1、第二章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動(dòng)( )( )0m y tky t 自由振動(dòng)：是指體系在沒有外來干擾作用下所發(fā)生的振動(dòng)。它是有初始位移或初始速度或兩者共同作用下引起的振動(dòng)。一、自由振動(dòng)的解1、無阻尼自由振動(dòng)方程這是個(gè)常系數(shù)線性齊次微分方程令 代入（2-1）方程得：km2( )( )0y ty t（2-1）（2-2）2、自由振動(dòng)方程的解12( )sincosy tCtCt方程（2-2）的通解由數(shù)學(xué)知識可知為：（2-3）C1、C2為待定系數(shù)，可由初始條件確定。設(shè)t=0時(shí)的初始位移 ，初速度 代入（2-3）0(0)yy0(0)yy可求得： ， 于是20Cy1yC00( )s

2、incosyy ttyt( )sin()y tAt 0220yAy001yytg（2-4）即：（2-5）式中:為單自由度體系振動(dòng)幅值；為單自由度體系振動(dòng)的初相位角。由解的表達(dá)式可知，該解為簡諧振動(dòng)。二、單自由度系統(tǒng)的動(dòng)力特性1）周期T：振動(dòng)一次所需的時(shí)間，由解答可知 單位為秒（s）2T2）頻率f：每秒鐘內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)， 單位為赫茲（Hz）1fT2T3）圓頻率 ： 秒鐘內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)， 21stgggkmmm gWy（2-6）其中 -柔度系數(shù)（單位力作用下相應(yīng)的位移） k 剛度系數(shù)（單位位移作用下所需加的力） g 重力加速度 重力 重力引起的位移styWycym1sF2sFyy12312yy2ssE

3、IkFFhyyy( )mckP t624.5 10mEIN12312=2EIkkkh1228.284/kkkrad smm4.5022fHzIfmy dfcy EIl483 ( ( )dIyP tff( ( )yP tmycy3148kEImmmlucum EIh243 1Mu( ( )yP tmycyIfmy dfcy 348lEI ()Pymycy3)(11768ltPEIP Ifmy dfcy efky ( )mycykyP t2.2 單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)一、有阻尼自由振動(dòng)的解( )( )( )0m y tc y tky t1、有阻尼自由振動(dòng)方程km2( )2( )( )0y t

4、y ty t令 阻尼比 代入（2-7）方程得：這是個(gè)常系數(shù)線性齊次微分方程（2-7）2cm（2-8）2、自由振動(dòng)方程的解由數(shù)學(xué)知識方程的解可設(shè)為 代入（2-8）可得特征方程( )rty tBe2220rr解此方程得：21,21r 3、討論于是001=DyyC20C =y這時(shí)，由于阻尼過大，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)為按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動(dòng)。1）臨界阻尼情況（ 或 ）=1=2mc00( )=e(1)ty tyty t（2-9）該系統(tǒng)不發(fā)生振動(dòng)，=1稱為臨界阻尼比2）強(qiáng)阻尼情況（ 或 ）12mc通解：1,20r此時(shí)12( )=etDDy tC shtC cht（2-10）式中2=1D 利用初始條件得：利用初始

5、條件得：12( )=(C +C t)ety t通解：此時(shí)1,2=-r200C =+yy10=yC3）低阻尼或弱阻尼情況（ 或 ）12mc1,2r此時(shí)是兩個(gè)復(fù)數(shù)根， 通解：12( )=esincostDDy tCtCt利用初始條件得：000( )=esincosesintDDDtDyyy ttytAt（2-11）式中22000=DyyAy 000=Dytgyy2=1D特性：這時(shí)的自由振動(dòng)為衰減振動(dòng)。振幅為Aet周期為：2T =DD設(shè)nA為nt時(shí)的振幅，1nAnDtT為時(shí)的振幅，則()1=nDnDtTntTnAeAeAeA為常數(shù)， 故振幅按等比級數(shù)遞減。3）低阻尼或弱阻尼情況（ 或 ）12mc是兩

6、個(gè)復(fù)數(shù)根，是兩個(gè)復(fù)數(shù)根，實(shí)際結(jié)構(gòu)表明一般鋼筋混凝土桿系結(jié)構(gòu)阻尼比為0.05，最大的阻尼比0.2（堆石壩），這時(shí)2=10.96DDy因此，工程結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算中常不計(jì)阻尼對自振圓頻率的影響，取阻尼比：拱壩0.030.05，重力壩0.050.1，土壩0.10.2二、阻尼的量測對相鄰幅值比取自然對數(shù)，稱為對數(shù)遞減率 即：222ln1DTyDDeT222yy由此得：（2-13）為獲得更高精度的 可量測相隔m個(gè)周期的兩個(gè)幅值比，這時(shí)阻尼比為：222yym（2-14）221yDmmT 其中：考慮到實(shí)際阻尼一般均小于0.2，可取11ln22ynnAA211則（2-13）和（2-14）可以簡化為：或1ln22yn

7、n mAmmA（2-16）（2-15）例2-5 結(jié)構(gòu)參數(shù)如例1，若使m產(chǎn)生側(cè)移25mm，然后突然放開，剛架產(chǎn)生自由振動(dòng)，振動(dòng)5周后測得的側(cè)移為7.12mm，試求1）考慮阻尼時(shí)的自振頻率，2）阻尼比和阻尼系數(shù)，3）振動(dòng)10周后的振幅。解：由y0=25mm和y0+5Td=7.12mm，求阻尼比和阻尼系數(shù)。00 51125lnln0.04210107.12dyTymy考慮阻尼影響的自振頻率和工程頻率22 5000 28.284 0.04 11313.6/Cmkg s 22128.28410.0428.281/drads214.498dffHz顯然與 非常接近。f由2dmn mnyey取n=0，m=5

8、,10 有：2 550dyey 2 10100dyey 兩式相除：2 51055000/dyyyeyyy 22510007.122.02825yyymmy2.3單自由度系統(tǒng)簡諧荷載作用下的受迫振動(dòng)一、無阻尼受迫振動(dòng)1、無阻尼受迫振動(dòng)方程的解( )( )sinmy tky tFt設(shè)動(dòng)力荷載為簡諧荷載則無阻尼受迫振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程為：2( )( )sinFy ty ttm即：12( )sincosy tCtCt其解由齊次解與特解組成。設(shè)特解為：*( )siny tDt代入方程得22()FDm22*( )sin()Fyttm再由初始條件可確定齊次解中的C1、C2002222( )sincossinsiny

9、FFy ttytttmm222221( )sin=sin(1)FFy tttmm 前三項(xiàng)頻率都為自由振動(dòng)的頻率，后一項(xiàng)頻率為荷載頻率當(dāng)考慮阻尼時(shí)，前三項(xiàng)的自由振動(dòng)將會很快衰減掉，之后系統(tǒng)只按干擾力頻率受迫振動(dòng)。2、動(dòng)力系數(shù) 對于純受迫振動(dòng)2112kmmkm( )sinsinstFy ttytkmaxmax/ststyy oryy設(shè)又則故 振幅（振動(dòng)的最大值）這里sty為動(dòng)力荷載振幅值作用于質(zhì)體所產(chǎn)生的靜位移稱為動(dòng)力系數(shù)也稱振幅放大系數(shù)。討論：1）2）11maxstyy則 為正( )y t 與F(t)方向一致11maxstyy它相當(dāng)于靜荷載作用10( )y t 與F(t)方向相反 為負(fù) 0max

10、0y只在平衡位置作微小的振動(dòng)maxy 共振3）=1 例：圖示無重簡支梁，跨中有重為m的質(zhì)點(diǎn)，動(dòng)力荷載為 作用，若 及 試求在荷載F(t)作用下，質(zhì)體的最大動(dòng)力位移。( )=sinF tFt1348=0.8EIml2348=1.2EImlL/4L/2L/21F(t）EI2解：用圖乘法求柔度系數(shù)，311=48lEI31211=768lEI該梁的自振頻率311148=EImml按疊加原理列質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程：1112=()( )ym yF t即：21211( )0.6875sinF tFyytmm于是：222(0.6875)sin/(1)Fytm12當(dāng)荷載按3max=0.0398FlyEI3max=0.

11、0326FlyEI振動(dòng)時(shí)當(dāng)荷載按振動(dòng)時(shí)例：圖示簡支梁，其上安裝有一臺質(zhì)量為m=2000Kg的發(fā)動(dòng)機(jī)，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的離心力P=1960N,設(shè)梁為22b號工字型鋼, 試驗(yàn)算當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)數(shù)為400到500r/min時(shí)，應(yīng)增大還是降低梁的慣性矩43570cmI 42=2.058 10/EN m =120PaI25a號工字型鋼工字型鋼 22b號工字型鋼工字型鋼45023.54cmI 42500cmI 3w250cmPsin ta=2mb=3m解：梁的自振頻率：=stgy2211118232000 9.8 4 933 2.058 103570 1050.0064( )stymgmgEIlm 9.8=39.1/strad sy當(dāng)12400=400 / min41.9/60rrad s時(shí)22500=500 / min52.4/60rrad s自振頻率與1相當(dāng)接近，放大系數(shù)241.939.11=6.741 () 20b號工字型鋼工字型鋼梁上最大應(yīng)力0max1=()108.