1、推廣推廣第八章第八章 一元函數微分學一元函數微分學 多元函數微分學多元函數微分學 注意注意: 善于類比善于類比, 區別異同區別異同多元函數微分法多元函數微分法 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第八章 第一節第一節一、區域一、區域二、多元函數的概念二、多元函數的概念三、多元函數的極限三、多元函數的極限四、多元函數的連續性四、多元函數的連續性多元函數的基本概念多元函數的基本概念 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )(0oPPUPP 00一、一、 區域區域1. 鄰域鄰域點集, ),(0PPU稱為點 P0 的 鄰域鄰域. .例如例如, ,在平面上, ),(),(0yxPU(圓鄰域)在空間中, ),(),(0

2、zyxPU(球鄰域)說明：說明：若不需要強調鄰域半徑 , ,也可寫成. )(0PU點 P0 的去心鄰域去心鄰域記為PP 0yyxx2020)()(zzyyxx202020)()()(目錄 上頁 下頁 返回 結束 在討論實際問題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域為 (),(),0yxPU。0P因為方鄰域與圓鄰域可以互相包含.,0 xxyy0目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 區域區域(1) 內點、外點、邊界點設有點集 E 及一點 P : 若存在點 P 的某鄰域 U(P) E , 若存在點 P 的某鄰域 U(P) E = , 若對點 P 的任一任一鄰域 U(P) 既含 E中的內點也含 EE則稱 P

3、為 E 的內點內點；則稱 P 為 E 的外點外點 ;則稱 P 為 E 的邊界點邊界點 .的外點 ,顯然, E 的內點必屬于 E , E 的外點必不屬于 E , E 的邊界點可能屬于 E, 也可能不屬于 E . 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (2) 聚點聚點若對任意給定的 , ,點P 的去心),PU(E鄰域內總有E 中的點 , 則稱 P 是 E 的聚點聚點.聚點可以屬于 E , 也可以不屬于 E (因為聚點可以為 所有聚點所成的點集成為 E 的導集導集 .E 的邊界點 )目錄 上頁 下頁 返回 結束 D(3) 開區域及閉區域 若點集 E 的點都是內點，則稱 E 為開集； 若點集 E E , 則稱

4、 E 為閉集； 若集 D 中任意兩點都可用一完全屬于 D 的折線相連 , 開區域連同它的邊界一起稱為閉區域.則稱 D 是連通的 ; 連通的開集稱為開區域 ,簡稱區域 ;。 。 E 的邊界點的全體稱為 E 的邊界, 記作E ;目錄 上頁 下頁 返回 結束 例如，例如，在平面上0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx開區域閉區域xyOxy21OxyOxy21O目錄 上頁 下頁 返回 結束 整個平面 點集 1),(xyx是開集， 是最大的開域 , 也是最大的閉域 ;11 對區域 D , 若存在正數 K , 使一切點 PD 與某定點 A 的距離 AP K , 則

5、稱 D 為有界域有界域 , 界域界域 .否則稱為無無xyO它不是區域，因為它不是連通的開集目錄 上頁 下頁 返回 結束 *3. n 維空間維空間n 元有序數組),(21nxxx的全體所構成的集合記作,nR即RRRRnnkxxxxkn,2, 1,),(21R中的每一個元素用單個粗體字母 x 表示, 即nR),(21nxxxxnR定義了線性運算的定義:),(21nxxxxR,R),(),(2121nnnyyyxxxyx任給),(2211nnyxyxyxyx線性運算其元素稱為點或 n 維向量. xi 稱為 x 的第 i 個坐標 或 第 i 個分量. .R)0, 0, 0(中的坐標原點或零向量稱為零元

6、n0 0稱為 n 維空間, 目錄 上頁 下頁 返回 結束 的距離距離定義為2211)()(nnyxyx中點 a 的 鄰域鄰域為),(1nyy yxUn),(,R),(axxa),(R1nnxx x中兩點yxyx或),(),(,21nxxxx點特別與零元 0 的距離為22221nxxxx.,3, 2, 1xx 通常記作時當n, 0Raxx滿足與定元中的變元an. ax 記作nR記作則稱 x ), 2, 1(nkaxkk ax),(21naaaa設顯然趨于a ,目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、多元函數的概念二、多元函數的概念 引例引例: : 圓柱體的體積 定量理想氣體的壓強 三角形面積的海倫公式

7、,2hrV ,(為常數）RVTRp )2(cbapcba0, 0),(hrhr0, 0),(TTVTVcbacbacba, 0, 0, 0),( )()(cpbpappShr目錄 上頁 下頁 返回 結束 定義定義1. 設非空點集,nDRDPPfu, )(或點集 D 稱為函數的定義域定義域 ; 數集DP,Pfuu)(稱為函數的值域值域 .特別地 , 當 n = 2 時, 有二元函數2),(),(RDyxyxfz當 n = 3 時, 有三元函數3),(),(RDzyxzyxfu映射RDf :稱為定義在 D 上的 n 元函數元函數 , 記作),(21nxxxfu目錄 上頁 下頁 返回 結束 xzy例

8、如, 二元函數221yxz定義域為1),(22 yxyx圓域說明說明: 二元函數 z = f (x, y), (x, y) D圖形為中心在原點的上半球面., )sin(,yxz 又如的圖形一般為空間曲面 .12),(Ryx三元函數 )arcsin(222zyxu定義域為1),(222zyxzyx圖形為4R空間中的超曲面.單位閉球xyzOOO目錄 上頁 下頁 返回 結束 三、多元函數的極限三、多元函數的極限定義定義2. 設 n 元函數,(nDPPfR),點 , ),(0PUDP,)(APf則稱 A 為函數(也稱為 n 重極限)當 n =2 時, 記20200)()(yyxxPP二元函數的極限可寫

9、作：Ayxf),(lim0APfPP)(lim0P0 是 D 的聚若存在常數 A ,對一記作，時的極限當0)(PPPfAyxfyyxx),(lim00都有對任意正數 , 總存在正數 ,切目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 設)0(1sin)(),(222222yxyxyxyxf求證:.0),(lim00yxfyx證證:01sin)(2222yxyx故0),(lim00yxfyx,00),( yxf,022時當yx22yx 222yx ,總有要證 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2. 設0, 00,sinsin),(11yxyxyxyxfxy求證：.0),(lim00yxfyx證：證：0)

10、,(yxf故0),(lim00yxfyx, 0 20),( 22yxyxfyx 222 yx ,2 時，當yx220 xyyx11sinsin總有 2要證 目錄 上頁 下頁 返回 結束 若當點),(yxP趨于不同值或有的極限不存在，解解: 設 P(x , y) 沿直線 y = k x 趨于點 (0, 0) ,22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在點 (0, 0) 的極限.),(yxf故則可以斷定函數極限則有21kkk 值不同極限不同 !在 (0,0) 點極限不存在 .以不同方式趨于,),(000時yxP不存在 .例例3. 討論函數函數目錄 上頁 下頁

11、 返回 結束 例例4. 求22222200)()cos(1limyxyxyxyx解解: 因,)(2224122yxyx222222)()cos(1yxyxyx而620)cos1 (4limrrr此函數定義域不包括 x , y 軸,222yxr令則62)cos1 (4rr6402limrrr2cos1r24r故22222200)()cos(1limyxyxyxyx目錄 上頁 下頁 返回 結束 方法2 見到此類問題，用極坐標替換法，也可以得前面的結論：令,sin,cosryrx目錄 上頁 下頁 返回 結束 僅知其中一個存在,推不出其他二者存在.注注. 二重極限),(lim00yxfyyxx),(l

12、imlim00yxfxxyy及不同不同. 如果它們都存在, 則三者相等.例如例如,),(22yxyxyxf顯然),(limlim00yxfyyxx與累次極限),(limlim00yxfyx),(limlim00yxfxy0,0但由例3 知它在(0,0)點二重極限不存在 .例3目錄 上頁 下頁 返回 結束 四、四、 多元函數的連續性多元函數的連續性 定義定義3 . 設 n 元函數)(Pf定義在 D 上,)()(lim00PfPfPP0)(PPf在點如果函數在 D 上各點處都連續, 則稱此函數在 D 上,0DP 聚點如果存在否則稱為不連續,0P此時稱為間斷點 .則稱 n 元函數連續.連續, 目錄

13、上頁 下頁 返回 結束 例如例如, 函數0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在點(0 , 0) 極限不存在, 又如又如, 函數11),(22yxyxf上間斷.122 yx 故 ( 0, 0 )為其間斷點.在圓周結論結論: 一切多元初等函數在定義區域內連續.目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理定理：若 f (P) 在有界閉域 D 上連續, 則,0) 1 ( K)()2(Pf, ,Mm* (4) f (P) 必在D 上一致連續 .;,)(DPKPf使在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 對任意，DQ;)(Qf使(有界性定理) (最值定理) (介值定理) (一致連續性定理)

14、 閉域上多元連續函數有與一元函數類似的如下性質:(證明略) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .11lim00yxyxyx解解: : 原式) 11(1) 1(lim200yxxyyxyx21例例5. .求222)3arcsin(),(yxyxyxf1322yx4222yx例例6. 求函數的連續域.解解:02 yx2yx 111lim00yxyx2Oyx21111yxyx目錄 上頁 下頁 返回 結束 內容小結內容小結1. 區域 鄰域 :, ),(0PU),(0PU 區域連通的開集 空間nR2. 多元函數概念n 元函數),(21nxxxf常用二元函數 (圖形一般為空間曲面)三元函數DP)(Pfu nR

15、目錄 上頁 下頁 返回 結束 APfPP)(lim0,0,0時，當PP 00有APf)(3. 多元函數的極限4. 多元函數的連續性1) 函數連續在0)(PPf)()(lim00PfPfPP2) 閉域上的多元連續函數的性質:有界定理 ;最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函數在定義區域內連續目錄 上頁 下頁 返回 結束 備用題備用題1. 設,),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法1 令uyxvxy23vuy 3vuux ),(vuf32)(2vuu32)( vu,2xyu yxv ),(2yxxyf2)(2xy2y2y222yxy目錄 上頁 下頁 返回 結束 1 .設,),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法2 令uvyx2vuxy2vy uvx ),(2xyyxf),(2vuuvf22vuv即),(2yxxyf222yxy),(2vuuvf目錄 上頁 下頁 返回 結束 yxyxyx200limxxxx320lim)(lim320 xxx,12.yx