1、1因子分析因子分析2 1 1 引言引言 因子分析(factor analysis)是一種數據簡化的技術。它通過研究眾多變量之間的內部依賴關系，探求觀測數據中的基本結構，并用少數幾個假想變量來表示其基本的數據結構。這幾個假想變量能夠反映原來眾多變量的主要信息。原始的變量是可觀測的顯在變量，而假想變量是不可觀測的潛在變量，稱為因子。 例如，在企業形象或品牌形象的研究中，消費者可以通過一個有24個指標構成的評價體系，評價百貨商場的24個方面的優劣。3 但消費者主要關心的是三個方面，即商店的環境、商店的服務和商品的價格。因子分析方法可以通過24個變量，找出反映商店環境、商店服務水平和商品價格的三個潛在

2、的因子，對商店進行綜合評價。而這三個公共因子可以表示為： iiiiiiFFFx33221124, 1i 稱 是不可觀測的潛在因子。24個變量共享這三個因子，但是每個變量又有自己的個性，不被包含的部分 ，稱為特殊因子。321FFF、i4注：注： 因子分析與回歸分析不同，因子分析中的因因子分析與回歸分析不同，因子分析中的因子是一個比較抽象的概念，而回歸因子有非常明子是一個比較抽象的概念，而回歸因子有非常明確的實際意義；確的實際意義； 主成分分析分析與因子分析也有不同，主成主成分分析分析與因子分析也有不同，主成分分析僅僅是變量變換，而因子分析需要構造因分分析僅僅是變量變換，而因子分析需要構造因子模型

3、。子模型。 主成分分析主成分分析: :原始變量的線性組合表示新的原始變量的線性組合表示新的綜合變量，即主成分；綜合變量，即主成分； 因子分析：潛在的假想變量和隨機影響變因子分析：潛在的假想變量和隨機影響變量的線性組合表示原始變量。量的線性組合表示原始變量。5 2 因子分析模型因子分析模型 一、數學模型一、數學模型 設 個變量，如果表示為iX), 2 , 1(pip11iiiimmiXa Fa F)(pm 11111211122212222212mmpppppmpmXFXFXF或XAF或6 稱為 公共因子，是不可觀測的變量，他們的系數稱為因子載荷。 是特殊因子，是不能被前m個公共因子包含的部分。

4、并且滿足：mFFF,21iIFD111)(cov( , )0,F,F即不相關；mFFF,21即 互不相關，方差為1。722221)(pD即互不相關，方差不一定相等， 。), 0(2iiN8用矩陣的表達方式X- = AF+( )EF0( )E0( )VarFI22212( )(,)pVardiag1 11212 122212()()()()()()cov()()()()()ppppppE FE FE FE FE FE FEE FE FE FF,F09二、因子分析模型的性質 1、原始變量X的協方差矩陣的分解X- = AF+()( )( )VarVarVarX- = AF A+x = AA +DA是

5、因子模型的系數22212( )(,)pVardiagD D的主對角線上的元素值越小，則公共因子共享的成分越多。10 2、模型不受計量單位的影響 將原始變量X做變換X*=CX,這里Cdiag(c1,c2,cn),ci0。)C(X-) = C(AF+CXC+CAF+C*XC+CAF+C*X + A F +*FF11*()EF0*( )E0*()VarFI*22212( )(,)pVardiag* *cov()()EF ,F 012 3、因子載荷不是惟一的 設T為一個pp的正交矩陣，令A*=AT，F*=TF，則模型可以表示為*X+ A F +()ET F0( )E0*()()( )VarVarVar

6、FT FTF TI22212( )(,)pVardiag*cov()()EF ,F 0且滿足條件因子模型的條件13 三、三、 因子載荷矩陣中的幾個統計特征因子載荷矩陣中的幾個統計特征 1 1、因子載荷、因子載荷a aijij的統計意義的統計意義 因子載荷 是第i個變量與第j個公共因子的相關系數 ija模型為 imimiiFaFaX11 在上式的左右兩邊乘以 jF,再求數學期望 )()()()()(11jijmimjjijjijiFEFFEaFFEFFEaFXE 根據公共因子的模型性質，有ijFxji （載荷矩陣中第i行，第j列的元素）反映了第i個變量與第j個公共因子的相關重要性。絕對值越大，相

7、關的密切程度越高。14 2 2、變量共同度的統計意義、變量共同度的統計意義定義：定義：變量 的共同度是因子載荷矩陣的第i行的元素的平方和。記為iX統計意義統計意義：imimiiFaFaX11兩邊求方差 )()()()(2112imimiiVarFVaraFVaraXVarmjiija1221 所有的公共因子和特殊因子對變量 的貢獻為1。如果 非常靠近1， 非常小，則因子分析的效果好，從原變量空間到公共因子空間的轉化性質好。iXmjija122imjija12。mjijiah12215 3 3、公共因子、公共因子 方差貢獻的統計意義方差貢獻的統計意義jF因子載荷矩陣中各列元素的平方和 稱為所有的

8、 對 的方差貢獻和。衡量的相對重要性。piijjaS12), 1(mjjFiXjF16 3 3 因子載荷矩陣的估計方法因子載荷矩陣的估計方法 設隨機向量 的均值為 ，協方差為 , 為的特征根， 為對應的標準化特征向量，則pxxx,21x021pp21u,u,u12p = UUAA +D（一）主成分分析法（一）主成分分析法17 上式給出的 表達式是精確的，然而，它實際上是毫無價值的，因為我們的目的是尋求用少數幾個公共因子解釋，故略去后面的p-m項的貢獻，有21111mmmmmmp1122ppu uu uu uuuu up2uuuuuuppp21122111100p212ppuuuuuu18 12

9、 mmm1122AA +Du uu uu uD1121122 mmp mpmm p2uuuuuDAADu 上式有一個假定，模型中的特殊因子是不重要的，因而從 的分解中忽略了特殊因子的方差。22212(,)pdiagD其中221miiiijjsa19注：殘差矩陣 SAAD其中S為樣本的協方差矩陣。20 （二）主因子法（二）主因子法 主因子方法是對主成分方法的修正，假定我們首先對變量進行標準化變換。則 R=AA+D R*=AA=R-D稱R*為約相關矩陣，為約相關矩陣， R*對角線上的元素是對角線上的元素是 ,而不是1。2ih212112122122212ppppphrrrhrRrrhR-D直接求R

10、*的前p個特征根和對應的正交特征向量。得如下的矩陣：*1122ppAuuu*10pR特征根：*12,pu uu正交特征向量：2221222pRR 當特殊因子當特殊因子 的方差不為且的方差不為且已知的，問題非常好解決。i*11*221122*ppppuuuuuu23*1122mmAuuu2121100phhD24 在實際的應用中，個性方差矩陣一般都是未知的，可以通過一組樣本來估計。估計的估計的方法有如下幾種方法有如下幾種： 首先，求 的初始估計值，構造出 2ih*R 1）取 ，在這個情況下主因子解與主成分解等價； 2）取 ， 為xi與其他所有的原始變量xj的復相關系數的平方，即xi對其余的p-1

11、個xj的回歸方程的判定系數，這是因為xi 與公共因子的關系是通過其余的p-1個xj 的線性組合聯系起來的；12ih22iiRh 2iR25 2）取 ，這意味著取xi與其余的xj的簡單相關系數的絕對值最大者；)( |max2ijrhiji 4）取 ，其中要求該值為正數。pjijijirph, 1211 5）取 ，其中 是 的對角元素。iiirh/12iir1R26 （三）極大似然估計法（略） 如果假定公共因子F和特殊因子 服從正態分布，那么可以得到因子載荷和特殊因子方差的極大似然估計。設 為來自正態總體Np( , )的隨機樣本。 n21x,x,xAA )()(21exp)(112 iininp2

12、XX12 ()( )()()()nLff Xf Xf X,A,DX)()(21exp)2(12121 iipnixx27 它通過 依賴 和 。上式并不能唯一確定 ,為此可添加一個唯一性條件： 這里 式一個對角矩陣，用數值極大化的方法可以得到極大似然估計 。極大似然估計 將使 為對角陣，且似然函數達到最大。 相應的共同度的似然估計為： 第J個因子對總方差的貢獻：1和x和、1222212imiiiaaah222212pjjjjaaaS28 例例 假定某地固定資產投資率 ，通貨膨脹率 ，失業率 ，相關系數矩陣為試用主成分分析法求因子分析模型。1x2x3x15/25/15/215/15/15/1129

13、 特征根為： 55. 11 85. 02 6 . 03 6 . 0707. 085. 0331. 055. 1629. 06 . 0707. 085. 0331. 055. 1629. 0085. 0883. 055. 1475. 0A707. 0331. 0629. 0707. 0331. 0629. 00883. 0475. 0U548. 0305. 0783. 0548. 0305. 0783. 00814. 0569. 030 可取前兩個因子F1和F2為公共因子，第一公因子F1物價就業因子，對X的貢獻為1.55。第一公因子F2為投資因子，對X的貢獻為0.85。共同度分別為1，0.706

14、，0.706。211814. 0569. 0FFx3212548. 0305. 0783. 0FFFx3213548. 0305. 0783. 0FFFx31 假定某地固定資產投資率 ，通貨膨脹率 ，失業率 ，相關系數矩陣為試用主因子分析法求因子分析模型。假定用代替初始的 。 。1x2x3x15/25/15/215/15/15/11)( |max2ijrhiji2ih52, 1,51232221hhh221251111515/25/25/15/215/15/15/15/1*R32 特征根為： 9123. 010877. 0203 對應的非零特征向量為：261. 0657. 0261. 0657

15、. 0929. 0369. 00877. 0261. 09123. 0657. 00877. 0261. 09123. 0657. 00877. 0929. 09123. 0369. 0077. 0628. 0077. 0628. 0275. 0352. 0331211275. 0352. 0FFx2212077. 0625. 0FFx3211077. 0682. 0FFx新的共同度為：18129. 0275.352. 02221oh3966. 0077. 0625. 02222h4710. 0077. 0682. 02223h34 4 因子旋轉（正交變換） 建立了因子分析數學目的不僅僅要找出

16、公共因子以及對變量進行分組，更重要的要知道每個公共因子的意義，以便進行進一步的分析，如果每個公共因子的含義不清，則不便于進行實際背景的解釋。由于因子載荷陣是不惟一的，所以應該對因子載荷陣進行旋轉。目的是使因子載荷陣的結構簡化，使載荷矩陣每列或行的元素平方值向0和1兩極分化。有三種主要的正交旋轉法。四次方最大法、方差最大法方差最大法和等量最大法。（一）為什么要旋轉因子（一）為什么要旋轉因子35 百米跑成績 跳遠成績 鉛球成績 跳高成績 400米跑成績 百米跨欄 鐵餅成績 撐桿跳遠成績 標槍成績 1500米跑成績 1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X奧運會十項全能運動項目奧運會十項全能運動項

17、目得分數據的因子分析得分數據的因子分析 36102. 017. 002. 001. 039. 018. 008. 009. 007. 0124. 034. 018. 013. 017. 044. 021. 011. 0124. 033. 023. 039. 024. 036. 020. 0132. 017. 027. 073. 031. 028. 0134. 046. 036. 052. 040. 0129. 019. 049. 063. 0138. 051. 034. 0142. 035. 0159. 0137變量共同度0.6910.217-0.58-0.2060.840.7890.184-

18、0.1930.0920.70.7020.5350.047-0.1750.80.6740.1340.1390.3960.650.620.551-0.084-0.4190.870.6870.042-0.1610.3450.620.621-0.5210.109-0.2340.720.5380.0870.4110.440.660.434-0.4390.372-0.2350.570.1470.5960.658-0.2790.891F2F3F4F1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X 因子載荷矩陣可以看出，除第一因子在所有的變量在公共因子上有較大的正載荷，可以稱為一般運動因子。其他的3個因子不太容易解

19、釋。似乎是跑和投擲的能力對比，似乎是長跑耐力和短跑速度的對比。于是考慮旋轉因子，得下表 38變量共同度0.844*0.1360.156-0.1130.840.631*0.1940.515*-0.0060.70.2430.825*0.223-0.1480.810.2390.150.750*0.0760.650.797*0.0750.1020.4680.870.4040.1530.635*-0.170.620.1860.814*0.147-0.0790.72-0.0360.1760.762*0.2170.66-0.0480.735*0.110.1410.570.045-0.0410.1120.93

20、4*0.891F2F3F4F1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X39 通過旋轉，因子有了較為明確的含義。 百米跑， 跳遠和 400米跑，需要爆發力的項目在 有較大的載荷， 可以稱為短跑速度因子； 鉛球， 鐵餅和 標槍在 上有較大的載荷，可以稱為爆發性臂力因子； 百米跨欄， 撐桿跳遠， 跳遠和為 跳高在 上有較大的載荷， 爆發腿力因子； 長跑耐力因子。2X5X1F1F3X7X9X2F6X8X2X4X3F3F4F1X40變換后因子的共同度變換后因子的共同度設 正交矩陣，做正交變換正交矩陣，做正交變換 AB )()(1mlljilppijabBmjmjmlljilijiabh111222)()

21、(B mjmlmjmlmljttjljitilljilaaa1 11 1 122)(2111222Aimlmjmlilljilhaa變換后因子的共同度沒有發生變化！變換后因子的共同度沒有發生變化！（二）旋轉方法（二）旋轉方法41變換后因子貢獻變換后因子貢獻設 正交矩陣，做正交變換正交矩陣，做正交變換 AB )()(1qlljilppijabBpipiqlljilijjabS111222)()(B piqlpiqlqltttjljitilljilaaa1111 122piqlqlljjljilSa1112222)(A變換后因子的貢獻發生了變化！變換后因子的貢獻發生了變化！42 1、方差最大法 方

22、差最大法從簡化因子載荷矩陣的每一列出發，使和每個因子方差最大法從簡化因子載荷矩陣的每一列出發，使和每個因子有關的載荷的平方的方差最大。當只有少數幾個變量在某個因子有關的載荷的平方的方差最大。當只有少數幾個變量在某個因子上又較高的載荷時，對因子的解釋最簡單。上又較高的載荷時，對因子的解釋最簡單。方差最大的直觀意義是希望通過因子旋轉后，使每個因子上的載荷盡量拉開距離，一部分的載荷趨于1，另一部分趨于0。2122211211ppaaaaaaA221122212122121111FaFaXFaFaXFaFaXppp43cossinsincosT設旋轉矩陣為：cossinsincosAATB則cossi

23、nsincoscossinsincos112112111211ppppaaaaaaaa*2*1*12*11ppaaaa441,2, ;1,2ijijiadip jh令211(pjijiddp這是列和）max)()(1212 mjpijijddV簡化準則為：00V令，則可以解出0000cossinsincosT旋轉矩陣為：max(8.4.2)123m即：V +V +V+V451000cossin0sincosT1000cossin0sincos T111 TT46 1 1、四次方最大旋轉、四次方最大旋轉 四次方最大旋轉是從簡化載荷矩陣的行出發，通過旋轉初始四次方最大旋轉是從簡化載荷矩陣的行出發，

24、通過旋轉初始因子，使每個變量只在一個因子上又較高的載荷，而在其它的因子，使每個變量只在一個因子上又較高的載荷，而在其它的因子上盡可能低的載荷。因子上盡可能低的載荷。如果每個變量只在一個因子上又非零的載荷，這是的因子解釋是最簡單的。 四次方最大法通過使因子載荷矩陣中每一行的因子載荷平方的方差達到最大。47max)1(2112 pimjijmbQ簡化準則為： pimjijijpimjijmbmbmbQ112242112)112()1( pimjpimjijpimjijmbmb111122114)112( pimjpimjijpimjijmbmb111122114)112( pimjijmpb114

25、)2(MAXbQpimjij 114最終的簡化準則為：48 3、等量最大法 等量最大法把四次方最大法和方差最大法結等量最大法把四次方最大法和方差最大法結合起來求合起來求Q Q和和V V的加權平均最大。的加權平均最大。 MAXpbbEpimjmjpiijij 1111224/)(最終的簡化準則為：權數等于m/2，因子數有關。49 5 因子得分因子得分 （一）因子得分的概念（一）因子得分的概念 前面我們主要解決了用公共因子的線性組合來表示一組觀測變量的有關問題。如果我們要使用這些因子做其他的研究，比如把得到的因子作為自變量來做回歸分析，對樣本進行分類或評價，這就需要我們對公共因子進行測度，即給出公

26、共因子的值。50 人均要素變量因子分析人均要素變量因子分析。對我國32個省市自治區的要素狀況作因子分析。指標體系中有如下指標：X1 ：人口（萬人） X2 ：面積（萬平方公里）X3 ：GDP（億元） X4 ：人均水資源（立方米/人）X5：人均生物量（噸/人） X6：萬人擁有的大學生數（人）X7：萬人擁有科學家、工程師數（人） Rotated Factor Pattern FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 X1 -0.21522 -0.27397 0.89092 X2 0.63973 -0.28739 -0.28755 X3 -0.15791 0.06334 0.94855 X4 0

27、.95898 -0.01501 -0.07556 X5 0.97224 -0.06778 -0.17535 X6 -0.11416 0.98328 -0.08300 X7 -0.11041 0.97851 -0.0724651 高載荷指標因子命名因子1X2；面積（萬平方公里）X4:人均水資源（立方米/人）X5:人均生物量（噸/人）自然資源因子因子2X6：萬人擁有的大學生數（人）X7：萬人擁有的科學家、工程師數（人） 人力資源因子 因子3 X1;人口（萬人）X3:GDP(億元)經濟發展總量因子 X1=-0.21522F1-0.27397F2+0.89092F3 X2=0.63973F1-0.28

28、739F2-0.28755F3 X3=-0.15791F1+0.06334F2+0.94855F3 X4=0.95898F1-0.01501F2-0.07556F3 X5=0.97224F1-0.06778F2-0.17535F3 X6=-0.11416F1+0.98328F2-0.08300F3 X7=-0.11041F1+0.97851F2-0.07246F352 Standardized Scoring Coefficients FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 X1 0.05764 -0.06098 0.50391 X2 0.22724 -0.09901 -0.07713

29、 X3 0.14635 0.12957 0.59715 X4 0.47920 0.11228 0.17062 X5 0.45583 0.07419 0.10129 X6 0.05416 0.48629 0.04099 X7 0.05790 0.48562 0.04822F1=0.05764X1+0.22724X2+0.14635X3+0.47920X4+0.45583X5+0.05416X6+0.05790X7F1=0.05764X1+0.22724X2+0.14635X3+0.47920X4+0.45583X5+0.05416X6+0.05790X7F2=-0.06098X1-0.09901

30、X2+0.12957X3+0.11228X4+0.07419X5+0.48629X6+0.48562X7F2=-0.06098X1-0.09901X2+0.12957X3+0.11228X4+0.07419X5+0.48629X6+0.48562X7F3=0.50391X1-0.07713X2+0.59715X3+0.17062X4+0.10129X5+0.04099X6+0.04822X7F3=0.50391X1-0.07713X2+0.59715X3+0.17062X4+0.10129X5+0.04099X6+0.04822X753REGION FACTOR1FACTOR2FACTOR3b

31、eijing-0.081694.23473-0.37983tianjin-0.474221.31789-0.87891hebei-0.22192-0.358020.86263shanxi1-0.48214-0.32643-0.54219neimeng0.54446-0.66668-0.92621liaoning-0.205110.463770.34087jilin-0.214990.10608-0.57431heilongj 0.10839-0.11717-0.02219shanghai-0.200692.38962-0.04259前三個因子得分54 因子分析的數學模型為： mpmppmmnF

32、FFXXX2121222211121121 原變量被表示為公共因子的線性組合，當載荷矩陣旋轉之后，公共因子可以做出解釋，通常的情況下，我們還想反過來把公共因子表示為原變量的線性組合。 因子得分函數： pjpjjXXF11mj, 1可見，要求得每個因子的得分，必須求得分函數的系數，而由于pm，所以不能得到精確的得分，只能通過估計。551、巴特萊特因子得分巴特萊特因子得分( (加權最小二乘法）加權最小二乘法） 把 看作因變量；把因子載荷矩陣 看成自變量的觀測；把某個個案的得分 看著最小二乘法需要求的系數 。iixpmppmm212222111211ijF1) 巴特萊特因子得分計算方法的思想56mm

33、pmpppipmmimmifafafaxfafafaxfafafax221122222121221121211111由于特殊因子的方差相異，所以用加權最小二乘法求得分，每個各案作一次，要求出所有樣品的得分，需要作n次。 pjimimiiiijfafafax1222211/)()(1,mff使上式最小的是相應個案的因子得分。57 用矩陣表達：x- = AF+1()()minx-AF Dx-AF滿足上式的F是相應個案的因子得分。2112200D其中58111D (x-) = D AF+D 1-1-1A D (x-) = A D AF+ A D -1-1A D (x-) = A D AF1-1-1A

34、 D AA D (x- ) = F1()()0 x-AF Dx-AFF12()0A Dx-AF1( )0A D592）得分估計的無偏性如果將f和 不相關的假定加強為相互獨立，則1(E-1-1A D AA DAF+ /F)1)/ )EE-1-1(F/FA D AA D(x- ) F1-1-1A D AA D AF11-1A DAA D AF F603）F的估計精度1()FF-1-1A D AA DAF+ F1-1-1A D AA D ()EF-F)(F-F11E-1-1-1-1A D AA D D A A D A11-1-1-1-1A D AA D DD A A D A1-1A D A61 2、

35、回歸方法 nmnmnnmmnFFFXXX212121222211121121pjpjjXbXbF11mj, 1mmpmmppbbbbbbbbbbbb212122221112111) 思想62)(jiFxijFXEji)(11pjpjiXbXbXEipjpijbb11jpjjipiibbbrrr2121 則，我們有如下的方程組：63pjjjjpjjppppppaaabbb2121212222111211j=1,2,m矩陣為原始變量的相關系數pppppp21222211121164個因子得分函數的系數為第 jbbbjpjj21列為載荷矩陣的第 jaaapjjj21 注：共需要解注：共需要解m次才能

36、解次才能解出出 所有的得分函數的系數。所有的得分函數的系數。65矩陣表示方法 在因子模型中，假設 服從（m+p)元的正態分布，有F( )( )EEEFF0 xxVE FFFx-xx-66()()()EEEEFFF x- x- Fx- x-()()IEEF x-x- F()()IEEF AF+AF+ FIAA67()E-1-12F/x-A + A x21xx這是一個對于給定的 的多元回歸模型。1()A x122()(E-1-11122212222x /x - )+ x1FA (AA +D) (x- )可見682）估計的有偏性11()()EF-F)(F-FI+ A D A3）平均預報誤差11()E

37、F/FF-(I+ A D A) F69國民生活質量的因素分析 國家發展的最終目標，是為了全面提高全體國民的生活質量，滿足廣大國民日益增長的物質和文化的合理需求。在可持續發展消費的統一理念下，增加社會財富，創自更多的物質文明和精神文明，保持人類的健康延續和生生不息，在人類與自然協同進化的基礎上，維系人類與自然的平衡，達到完整的代際公平和區際公平(即時間過程的最大合理性與空間分布的最大合理化)。 從1990年開始，聯合國開發計劃署(UYNP)首次采用“人文發展系數”指標對于國民生活質量進行測度。人文發展系數利用三類內涵豐富的指標組合，即人的健康狀況(使用出生時的人均預期壽命表達)、人的智力程度(使

38、用組合的教育成就表達)、人的福利水平(使用人均國民收入或人均GDP表達)，并且特別強調三類指標組合的整體表達內涵，去衡量一個國家或地區的社會發展總體狀況以及國民生活質量的總水平。70在這個指標體系中有如下的指標：X1預期壽命X2成人識字率X3綜合入學率X4人均GDP（美圓）X5預期壽命指數X6教育成就指數X7人均GDP指數71 旋轉后的因子結構 Rotated Factor Pattern FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 X1 0.38129 0.41765 0.81714 X2 0.12166 0.84828 0.45981 X3 0.64803 0.61822 0.2239

39、8 X4 0.90410 0.20531 0.34100 X5 0.38854 0.43295 0.80848 X6 0.28207 0.85325 0.43289 X7 0.90091 0.20612 0.35052 FACTOR1為經濟發展因子 FACTOR2為教育成就因子 FACTOR3為健康水平因子72 被每個因子解釋的方差和共同度 Variance explained by each factor FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 2.439700 2.276317 2.009490 Final Communality Estimates: Total = 6.7255

40、07 X1 X2 X3 X4 X5 0.987530 0.945796 0.852306 0.975830 0.992050 X6 X7 0.994995 0.976999 73 Standardized Scoring Coefficients標準化得分系數 FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 X1 -0.18875 -0.34397 0.85077 X2 -0.24109 0.60335 -0.10234 X3 0.35462 0.50232 -0.59895 X4 0.53990 -0.17336 -0.10355 X5 -0.17918 -0.31604 0.81490 X

41、6 -0.09230 0.62258 -0.24876 *6*5*4*3*2*109230. 017918. 05399. 035462. 024109. 018875. 01xxxxxxf*6*5*4*3*2*162258. 031604. 017336. 050232. 060335. 034397. 02xxxxxxf*6*5*4*3*2*124876. 081490. 010335. 059895. 010234. 085077. 03xxxxxxf74生育率的影響因素分析 生育率受社會、經濟、文化、計劃生育政策等很多因素影響，但這些因素對生育率的影響并不是完全獨立的，而是交織在一起，

42、如果直接用選定的變量對生育率進行多元回歸分析，最終結果往往只能保留兩三個變量，其他變量的信息就損失了。因此，考慮用因子分析的方法，找出變量間的數據結構，在信息損失最少的情況下用新生成的因子對生育率進行分析。 選擇的變量有：多子率、綜合節育率、初中以上文化程度比例、城鎮人口比例、人均國民收入。下表是1990年中國30個省、自治區、直轄市的數據。75多子率（%）綜合節育率（%） 初中以上文化程度比例（%）人均國民收入（元） 城鎮人口比例（%）0.9489.8964.51357773.082.5892.3255.41298168.6513.4690.7138.2114819.0812.4690.04

43、45.12112427.688.9490.4641.83108036.122.890.1750.64201150.868.9191.4346.32138342.658.8290.7847.33162847.170.891.4762.36482266.235.9490.3140.85169621.242.692.4235.14171732.817.0787.9729.5193317.914.4488.7129.04131321.3615.2489.4331.0594320.43.1690.2137.85137227.349.0488.7639.7188015.5212.0287.2838.761

44、24828.9111.1589.1336.3397618.2322.4687.7238.38184536.7724.3484.8631.0779815.133.2183.7939.44119324.054.7890.5731.2690320.2521.568622.3865419.9314.0980.8621.4995614.7232.3187.67.786512.5911.1889.7141.0193021.4913.886.3329.6993822.0425.3481.5631.3110027.3520.8481.4534.59102425.8239.664.938.47137431.91

45、76EigenvalueDifferenceProportionCumulative3.249175972.034642910.64980.64981.214533060.962968000.24290.89270.251565070.067433970.05030.94310.184131090.083536290.03680.97990.100594800.0201 1.0000特征根與各因子的貢獻特征根與各因子的貢獻77 Factor1Factor2x1-0.760620.55316x20.56898-0.76662x30.891840.25374x40.870660.34618x50.890760.36962沒有旋轉的因子結構沒有旋轉的因子結構78Factor1可解