1、真實應力應變關系曲線與平面問題本節主要內容本節主要內容10.1 等效應力和等效應變等效應力和等效應變10.2 真應力真應力-（教材第三章第六節）（教材第三章第六節）10.3 平面變形和軸對稱變形平面變形和軸對稱變形（教材第三章第三節）（教材第三章第三節）2022-5-10210.1.1 等效應力等效應力o 把把s ss看成經過某一變形程度下看成經過某一變形程度下的單向應力狀態的屈服極限的單向應力狀態的屈服極限,則則可稱可稱s ss為變形抗力。為變形抗力。ABCDe es so 如圖所示，拉伸變形到如圖所示，拉伸變形到C點，然后卸載到點，然后卸載到D點，如果再在點，如果再在同方向上拉伸，便近似認

2、為在原來開始卸載時所對應的應同方向上拉伸，便近似認為在原來開始卸載時所對應的應力附近（即點力附近（即點C處）發生屈服。這一屈服應力比退火狀處）發生屈服。這一屈服應力比退火狀態的初始屈服應力提高，是由于金屬加工硬化的結果。態的初始屈服應力提高，是由于金屬加工硬化的結果。所以在單向拉伸的情況下，不論對初始屈服應力還是變所以在單向拉伸的情況下，不論對初始屈服應力還是變形過程中的繼續屈服極限，統稱為金屬變形抗力。形過程中的繼續屈服極限，統稱為金屬變形抗力。 2022-5-103o 若令若令則金屬屈服時有則金屬屈服時有則為等效應力，等效于單向拉伸時的應力狀態。則為等效應力，等效于單向拉伸時的應力狀態。2

3、022-5-104o 對于單向拉伸對于單向拉伸時，金屬處于彈性狀態時，金屬處于彈性狀態時，金屬進入塑性狀態時，金屬進入塑性狀態同樣同樣，復雜應力狀態時，復雜應力狀態時，時，金屬處于彈性狀態時，金屬處于彈性狀態sss時，金屬進入塑性狀態時，金屬進入塑性狀態2022-5-105o 在一般應力狀態下，等效應力為在一般應力狀態下，等效應力為 當材料屈服時有當材料屈服時有 其中其中s ss，為單向應力狀態下獲得的屈服極限，為單向應力狀態下獲得的屈服極限 2022-5-10610.1.2 等效應變等效應變o 在簡單應力狀態下，我們可以得到一條應在簡單應力狀態下，我們可以得到一條應力力應變關系曲線，若知道了

4、變形程度，則應變關系曲線，若知道了變形程度，則其所對應的應力，從該曲線上也可以得到。其所對應的應力，從該曲線上也可以得到。o 那么可以說，對同一金屬在同樣的變形溫那么可以說，對同一金屬在同樣的變形溫度度變形速度條件下，等效應力取決于變形變形速度條件下，等效應力取決于變形程度。如果這樣的話，一般應力狀態是否存程度。如果這樣的話，一般應力狀態是否存在這一應力在這一應力應變關系曲線？應變關系曲線？ 2022-5-107 此式表示的應變增量此式表示的應變增量 就是等效應變增量就是等效應變增量比例加載時，即比例加載時，即 為等效應變為等效應變 2022-5-10822212233129dddddddee

5、eeeee等式兩邊分別除以變形時間等式兩邊分別除以變形時間dt，則得到，則得到為等效應變速率為等效應變速率 2022-5-10910.1.3 等效應變與等效應力的關系等效應變與等效應力的關系o 由由LevyMises流動法則，流動法則， 22212233129dddddddeeeeeee代入代入2022-5-1010o 得到得到或或此式即為等效應變增量此式即為等效應變增量與等效應力的關系與等效應力的關系 則則LevyMises流動法則可以寫成流動法則可以寫成 2022-5-1011o 這樣，由于引入等效應變增量這樣，由于引入等效應變增量 與等效應與等效應力力 ，則本構方程中的比例系數，則本構方

6、程中的比例系數 便可以便可以確定，從而也就可以求出應變增量的具體數確定，從而也就可以求出應變增量的具體數值。值。 des2022-5-101210.2 曲線曲線變形抗力曲線變形抗力曲線o 不論是一般應力狀態還是簡單應力狀態作出不論是一般應力狀態還是簡單應力狀態作出的應力應變曲線，就是的應力應變曲線，就是 曲線，此曲線曲線，此曲線也叫變形抗力曲線或加工硬化曲線，或真應也叫變形抗力曲線或加工硬化曲線，或真應力曲線。目前常用以下四種簡單應力狀態的力曲線。目前常用以下四種簡單應力狀態的試驗來做金屬變形抗力曲線。試驗來做金屬變形抗力曲線。 es2022-5-1013真實應力-應變曲線o 延伸率延伸率o

7、斷面收縮率斷面收縮率o 對數應變對數應變 o 真實應力：真實應力：2022-5-1014真實應力-應變曲線的確定o單向拉伸試驗單向拉伸試驗 最大應變量受塑性失穩限制最大應變量受塑性失穩限制 1.01.0，精確段，精確段0.30.3 需校正形狀硬化效應的影響需校正形狀硬化效應的影響o單向壓縮試驗：單向壓縮試驗： 最大應變量可達最大應變量可達2.02.0或更高或更高 由于摩擦的存在圓柱試樣出現鼓形由于摩擦的存在圓柱試樣出現鼓形o軋制壓縮試驗：軋制壓縮試驗： 適于板料適于板料 試驗結果需處理（平面應變壓縮試驗結果需處理（平面應變壓縮單向壓縮）單向壓縮）2022-5-1015o 單向拉伸單向拉伸 20

8、22-5-1016o 單向壓縮單向壓縮 可見單向應力狀態等效應力等于金屬變形抗力；等效應變可見單向應力狀態等效應力等于金屬變形抗力；等效應變等于絕對值最大主應變。等于絕對值最大主應變。 2022-5-1017o 平面變形壓縮平面變形壓縮 其中其中為平面變形抗力為平面變形抗力2022-5-1018o 薄壁管扭轉薄壁管扭轉 2022-5-1019真實應力-應變曲線的簡化o 冪指數硬化曲線冪指數硬化曲線 o 剛塑性硬化曲線剛塑性硬化曲線 o 剛塑性硬化直線剛塑性硬化直線 o 理想塑性直線理想塑性直線 2022-5-10202022-5-1021變形溫度對真實應力-應變曲線的影響流動應力隨變形溫度升高

9、而下降流動應力隨變形溫度升高而下降硬化程度隨溫度升高而減小（斜率減小）硬化程度隨溫度升高而減小（斜率減小）變形速度對真實應力-應變曲線的影響冷變形時：冷變形時： 溫度效應顯著，影響較小溫度效應顯著，影響較小熱變形時：熱變形時： 溫度效應小，影響較大溫度效應小，影響較大溫變形時：溫變形時： 影響處于冷變形和熱變形中間影響處于冷變形和熱變形中間 a) a)冷變形冷變形 b)b)溫變形溫變形 c)c)熱變形熱變形10.3 平面變形和軸對稱變形平面變形和軸對稱變形o 塑性力學問題共有九個未知數，即六個應力分量和三個位移塑性力學問題共有九個未知數，即六個應力分量和三個位移分量。與此對應，則有三個力平衡方

10、程和六個應力應變關系分量。與此對應，則有三個力平衡方程和六個應力應變關系方程。雖然可解，但在解析上要求出能滿足這些方程和給定方程。雖然可解，但在解析上要求出能滿足這些方程和給定邊界條件的嚴密解是十分困難的。然而，如果應力邊界條件邊界條件的嚴密解是十分困難的。然而，如果應力邊界條件給定，對于平面變形問題，靜力學可以求出應力分布，而成給定，對于平面變形問題，靜力學可以求出應力分布，而成為靜定問題。對于軸對稱問題，引入適當假設，也可以靜定為靜定問題。對于軸對稱問題，引入適當假設，也可以靜定化。塑性加工問題許多是平面變形問題和軸對稱問題，也有化。塑性加工問題許多是平面變形問題和軸對稱問題，也有許多可以

11、分區簡化為平面變形問題來處理。許多可以分區簡化為平面變形問題來處理。 2022-5-102410.3.1 平面應力平面應力o 變形體內與某方向軸垂直的平面上無應力存變形體內與某方向軸垂直的平面上無應力存在，并且所有的應力分量與該軸無關，這種在，并且所有的應力分量與該軸無關，這種應力狀態即為平面應力狀態應力狀態即為平面應力狀態 o 工程實際中，薄壁管扭轉、工程實際中，薄壁管扭轉、薄壁容器承受內壓、板料成薄壁容器承受內壓、板料成形中的一些工序，厚度方向形中的一些工序，厚度方向的應力很小，可簡化為平面的應力很小，可簡化為平面應力狀態應力狀態2022-5-1025例題一兩端封閉的薄壁圓筒，半徑為r，壁

12、厚為t，受內壓力p的作用，試求此圓筒產屈服時的內壓力p。（設材料單向拉伸時的屈服應力為 ） （在內表面）（在外表面）P2rtzspszsPss2022-5-1026o 應力特點應力特點 假設與假設與z z軸垂直的平面上沒有應力作用：軸垂直的平面上沒有應力作用： 平面應力狀態：平面應力狀態：而而2022-5-1027o 主應力o 主切應力2022-5-1028o 力平衡微分方程力平衡微分方程 2022-5-10292022-5-1030o 主切應力平面上的正應力為零主切應力平面上的正應力為零o 主切應力在數值上等于正應力主切應力在數值上等于正應力2022-5-103110.3.2 平面應變平面應

13、變o 變形體內所有質點只在同一個坐標平面之內變形體內所有質點只在同一個坐標平面之內變形，在該平面的法線方向上沒有變形，這變形，在該平面的法線方向上沒有變形，這種變形稱為平面變形或平面應變種變形稱為平面變形或平面應變 2022-5-1032o 應力特點應力特點 平面應變狀態：平面應變狀態：而而 平面應力狀態：平面應力狀態：而而)(21312sss3s2022-5-1033平面應變狀態的應力偏張量是純剪切應力狀態平面應變狀態的應力偏張量是純剪切應力狀態2022-5-1034)(21312sss3s2022-5-1035平面應變狀態的應力張量是純切應力張量疊加球應力張量平面應變狀態的應力張量是純切應

14、力張量疊加球應力張量2022-5-1036o 應變特點應變特點 31ee02e3e2022-5-1037o 幾何方程幾何方程 xuxxexuyuyxxy21eyuyyeyuzuzyyz21ezuzzezuxuxzzx21eiujujiij21e或或2022-5-1038o 力平衡微分方程力平衡微分方程 2022-5-1039o 屈服條件屈服條件o 本構方程本構方程 2022-5-104010.3.3 軸對稱變形軸對稱變形o 變形體為旋轉體，旋轉體承受的外力對稱于變形體為旋轉體，旋轉體承受的外力對稱于旋轉軸分布，變形體內質點的應力狀態即為旋轉軸分布，變形體內質點的應力狀態即為軸對稱應力狀態軸對稱

15、應力狀態 2022-5-1041o 應力特點應力特點o 應變特點應變特點 變形均勻時有變形均勻時有2022-5-1042o 幾何方程幾何方程 2022-5-1043o 力平衡微分方程力平衡微分方程 2022-5-1044o 屈服條件屈服條件o 本構方程本構方程 變形均勻時變形均勻時 2022-5-1045金屬塑性成形原理金屬塑性成形原理力學部分主要內容力學部分主要內容o 應力狀態分析應力狀態分析o 應變狀態分析應變狀態分析o 變形力學方程變形力學方程o 滑移線場理論滑移線場理論o 主應力法主應力法o 上界法上界法o 有限元法有限元法塑性加工力學基塑性加工力學基礎部分礎部分塑性加工力學問題求塑性

16、加工力學問題求解方法部分解方法部分2022-5-1046一點應力張量一點應力張量x面面y面面z面面x方向方向y方向方向z方向方向2022-5-1047切應力互等定理切應力互等定理2022-5-1048o通過變形體內任意點垂直坐標軸截取三個相互垂直的截面和與坐標通過變形體內任意點垂直坐標軸截取三個相互垂直的截面和與坐標軸成任意角度的傾斜截面，這四個截面構成一個四面體素軸成任意角度的傾斜截面，這四個截面構成一個四面體素 2022-5-1049斜面上任一點應力狀態斜面上任一點應力狀態zxyos sxs s ys szt txyt tyzt tyxt txzt tzyt tzxSnnSnxSnySnz

17、s snt t nBACds2022-5-1050全應力在各坐標軸上的分量全應力在各坐標軸上的分量o 全應力分量方程全應力分量方程o 用矩陣表示為用矩陣表示為（）2022-5-1051斜微分面上的正應力、切應力o把微分斜面上的合應力把微分斜面上的合應力Sn，向法線，向法線n方向投影，便可求出微分斜方向投影，便可求出微分斜面上的正應力，或將面上的正應力，或將Snx、Sny、Snz分別投影到法線分別投影到法線n上，也同樣上，也同樣得到微分斜面上的正應力，即得到微分斜面上的正應力，即 o 將將Snx、Sny、Snz帶入上式得帶入上式得o微分面上的剪應力為微分面上的剪應力為2022-5-1052o 若坐標軸為主軸，則與坐標軸垂直的截面上的切應若坐標軸為主軸，則與坐標軸垂直的截面上的切應力為零，則由力為零，則由可得可得而而所以所以2022-5-1053應力邊界條件方程o如果該四面體素的斜面恰好如果該四面體素的斜面恰好為變形體的外表面上的微面為變形體的外表面上的微面素，并假定此面素單位面積素，并假定此面素單位面積上的作用力在坐標軸方向的上的作用力在坐標軸方向的分力分別為分力分別為px、py、pz，則，則2022-5-1054o 應力邊界條件方程的物理意義：應力邊界條件方程的物理意義：o 建立了過外表面上任意點，單位表面力與過建立了