1、高高 等等 數數 學學主講人主講人 宋從芝宋從芝河北工業職業技術學院河北工業職業技術學院簡單的根式代換簡單的根式代換三角代換三角代換引入引入,1dxx 如何求如下積分呢如何求如下積分呢? ? 經過察看經過察看, ,上面積分很顯然不能運用上面積分很顯然不能運用“湊微分法湊微分法, ,211dxx 第二類換元積分法第二類換元積分法( (即先換元即先換元, ,積分后再回代變量積分后再回代變量) ) 所以必需另尋新的積分方法所以必需另尋新的積分方法: :()f x d x ( )( )ftt dt ( )F tC通常把這樣的積分方法叫做第二類換元積分法。通常把這樣的積分方法叫做第二類換元積分法。( )

2、xt 令令 = =定理定理1( )FxC 1( )tx 回回代代1適用：被積函數含有根號；適用：被積函數含有根號；2思緒：去掉根號；思緒：去掉根號；3方法：換元；方法：換元；4留意：留意： 回代；回代； 能湊那么湊。能湊那么湊。一一. .簡單的根式代換簡單的根式代換nnaxbaxbt 含含時時，為為去去掉掉根根式式常常常常令令 1dxx 為了去掉根號，為了去掉根號，xt 令令，2 解解例例1 11dxx t 回回代代22xt 則則，2dxdt 2tdt xln(1)x C 1dtt 1t 1 2 1(1)1dtt 2 ln 1t C tx 1t 2tdt練習練習3xdxx 3dxxx 6xt

3、令令，6 解解例例2 23dxxx 1dtt 32t 26 (1tt 3xt 則則，6dxdt 闡明闡明多個根式時多個根式時, 取根指數的最小公倍數取根指數的最小公倍數23xt ，2 x 56t dt 33 x 66 x 66ln(1)x C 23t 6t 6ln1t C dt 31tt 6 311t 1)1dtt 32tt 56tdt,)1(22時時含含xa 作三角代換作三角代換 x = a sin t ；,)2(22時時含含xa 作三角代換作三角代換 x = a tan t ；,)3(22時時含含ax 作三角代換作三角代換 x = a sec t。 二二. .三角代換三角代換三角代換的三種

4、方法：三角代換的三種方法：假設不講三角代換，請到假設不講三角代換，請到1515頁頁21cos22tadt 解解22cos ,axat 則則22ax dx 22cosatdt 21(sin2 )22attC222arcsin22axxaxCa tax22xa sinxat 令令，22ax dx (0)a 例例3 3 求求,)1(22時時含含xa 作三角代換作三角代換 x = a sin t ；cosdxatdt 二二. .三角代換三角代換例例4 4 求求22d(0)xaxa 解解，令令 22tan ttax那么那么 dx = asec2 dx = asec2 tdt tdt 22daxx tta

5、tadsecsec2tt dsec1ln|sectan | ttC,)2(22時時含含xa 作三角代換作三角代換 x = a tan t ； 作輔助三角形，得作輔助三角形，得，根根據據axt tanaxt22ax 122|tansec|lndCttaxx122lnCaaxax aCaxxln)ln(122 ，Caxx )ln(22其中其中 C = C1 - lna .,)3(22時時含含ax 作三角代換作三角代換 x = a sec t 22xadxx (0)a 練習練習 求求tanln cosxdxxC cotlnsinxdxxC seclnsectanxdxxxC csclncsccotx

6、dxxxC 根本積分表根本積分表(續續) 2211arctanxdxCaxaa 2211ln2axdxCaxaax 221arcsinxdxCaax 22221ln()dxxxaCxa 22222arcsin22axxax dxaxCa 解解1 1例例5 5 運用兩種方法計算運用兩種方法計算1d12xx 1d12xx 1 2xt dttt dt 12xCtC 解解2 2例例5 5 運用兩種方法計算運用兩種方法計算1d12xx 1d12xx 11d(12 )212xx 12xC運用環境運用環境 當求積分當求積分f(x)dxf(x)dx較困難較困難, ,但作變量交換但作變量交換x=(t)x=(t)

7、后后, ,而而新的積分新的積分f(x)dx = f(t)dt f(x)dx = f(t)dt 容易積分時容易積分時運用。運用。( )1( ) ( ) ( )( )xtf x dxftt dtFxC 作業作業 習題習題4.4 1(1)(5) 2(2)4.4 1(1)(5) 2(2)小結小結 換元方式換元方式 (1) (1)簡單根式換元簡單根式換元 (2) (2)三角代換三角代換運用環境運用環境 當求積分當求積分f(x)dxf(x)dx較困難較困難, ,但作變量交換但作變量交換x=(t)x=(t)后后, ,而而新的積分新的積分f(x)dx = f(t)dt f(x)dx = f(t)dt 容易積分時容易積分時運用。運用。( )