1、16-1 扭轉概念和工程實例扭轉概念和工程實例第第1616章章 扭扭 轉轉16-2 自由扭轉桿件的內力計算自由扭轉桿件的內力計算16-3 關于切應力的若干重要性質關于切應力的若干重要性質16-4 圓軸扭轉時橫截面上的應力圓軸扭轉時橫截面上的應力16-5 扭轉變形扭轉變形 扭轉強度和剛度計算扭轉強度和剛度計算16-6 矩形截面桿的自由扭轉矩形截面桿的自由扭轉16-1 16-1 扭轉概念和工程實例扭轉概念和工程實例1 1、螺絲刀桿工作時受扭、螺絲刀桿工作時受扭。 Me主動力偶主動力偶阻抗力偶阻抗力偶一、扭轉的工程實例一、扭轉的工程實例2 2、汽車方向盤的轉動軸工作時受扭。、汽車方向盤的轉動軸工作時

2、受扭。3 3、機器中的傳動軸工作時受扭。、機器中的傳動軸工作時受扭。二、扭轉的概念二、扭轉的概念受力特點：受力特點：桿兩端作用著大小相等、方向相反的力偶，且力桿兩端作用著大小相等、方向相反的力偶，且力 偶作用面垂直于桿的軸線。偶作用面垂直于桿的軸線。變形特點：變形特點：桿任意兩截面繞軸線發生相對轉動。桿任意兩截面繞軸線發生相對轉動。主要發生扭轉變形的桿主要發生扭轉變形的桿軸軸。Am Me主動力偶主動力偶阻抗力偶阻抗力偶em右右 圖圖m)(NnNnNm95491030330)(nmmdtdmdtmddtdWN一、外力偶矩計算一、外力偶矩計算 設：設：軸的轉速軸的轉速 n 轉分轉分 (rmin)

3、，其中其中某一輪傳輸的功率某一輪傳輸的功率為：為： N 千瓦千瓦( KW ） 實際作用于該輪的外力偶矩實際作用于該輪的外力偶矩 m ，則，則16-2 16-2 自由扭轉桿件的內力計算自由扭轉桿件的內力計算外力偶矩計算式外力偶矩計算式mm0, 0mTmx T1 1、扭轉桿件的內力扭轉桿件的內力（截面法）（截面法）xmmmT Tx取右段為研究對象：取右段為研究對象：0, 0TmmxmT 取左段為研究對象：取左段為研究對象：二、扭轉桿件的內力二、扭轉桿件的內力扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖 圓軸受扭時其橫截面上的圓軸受扭時其橫截面上的內力內力偶矩偶矩稱為稱為扭矩扭矩，用符號，用符號T 表示。表示。2 2、

4、扭矩的符號規定、扭矩的符號規定：按右手螺旋法則判斷按右手螺旋法則判斷。 右手的四指代表扭矩的旋轉方向，大拇指代表其矢量方向，若右手的四指代表扭矩的旋轉方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向其矢量方向與截面的外法線方向相同與截面的外法線方向相同，則扭矩規定為正值，反之為，則扭矩規定為正值，反之為負值。負值。T+T T3 3、內力圖（扭矩圖）：、內力圖（扭矩圖）： 表示構件各橫截面扭矩沿軸線變化的圖形表示構件各橫截面扭矩沿軸線變化的圖形。扭矩圖作法：同軸力圖：扭矩圖作法：同軸力圖：例例 已知：一傳動軸，已知：一傳動軸， n =300r/min，主動輪輸入，主動輪輸入 N1=500kW，從，從動輪

5、輸出動輪輸出 N2=150kW，N3=150kW，N4=200kW，試繪制扭矩圖。，試繪制扭矩圖。nA B C Dm2 m3 m1 m4 15.9(kN.m)m)(N1015.930050095499549311nNm4.78(kN.m)m)(N 1078. 4300150954995493232nNmm6.37(kN.m)m)(N10 37. 630020095499549344nNm求扭矩（扭矩按正方向設）求扭矩（扭矩按正方向設）解：計算外力偶矩解：計算外力偶矩nNm9549n =300r/min，輸入，輸入 N1=500kW，輸出輸出 N2=150kW，N3=150kW，N4=200kW

6、nA B C Dm2 m3 m1 m4nm2 m3 m1 m433A B C D1122T1T2T39.56xT（kN.m）4.786.37 , 0 , 0322mmTmx , 0, 0m34xTm0 , 021mTmx繪制扭矩圖繪制扭矩圖BC段為危險截面。段為危險截面。m43m2m2mmkN78. 4 21 mT1-1截面：截面：2 - 2截面：截面：mkN56. 9 322mmT3 - 3截面：截面：mkN37. 6T43 m（m軸單位長度內的扭力偶矩軸單位長度內的扭力偶矩）例例 試分析圖示軸的扭矩試分析圖示軸的扭矩)(xlmT 表示扭矩沿桿件軸線變化的圖線（表示扭矩沿桿件軸線變化的圖線（

7、T-x 曲線）扭矩圖曲線）扭矩圖截面法求扭矩截面法求扭矩T1 1、實驗：、實驗：16-3 關于切應力的若干重要性質關于切應力的若干重要性質一、一、薄壁圓筒橫截面上的應力薄壁圓筒橫截面上的應力 薄壁圓筒軸的扭轉薄壁圓筒軸的扭轉0101rt , r0為平均半徑）(壁厚壁厚實驗實驗變形規律變形規律應力的分布規律應力的分布規律應力的計算公式。應力的計算公式。2 2、變形規律：、變形規律：圓周線圓周線形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉動形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉動 了一個不同的角度。了一個不同的角度。縱向線縱向線傾斜了同一個角度，小方格變成了平行四邊形。傾斜了同一個角度，小方格變

8、成了平行四邊形。3 3、剪應變（角應變）：直角角度的改變量、剪應變（角應變）：直角角度的改變量 。認為剪應力沿壁厚均勻認為剪應力沿壁厚均勻分布分布, ,而且方向垂直于其半徑方向。而且方向垂直于其半徑方向。3 3、剪應變（角應變）：直角角度的改變量、剪應變（角應變）：直角角度的改變量 。4 4、定性分析橫截面上的應力、定性分析橫截面上的應力, 0（1 1）00（2 2）因為圓周上剪應變相同，所以剪因為圓周上剪應變相同，所以剪( (切）應力沿圓周均勻分布切）應力沿圓周均勻分布。（3 3）0,Dt Dt5 5、切應力的計算公式：、切應力的計算公式： dA 對圓心的矩對圓心的矩 d dAr0 02.2

9、020200trtdrrdATAtrT202d 薄壁圓筒扭轉時薄壁圓筒扭轉時橫截面上的切應力計算式橫截面上的切應力計算式二、關于切應力的若干重要性質二、關于切應力的若干重要性質1 1、剪切虎克定律、剪切虎克定律l為扭轉角為扭轉角lr0即即lr0做薄壁圓筒的扭轉試驗可得做薄壁圓筒的扭轉試驗可得T 縱軸縱軸 TtrT202psblr0橫軸橫軸剪切虎克定律剪切虎克定律,pG)1 (2EG在彈性范圍內切應力在彈性范圍內切應力與切應變成正比關系。與切應變成正比關系。psb從受扭的薄壁圓筒表面處截取一微小的正六面體從受扭的薄壁圓筒表面處截取一微小的正六面體單元體單元體zyddzxddxyzabOcddxd

10、ydz 0yF0zM自動滿足自動滿足0 xF且由于yzxxzydddddd存在存在得得2 2、切應力互等定理切應力互等定理Me Me 切應力互等定理切應力互等定理 單元體在其兩對互相單元體在其兩對互相垂直的平面上只有切應力垂直的平面上只有切應力而無正應力的狀態稱為而無正應力的狀態稱為純純剪切應力狀態剪切應力狀態。dabcxyzabOcddxdydz 在相互垂直的兩個面上，切在相互垂直的兩個面上，切應力總是成對出現，并且大小應力總是成對出現，并且大小相相等，等，方向同時指向或同時背離兩方向同時指向或同時背離兩個面的交線。個面的交線。一、圓軸扭轉時橫截面上的應力（超靜定問題）一、圓軸扭轉時橫截面上

11、的應力（超靜定問題）幾何關系：幾何關系：由實驗找出變形規律由實驗找出變形規律應變的變化規律應變的變化規律物理關系：物理關系：由應變的變化規律由應變的變化規律應力的分布規律應力的分布規律靜力關系靜力關系：由橫截面上的扭矩與應力的關系由橫截面上的扭矩與應力的關系應力的計算公式。應力的計算公式。一）、幾何關系一）、幾何關系：1 1、實驗：、實驗：16-4 圓軸扭轉時橫截面上的應力圓軸扭轉時橫截面上的應力2 2、變形規律：、變形規律： 圓周線圓周線形狀、大形狀、大小、間距不變，各圓周小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉動了一線只是繞軸線轉動了一個不同的角度。個不同的角度。2 2、變形規律：、變形規律：圓

12、周線圓周線形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉動形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉動 了一個不同的角度。了一個不同的角度。縱向線縱向線傾斜了同一個角度，小方格變成了平行四邊形。傾斜了同一個角度，小方格變成了平行四邊形。3 3、平面假設：、平面假設：變形前的橫截面，變形后仍為平面，且形狀、大變形前的橫截面，變形后仍為平面，且形狀、大 小、間距不變，半徑仍為直線。小、間距不變，半徑仍為直線。4 4、定性分析橫截面上的應力、定性分析橫截面上的應力00（1）00（2） 因為同一圓周上切應變相同，所以同一圓周上切應因為同一圓周上切應變相同，所以同一圓周上切應力大小相等，并且方向垂直于其半徑

13、方向。力大小相等，并且方向垂直于其半徑方向。5 5、切應變的變化規律：、切應變的變化規律：dxRddxDDtgtgxdddxdd取楔形體取楔形體O1O2ABCD 為研究對象為研究對象微段扭轉微段扭轉變形變形 d DD D bbA ADA點處的切應變點處的切應變a點處的切應變點處的切應變dxd二）物理關系：二）物理關系： 彈性范圍內彈性范圍內PmaxG GdxdG方向垂直于半徑。方向垂直于半徑。d / / dx扭轉角變化率扭轉角變化率 扭轉切應力分布扭轉切應力分布（實心截面）（實心截面）（空心截面）（空心截面）dxddxdG三）靜力關系：三）靜力關系：AdAATAdAIApd2令xGI Tpdd

14、 代入物理關系式代入物理關系式 得：得：xGdd pIT圓軸扭轉時橫截面上任一點的切應力計算式。圓軸扭轉時橫截面上任一點的切應力計算式。pGITx dd dAdAdAAxGAddd 2AxGAddd2OA扭轉扭轉變形計算式變形計算式dxdG?dxd橫截面上橫截面上 PPPWTITITmaxmaxmax抗扭截面模量抗扭截面模量，整個圓軸上整個圓軸上等直桿：等直桿：PWTmaxmax三、公式的使用條件：三、公式的使用條件：1 1、等直的圓軸，、等直的圓軸， 2 2、彈性范圍內工作。、彈性范圍內工作。I Ip p截面的極慣性矩截面的極慣性矩，單位：，單位：二、圓軸中二、圓軸中max的確定的確定44,

15、 mmm.,33mmm單位單位：maxpPIW PWpIT圓軸扭轉時橫截面上任一點的切應力計算式圓軸扭轉時橫截面上任一點的切應力計算式: :四、圓截面的極慣性矩四、圓截面的極慣性矩 Ip 和抗扭截面系數和抗扭截面系數WpAAId2p162/3ppddIW)d2(202d324dd2dA2/04)4(2d實心圓截面：實心圓截面：Odd223pd2DdI4344pp116162/DDdDDIW空心圓截面：空心圓截面：d2dA4432dD 44132DDdDdOd注意：對于空心圓截面注意：對于空心圓截面33p16dDW44p32dDIDdOdmN1993605 . 795509550nNmmN199

16、 mT441cm95. 732DIP4442cm38. 632dDIPMPa5 .37Pa105 .37261maxDITPACAC外MPa8 .46Pa108 .462DIT62PCBCBmax外解：（解：（1 1）計算外力偶矩、扭矩）計算外力偶矩、扭矩由截面法（2 2）計算極慣性矩）計算極慣性矩 , AC, AC段和段和CBCB段段橫截面的極慣性矩分別為橫截面的極慣性矩分別為 （3 3）計算應力）計算應力 minr/360n，kW5 . 7Ncm3Dcm2d例例 AB軸傳遞的功率為軸傳遞的功率為，轉速，轉速 。 如圖所示，軸如圖所示，軸AC段為實心圓截面，段為實心圓截面，CB段為空心圓截面

17、。段為空心圓截面。已知已知。試計算試計算AC以及以及CB段的最大切應力。段的最大切應力。1 1、強度條件、強度條件：2 2、強度條件應用、強度條件應用：1 1）校核強度）校核強度: : .)1 (16,16433空心空心實心實心DDWP16-5 16-5 扭轉變形扭轉變形 扭轉強度和剛度計算扭轉強度和剛度計算PWTmaxmax PWmaxT2 2）設計截面尺寸）設計截面尺寸: :3 3）確定外載荷）確定外載荷: :maxTPWm一、一、 扭轉強度計算扭轉強度計算max maxpmax WT pmaxmaxWT 等截面圓軸等截面圓軸: :變截面圓軸變截面圓軸: :例例 已知已知 T =1.5 k

18、N . m， = 50 MPa，試根據強度條件設，試根據強度條件設計實心圓軸與計實心圓軸與 = 0.9 的空心圓軸。的空心圓軸。解：解：1. 1. 確定實心圓軸直徑確定實心圓軸直徑 316dT 316 Td mm 54 d實心軸取：m 5350.0Pa)10(50)mN101.5(16363 max 163maxdT 2. 2. 確定空心圓軸內、外徑確定空心圓軸內、外徑 )1 (1643DT mm 3 .76)1 (1634TDmm7 .68 Dd mm 68 mm 76 dD，取：3. 3. 重量比較重量比較%5 .394)(4222ddD空心軸遠比空心軸遠比實心軸輕實心軸輕43p116DW

19、 已知已知 T=1.5 kN . m， = 50 MPa，試試根據強度條件根據強度條件設計實心圓軸與設計實心圓軸與 = = 0.9 的空心圓軸。的空心圓軸。mm 54 d實心軸取：解：1. 計算扭矩作扭矩圖計算扭矩作扭矩圖例 R050 mm的的薄壁圓管，左、右薄壁圓管，左、右段的壁厚段的壁厚分別為分別為 d d1 1 5 5 mm，d d2 2 4 4 mm，m = 3500 N . m/m，l = 1 m， 50 MPa，試校核圓管強度。試校核圓管強度。2. 2. 強度校核強度校核危險截面：危險截面：1202d d RTAA 2202d d RTBB 截面截面 A 與與 BMPa 6 .442120 d d RmlMPa 9 .2722220 d d Rml圓管強度足夠圓管強度足夠 R050