1、1. .2 晶格的基本類型晶格的基本類型第第 1 章章 晶體結構晶體結構固體固體物理物理導論導論1. 1. 對稱操作對稱操作 一幾何體在旋轉、反演、鏡面反映等變換一幾何體在旋轉、反演、鏡面反映等變換下不變，那么該變換就稱為幾何體的對稱操作下不變，那么該變換就稱為幾何體的對稱操作1.2. 0 晶體的對稱性晶體的對稱性旋轉旋轉rr反演反演鏡面反映鏡面反映1. .2 晶格的基本類型晶格的基本類型第第 1 章章 晶體結構晶體結構固體固體物理物理導論導論2. 2. 晶體答應的旋轉對稱軸晶體答應的旋轉對稱軸 設繞經過格點設繞經過格點B垂直垂直于紙面的軸旋轉于紙面的軸旋轉a角度為角度為對稱操作對稱操作ABC

2、DCBC C 根據格點的等價性，繞經過根據格點的等價性，繞經過C點垂直于紙面點垂直于紙面的軸旋轉的軸旋轉-a角度也為對稱操作角度也為對稱操作B BBC / BCBC = m BC, m ZBC = BC1+2cos(p-a)1. .2 晶格的基本類型晶格的基本類型第第 1 章章 晶體結構晶體結構固體固體物理物理導論導論 如繞軸旋轉如繞軸旋轉2p/n角度及其整數倍為對稱操角度及其整數倍為對稱操作，那么稱該軸為作，那么稱該軸為 n 度軸度軸n 重軸重軸. n=1，稱，稱為不變操作，旋轉為不變操作，旋轉2p角度相當于不動角度相當于不動m BC= BC1+2cos(p-a)cosa = (1-m)/2

3、m-101230-1m362423222 結論：晶體中不存在結論：晶體中不存在5度軸，也不存在度軸，也不存在7度度以及以及7度以上的對稱軸度以上的對稱軸1. .2 晶格的基本類型晶格的基本類型第第 1 章章 晶體結構晶體結構固體固體物理物理導論導論3. 3. 反演反演 對原點對原點O的反演，使的反演，使 的操作稱為的操作稱為中心反演，用符號中心反演，用符號 i 表示表示rr4. 4. 旋轉反演旋轉反演 旋轉與反演的結合的對稱操作，稱為旋轉與反演的結合的對稱操作，稱為 n 度度旋轉反演對稱旋轉反演對稱 受周期性制約，同樣不存在受周期性制約，同樣不存在5度、度、7度及度及7度度以上的旋轉反演軸以上

4、的旋轉反演軸1. .2 晶格的基本類型晶格的基本類型第第 1 章章 晶體結構晶體結構固體固體物理物理導論導論5. 5. 立方體的對稱操作立方體的對稱操作 總的對稱操作數：總的對稱操作數： 24+24=48對稱操作對稱操作 對稱操作數對稱操作數不動不動16個個2度軸度軸64個個3度軸度軸83個個4度軸度軸9旋轉反演旋轉反演241. .2 晶格的基本類型晶格的基本類型第第 1 章章 晶體結構晶體結構固體固體物理物理導論導論6. 6. 正四面體的對稱操作正四面體的對稱操作 總的對稱操作數：總的對稱操作數： 12+12=24對稱操作對稱操作對稱操作數對稱操作數不動不動13個個2度軸度軸34個個3度軸度

5、軸8總旋轉操作數總旋轉操作數1+3+8=12立方體面對角線立方體面對角線旋轉旋轉p p+中心反演中心反演121. .2 晶格的基本類型晶格的基本類型第第 1 章章 晶體結構晶體結構固體固體物理物理導論導論7. 7. 對稱操作的標志對稱操作的標志 1、2、3、4、6度軸可用數字度軸可用數字1、2、3、4、6表示；表示；1、2、3、4、6度旋轉反演軸，可度旋轉反演軸，可用用 、 、 、 、 表示；鏡面反映用表示；鏡面反映用m表示表示12 3 45 留意：留意： n 度旋轉代表一切的繞軸旋轉度旋轉代表一切的繞軸旋轉(2p/n)s 的操作，的操作，s 為恣意整數為恣意整數 顯然：顯然：m2i11. .

6、2 晶格的基本類型晶格的基本類型第第 1 章章 晶體結構晶體結構固體固體物理物理導論導論8. 8. 群群 一組定義了群乘運算的元素的集合一組定義了群乘運算的元素的集合G，假設滿，假設滿足以下條件，就稱為群，群元的個數稱為群的階足以下條件，就稱為群，群元的個數稱為群的階單位元存在，設為單位元存在，設為E E，有，有 AEEAA AEEAA，A AG G逆元存在，逆元存在，BAABE, BAABE, 記記 BA1, A,B BA1, A,BG G滿足結合律滿足結合律 (AB)CA(BC), A,B,C (AB)CA(BC), A,B,CG G具有封鎖性具有封鎖性, , 假設假設A,B A,B G

7、G，那么，那么 ABC ABC G G1. .2 晶格的基本類型晶格的基本類型第第 1 章章 晶體結構晶體結構固體固體物理物理導論導論9. 9. 點群點群 晶體的對稱操作滿足群的性質，因此常用晶體的對稱操作滿足群的性質，因此常用對稱性群來描畫晶體的宏觀對稱性，對稱操作對稱性群來描畫晶體的宏觀對稱性，對稱操作即為群的元素即為群的元素 上述晶體的宏觀對稱操作都不改動一個特上述晶體的宏觀對稱操作都不改動一個特殊點的位置，即選定的原點，常稱晶體宏觀對殊點的位置，即選定的原點，常稱晶體宏觀對稱性群為晶體點群。晶體點群共稱性群為晶體點群。晶體點群共32種。種。1. .2 晶格的基本類型晶格的基本類型第第

8、1 章章 晶體結構晶體結構固體固體物理物理導論導論3232個點群熊夫利符號記法個點群熊夫利符號記法 1. 只含一個元素不動，用只含一個元素不動，用C1標志，表示沒標志，表示沒有任何對稱的晶體，有任何對稱的晶體，1個個2. 只包含一個旋轉軸的點群稱為盤旋群，標志只包含一個旋轉軸的點群稱為盤旋群，標志為為 C2， C3， C4， C6 ，共，共4個個3. 包含一個包含一個 n 度軸和度軸和 n 個與之垂直的個與之垂直的2度軸的點群度軸的點群稱為雙面群，標志為稱為雙面群，標志為 D2， D3， D4， D6 ，共，共4個個1. .2 晶格的基本類型晶格的基本類型第第 1 章章 晶體結構晶體結構固體固

9、體物理物理導論導論4. C1群加上中心反演組成群加上中心反演組成 Ci 群；群； C1群加上鏡群加上鏡面反映組成面反映組成 Cs 群，群，2個個5. Cn群加上與群加上與 n 度軸垂直的鏡面反映組成度軸垂直的鏡面反映組成 Cnh 群，共群，共4個；個； Cn群加上群加上 n 個含個含 n 度軸的鏡面反度軸的鏡面反映組成映組成 Cnv 群，共群，共4個個6. Dn群加上與群加上與 n 度軸垂直的鏡面反映組成度軸垂直的鏡面反映組成 Dnh 群，群，共共4個；個；Dn群加上經過群加上經過 n 度軸及兩度軸及兩2度軸角平分線度軸角平分線的鏡面反映組成的鏡面反映組成 Dnd 群，只需群，只需D2d、D3

10、d，共，共2個個1. .2 晶格的基本類型晶格的基本類型第第 1 章章 晶體結構晶體結構固體固體物理物理導論導論7. 只包含旋轉反演軸的點群，標志為只包含旋轉反演軸的點群，標志為Sn 群，但群，但S1=Ci， S2=Cs， S3=C3h，只需，只需S4，S6群，共群，共2個個8. 立方對稱的立方對稱的48個對稱操作稱為立方點群，用個對稱操作稱為立方點群，用Oh標志；正四面體的標志；正四面體的24個對稱操作，稱為正四個對稱操作，稱為正四面體群，用面體群，用Td 標志。共標志。共2個個9. Oh 群中的群中的24個純轉動操作組成個純轉動操作組成 O 群；群；Td 群中的群中的12個純轉動操作組成個

11、純轉動操作組成 T 群；群； T 群加中群加中心反演組成心反演組成 Th 群。共群。共3個個1. .2 晶格的基本類型晶格的基本類型第第 1 章章 晶體結構晶體結構固體固體物理物理導論導論1. n/m表示有一垂直于表示有一垂直于Cn軸的鏡面軸的鏡面點群的國際符號記法的一些闡明點群的國際符號記法的一些闡明 2. mm，mmm 表示有兩組或三組不等價的鏡面表示有兩組或三組不等價的鏡面3. 對立方晶系：對立方晶系： 23 表示有一組等價的表示有一組等價的C3軸，一組等價的軸，一組等價的C2軸；軸； m3 表示有一組等價的表示有一組等價的C3軸和一組等價的鏡面；軸和一組等價的鏡面；432 表示有等價的

12、表示有等價的C4、C3、C2軸；軸；43m 表示有一組等價的表示有一組等價的S4軸，一組等價的軸，一組等價的C3軸，和一軸，和一組等價的鏡面；組等價的鏡面； m3m表示有一組等價的表示有一組等價的C3軸和兩組不等價的鏡面軸和兩組不等價的鏡面1. .2 晶格的基本類型晶格的基本類型第第 1 章章 晶體結構晶體結構固體固體物理物理導論導論1. 1. 斜方斜方 布拉維格子：簡單斜方布拉維格子：簡單斜方1.2. 2 二維晶格的分類二維晶格的分類ba 90四大晶系和五種布拉維格子四大晶系和五種布拉維格子ba1. .2 晶格的基本類型晶格的基本類型第第 1 章章 晶體結構晶體結構固體固體物理物理導論導論2

13、. 2. 長方長方 簡單長方簡單長方ba 90ba有心長方有心長方ba1. .2 晶格的基本類型晶格的基本類型第第 1 章章 晶體結構晶體結構固體固體物理物理導論導論3. 3. 正方正方 簡單正方簡單正方ba 90ba1. .2 晶格的基本類型晶格的基本類型第第 1 章章 晶體結構晶體結構固體固體物理物理導論導論4. 4. 六角六角 簡單六角簡單六角ba 120ba1. .2 晶格的基本類型晶格的基本類型第第 1 章章 晶體結構晶體結構固體固體物理物理導論導論晶系軸和角度布拉維格子斜方ab, 90簡單斜方長方ab, =90簡單長方有心長方正方a=b, =90簡單正方六角a=b, =120簡單六

14、角二維晶格的晶系和布拉維格子二維晶格的晶系和布拉維格子1. .2 晶格的基本類型晶格的基本類型第第 1 章章 晶體結構晶體結構固體固體物理物理導論導論1.2. 3 三維晶格的分類三維晶格的分類abcb1. 1. 三斜三斜 cbab布拉維格子：簡單三斜布拉維格子：簡單三斜七大晶系和十四種布拉維格子七大晶系和十四種布拉維格子1. .2 晶格的基本類型晶格的基本類型第第 1 章章 晶體結構晶體結構固體固體物理物理導論導論2. 2. 單斜單斜 cbab90布拉維格子：布拉維格子：1. 簡單單斜簡單單斜2. 底心單斜底心單斜abcb1. .2 晶格的基本類型晶格的基本類型第第 1 章章 晶體結構晶體結構

15、固體固體物理物理導論導論3. 3. 正交正交 cba90b布拉維格子：布拉維格子：1. 簡單正交簡單正交2. 底心正交底心正交3. 體心正交體心正交4. 面心正交面心正交abcb1. .2 晶格的基本類型晶格的基本類型第第 1 章章 晶體結構晶體結構固體固體物理物理導論導論4. 4. 四方四方 cba90b布拉維格子：布拉維格子：1. 簡單四方簡單四方2. 體心四方體心四方abcb1. .2 晶格的基本類型晶格的基本類型第第 1 章章 晶體結構晶體結構固體固體物理物理導論導論5. 5. 立方立方 cba90b布拉維格子：布拉維格子：1. 簡單立方簡單立方2. 體心立方體心立方3. 面心立方面心

16、立方abcb1. .2 晶格的基本類型晶格的基本類型第第 1 章章 晶體結構晶體結構固體固體物理物理導論導論6. 6. 三角三角 cba90,120 b布拉維格子：三角布拉維格子：三角abcb1. .2 晶格的基本類型晶格的基本類型第第 1 章章 晶體結構晶體結構固體固體物理物理導論導論7. 7. 六角六角 cba120 ,90b布拉維格子：六角布拉維格子：六角abcb1. .2 晶格的基本類型晶格的基本類型第第 1 章章 晶體結構晶體結構固體固體物理物理導論導論晶系晶系布拉維格子布拉維格子晶胞參數晶胞參數所屬點群所屬點群三斜簡單三斜ab c b C1、Ci單斜簡單單斜底心單斜ab c=90 bC2、Cs、C2h正交簡單正交底心正交體心正交面心正交ab c= b = 90D2、C2V、D2h三維維晶格的七大晶系和十四種布拉維格