1、2.2.12.2.1 橢圓及其標準方程橢圓及其標準方程( (一）一）惠民縣第一中學惠民縣第一中學 關關 麗麗 人教版人教版普通高中課程標準實驗教科書普通高中課程標準實驗教科書數學選修數學選修2-12-1橢圓及其標準方程橢圓及其標準方程一、一、教材分析教材分析 二、二、教學目標分析教學目標分析 三、三、教法與學法分析教法與學法分析 四、四、教學過程設計教學過程設計 五、五、教學評價設計教學評價設計一、教材分析一、教材分析1.1.教材的地位及作用教材的地位及作用 教材結構教材結構 ：承上啟下的作用：承上啟下的作用 在必修在必修2 2，學生已學習了直線與方程，圓與方程，對曲線與方程，學生已學習了直線

2、與方程，圓與方程，對曲線與方程的關系有了一定的感性認識。通過上一節曲線與方程更系統，更完的關系有了一定的感性認識。通過上一節曲線與方程更系統，更完整的學習，初步掌握了求曲線方程的一般步驟，為本節奠定了基礎；整的學習，初步掌握了求曲線方程的一般步驟，為本節奠定了基礎；而對本節的學習是坐標法的又一次深入，它為雙曲線和拋物線的學而對本節的學習是坐標法的又一次深入，它為雙曲線和拋物線的學習提供了一個范例。習提供了一個范例。 思想方法：函數與方程，數形結合思想思想方法：函數與方程，數形結合思想本節主要體現了函數與方程，數形結合的重要思想，而這種思想本節主要體現了函數與方程，數形結合的重要思想，而這種思想

3、將貫穿于整個高中階段的數學學習。將貫穿于整個高中階段的數學學習。 2.教材的重點與難點教材的重點與難點一、教材分析一、教材分析重點：重點：掌握橢圓的定義及標準方程，理解坐標法的掌握橢圓的定義及標準方程，理解坐標法的 基本思想基本思想難點：難點：橢圓標準方程的推導與化簡，坐標法的應用橢圓標準方程的推導與化簡，坐標法的應用難點成因：難點成因：學生學習解析幾何的時間不長，分析學生學習解析幾何的時間不長，分析解決問題的能力較淺。解決問題的能力較淺。運算能力低，遇到問題太依賴于課本，缺乏積極運算能力低，遇到問題太依賴于課本，缺乏積極的動腦習慣。的動腦習慣。邏輯思維不是很強，歸納概括能力有待提高。邏輯思維

4、不是很強，歸納概括能力有待提高。二、教學目標分析二、教學目標分析 知識知識與技能與技能: :讓學生掌握橢圓的定義及標準方程，并根據讓學生掌握橢圓的定義及標準方程，并根據條件會求橢圓的標準方程。條件會求橢圓的標準方程。 過程與方法過程與方法: :讓學生親身經歷橢圓的定義和標準方程的獲讓學生親身經歷橢圓的定義和標準方程的獲取過程，培養學生的數形結合思想，提高運算能力，加強用坐標法取過程，培養學生的數形結合思想，提高運算能力，加強用坐標法解決問題的能力。解決問題的能力。 情感情感態度與價值觀態度與價值觀: :通過主動探究，合作學習，感受探通過主動探究，合作學習，感受探究的樂趣，培養學生積極交流的意識

5、，進一步體會數學知識的和諧究的樂趣，培養學生積極交流的意識，進一步體會數學知識的和諧美，幾何圖形的對稱美，提高學生的審美情趣。美，幾何圖形的對稱美，提高學生的審美情趣。三、教法與學法分析三、教法與學法分析課堂結構設計課堂結構設計三、教法與學法分析三、教法與學法分析三、教法與學法分析三、教法與學法分析四、教學過程設計四、教學過程設計（一）創設情境，引入課題（一）創設情境，引入課題 由神七搭載我國三名宇航員成由神七搭載我國三名宇航員成功完成艙外行走，實現歷史性突功完成艙外行走，實現歷史性突破入手，提問：破入手，提問：“你知道神七的你知道神七的運行軌道是什么形狀嗎？運行軌道是什么形狀嗎？”預設預設學

6、生回答為橢圓，補充學生回答為橢圓，補充“由橢圓由橢圓在近地點變軌為圓。為什么要變在近地點變軌為圓。為什么要變軌？何處是近地點？你想了解軌？何處是近地點？你想了解其中的奧妙嗎，就讓我們從學習橢圓開始吧！其中的奧妙嗎，就讓我們從學習橢圓開始吧！ 接著用課件展示神七運動軌跡的圖片，并請學生舉出生活中接著用課件展示神七運動軌跡的圖片，并請學生舉出生活中具有橢圓形狀的物體，并看圖片，從而引入本課。具有橢圓形狀的物體，并看圖片，從而引入本課。四、教學過程設計四、教學過程設計 設計意圖設計意圖:一方面，通過神七的成功發射激發學生的愛國熱情和一方面，通過神七的成功發射激發學生的愛國熱情和探究實際問題的興趣，為

7、更積極的投入本節課的學習作好鋪墊。探究實際問題的興趣，為更積極的投入本節課的學習作好鋪墊。另一方面，使學生明確數學來源于生活，服務于生活。另一方面，使學生明確數學來源于生活，服務于生活。四、教學過程設計四、教學過程設計（二）動手實驗，歸納概念（二）動手實驗，歸納概念 提問：提問：”你還記得不用圓規怎樣畫出圓形嗎？又是怎樣給你還記得不用圓規怎樣畫出圓形嗎？又是怎樣給圓下定義的？圓下定義的？”在學生回答后，用課件演示圓的形成過程。在學生回答后，用課件演示圓的形成過程。 接著，讓學生拿出準備好的學具接著，讓學生拿出準備好的學具 動手實驗。將細繩兩端固定，用動手實驗。將細繩兩端固定，用 筆將細繩拉緊并

8、運動，看能得到筆將細繩拉緊并運動，看能得到 怎樣的圖形？待學生畫完后，用怎樣的圖形？待學生畫完后，用 課件演示畫橢圓的過程。課件演示畫橢圓的過程。 提問：提問：“你能根據剛才畫橢圓的過程，類比圓的定義，你能根據剛才畫橢圓的過程，類比圓的定義，歸歸 納出橢圓的定義嗎？納出橢圓的定義嗎？”先讓某一學生回答，其他學生先讓某一學生回答，其他學生給予補充，逐步完善，概括出橢圓的定義。給予補充，逐步完善，概括出橢圓的定義。橢圓定義：平面內橢圓定義：平面內與與兩個定點兩個定點F F1 1, , F F2 2的距離之的距離之和等于常數和等于常數（大于大于| |F F1 1 F F2 2 | |）的點的軌跡叫做

9、橢圓。定點）的點的軌跡叫做橢圓。定點F F1 1, , F F2 2叫做叫做橢圓的焦點，橢圓的焦點，F F1 1, , F F2 2間的距離叫做橢圓的焦距。間的距離叫做橢圓的焦距。 為幫助學生更好的理解定義，提出：為幫助學生更好的理解定義，提出：“為何為何常數常數要大于兩定點間的距離呢？等于、小于又如何呢？要大于兩定點間的距離呢？等于、小于又如何呢？” ” 四、教學過程設計四、教學過程設計（三）啟發引導，推導方程（三）啟發引導，推導方程 為了更好的研究橢圓的性質，需要建立橢圓的方程。為了更好的研究橢圓的性質，需要建立橢圓的方程。怎樣建立橢圓的方程呢？本環節我預設如下幾個步驟進行：怎樣建立橢圓的

10、方程呢？本環節我預設如下幾個步驟進行：（1）建立直角坐標系，設出動點的坐標）建立直角坐標系，設出動點的坐標學生可能會有如下幾種建系方案：學生可能會有如下幾種建系方案：方案方案1：以定點：以定點F1為原點，兩定點所在直線為為原點，兩定點所在直線為X軸；軸；方案方案2：以定點：以定點F2為原點，兩定點所在直線為為原點，兩定點所在直線為X軸；軸；方案方案3：以兩定點所在直線為：以兩定點所在直線為X軸，其垂直平分線為軸，其垂直平分線為Y軸；軸；方案方案4：以兩定點所在直線為：以兩定點所在直線為Y軸，其垂直平分線為軸，其垂直平分線為X軸。軸。方案方案 方案方案 方案方案 方案方案4 四、教學過程設計四、

11、教學過程設計 我加以引導：建立坐標系的一般原則：盡量我加以引導：建立坐標系的一般原則：盡量使曲線對于坐標軸具有較多的對稱性，讓一些關使曲線對于坐標軸具有較多的對稱性，讓一些關鍵點的坐標盡可能簡單，以便于計算。經過討論，鍵點的坐標盡可能簡單，以便于計算。經過討論，先按方案先按方案3 3建系，引導學生設出動點建系，引導學生設出動點M M的坐標及相的坐標及相關常數。關常數。 這樣設計的意圖是：對如何建坐標系這一問這樣設計的意圖是：對如何建坐標系這一問題，不是給學生提供標準答案，而是啟發學生通題，不是給學生提供標準答案，而是啟發學生通過自主探究來尋找比較適當的坐標系，這樣做有過自主探究來尋找比較適當的

12、坐標系，這樣做有利于拓展學生的思維空間。利于拓展學生的思維空間。 四、教學過程設計四、教學過程設計（2 2）寫出動點）寫出動點M M滿足的集合滿足的集合 學生根據橢圓的定義，寫出動點學生根據橢圓的定義，寫出動點M M滿足的集滿足的集合，即：合，即：P PM | M | |MF1|+|MF2|=2a (3)(3)列方程列方程 這里學生不會有太大的困難這里學生不會有太大的困難, ,絕大多數學絕大多數學生都能得到方程生都能得到方程: : 四、教學過程設計四、教學過程設計(4)(4)化簡方程化簡方程 帶根式的方程的化簡，學生會感到困難帶根式的方程的化簡，學生會感到困難, ,這也是教學的一個難點。建這也

13、是教學的一個難點。建議學生不要急于動筆，先思考如何化簡。議學生不要急于動筆，先思考如何化簡。師生共同探究如下幾種方式：師生共同探究如下幾種方式：平方化簡平方化簡: : 如何平方？直接平方化簡時左邊式子將很復雜。因此考慮將兩個根式放如何平方？直接平方化簡時左邊式子將很復雜。因此考慮將兩個根式放在方程的兩邊，平方兩次去掉根號。在方程的兩邊，平方兩次去掉根號。等差數列法：等差數列法： 上式和等差中項公式（上式和等差中項公式（A+C=2BA+C=2B）形式類似）形式類似, ,即把即把 ,a , ,a , 看成公差為看成公差為d d的等差數列的三項，從而設的等差數列的三項，從而設對（對（1 1）（）（2

14、 2）兩式平方后作差可表示出）兩式平方后作差可表示出d d，在將，在將d d代入（代入（1 1）式進行變換和整）式進行變換和整理即可，過程顯得簡捷，運算也輕松多了理即可，過程顯得簡捷，運算也輕松多了22)(ycx22)(ycx)2(yc)x) 1 (yc)x2222dada（ 四、教學過程設計四、教學過程設計分子有理化法：分子有理化法： 即將即將 （3 3） 的左式進行分子的左式進行分子有理化，變形整理得有理化，變形整理得 （4 4）在將（在將（3 3）（）（4 4）兩式相減得）兩式相減得 (5) (5) 將（將（5 5）式兩邊平方即可。）式兩邊平方即可。 設計意圖是：課堂上時間有限，不一定要

15、按照上述方法設計意圖是：課堂上時間有限，不一定要按照上述方法去一一推導，這些工作可以留給學生課后去做。但是課堂上去一一推導，這些工作可以留給學生課后去做。但是課堂上教師給學生提供方法指導，引導學生積極思考是有價值的，教師給學生提供方法指導，引導學生積極思考是有價值的，這樣做至少有利于突破課本框框，豐富解決問題的方法。這樣做至少有利于突破課本框框，豐富解決問題的方法。 xacycxycx2)()2222（xacacx22y)（四、教學過程設計四、教學過程設計 讓學生開始動手化簡。幾分鐘后將我發現的學生中出現讓學生開始動手化簡。幾分鐘后將我發現的學生中出現的典型和普遍錯誤找同學板演，以便點評糾正，

16、形成最后結的典型和普遍錯誤找同學板演，以便點評糾正，形成最后結果：果： 之后讓學生觀察圖形：之后讓學生觀察圖形： 提出問題：提出問題：“你們能從圖中找出表示你們能從圖中找出表示a a、c c、 的線段嗎？的線段嗎？”通過觀察，學生容易得出結論。從而將方程簡化為：通過觀察，學生容易得出結論。從而將方程簡化為：告訴學生告訴學生: :它就是橢圓的標準方程。它就是橢圓的標準方程。四、教學過程設計四、教學過程設計（四）拓展引申，對比分析（四）拓展引申，對比分析 提出問題：提出問題：“如何推導焦點在如何推導焦點在Y Y軸上的橢軸上的橢圓的標準方程呢？圓的標準方程呢？” 學生可能回答：學生可能回答：“按方案

17、按方案4 4建系再推一建系再推一遍遍”。我啟發：。我啟發：“還有別的方法嗎？還有別的方法嗎？”學生學生經過觀察思考會發現，只要交換坐標軸就可經過觀察思考會發現，只要交換坐標軸就可以得到了焦點在以得到了焦點在Y Y軸上的橢圓的標準方程：軸上的橢圓的標準方程： 接下來，我通過表格的形式，讓學生進行對比接下來，我通過表格的形式，讓學生進行對比分析。分析。0 12222babyax 0 12222babxay圖圖 形形方方 程程焦焦 點點F( (c，0)0)F(0(0，c) ) a,b,c之間的關系之間的關系c2 2= =a2 2- -b2 2|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)定定 義義1

18、12 2yoFFMx1oFyx2FM注注: :共同點：共同點：橢圓的標準方程表示的一定是焦點在坐標軸上，中心在坐標橢圓的標準方程表示的一定是焦點在坐標軸上，中心在坐標原點的橢圓；原點的橢圓；方程的左邊是平方和，右邊是方程的左邊是平方和，右邊是1.2x2y不同點：焦點在不同點：焦點在x軸的橢圓軸的橢圓 項分母較大項分母較大. 焦點在焦點在y軸的橢圓軸的橢圓 項分母較大項分母較大.四、教學過程設計四、教學過程設計（五）范例教學，鞏固提高（五）范例教學，鞏固提高例例1 1 求適合下列條件的橢圓的標準方程：求適合下列條件的橢圓的標準方程：（1 1）已知橢圓的焦點坐標是）已知橢圓的焦點坐標是F F1 1

19、 （4 4，0 0）、）、 F F2 2 （4 4，0 0），橢圓上任一點），橢圓上任一點到到F F1 1, , F F2 2 的距離之和為的距離之和為1010，求橢圓的標準方程。，求橢圓的標準方程。（2 2）兩個焦點的坐標分別是（）兩個焦點的坐標分別是（0 0，2 2）、（）、（0 0，2 2），并且橢圓經過點），并且橢圓經過點 。 例例2 2 將圓將圓 上的點橫坐標保持不變，縱坐標變為原來的一半，上的點橫坐標保持不變，縱坐標變為原來的一半，求所得曲線方程，并說明它是什么曲線。求所得曲線方程，并說明它是什么曲線。例例3 已知方程已知方程 表示焦點在表示焦點在y y軸上的橢圓，求軸上的橢圓，求m m的取值范圍。的取值范圍。設計意圖是：通過例設計意圖是：通過例1讓學生回顧所學的基礎知識，通過例讓學生回顧所學的基礎知識，通過例2體體會用坐標法求曲線方程，通過例會用坐標法求曲線方程，通過例3鞏固和強化教學的重點。鞏固和強化教學的重點。12122mymx422yx)25,23( 四、教學過程設計四、教學過程設計（五）歸納小結，布置作業（五）歸納小結，布置作業（1 1）歸納小結）歸納小結 讓學生歸納總結，這節課學到了什么知識？掌握了什么方法？還有讓學生歸納總結，這節課學到了什么知識？掌握了什么方法？還有什么問題？教師再概括。什么問題？教師再概括。（2 2）布置作業）布置作業1 1必做題：習