1、化歸思想小學數學思想方法的梳理二、化歸思想1 .化歸思想的概念。人們在面對數學問題，如果直接應用已有知識不能或不易解決該問題時，往往將需要解決的問題不斷轉化形式，把它歸結為能夠解決或比較容易解決的問題，最終使原問題得到解決，把這種思想方法稱為化歸(轉化)思想。從小學到中學，數學知識呈現一個由易到難、從簡到繁的過程；然而，人們在學習數學、理解和掌握數學的過程中，卻經常通過把陌生的知識轉化為熟悉的知識、把繁難的知識轉化為簡單的知識，從而逐步學會解決各種復雜的數學問題。因此，化歸既是一般化的數學思想方法，具有普遍的意義；同時，化歸思想也是攻克各種復雜問題的法寶之一，具有重要的意義和作用。2 .化歸所

2、遵循的原則。化歸思想的實質就是在已有的簡單的、具體的、基本的知識的基礎上，把未知化為已知、把復雜化為簡單、把一般化為特殊、把抽象化為具體、把非常規化為常規，從而解決各種問題。因此，應用化歸思想時要遵循以下幾個基本原則：(1)數學化原則，即把生活中的問題轉化為數學問題，建立數學模型，從而應用數學知識找到解決問題的方法。數學來源于生活，應用于生活。學習數學的目的之一就是要利用數學知識解決生活中的各種問題，課程標準特別強調的目標之一就是培養實踐能力。因此，數學化原則是一般化的普遍的原則之一。(2)熟悉化原則，即把陌生的問題轉化為熟悉的問題。人們學習數學的過程，就是一個不斷面對新知識的過程；解決疑難問

3、題的過程，也是一個面對陌生問題的過程。從某種程度上說，這種轉化過程對學生來說既是一個探索的過程，又是一個創新的過程；與課程標準提倡培養學生的探索能力和創新精神是一致的。因此，學會把陌生的問題轉化為熟悉的問題，是一個比較重要的原則。(3)簡單化原則，即把復雜的問題轉化為簡單的問題。對解決問題者而言，復雜的問題未必都不會解決，但解決的過程可能比較復雜。因此，把復雜的問題轉化為簡單的問題，尋求一些技巧和捷徑，也不失為一種上策。(4)直觀化原則，即把抽象的問題轉化為具體的問題。數學的特點之一便是它具有抽象性。有些抽象的問題，直接分析解決難度較大，需要把它轉化為具體的問題，或者借助直觀手段，比較容易分析

4、解決。因而，直觀化是中小學生經常應用的方法，也是重要的原則之3 .化歸思想的具體應用。學生面對的各種數學問題，可以簡單地分為兩類：一類是直接應用已有知識便可順利解答的問題；另一種是陌生的知識、或者不能直接應用已有知識解答的問題，需要綜合地應用已有知識或創造性地解決的問題。如知道一個長方形的長和寬，求它的面積，只要知道長方形面積公式的人，都可以計算出來，這是第一類問題；如果不知道平行四邊形的面積公式，通過割補平移變換把平行四邊形轉化為長方形，推導出它的面積公式，再計算面積，這是第二類問題。對于廣大中小學生來說，他們在學習數學的過程中所遇到的很多問題都可以歸為第二類問題，并且要不斷地把第二類問題轉

5、化為第一類問題。解決問題的過程，從某種意義上來說就是不斷地轉化求解的過程，因此，化歸思想應用非常廣泛。化歸思想在小學數學中的應用如下表。知識領域知識點應用舉例數與代數數的意義整數的意義：用實物操作和直觀圖幫助理解小數的意義：用直觀圖幫助理解分數的意義：用直觀圖幫助理解負數的意義：用數軸等直觀圖幫助理解四則運算的意義乘法的意義：若7個相同加數相加的一種簡便算法。除法的意義：乘法的逆運算。四則運算的法則整數加減法：用實物操作和直觀圖幫助理解算法。小數加減法：小數點對齊，然后按照整數的方法進行計算。小數乘法：先按照整數乘法的方法進行計算，再點小數點。小數除法：把除數轉化為整數，基本按照整數除法的方法

6、進行計算，需要注意被除數小數點與商的小數點對齊。分數加減法：異分母分數加減法轉化為同分母分數加減法。分數除法：轉化為分數乘法。四則運算各部分間的關系a+b=c,ca=bab=c,a=c+b簡便計算利用運算定律進行簡便計算方程解方程：解方程的過程，實際就是不斷把方程轉化為未知數前邊的系數是1的過程（x=a）。解決問題的策略化繁為簡：植樹問題、雞兔同籠問題等。化抽象為直觀：用線段圖、圖表、圖像等直觀表示數量之間的關系、幫助推理。化實際問題為數學問題：化一般問題為特殊問題：化未知問題為已知問題：空間與圖形三角形內角和通過操作把三個內角轉化為平角多邊形的內角和轉化為二角形求內角和面積公式止方形的面積：

7、轉化為長方形求面積平行四邊形面積：轉化為長方形求面積三角形的面積：轉化為平行四邊形求面積梯形的面積：轉化為平行四邊形求面積圓的面積：轉化為長方形求面積組合圖形的面積：轉化為求基本圖形的面積體積公式正方體的體積：轉化為長方體求體積圓柱的體積：轉化為長方體求體積圓錐體積：轉化為圓柱求體積統計與概率統計圖和統計表運用不同的統計圖表描述各種數據可能性運用不同的方式表K可能性的大小4 .解決問題中的化歸策略。(1)化抽象問題為直觀問題。數學的特點之一是它具有很強的抽象性，這是每個想學好數學的人必須面對的問題。從小學到初中，再到高中，數學問題的抽象性不斷加強，學生的抽象思維能力在不斷接受挑戰。如果能把比較

8、抽象的問題轉化為操作或直觀的問題，那么不但使得問題容易解決，經過不斷的抽象一直觀一抽象的訓練，學生的抽象思維能力也會逐步提高。下面舉例說明。1分析：此問題通過觀察，可以發現一個規律：每一項都是它前一項的2。但是對于小學和初中的學生來說，還沒有學習等比數列求和公式。如果把一條線段看作1,先取它的一半表示2,再取余下的一半的一半表示4,這樣不斷地取下去，最終相當于取了整條線段。因此，上式的結果等于1,這樣利用直觀手段解決了高中生才能解決的問題。(2)化繁為簡的策略。有些數學問題比較復雜，直接解答過程會比較繁瑣，如果在結構和數量關系相似的情況下，從更加簡單的問題入手，找到解決問題的方法或建立模型，并

9、進行適當檢驗，如果能夠證明這種方法或模型是正確的，那么該問題一般來說便得到解決。下面舉例加以說明。案例1:把186拆分成兩個自然數的和，怎樣拆分才能使拆分后的兩個自然數的乘積最大?187呢？分析：此題中的數比較大，如果用枚舉法一個一個地猜測驗證，比較繁瑣。如果從比較小的數開始枚舉，利用不完全歸納法，看看能否找到解決方法。如從10開始，10可以分成：1和9,2和8,3和7,4和6,5和5。它們的積分別是：9,16,21,24,25。可以初步認為拆分成相等的兩個數的乘積最大，如果不確定，還可以再舉一個例子，如12可以分成：1和11,2和10,3和9,4和8,5和7,6和6,它們的積分別是：11,2

10、0,27,32,35,36。由此可以推斷：把186拆分成93和93,93和93的乘積最大，乘積為8649。適當地加以檢驗，如92和94的乘積為8648,90和96的乘積為8640,者B比8649小。因為187是奇數，無法拆分成相等的兩個數，只能拆分成相差1的兩個數，這時它們的乘積最大。不再舉例驗證。案例2:你能快速口算85X85=,95X95=,105X105=嗎?分析：仔細觀察可以看出，此類題有些共同特點，每個算式中的兩個因數相等，并且個位數都是5。如果不知道個位數是5的相等的兩個數的乘積的規律，直接快速口算是有難度的。那么，此類題有什么技巧呢？不妨從簡單的數開始探索，如15X15=225,

11、25X25=625,35X35=1225。通過這幾個算式的因數與相應的積的特點，可以初步發現規律是：個位數是5的相等的兩個數的乘積分為左右兩部分：左邊為因數中5以外的數字乘比它大1的數，右邊為25(5乘5的積)。所以85X85=7225,95X95=9025,105X105=11025,實際驗證也是如此。很多學生面對一些數學問題，可能知道怎么解答，但是只要想起解答過程非常繁瑣，就會產生退縮情緒，或者在繁瑣的解答過程中出現失誤，這是比較普遍的情況。因此，學會化繁為簡的解題策略，對于提高解決繁難問題的能力大有幫助。(3)化實際問題為特殊的數學問題。數學來源于生活，應用于生活。與小學數學有關的生活中

12、的實際問題，多數可以用常規的小學數學知識解決；但有些生活中的實際問題表面上看是一些常用的數量，似乎能用常規的數學模型解決問題。但真正深入分析數量關系時，可能由于條件不全面而無法建立模型。這時，就需要超越常規思維模式，從另外的角度進行分析，找到解決問題的方法。下面舉例說明。案例1:某旅行團隊翻越一座山。上午9時上山，每小時行3千米，到達山頂時休息1小時。下山時，每小時行4千米，下午4時到達山底。全程共行了20千米。上山和下山的路程各是多少千米？分析：由于只知道上山和下山的速度，不知道上山和下山的具體時間，因此無法直接求出上山和下山的路程，但是知道總路程。仔細觀察可以發現：題中給出了兩個未知數量的

13、總和以及與這兩個數量有關的一些特定的數量，如果用假設的方法，那么就類似于雞兔同籠問題。假設都是上山，那么總路程是18(6X3)千米，比實際路程少算了2千米，所以下山時間是212+(43)小時，上山時間是4小時。上山和下山的路程分別是12千米和8千米。案例2:李阿姨買了2千克蘋果和3千克香蕉用了11元，王阿姨買了同樣價格的1千克蘋果和2千克香蕉，用了6.5元。每千克蘋果和香蕉各多少錢？分析：此題初看是關于單價、總價和數量的問題，但是，由于題中沒有告訴蘋果和香蕉各自的總價是多少，無法直接計算各自的單價。認真觀察，可以發現：題中分兩次給出了不同數量的蘋果和香蕉的總價，雖然題中有蘋果和香蕉各自的單價這

14、兩個未知數，但這二者沒有直接的關系，如果用方程解決，也超出了一元一次方程的范圍。那么這樣的問題在小學的知識范圍內如何解決呢？利用二元一次方程組加減消元的思想，可以解決這類問題；具體來說就是把兩組數量中的一個數量化成相等的關系，再相減，得到一個一元一次方程。不必列式推導，直接分析便可：1千克蘋果和2千克香蕉6.5元，那么可得出2千克蘋果和4千克香蕉13元；題中已知2千克蘋果和3千克香蕉11元。用13減去11得2,所以香蕉的單價是每千克2元。再通過計算得蘋果的單價是每千克2.5元。(4)化未知問題為已知問題。對于學生而言，學習的過程是一個不斷面對新知識的過程，有些新知識通過某些載體直接呈現，如面積

15、和面積單位，通過一些物體或圖形直接引入概念；而有些新知識可以利用已有知識通過探索，把新知識轉化為舊知識進行學習。如平行四邊形面積公式的學習，通過割補平移，把平行四邊形轉化為長方形求面積。這種化未知為已知的策略，在數學學習中非常常見。下面舉例說明。案例：水果商店昨天銷售的蘋果比香蕉的2倍多30千克，這兩種水果一共銷售了180千克。銷售香蕉多少千克？分析：學生在學習列方程解決問題時學習了最基本的有關兩個數量的一種模型：已知兩個數量的倍數關系以及這兩個數量的和或差，求這兩個數量分別是多少。題中的蘋果和香蕉的關系，不是簡單的倍數關系；而是在倍數的基礎上增加了一個條件，即蘋果比香蕉的2倍還多30千克。假

16、如把180減去30得150,那么題目可以轉化為：如果水果商店昨天銷售的蘋果是香蕉的2倍，那么這兩種水果一共銷售了150千克。銷售香蕉多少千克？這時就可以列方程解決了，設未知數時要注意設誰為x,題目求的是哪個量。這個案例能給我們什么啟示呢？教師在教學中要讓學生學習什么？學生既要學習知識，又要學習方法。學生不僅要學會類型套類型的解題模式，更重要的是在理解和掌握最基本的數學模型的基礎上，形成遷移類推或舉一反三的能力。教師在上面最基本的模型基礎上，可以引導學生深入思考以下幾個問題：1 .水果商店昨天銷售的蘋果比香蕉的2倍少30千克，這兩種水果一共銷售了180千克。銷售蘋果多少千克？2 .水果商店昨天銷

17、售的香蕉比蘋果的2多30千克，這兩種水果一共銷售了180千克。銷售蘋果多少千克？I3 .水果商店昨天銷售的香蕉比蘋果的2少30千克，這兩種水果一共銷售了120千克。銷售蘋果多少千克？4 .水果商店昨天銷售的蘋果是香蕉的2倍，銷售的梨是香蕉的3倍。這三種水果一共銷售了180千克。銷售香蕉多少千克？5 .水果商店昨天銷售的蘋果是香蕉的2倍，銷售的梨是蘋果的2倍。這三種水果一共銷售了210千克。銷售香蕉多少千克？從以上幾個題目的步數來說，可能已經超越了教材基本的難度標準。但筆者近年來一直有一個理念：“高標準教學，標準化考試”教師們可以在課堂上大膽探索，這樣的問題經過引導和啟發，學生到底能否解決？學生

18、是否能在數學思想方法和數學思維能力上得到更好的發展？是否貫徹了課程標準提倡的不同的人在數學上得到不同的發展的理念？(5)化一般問題為特殊問題。數學中的規律一般具有普遍性，但是對于小學生而言，普遍的規律往往比較抽象，較難理解和應用。如果舉一些特殊的例子運用不完全歸納法加以猜測驗證，也是可行的解決問題的策略。下面舉例說明。案例：任意一個大于4的自然數，拆成兩個自然數之和，怎樣拆分才能使這兩個自然數的乘積最大？分析：此問題如果運用一般的方法進行推理，可以設這個大于4的自然數為No如果N為偶數，可設N=2K(K為任意大于2的自然數)；那么N=K+K=(K1)+(K+1)=(K2)+(K+2)=,因為K>K1>K4>，所以KXK>(K1)X(K+1)>(K2)X(K+2)>,所以把這個偶數拆分成兩個相等的數的和，它們的積最大。如果N為奇數，可設N=2K+1(K為任意大于1的自然數)；那么N=K+(K+1)=(K1)+(K+2)=(K-2)+(K+3)=，因為K+K>K+K2>K+K6