B10

34、 111 0=1ABFBABABAF同或邏輯同或邏輯相同出相同出 1相異出相異出 010 011 1FA B00 101 0=1ABFBABAABF8.2.3 8.2.3 正邏輯和負邏輯正邏輯和負邏輯在設計邏輯電路時，通常規定在設計邏輯電路時，通常規定高電平代表高電平代表1，低電平代表低電平代表0，是，是正邏輯正邏輯。如果規定。如果規定高電平代表高電平代表0，低電平代表低電平代表1，則稱為，則稱為負邏輯負邏輯。 在正邏輯的情況下，在正邏輯的情況下，FAB, 在負邏輯的在負邏輯的情況下，情況下，FAB。 表表8.10 8.10 正邏輯與和負邏輯或關系表正邏輯與和負邏輯或關系表ABF電平電平正邏輯

35、正邏輯負邏輯負邏輯電平電平正邏輯正邏輯負邏輯負邏輯電平電平正邏輯正邏輯負邏輯負邏輯低低01低低01低低01低低01高高10低低01高高10低低01低低01高高10高高10高高10 依據邏輯與、邏輯或、邏輯非這三種最基本的邏輯運算依據邏輯與、邏輯或、邏輯非這三種最基本的邏輯運算規則，可得出在邏輯運算中使用的規則，可得出在邏輯運算中使用的基本公式基本公式和三個重要的和三個重要的運運算規則算規則。8.3.1 邏輯代數的基本公式邏輯代數的基本公式 邏輯常量運算公式邏輯常量運算公式 0 0 = 00 1 = 01 0 = 01 1 = 10 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1

36、= 1邏輯變量與常量的運算公式邏輯變量與常量的運算公式 0 1 律律重迭律重迭律 互補律互補律 還原律還原律 0 + A = A1 + A = 1 1 A = A0 A = 0A + A = A A A = A 交換律交換律 A + B = B + A A B = B A結合律結合律 (A + B) + C = A + (B + C) (A B) C = A (B C)分配律分配律 A (B + C) = AB + AC A + BC = (A + B) (A + C) 普通代數沒有！普通代數沒有！ 與普通代數相似的定律與普通代數相似的定律 摩根定律摩根定律 ( (又稱反演律又稱反演律) )

37、證明方法：真值表證明方法：真值表原變量的吸收：原變量的吸收：A+AB=A吸收是指吸收多余（吸收是指吸收多余（冗余冗余）項，多余（）項，多余（冗余冗余）因）因子被取消、去掉子被取消、去掉 被消化了。被消化了。長中含短，留長中含短，留下短下短吸收律吸收律反變量的吸收：反變量的吸收：BABAA長中含反，去長中含反，去掉反掉反.混合變量的吸收：混合變量的吸收：CAABBCCAAB 正負相對，正負相對， “積積”多余多余8.3.2 8.3.2 重要規則重要規則 邏輯代數有三個重要的運算規則，它們在邏輯函數的化邏輯代數有三個重要的運算規則，它們在邏輯函數的化簡和變換中是十分有用的。簡和變換中是十分有用的。

38、 例例8.3 已知等式已知等式A(B+C)=AB+AC,可證明邏輯函數可證明邏輯函數FDE代替等式中的變量代替等式中的變量B 后，等式仍然成立。后，等式仍然成立。將邏輯等式中的一個邏輯變量用一個邏輯函數代替，則邏將邏輯等式中的一個邏輯變量用一個邏輯函數代替，則邏輯等式仍然成立。這個規則稱為代入規則。輯等式仍然成立。這個規則稱為代入規則。 1 1、代入規則代入規則 用處：用處：擴大定理的應用范圍擴大定理的應用范圍2 2、反演規則、反演規則 D)C()B(AF例如，已知函數，根據反演規則可得到例如，已知函數，根據反演規則可得到 DCBAF將函數式將函數式 F 中所有的中所有的 + 變量變量及及常數

39、常數均取均取反反得新表達式就是得新表達式就是原函數的反函數原函數的反函數表示為：表示為：F注意注意1.運算順序：先括號運算順序：先括號 再乘法再乘法 后加法后加法2.多個變量上的反號先不動多個變量上的反號先不動用處：用處：實現互補運算（求反運算）實現互補運算（求反運算）變換時，原函數運算的先后順序不變變換時，原函數運算的先后順序不變 例例8.5 已知函數，根據反演規則已知函數，根據反演規則得到的反函數應該是得到的反函數應該是 而不應該是而不應該是 錯誤！錯誤！)E(DCBAFEDCBAFE)DC(BAF 的反函數。的反函數。DCCABF例例8.6 求邏輯函數求邏輯函數)()(DCCBA F解：

40、根據反演規則有：解：根據反演規則有：3 3、對偶規則、對偶規則將函數式將函數式 F 中所有的中所有的 + 常數取反常數取反得新表達式就是原函數的得新表達式就是原函數的對偶表達式對偶表達式表示為：表示為：F)()()(CACBBABAF例：例：求對偶表達式求對偶表達式CABCBABAFEDC BAF )( 例例8.8 求邏輯函數求邏輯函數 的對偶式的對偶式 )()( ECDBAF解：根據對偶規則有：解：根據對偶規則有：CBAF解：根據對偶規則有：解：根據對偶規則有：CBA F例例8.7 求邏輯函數求邏輯函數 的對偶式的對偶式 例例8.7 求邏輯函數求邏輯函數 的對偶式的對偶式 注意注意變換時，原

41、函數運算的先后順序不變變換時，原函數運算的先后順序不變1.運算順序：先括號運算順序：先括號 再乘法再乘法 后加法后加法2.多個變量上的反號先不動多個變量上的反號先不動用處：用處：減少需證明的公式。減少需證明的公式。3.如果兩個邏輯表達式如果兩個邏輯表達式 F=G，則它們的對偶表達式也相，則它們的對偶表達式也相 等，即等，即 F = G 邏輯函數表達式和邏輯電路是一一對應的，表達式越邏輯函數表達式和邏輯電路是一一對應的，表達式越簡單，用邏輯電路去實現也越簡單。簡單，用邏輯電路去實現也越簡單。 一個邏輯函數可以有多種表達形式，而最基本的是與一個邏輯函數可以有多種表達形式，而最基本的是與或表達式。如

42、果有了最簡與或表達式，通過邏輯代數的基或表達式。如果有了最簡與或表達式，通過邏輯代數的基本公式進行變換，就可以得到其他形式的最簡表達式。因本公式進行變換，就可以得到其他形式的最簡表達式。因此，本節將重點放在此，本節將重點放在“與與- -或或”表達式的化簡上。表達式的化簡上。 邏輯函數的化簡方法有多種，最常用的方法是邏輯函數的化簡方法有多種，最常用的方法是邏輯代數邏輯代數化簡法化簡法和和卡諾圖化簡法卡諾圖化簡法。 為了降低系統成本、減小復雜度、提高可靠性，必須對為了降低系統成本、減小復雜度、提高可靠性，必須對邏輯函數進行化簡。邏輯函數進行化簡。 8.4.1 8.4.1 代數化簡法代數化簡法 代數

43、化簡法就是運用邏輯代數的基本公式和規則對邏輯代數化簡法就是運用邏輯代數的基本公式和規則對邏輯函數進行化簡的方法。函數進行化簡的方法。 在實際應用中常常化簡為在實際應用中常常化簡為 “與與-或或”表達式。表達式。最簡最簡“與與-或或”表達式應滿足兩個條件：表達式應滿足兩個條件： 1表達式中的表達式中的“與與”項個數最少；項個數最少； 2在滿足上述條件的前提下，每個在滿足上述條件的前提下，每個“與與”項中的變量項中的變量個數最少。個數最少。 滿足上述兩個條件可以使相應邏輯電路中所需門的數滿足上述兩個條件可以使相應邏輯電路中所需門的數量以及門的輸入端個數均為最少，從而使電路最經濟。量以及門的輸入端個

44、數均為最少，從而使電路最經濟。 特點：特點： 不受邏輯變量個數的限制，但要求能熟練掌握邏輯代數不受邏輯變量個數的限制，但要求能熟練掌握邏輯代數的公式和規則，具有較強的化簡技巧。的公式和規則，具有較強的化簡技巧。 幾種常用方法如下：幾種常用方法如下： 1并項法并項法 2吸收法吸收法 利用公式利用公式A + AB = A ，吸收多余的與項。例如，吸收多余的與項。例如， BACBABABACBABCA利用公式，將兩個利用公式，將兩個“與與”項合并成一項合并成一個個“與與”項，合并后消去一個變量。例如，項，合并后消去一個變量。例如， 1AADCDCABDCABF)ABAB(DC A EBDBCAEAB

45、DABCAAF)1 ( 3消去法消去法 利用公式消去多余變量。例如，利用公式消去多余變量。例如，BABAACABCABABCBAABCBCAAB4配項法配項法 利用公式利用公式A+A=1，先從函數式中適當選擇某些，先從函數式中適當選擇某些“與與”項，項，并配上其所缺的一個合適的變量，然后再利用并項、吸收和并配上其所缺的一個合適的變量，然后再利用并項、吸收和消去等方法進行化簡。例如，消去等方法進行化簡。例如，CBABCACBACBACBBACCBACBAACBBABACBCBBA CACBBA例例8.9 化簡化簡 CBADCBDDBCF解解 CBADCBDDBCF實際應用中遇到的邏輯函數往往比較

46、復雜，化簡時應實際應用中遇到的邏輯函數往往比較復雜，化簡時應靈活使用所學的公理、定理及規則，綜合運用各種方法。靈活使用所學的公理、定理及規則，綜合運用各種方法。 CBADCBDBC CBADBCDBC CBADDBC DB 例例8.10 化簡化簡 CBACBACBAF)()(解解 CBACBACBAF)()()()( CBACBACBA)( CBACCBA CBA 先去長非號先去長非號 再去長非號再去長非號 將將A+C看成一個變量，看成一個變量，再用乘法分配率展開再用乘法分配率展開)( CA用乘法分配率展開用乘法分配率展開歸納：歸納： 代數化簡法的優點是：代數化簡法的優點是：不受變量數目的約束

47、；當對公理、不受變量數目的約束；當對公理、定理和規則十分熟練時，化簡比較方便。定理和規則十分熟練時，化簡比較方便。 缺點是：缺點是：沒有一定的規律和步驟，技巧性很強，而且在沒有一定的規律和步驟，技巧性很強，而且在很多情況下難以判斷化簡結果是否最簡。很多情況下難以判斷化簡結果是否最簡。 8.4.2 8.4.2 卡諾圖化簡法卡諾圖化簡法卡諾圖是邏輯函數的又一種表示方法，簡稱卡諾圖是邏輯函數的又一種表示方法，簡稱K圖。它是圖。它是一種根據最小項之間的相鄰關系畫出的一種方格圖，每個小一種根據最小項之間的相鄰關系畫出的一種方格圖，每個小方格代表邏輯函數的一個最小項。由于卡諾圖能形象地表達方格代表邏輯函數

48、的一個最小項。由于卡諾圖能形象地表達最小項之間的相鄰關系，采用相鄰項不斷合并的方法就能對最小項之間的相鄰關系，采用相鄰項不斷合并的方法就能對邏輯函數進行化簡。邏輯函數進行化簡。 特點：特點： 簡單、直觀、有規律可循，當變量較少時，用來化簡簡單、直觀、有規律可循，當變量較少時，用來化簡邏輯函數是十分方便的。邏輯函數是十分方便的。 1 1、最小項和最小項表達式、最小項和最小項表達式 定義：定義：如果一個具有如果一個具有n個變量的函數的個變量的函數的“與項與項”包含全包含全部部n個變量，每個變量都以原變量或反變量形式出現，且僅個變量，每個變量都以原變量或反變量形式出現，且僅出現一次，則該出現一次，則

49、該“與項與項”被稱為被稱為最小項。最小項。 （1）最小項）最小項 簡寫：簡寫：用用mi表示最小項。表示最小項。下標下標i的取值規則是：的取值規則是：按照變量順序將最小項中的原變按照變量順序將最小項中的原變量用量用1表示，反變量用表示，反變量用0表示，由此得到一個二進制數，與表示，由此得到一個二進制數，與該二進制數對應的十進制數即下標該二進制數對應的十進制數即下標i的值。的值。 最小項的數目：最小項的數目：n個變量可以構成個變量可以構成2n個最小項。個最小項。 例如，例如，3個變量個變量A、B、C可以構成、可以構成、 A B C共共8個最小項。個最小項。 CBACBA例如例如 m44100CBA

50、BCA0113m3 僅有一組變量的取值能使某個最小項的取值為僅有一組變量的取值能使某個最小項的取值為1，其他，其他 組變量的取值全部使該最小項的取值為組變量的取值全部使該最小項的取值為0 。三三變變量量最最小小項項表表1100000001 1 11010000001 1 01001000001 0 11000100001 0 01000010000 1 11000001000 1 01000000100 0 11000000010 0 0ABCm7m6m5m4m3m2m1m0A B C 120niimFCBACBACBABCACBACBACAB 任意兩個不同最小項邏輯與恒任意兩個不同最小項邏輯

51、與恒 為為0 。 對于變量的同一組取值，全體最小項的和為對于變量的同一組取值，全體最小項的和為 1 。 對對n n個變量的最小項，每個最小項有個變量的最小項，每個最小項有n n個個相鄰項相鄰項。 最小項的性質最小項的性質指除一個變量互為相反外，指除一個變量互為相反外，其余部分均相同的最小項。其余部分均相同的最小項。（2 2）最小項表達式）最小項表達式 由若干最小項相由若干最小項相“或或”構成的邏輯表達式稱為最小項構成的邏輯表達式稱為最小項表達式，也叫做標準表達式，也叫做標準“與與-或或”表達式。表達式。 例如，如下所示為一個例如，如下所示為一個3變量函數的標準變量函數的標準“與與-或或”表表達

52、式達式 ABCCBACBACBACBAF ),(該函數表達式又可簡寫為該函數表達式又可簡寫為 )7520( ),(7520, , , mmmmmCBAF 要寫出一個邏輯函數的最小項表達式，最簡單的方法是：要寫出一個邏輯函數的最小項表達式，最簡單的方法是：將真值表上使函數值為將真值表上使函數值為1的變量取值組合對應的變量取值組合對應的最小項相的最小項相“或或” 即可即可 。 函數函數F真值表真值表 解解:首先，列出首先，列出F的真值表如下表所示，然后，根據真的真值表如下表所示，然后，根據真值表可直接寫出值表可直接寫出F的最小項表達式的最小項表達式 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1

53、A B C F 1 1 0 11 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 )7 , 6 , 5 , 3(mF例例8.11 已知三變量邏輯函數已知三變量邏輯函數FABBCAC，寫出，寫出F的最小項表達式的最小項表達式 變量取變量取 0 的代以反變量的代以反變量 取取 1 的代以原變量的代以原變量AB二二變變量量卡卡諾諾圖圖010 10 00 11 01 10 00 1AB010 1m0m1m2m3 0 1 2 3ABAAB BABABABAB四四變變量量卡卡諾諾圖圖 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10三三變變量量卡卡諾諾圖圖ABC010

54、0 0111 10 m6 m7 m4 m2 m3000 m0 m5001 m1 6 7 5 4 2 3 1 0ABCD0001111000 01 11 10 以循環碼排列以保證相鄰性以循環碼排列以保證相鄰性2、卡諾圖的構成、卡諾圖的構成 ABCDCDDCDCDCBABAABBAABCDCDBADCBADCBADCBADCBADBCABCDACDBADCBADCBADCBADCABDCABDABCDCBA相鄰項相鄰項在在幾何位置幾何位置上也相鄰上也相鄰卡諾圖特點：卡諾圖特點：循環相鄰性循環相鄰性同一列最同一列最上與最下上與最下方格相鄰方格相鄰同一行最同一行最左與最右左與最右方格相鄰方格相鄰3、卡

55、諾圖的特點、卡諾圖的特點已知已知標準標準與與- 或或式畫式畫函數函數卡諾卡諾圖圖 試畫出函數試畫出函數 Y(A,B,C,D) = m (0,5,7,10,13,15) 的卡諾圖的卡諾圖解：解： ( (1) ) 畫出四變量卡諾圖畫出四變量卡諾圖( (2) ) 填圖填圖 邏輯式中的最邏輯式中的最小項小項 m0、m1、m12、m13、m15對對應的方格填應的方格填 1，其，其余不填或填余不填或填 0 。ABCD0001111000 01 11 10 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10 1 11 1 1 14、卡諾圖表示邏輯函數、卡諾圖表示邏輯函數已已知知一一般

56、般表表達達式式畫畫函函數數卡卡諾諾圖圖解：解：( (1) ) 作四變量卡諾圖作四變量卡諾圖找出各與項所對應的最小找出各與項所對應的最小項方格填項方格填 1，其余不填。，其余不填。ABCD0001111000 01 11 10( (3) ) 根據與根據與 - 或式填圖或式填圖 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AB 對應最小項為對應最小項為同時滿足同時滿足 A = 1， B = 1 的方格。的方格。 例例 已知已知 ，試畫出，試畫出 F 的卡諾圖。的卡諾圖。DCBABDAFBCD 對應最小項為同時滿足對應最小項為同時滿足 B = 1，C = 0，D = 1的方格的方格AD 對應最小項為同時

57、滿足對應最小項為同時滿足 A = 0，D = 1的方格。的方格。畫包圍圈規則畫包圍圈規則 包圍圈必須包含包圍圈必須包含 2n 個相鄰個相鄰 1 方格。先圈小再圈大，方格。先圈小再圈大，圈越大越是好；圈越大越是好；1 方格可重復圈，但須每圈有新方格可重復圈，但須每圈有新 1；每；每個個“1”格須圈到，孤立項也不能掉。格須圈到，孤立項也不能掉。同一列最上邊和最下邊循環相鄰，可畫圈；同一列最上邊和最下邊循環相鄰，可畫圈； 同一行最左邊和最右邊循環相鄰，可畫圈；同一行最左邊和最右邊循環相鄰，可畫圈；四個角上的四個角上的 1 方格也循環相鄰，可畫圈。方格也循環相鄰，可畫圈。 注意注意 卡諾卡諾 圖化圖化

58、 簡法簡法 步驟步驟 畫函數卡諾圖畫函數卡諾圖 將各圈分別化簡將各圈分別化簡 對填對填 1 的相鄰最小項方格畫包圍圈的相鄰最小項方格畫包圍圈 將各圈化簡結果邏輯加將各圈化簡結果邏輯加 5、用卡諾圖化簡邏輯函數的過程用卡諾圖化簡邏輯函數的過程 m15 m9 m7 m6 m5 m4 m2 m0解：解：( (1) )畫變量卡諾圖畫變量卡諾圖 例例 用卡諾圖化簡邏輯用卡諾圖化簡邏輯函數函數 Y(A,B,C,D)=m (0,2,4,5,6,7,9,15)ABCD0001111000 01 11 10( (2) )填卡諾圖填卡諾圖 1 1 1 1 1 1 1 1( (3) )畫包圍圈畫包圍圈abcd( (

59、4) )將各圖分別化簡將各圖分別化簡圈圈 2 個可消去個可消去 1 個變量，化個變量，化簡為簡為 3 個相同變量相與。個相同變量相與。Yb = BCD圈圈 4 個可消去個可消去 2 個變量，化個變量，化簡為簡為 2 個相同變量相與。個相同變量相與。孤立項孤立項 Ya=ABCDYc = AB循環相鄰循環相鄰 Yd = AD( (5) )將各圖化簡結果邏輯加，得最簡與將各圖化簡結果邏輯加，得最簡與 - 或式或式DABABCDDCBAY 解解 用卡諾圖化簡給定函數的過程如下圖所示。用卡諾圖化簡給定函數的過程如下圖所示。例例8.12 用卡諾圖化簡邏輯函數用卡諾圖化簡邏輯函數 6 , 5 , 4 , 1

60、,mCBAF0111 1 100011110ABCACBC根據卡諾圖可寫出最簡與或表達式：根據卡諾圖可寫出最簡與或表達式： CBCAF 例例 已知函數真值表如下，試用卡諾圖法求其最簡與或式。已知函數真值表如下，試用卡諾圖法求其最簡與或式。A B CY0 0 010 0 110 1 000 1 111 0 011 0 101 1 011 1 11注意：注意：該卡諾該卡諾圖還有圖還有其他畫其他畫圈法圈法可見，最簡可見，最簡結果未必唯一。結果未必唯一。解：解：( (1) )畫函數卡諾圖畫函數卡諾圖ABC0100 0111 10 1 1 1 1 1 1( (3) )化簡化簡( (2) )畫圈畫圈Y =CBCA AB BCC