1、1.1 1.1 任意角和弧度制任意角和弧度制 1.1.1 1.1.1 任意角任意角第一章第一章 三角函數三角函數 高中新課程數學必修高中新課程數學必修知識回顧知識回顧1.1.想一想，初中時我們是怎么定義角想一想，初中時我們是怎么定義角 的？的？角的取值范圍如何？角的取值范圍如何？ 定義：角是由平面內一點引出的兩條定義：角是由平面內一點引出的兩條射線所組成的圖形。射線所組成的圖形。范圍：范圍：0o180o范圍：范圍：0o360o 過去我們學習了過去我們學習了0 0o o360360o o范范圍的角，但在實際問題中還會遇到圍的角，但在實際問題中還會遇到其他角其他角 再如鐘表的指針、擰動螺絲再如鐘表

2、的指針、擰動螺絲的扳手等，它們按照不同方向旋的扳手等，它們按照不同方向旋轉所成的角，不全是轉所成的角，不全是0 0o o360360o o范圍內的角范圍內的角. .因此，我們必須將角因此，我們必須將角的概念進行推廣的概念進行推廣. . 知識探究（一）：角的概念的推廣知識探究（一）：角的概念的推廣 思考思考1 1：怎樣升級角的定義，讓它更科學怎樣升級角的定義，讓它更科學更合理？更合理？ 由平面內一條射線繞其端點從由平面內一條射線繞其端點從一個位置旋轉到另一個位置所組成一個位置旋轉到另一個位置所組成的圖形的圖形.oAB思考思考2 2：如圖，一條射線的端點是如圖，一條射線的端點是O O，它，它從起始

3、位置從起始位置OAOA旋轉旋轉到終止位置到終止位置OBOB，形成，形成了一個角了一個角，其中點，其中點O O，射線，射線OAOA、OBOB分別分別叫什么名稱？叫什么名稱？A AOB B始邊始邊終終邊邊頂點頂點思考思考3 3：為了區分形成角的兩種不同的旋為了區分形成角的兩種不同的旋轉方向，可以作怎樣的規定？如果一條轉方向，可以作怎樣的規定？如果一條射線沒有作任何旋轉，它還形成一個角射線沒有作任何旋轉，它還形成一個角嗎？嗎？ 規定：規定：按按逆時針逆時針方向旋轉形成的角叫做方向旋轉形成的角叫做正角正角，按按順時針順時針方向旋轉形成的角叫做方向旋轉形成的角叫做負角負角如果一條射線如果一條射線沒有作任

4、何旋轉沒有作任何旋轉，則稱它，則稱它形成了一個形成了一個零角零角. .思考思考4 4：如何確定一個角呢？如何確定一個角呢？ 方向：順時針、逆時針方向：順時針、逆時針 圈數圈數2 2、有結果、有結果 1、有過程、有過程終點位置終點位置說明：說明：1 1、角的正負的規定純屬習慣；角的正負的規定純屬習慣；任何新概念，新知識的產生，都有它的現實任何新概念，新知識的產生，都有它的現實意義，生活需要。意義，生活需要。2 2、 零角無正負，始邊與終邊重合零角無正負，始邊與終邊重合考慮：始邊與終邊重合的角是零角，對考慮：始邊與終邊重合的角是零角，對否？否？ 畫圖表示一個大小一定的角，畫圖表示一個大小一定的角，

5、先畫一條射線作為角的始邊，先畫一條射線作為角的始邊，再由角的正負確定角的旋轉再由角的正負確定角的旋轉方向，再由角的絕對值大小方向，再由角的絕對值大小確定角的旋轉量，畫出角的確定角的旋轉量，畫出角的終邊，并用帶箭頭的螺旋線終邊，并用帶箭頭的螺旋線加以標注加以標注. . B B2 2A AB B1 1O O思考思考5 5：度量一個角的大小，既要考慮旋轉方度量一個角的大小，既要考慮旋轉方向，又要考慮旋轉量，通過上述規定，角的向，又要考慮旋轉量，通過上述規定，角的范圍就擴展到了任意大小范圍就擴展到了任意大小. . 對于對于210210，150150，660660，你能用圖形表，你能用圖形表示這些角嗎？

6、你能總結一下作圖的要點嗎？示這些角嗎？你能總結一下作圖的要點嗎？ 知識探究（二）：知識探究（二）：象限角象限角 思考思考1 1：為了進一步研究角的需要，我們為了進一步研究角的需要，我們常在直角坐標系內討論角，并使常在直角坐標系內討論角，并使角的頂角的頂點與原點重合點與原點重合, ,角的始邊與角的始邊與x x軸的非負半軸的非負半軸重合軸重合，那么對一個任意角，角的終邊，那么對一個任意角，角的終邊可能落在哪些位置？可能落在哪些位置？ xoy思考思考2 2：如果角的終邊在第幾象限，我們如果角的終邊在第幾象限，我們就說這個角是就說這個角是第幾象限的角第幾象限的角；如果角的；如果角的終邊在坐標軸上，就認

7、為這個角不屬于終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何象限，或稱這個角為任何象限，或稱這個角為軸線角軸線角. .那么下那么下列各角：列各角：-50-50，405405，210210, , -200-200，450450分別是第幾象限的角？分別是第幾象限的角？50 xyoxyo210450 xyo405xyo200 xyo思考思考4 4：第二象限的角一定比第一象限的第二象限的角一定比第一象限的角大嗎？角大嗎？ 象限角只能反映角的終邊所在象限，不象限角只能反映角的終邊所在象限，不能反映角的大小能反映角的大小. 思考思考5 5：若若 180180360360，那么，那么 一定在第三象限或第四象限嗎？一

8、定在第三象限或第四象限嗎？思考思考3 3：銳角是第幾象限角？銳角是第幾象限角？第一象限角一定是銳角嗎？第一象限角一定是銳角嗎？思考思考6 6：在直角坐標系中，在直角坐標系中，135135角的終角的終邊在什么位置？終邊在該位置的角一定邊在什么位置？終邊在該位置的角一定是是135135嗎？嗎？xyo知識探究（三）：知識探究（三）：終邊相同的角終邊相同的角 思考思考1 1：3232，328328，392392是第幾是第幾象限的角？這些角有什么內在聯系？象限的角？這些角有什么內在聯系？32392xyo o328328328= = 3232 +360 +360392392= = 3232 -360 -3

9、60思考思考2：與與32角終邊相同的角有多少角終邊相同的角有多少個？個？ 這些角與這些角與32角在數量上相差多角在數量上相差多少？少？ 思考思考3：所有與所有與32角終邊相同的角，角終邊相同的角，連同連同32角在內，可構成一個集合角在內，可構成一個集合S，你能用描述法表示集合你能用描述法表示集合S嗎？嗎？ S=|=S=|=3232k k360360，kZkZk360k360（kZkZ）S=|=S=|=k k360360，kZkZ，即任一與即任一與終邊相同的角，都可以表示終邊相同的角，都可以表示成角成角與整數個周角的和與整數個周角的和. .思考思考4 4：一般地，所有與角一般地，所有與角終邊相同

10、的終邊相同的角，連同角角，連同角在內所構成的集合在內所構成的集合S S可以怎可以怎樣表示？樣表示？ 注：注： kZ； 角相等，終邊一定相同；但角相等，終邊一定相同；但終邊相同，角不一定相等，這樣的終邊相同，角不一定相等，這樣的角有無窮多個，它們相差角有無窮多個，它們相差360的的整數倍；整數倍； 是任意角是任意角(正角，負角，零正角，負角，零角角)，但一般人們通常選用，但一般人們通常選用0到到360之間的角，以便觀察它是第之間的角，以便觀察它是第幾象限角幾象限角銳角：銳角： 090：小于小于90的角：的角： 第一象限角：第一象限角： 區分幾個容易混淆的角區分幾個容易混淆的角| 0 90| 09

11、0|90| k360k360+90，kZ13010801110360oooo 21217972048540-360oooo 例例l、在、在0360范圍內，找出與下列各角終邊范圍內，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角：相同的角，并判定它們是第幾象限角： 1110 -1234 665 -54048 1110=30+3360 -54048 =17912+(-2)360解：解： 1110=30+3360與與30的角終邊相同，是第一象限角的角終邊相同，是第一象限角 -1234=206+(-4)360與與206的角終邊相同，是第三象限角的角終邊相同，是第三象限角 665=305+360與與

12、305的角終邊相同，是第四象限角的角終邊相同，是第四象限角 -54048 =17912+(-2)360與與17912的角終邊相同，是第二象限角的角終邊相同，是第二象限角理論遷移理論遷移 思考思考6 6：終邊在終邊在x x軸正半軸、負半軸，軸正半軸、負半軸，y y軸軸正半軸、負半軸上的角分別如何表示？正半軸、負半軸上的角分別如何表示？ x軸正半軸：軸正半軸：= k360，kZ ；x軸負半軸：軸負半軸：= 180k360，kZ ；y軸正半軸：軸正半軸：= 90k360，kZ ；y軸負半軸：軸負半軸：= 270k360，kZ .思考思考7 7：終邊在終邊在x x軸、軸、y y軸上的角的集合分軸上的角

13、的集合分別如何表示？別如何表示？ 終邊在終邊在x軸上：軸上：S=|=k180，kZ；終邊在終邊在y軸上：軸上： S=|=90k180，kZ. 思考思考5 5：終邊在第一、二、三、四象限的終邊在第一、二、三、四象限的角的集合分別如何表示？角的集合分別如何表示？ 第一象限：第一象限：S= | k36090k360 ，kZ；第二象限：第二象限：S= | 90k360 180k360，kZ；第三象限：第三象限：S= | 180k360 270k360，kZ；第四象限：第四象限：S= | 90k360k360，kZ.例例2 2 寫出終邊在直線寫出終邊在直線y=xy=x上的角的集合上的角的集合S S，并，

14、并把把S S中適合不等式中適合不等式-360-360 720720的元的元素寫出來素寫出來. . aS=|=45n180，nZ. S = |=45k360, kZ |=180+45k360,kZ.315，-135，45，225，405，585. B45OAxy令令-36045+n180720，得，得 -2.25n3.75 練習練習 1 1、如果、如果，終邊相同，則終邊相同，則-的終的終 邊落在（邊落在（ ） A. X軸的正半軸上軸的正半軸上 B. X軸的負半軸上軸的負半軸上 C. y軸的正半軸上軸的正半軸上 D. y軸的負半軸上軸的負半軸上A2 2、與、與-1778的終邊相同且絕對值最小的終邊相同且絕對值最小 的角是的角是_ 。22A.銳角B.小于90的角C.第一象限的角D.以上說法都不對3 3、A=小于小于90的角的角，B=第一象限的角第一象限的角 則則AB等于等于 （ ）D小小 結結1.1.角的概念推廣后，角的大小可以任意取值角的概念推廣后，角的大小可以任意取值. . 把角放在直角坐標系中進行研究，對于一個把角放在直角坐標