1、希點(diǎn)一題型專題(十九)選修4-4(坐標(biāo)系與參數(shù)方程)極坐標(biāo)方程師說考點(diǎn)1. 圓的極坐標(biāo)方程若圓心為M(p,0°),半徑為r，則圓的方程為：p2ppcos(00)+pr2=0.幾個特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程：(1)當(dāng)圓心位于極點(diǎn)，半徑為r:p=r;當(dāng)圓心位于M(a,0)，半徑為a:p=2acos0;當(dāng)圓心位于-，半徑為a：p=2asin0.2.直線的極坐標(biāo)方程若直線過點(diǎn)M(p,00),且極軸與此直線所成的角為a,則它的方程為：pin(0-a=psin(00幾個特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程:(1)直線過極點(diǎn)：0=00和An+0；pin0=b.22(x+6)+y=25.直線過點(diǎn)M(a,0)且垂

2、直于極軸：pcos0=a;直線過W'且平行于極軸：典例(2019全國甲卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),(2)直線I的參數(shù)方程是的斜率.x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求>r/cosu«y=t°(t為參數(shù)),l與c交于C的極坐標(biāo)方程;A,B兩點(diǎn)，AB|=.10,求I解(1)由x=pos法一：由直線Iy=psin0可得圓C的極坐標(biāo)方程為p+12pcos0+11=0.r=a*(t為參數(shù))，消去參數(shù)得y=xtana.設(shè)直線I的斜率為k,則直線I的方程為kxy=0.,即由圓C的方程(x+6)2+/=25知，圓心坐標(biāo)為(一6,0),半徑為5.I

3、£上丨又|AB|=,10,由垂徑定理及點(diǎn)到直線的距離公式得/'!-=904，整理得k2=5,解得k=±嚴(yán),33即直線I的斜率為晉.3設(shè)A,B所對應(yīng)的極徑分別為p,P2，將I的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得P+12pcosa+11=0,于是p+p=12C0Sa,pip2=11.|AB|=|pip|=,(p+p)4P1P2=144C0S2a44.由|AB|=得cos2a=3，tana=±J.83所以直線I的斜率為詩5或類題通法極坐標(biāo)方程與普通方程互化技巧(1) 巧用極坐標(biāo)方程兩邊同乘以p或同時平方技巧，將極坐標(biāo)方程構(gòu)造成含有pcos9,psin9,p2的形式，

4、然后利用公式代入化簡得到普通方程.(2) 巧借兩角和差公式，轉(zhuǎn)化pin(9±a或p=cos(9±a的結(jié)構(gòu)形式，進(jìn)而利用互化公式得到普通方程.將直角坐標(biāo)方程中的x轉(zhuǎn)化為pcos9，將y換成pin9，即可得到其極坐標(biāo)方程.演練沖關(guān)x=V6cos0,(2019山西質(zhì)檢)已知曲線C1：x+>/3y=Q3和C2：'廠($為參數(shù)).以原點(diǎn)0創(chuàng)=v2sin$為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，且兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位.(1)把曲線C1和C2的方程化為極坐標(biāo)方程；設(shè)C1與x,y軸交于M,N兩點(diǎn)，且線段MN的中點(diǎn)為P.若射線OP與Cj,C2交于P,解：(1)G：n6

5、七，CQ兩點(diǎn)，求P,Q兩點(diǎn)間的距離.2=6p=1+2sin29.(2)-M(.3,0),N(0,1),nOP的極坐標(biāo)方程為9=,6把9=才代入psin9+扌=寧得p=1,P1,才.n把9=-代入62A1+2sin9得6.|PQ|=|pp|=1，即P,Q兩點(diǎn)間的距離為1.舂數(shù)方程師說考點(diǎn)幾種常見曲線的參數(shù)方程(1)圓以O(shè)'(a,b)為圓心，r為半徑的圓的參數(shù)方程是x=a+rcosa,其中a是參數(shù).y=b+rsina,當(dāng)圓心在(0,0)時，方程為x=rcosa,其中a是參數(shù).y=rsina,(2)橢圓2橢圓詁+掃1(a>b>0)的參數(shù)方程是$=bsinx=acos(j)是參數(shù).

6、22橢圓詁+a=x=bcos1(a>b>0)的參數(shù)方程是cy=asin(j)是參數(shù).(3)直線經(jīng)過點(diǎn)P0(x0,yo)，傾斜角為a的直線的參數(shù)方程是'x=xo+tcosy=yo+tsina,其中t是參數(shù).a,典例(2019全國丙卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Ci的參數(shù)方程為X=/3cosa,(a為L.y=sina參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為pinJ+才=2述.(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;設(shè)點(diǎn)P在C1上，點(diǎn)Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標(biāo).2解(1)C1的普通方程為%+y2=1,C2的直

7、角坐標(biāo)方程為x+y-4=0.3(2)由題意，可設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為C.3COSa,sina).因?yàn)镃2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(a的最小值,=V2sin(a+-%廠2,|p3cosa+sina4|d(a=2nf-當(dāng)且僅當(dāng)a=2kn+(kZ)時，d(a取得最小值，最小值為2，此時P的直角坐標(biāo)為2，2.類題通法有關(guān)參數(shù)方程問題的2個關(guān)鍵點(diǎn)(1)參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消參數(shù)，要根據(jù)參數(shù)的特點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.(2)利用參數(shù)方程解決問題，關(guān)鍵是選準(zhǔn)參數(shù)，理解參數(shù)的幾何意義.演練沖關(guān)(2019鄭州質(zhì)檢)平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C:(x1)2+y2=1直線I經(jīng)過點(diǎn)P(m,0),n且

8、傾斜角為以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.6(1) 寫出曲線C的極坐標(biāo)方程與直線I的參數(shù)方程；(2) 若直線I與曲線C相交于A,B兩點(diǎn)，且|PA|PB|=1,求實(shí)數(shù)m的值.解：(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為：(x1)2+y2=1，即x2+y2=2x,即卩p2=2pos0,所以曲線C的極坐標(biāo)方程為：p=2cos0.x=m+乎t,直線I的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).ly=$設(shè)A,B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2，將直線I的參數(shù)方程代入x2+y2=2x中，得t?+('J3m、j3)t+m?2m=0，所以址2=m?2m,由題意得|m22m=1，解得m=1或m=1+,2或m=1.2.裔考題型

9、全匪練1.(2019南昌模擬)已知曲線C的極坐標(biāo)方程是尸4cos0.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原x=1+tcosa,點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線I的參數(shù)方程是(t是|y=tsina(1) 將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2) 若直線I與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，且AB|=.14，求直線的傾斜角a的值.解：由p=4cos0得其直角坐標(biāo)方程為(x2)2+y2=4.fx=1+tcosa,222將*代入圓C的方程得(tcosa1)+(tsina)=4，化簡得ty=tsina2tcosa3=0.t1+12=2cosa,設(shè)A、B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為如t2，則11t2=3,|AB|=

10、|t112|=：$(t1+12)24t1t2=i'4cos2a+12=、.；14,4cos2a=2,故cosa=±，即a=或244廠x=1+tcosa,2. (2019西質(zhì)檢)已知直線I的參數(shù)方程為f(t為參數(shù))，曲線C1的參y=1+tsinax=2+2cost,數(shù)萬程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,y=4+2sint且曲線C2的極坐標(biāo)方程為p=4cos0.(1)若直線I的斜率為2,判斷直線I與曲線Ci的位置關(guān)系；求Ci與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)(P0,ow0V2n).解：斜率為2時，直線I的普通方程為y1=2(x+1)，即y=2x+3(x2)2+(

11、y4)2=4,x2+2cost將，'消去參數(shù)t,化為普通方程得y=4+2sint則曲線Ci是以Ci(2,4)為圓心，2為半徑的圓,圓心Ci(2,4)到直線I的距離d=|44+3|53.55<2,故直線l與曲線(圓)Ci相交.3.(20i9合肥質(zhì)檢)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C:X=.2cosa+i,y=.2sina+i(a為參數(shù))，在以C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y24x=0,2+y24x8y+i6=0,x=2,由,22解得它&+y4x=0,7=2,所以Ci與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線I:pin0+pcos0=m.(i)當(dāng)m=0時，判

12、斷直線I與曲線C的位置關(guān)系；若曲線C上存在點(diǎn)P到直線I的距離為屮，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：(i)曲線C的普通方程為：(xi)2+(yi)2=2,是一個圓；當(dāng)m=0時，直線1的直角坐標(biāo)方程為：x+y=0，圓心C至U直線I的距離為d=|i+i|2=2=r,r為圓C的半徑,所以直線I與圓C相切.由已知可得，圓心C到直線I的距離為d=常字"皆，解得iWm<45.即所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為i,5.xOy有相同的長度單位，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以xP=4cos0(p>0)，曲線C2的參數(shù)方程為x=m+tcosa,(t為參數(shù)，0waVn)，射線y=tsinann0=0,0=0+,0=匸與曲線Ci

13、分別交于(不包括極點(diǎn)0)點(diǎn)A、B、C.(1) 求證：QB|+|0C|=.2|0A|；n(2) 當(dāng)片12時，B、C兩點(diǎn)在曲線C2上，求m與a的值.解：證明：依題意|0A|=4cos0,|0B|=4cosn，|0C|=4cos4，則|0B|+|0C|=4cos=2.2(cos0sin0)+2.2(cos0+sin0)nn，化為直角坐標(biāo)為b(i,6=42cos0=訂2|0A|.(2)當(dāng)0=時，B、C兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為2,n3、23,3)、C(3，3)，所以經(jīng)過點(diǎn)B、C的直線方程為y3=.3(x1)，而C2是經(jīng)過點(diǎn)(m，0)且傾斜角為a的直線，故m=2，a=牛.5.(2019合肥質(zhì)檢)已知直線l:1x

14、=1+t，(廠(t為參數(shù))，y=3+尋以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為P22爭pin0=a(a>3).(1) 將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2) 若曲線C與直線l有唯一公共點(diǎn)，求a的值.解：(1)由p223pin0=a知其直角坐標(biāo)方程為x2+y22p3y=a，即x2+(yJ3)2=a+3(a>3).將I:x=1+1t,y=.3+守代入曲線C的直角坐標(biāo)方程得(1+切2+=a+3,化簡得t2+1a2=0.曲線C與直線I僅有唯一公共點(diǎn)，9A=14(a2)=0，解得a=4.x=cosa,6. (2019州五校聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系x0y中，已知

15、曲線C1：2(a為參數(shù)),y=sina在以0為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：pcos0n=今，曲線C3：p=2sin0.(1)求曲線C1與C2的交點(diǎn)M的直角坐標(biāo);解：曲線Ci：X=COSa,y=sin2a消去參數(shù)a,得y+x2=1,x1,1.設(shè)點(diǎn)A,B分別為曲線C2,C3上的動點(diǎn)，求|AB|的最小值.x=2x1,由x2+y2曲線C2:pos0=一2?x+y+1=0,聯(lián)立，消去y可得：x2x2=0?x=1或x=2(舍去)，所以M(1,0).(2)曲線C3：p=2sin0?x2+(y1)2=1，是以(0,1)為圓心，半徑r=1的圓.設(shè)圓心為C,點(diǎn)C,B到直線x+y+1=0的距離分別

16、為d,d',則d=|0+著"=厲|AB|>d'>dr=羽1,所以|AB|的最小值為21.7. (2019武昌區(qū)調(diào)研)將圓x2+y2=1上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線r(1) 寫出r的參數(shù)方程；(2) 設(shè)直線l:3x+2y6=0與r的交點(diǎn)為P1,卩2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過線段P1P2的中點(diǎn)且與I垂直的直線的極坐標(biāo)方程.解：(1)設(shè)(X1,y”為圓上的點(diǎn)，在已知變換下變?yōu)閞上的點(diǎn)(x,y),依題意，得彳即y=3y1,ly1=3.故r的參數(shù)方程為x=2cost$=3sint(t為參數(shù)).即曲線的方程為

17、4+y9=1以極點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系.（1）求曲線Cl和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；若點(diǎn)P是曲線Cl上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作線段0P的垂線交曲線C2于點(diǎn)Q,求線段PQ長度的最小值.解：（1）G的直角坐標(biāo)方程為（x1）2+y2=1,C2的直角坐標(biāo)方程為x=3.設(shè)曲線Ci與PQ丄0P,.PQ過點(diǎn)A(2,0),x=2+tcos0,設(shè)直線PQ的參數(shù)方程為彳(t為參數(shù)),$=tsin0代入C1可得t2+2tcos0=0,解得t1=0,t2=2cos0,可知|AP|=|t2|=|2cos0|.代入C2可得2+tcos0=3，解得t=,cos0可知|AQ|=|t'=1cos011|PQ|=|AP|+|AQ|=|2cos0|+r>22，當(dāng)且僅當(dāng)|