1、第第5 5章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和剛體的基本運(yùn)動(dòng) 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng) 剛體的基本運(yùn)動(dòng)剛體的基本運(yùn)動(dòng)第第5 5章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和剛體的基本運(yùn)動(dòng)5.1 5.1 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn) P 的空間位置用矢量的空間位置用矢量OP表示表示OP= r點(diǎn)點(diǎn)P對(duì)于原點(diǎn)對(duì)于原點(diǎn)O的的位置矢量位置矢量，簡(jiǎn)，簡(jiǎn)稱(chēng)稱(chēng)位矢位矢)(trr 當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，位矢運(yùn)動(dòng)時(shí)，位矢r是時(shí)間的單是時(shí)間的單值函數(shù)，此即為矢量法表示的點(diǎn)值函數(shù)，此即為矢量法表示的點(diǎn)的的運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程.點(diǎn)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其位置矢量的端點(diǎn)的連線為在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其位置矢量的端點(diǎn)的連線為位矢端圖位矢端圖，顯然位矢端圖就是點(diǎn)

2、，顯然位矢端圖就是點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)軌跡軌跡. .1矢量法矢量法rrrPPPxzyOrrrvtttddlim0rrvva 220ddddlimtttt方向方向 : 沿軌跡的切線方向沿軌跡的切線方向.單位單位 : m/s單位單位 : m/s2動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)P的的速度矢速度矢等于它的等于它的位矢位矢r對(duì)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)5.1 5.1 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)xzyOyxzjikrP以位置矢量的原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系以位置矢量的原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系 Oxyz，某一瞬時(shí)的位矢，某一瞬時(shí)的位矢r可用三個(gè)直角坐標(biāo)可用三個(gè)直角坐標(biāo) x, y, z 表示為：表示為：xyzrijk 123xftyftzft運(yùn)動(dòng)方程表示為：運(yùn)動(dòng)

3、方程表示為：2直角坐標(biāo)法直角坐標(biāo)法5.1 5.1 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)(Oxyz)為定參考系為定參考系xyzxyzvvvvrijkijk0ijk() ()xyzxyzvrijkijkyxzjikrxzyOvaxyzxyzaaaavijkijk5.1 5.1 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)這個(gè)帶有正負(fù)號(hào)的弧長(zhǎng)這個(gè)帶有正負(fù)號(hào)的弧長(zhǎng)s 稱(chēng)為點(diǎn)稱(chēng)為點(diǎn)P的的弧坐標(biāo)弧坐標(biāo)?；∽鴺?biāo)要素：弧坐標(biāo)要素： 有坐標(biāo)原點(diǎn)有坐標(biāo)原點(diǎn)(一般在軌跡上一般在軌跡上任選一參考點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)任選一參考點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn))； 有正、負(fù)方向有正、負(fù)方向(一般以點(diǎn)的一般以點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向作為正向運(yùn)動(dòng)方向作為正向)； 有相應(yīng)的坐標(biāo)系有相應(yīng)的坐標(biāo)系(自然軸系自然軸

4、系)。1) 弧坐標(biāo)弧坐標(biāo)3弧坐標(biāo)法弧坐標(biāo)法5.1 5.1 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)2）密切面）密切面 當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P 無(wú)限接近于點(diǎn)無(wú)限接近于點(diǎn)P時(shí)，過(guò)這兩點(diǎn)的切線所組成的平面，時(shí)，過(guò)這兩點(diǎn)的切線所組成的平面，稱(chēng)為點(diǎn)稱(chēng)為點(diǎn)P的的密切面密切面。5.1 5.1 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)密切面的特性：密切面的特性： 空間曲線上的任意點(diǎn)都存在密切面，而且空間曲線上的任意點(diǎn)都存在密切面，而且是唯一的。是唯一的。 空間曲線上的任意點(diǎn)無(wú)窮小鄰域內(nèi)的一段空間曲線上的任意點(diǎn)無(wú)窮小鄰域內(nèi)的一段弧長(zhǎng)，可以看作是位于密切面內(nèi)的平面曲線?；￠L(zhǎng)，可以看作是位于密切面內(nèi)的平面曲線。 曲線在垂直于密切面的平面內(nèi)的曲率，稱(chēng)曲線在垂直于密切面的平面內(nèi)

5、的曲率，稱(chēng)為第二曲率。為第二曲率。 曲線在密切面內(nèi)的彎曲程度，稱(chēng)為曲線的曲線在密切面內(nèi)的彎曲程度，稱(chēng)為曲線的曲率，用曲率，用 表示。表示。/15.1 5.1 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)s -s +PT(切線切線)N(主法線主法線)3 3）自然軸系）自然軸系B(副法線副法線)P空間曲線上的動(dòng)點(diǎn)；空間曲線上的動(dòng)點(diǎn)；T 過(guò)動(dòng)點(diǎn)過(guò)動(dòng)點(diǎn)P的密切面內(nèi)的密切面內(nèi) 的切線，其正向指向的切線，其正向指向 弧坐標(biāo)正向；弧坐標(biāo)正向；N 密切面內(nèi)垂直于切線密切面內(nèi)垂直于切線 的直線，其正向指向的直線，其正向指向 曲率中心；曲率中心；B 過(guò)動(dòng)點(diǎn)過(guò)動(dòng)點(diǎn)P垂直于切線垂直于切線 和主法線的直線，其和主法線的直線，其 正向由正向由BTN

6、 確定確定。tnb5.1 5.1 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)自然軸系跟隨動(dòng)點(diǎn)在軌跡上作空間曲線運(yùn)動(dòng)。自然軸系跟隨動(dòng)點(diǎn)在軌跡上作空間曲線運(yùn)動(dòng)。5.1 5.1 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)4 4）點(diǎn)的速度和加速度）點(diǎn)的速度和加速度tsstddddddrrvtrsddvstsddtvv1limdd0srsrt5.1 5.1 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)vtssdd1ddddntntvvatvvttavvnta2vv tsstddddddddttt5.1 5.1 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng) 弧坐標(biāo)中的加速度表示弧坐標(biāo)中的加速度表示nta2ddvtv 在自然軸系投影形式在自然軸系投影形式bntabntaaastva ddt2nva 0bantaa

7、a切向加速度切向加速度 (tangential acceleration) ： 表示速度矢量大小的變化率；表示速度矢量大小的變化率；法向加速度法向加速度(normal acceleration) ： 表示速度矢量方向的變化率表示速度矢量方向的變化率表明加速度表明加速度 a在副法線方向沒(méi)有分量；在副法線方向沒(méi)有分量； 速度矢量速度矢量v和加速度矢量和加速度矢量a都位于密切面內(nèi)都位于密切面內(nèi)。5.1 5.1 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng) 【例【例5-1】 如圖所示如圖所示, 半徑為半徑為R 的圓盤(pán)沿直線軌道無(wú)滑動(dòng)的圓盤(pán)沿直線軌道無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)（純滾動(dòng)），設(shè)圓盤(pán)在鉛垂面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且輪心地滾動(dòng)（純滾動(dòng)），設(shè)圓盤(pán)在鉛垂

8、面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且輪心A的速度的速度為為 v0 (t)。分析圓盤(pán)邊緣一點(diǎn)。分析圓盤(pán)邊緣一點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)，并求當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，并求當(dāng)點(diǎn)M與地面接與地面接觸時(shí)的速度和加速度以及點(diǎn)觸時(shí)的速度和加速度以及點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到最高處軌跡的曲率半徑；運(yùn)動(dòng)到最高處軌跡的曲率半徑；討論當(dāng)輪心的速度為常數(shù)時(shí)，輪邊緣上各點(diǎn)的速度和加速度討論當(dāng)輪心的速度為常數(shù)時(shí)，輪邊緣上各點(diǎn)的速度和加速度分布。分布。5.1 5.1 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)【解】【解】(1)建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系Oxy如圖所示，取點(diǎn)如圖所示，取點(diǎn)M所在的一個(gè)最低位置為原點(diǎn)所在的一個(gè)最低位置為原點(diǎn)O設(shè)在任意時(shí)刻設(shè)在任意時(shí)刻t圓盤(pán)的轉(zhuǎn)角圓盤(pán)的轉(zhuǎn)角CAM由于圓盤(pán)是純滾動(dòng)由于圓盤(pán)是純滾動(dòng)點(diǎn)

9、點(diǎn) M 運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程:xysinAMOC cosAMAC xysinRcos1R5.1 5.1 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn) M 的運(yùn)動(dòng)方程的運(yùn)動(dòng)方程:xysinRcos1R點(diǎn)點(diǎn) M 速度分量速度分量:x cos1Ry sinR點(diǎn)點(diǎn) M 的加速度分量的加速度分量x sincos12 RRy cossin2 RR【解】【解】5.1 5.1 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)A作水平直線運(yùn)動(dòng)作水平直線運(yùn)動(dòng),輪只滾不滑輪只滾不滑ROCxA0vRxA0vRxA 00va, 若記若記:RaRv00在純滾動(dòng)時(shí)上式可作為公式使用在純滾動(dòng)時(shí)上式可作為公式使用【解】【解】5.1 5.1 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)x cos1Ry

10、sinR 點(diǎn)點(diǎn) M 的速度大小的速度大小v22yx cos12RMCv2sin20 即輪上點(diǎn)即輪上點(diǎn)M的速度大小與它到點(diǎn)的速度大小與它到點(diǎn)C（輪上與地面接觸點(diǎn)）之（輪上與地面接觸點(diǎn)）之距離成正比。距離成正比?！窘狻俊窘狻?.1 5.1 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)即輪上點(diǎn)即輪上點(diǎn)M的速度的方向的速度的方向2cos,cosvvyyv2sin,cosvvxxv當(dāng)當(dāng) = 0和和 =2p p時(shí)，點(diǎn)時(shí)，點(diǎn) M 與與地接觸，此時(shí)的速度為零地接觸，此時(shí)的速度為零x sincos12 RRy cossin2 RR其加速度其加速度ja2R 當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)M與地接觸時(shí)，其加速度的大小不等于零，方向垂直于與地接觸時(shí)，其加速度的大小不

11、等于零，方向垂直于地面向上。此為絕對(duì)切向加速度，因此時(shí)速度為零，故其法向地面向上。此為絕對(duì)切向加速度，因此時(shí)速度為零，故其法向加速度為零。加速度為零。【解】【解】5.1 5.1 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)(2)點(diǎn)點(diǎn)M的軌跡在最高點(diǎn)的軌跡在最高點(diǎn)B處的曲率半徑處的曲率半徑在最高點(diǎn)在最高點(diǎn)B處的速度和加速度處的速度和加速度:iv02via R2j2R點(diǎn)點(diǎn) M 的軌跡在最高點(diǎn)處的切線的軌跡在最高點(diǎn)處的切線方向?yàn)榉较驗(yàn)閕，并且曲線向下彎曲，并且曲線向下彎曲，所以主法線方向沿所以主法線方向沿 -j，于是法向，于是法向加速度的大小為：加速度的大小為：RvRa202n曲率半徑：曲率半徑：n2avRRvv4)2(202

12、0【解】【解】5.1 5.1 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)【討論】【討論】若若v0為常矢量，則為常矢量，則 為常數(shù)，故為常數(shù)，故0 點(diǎn)點(diǎn) M 的加速度的加速度222axyR點(diǎn)點(diǎn) M 的加速度方向的加速度方向sincosaa,xxacoscosaa,yya 所以此時(shí)輪緣上點(diǎn)所以此時(shí)輪緣上點(diǎn)M的加速度方向均指向輪心的加速度方向均指向輪心A，此時(shí)，此時(shí)的加速度既非切向加速度，也非法向加速度。不過(guò)請(qǐng)注意，的加速度既非切向加速度，也非法向加速度。不過(guò)請(qǐng)注意，若若v0不為常矢量，則加速度方向并不指向輪心。不為常矢量，則加速度方向并不指向輪心。5.1 5.1 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)5.2 5.2 剛體的基本運(yùn)動(dòng)剛體的基本運(yùn)動(dòng)

13、 平移平移 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)5.2 5.2 剛體的基本運(yùn)動(dòng)剛體的基本運(yùn)動(dòng)剛體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其上任一條直線始終與其初始位置保剛體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其上任一條直線始終與其初始位置保持平行，這種運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為持平行，這種運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為平移平移。 平行平行5.2.1 平移平移速度和加速度速度和加速度BArrBA)(ddddBArrBAtt由于矢量由于矢量 BA 是常矢量，是常矢量，因此有因此有BABAaavvBA剛體平移的特點(diǎn)剛體平移的特點(diǎn)5.2 5.2 剛體的基本運(yùn)動(dòng)剛體的基本運(yùn)動(dòng)由于點(diǎn)由于點(diǎn) A 和和 B 是任意選取的，是任意選取的，此我們可以得到如下的結(jié)論：此我們可以得到如下的結(jié)論：1 1）剛體上各點(diǎn)的軌跡形狀

14、相同；）剛體上各點(diǎn)的軌跡形狀相同；2 2）同一瞬時(shí)，剛體上各點(diǎn)的速度）同一瞬時(shí)，剛體上各點(diǎn)的速度相同，加速度相同。相同，加速度相同。1 1、平移剛體的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，可歸結(jié)為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)來(lái)處理，、平移剛體的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，可歸結(jié)為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)來(lái)處理，即剛體上任何一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，就可代表剛體上其它各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。即剛體上任何一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，就可代表剛體上其它各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。 2 2、通?？裳芯科揭苿傮w與其他物體的連接點(diǎn)。、通?？裳芯科揭苿傮w與其他物體的連接點(diǎn)。BA5.2 5.2 剛體的基本運(yùn)動(dòng)剛體的基本運(yùn)動(dòng)5.2.2 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)5.2 5.2 剛體的基本運(yùn)動(dòng)剛體的基本運(yùn)動(dòng)1定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)的速度和加速度定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體

15、上各點(diǎn)的速度和加速度剛體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其上有且只有一條直線始終固剛體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其上有且只有一條直線始終固定不動(dòng)時(shí)，稱(chēng)定不動(dòng)時(shí)，稱(chēng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，該固定直線稱(chēng)為，該固定直線稱(chēng)為軸軸線線或或轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸 。rad)(tf用右手螺旋定則來(lái)確定轉(zhuǎn)角用右手螺旋定則來(lái)確定轉(zhuǎn)角的正負(fù)號(hào)的正負(fù)號(hào)從軸從軸z 的正向往負(fù)向看去，的正向往負(fù)向看去，逆逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎龝r(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎粗疄樨?fù)反之為負(fù)。 rad/s角速度角速度: :在工程中，可以用轉(zhuǎn)速在工程中，可以用轉(zhuǎn)速 n 來(lái)表示角速度來(lái)表示角速度:2rad/s 角加速度角加速度rpm:unit30/60/2nn5.2 5.2 剛體的基本運(yùn)動(dòng)剛體的基本運(yùn)動(dòng)

16、3) 加速度加速度RRvat切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度222n/)(/RRRRva422222t2n)()(RRRaaa2nt/tanaa1) 自然坐標(biāo)系下定軸轉(zhuǎn)動(dòng)自然坐標(biāo)系下定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程剛體上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程.Rs 2) 速度速度RRsv5.2 5.2 剛體的基本運(yùn)動(dòng)剛體的基本運(yùn)動(dòng)2 2、輪系傳動(dòng)比、輪系傳動(dòng)比內(nèi)齒輪嚙合內(nèi)齒輪嚙合定義傳動(dòng)比為輪定義傳動(dòng)比為輪1 1和輪和輪2 2的角速的角速度之比度之比: :12122112ZZrri21vv 2211rrtrZ2121212/ 2/ 2ZZtrtrrr齒數(shù)的計(jì)算齒數(shù)的計(jì)算: :5.2 5.2 剛體的基本運(yùn)動(dòng)剛體的基本運(yùn)

17、動(dòng)外嚙合齒輪外嚙合齒輪221121rrvv12122112ZZrri2121 602nnn5.2 5.2 剛體的基本運(yùn)動(dòng)剛體的基本運(yùn)動(dòng)傳動(dòng)比傳動(dòng)比主動(dòng)齒輪齒數(shù)被動(dòng)齒輪齒數(shù)121221212,1 zzrrnni顯然顯然, , 當(dāng)當(dāng) , : , : 被動(dòng)齒輪的角速度增被動(dòng)齒輪的角速度增大，加速旋轉(zhuǎn)；大，加速旋轉(zhuǎn)； 1|2, 1i121|2 , 1i12當(dāng)當(dāng) , : , : 被動(dòng)齒輪的角速度減小，減速被動(dòng)齒輪的角速度減小，減速旋轉(zhuǎn)；旋轉(zhuǎn)；5.2 5.2 剛體的基本運(yùn)動(dòng)剛體的基本運(yùn)動(dòng)tdd 22ddddttkk3速度和加速度的矢量表示速度和加速度的矢量表示5.2 5.2 剛體的基本運(yùn)動(dòng)剛體的基本運(yùn)動(dòng)t

18、ttPPPPddddddrrvapvrPntPPPaaaPPratPPvanPPrv5.2 5.2 剛體的基本運(yùn)動(dòng)剛體的基本運(yùn)動(dòng)5.2 5.2 剛體的基本運(yùn)動(dòng)剛體的基本運(yùn)動(dòng)考察三維定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體考察三維定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體?ddti?ddtk?ddtj泊松公式泊松公式(Poisson formula) (Poisson formula) 設(shè)動(dòng)系設(shè)動(dòng)系O x y z 繞繞 z軸軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為 ，基基矢量為矢量為(i , j , k )5.2 5.2 剛體的基本運(yùn)動(dòng)剛體的基本運(yùn)動(dòng) 如果將如果將基基矢量矢量 (i , j , k )視為視為動(dòng)系動(dòng)系O x y z 中的矢徑，根據(jù)速度矢量的中的矢徑，根據(jù)速度矢量的定義，基矢量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)就是基定義，基矢量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)就是基矢量端點(diǎn)軌跡上各點(diǎn)矢量端點(diǎn)軌跡上各點(diǎn)(例如例如P1， P2，P3點(diǎn)點(diǎn))的速度矢量。的速度矢量。)(dd1Ptvii)(dd2Ptvjj)(dd3Ptvkk 【例【例5-2】 如圖所示，長(zhǎng)為如圖所示，長(zhǎng)為a，寬為，寬為b的矩形平板的矩形平板ABDE懸掛在兩根等長(zhǎng)為懸掛在兩根等長(zhǎng)為l ， 且相且相互平行的直桿上。板與桿之互平行的直桿上。板與桿之間用鉸鏈間用鉸鏈A，B 連接連接 。 二桿二桿又分別用鉸鏈又分別用鉸鏈 O1， O2 與固與固定的水平平面連接。已知桿定