1、第七講第七講 傅里葉級數傅里葉級數傅里葉級數傅里葉級數一、三角級數一、三角級數二、函數展開成傅里葉級數二、函數展開成傅里葉級數三、正弦級數和余弦級數三、正弦級數和余弦級數傅里葉級數傅里葉級數一、三角級數一、三角級數二、函數展開成傅里葉級數二、函數展開成傅里葉級數三、正弦級數和余弦級數三、正弦級數和余弦級數簡單的周期運動簡單的周期運動)sin(tAy復雜的周期運動復雜的周期運動)sin(10nnntnAAytnAtnAnnnnsincoscossin令令,200Aa,sinnnnAa,cosnnnAbxt)sincos(210 xnbxnaannk三角級數三角級數引言引言( A：振幅：振幅 ：角

2、頻率：角頻率：初相：初相 ) 傅里葉級數傅里葉級數一、三角級數一、三角級數二、函數展開成傅里葉級數二、函數展開成傅里葉級數三、正弦級數和余弦級數三、正弦級數和余弦級數傅里葉級數傅里葉級數一、三角級數一、三角級數二、函數展開成傅里葉級數二、函數展開成傅里葉級數三、正弦級數和余弦級數三、正弦級數和余弦級數簡單的周期運動簡單的周期運動)sin(tAy復雜的周期運動復雜的周期運動)sin(10nnntnAAy)sincos(210 xnbxnaannk引言引言？( )f x周期函數周期函數研究問題研究問題)(xf在什么條件下能展開為三角級數在什么條件下能展開為三角級數;)(xf的展開式在什么范圍內成立

3、的展開式在什么范圍內成立;)(xf的展開式是否唯一的展開式是否唯一;)(xf的展開式如何確定的展開式如何確定.？ ？( A：振幅：振幅 ：角頻率：角頻率：初相：初相 ) 簡單的周期運動簡單的周期運動)sin(tAy復雜的周期運動復雜的周期運動)sin(10nnntnAAy)sincos(210 xnbxnaannk引言引言？( )f x周期函數周期函數研究問題研究問題)(xf在什么條件下能展開為三角級數在什么條件下能展開為三角級數;)(xf的展開式在什么范圍內成立的展開式在什么范圍內成立;)(xf的展開式是否唯一的展開式是否唯一;)(xf的展開式如何確定的展開式如何確定.？ ？( A：振幅：振

4、幅 ：角頻率：角頻率：初相：初相 ) 設設 f (x) 是周期為是周期為 2 的周期函數的周期函數 , 且且)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn右端級數可逐項積分右端級數可逐項積分, 則有則有),1,0(dcos)(1 nxnxxfan),2,1(dsin)(1 nxnxxfbn定理定理l注注,1,cos x,sin x,2cos x,2sin x,cos,nx,sinnx在在-,上正交上正交 ,上的積分等于上的積分等于 0 .即其中任意兩個不同的函數之積在即其中任意兩個不同的函數之積在-,組成三角級數的三角函數系組成三角級數的三角函數系簡單的周期運動簡單的周期運動)sin(tA

5、y復雜的周期運動復雜的周期運動)sin(10nnntnAAy)sincos(210 xnbxnaannk引言引言？( )f x周期函數周期函數研究問題研究問題)(xf在什么條件下能展開為三角級數在什么條件下能展開為三角級數;)(xf的展開式在什么范圍內成立的展開式在什么范圍內成立;)(xf的展開式是否唯一的展開式是否唯一;)(xf的展開式如何確定的展開式如何確定.？ ？( A：振幅：振幅 ：角頻率：角頻率：初相：初相 ) 簡單的周期運動簡單的周期運動)sin(tAy復雜的周期運動復雜的周期運動)sin(10nnntnAAy)sincos(210 xnbxnaannk引言引言？( )f x周期函

6、數周期函數研究問題研究問題)(xf在什么條件下能展開為三角級數在什么條件下能展開為三角級數;)(xf的展開式在什么范圍內成立的展開式在什么范圍內成立;)(xf的展開式是否唯一的展開式是否唯一;)(xf的展開式如何確定的展開式如何確定.？ ？( A：振幅：振幅 ：角頻率：角頻率：初相：初相 ) 簡單的周期運動簡單的周期運動)sin(tAy復雜的周期運動復雜的周期運動)sin(10nnntnAAy)sincos(210 xnbxnaannk引言引言？( )f x周期函數周期函數研究問題研究問題)(xf在什么條件下能展開為三角級數在什么條件下能展開為三角級數;)(xf的展開式在什么范圍內成立的展開式

7、在什么范圍內成立;)(xf的展開式是否唯一的展開式是否唯一;)(xf的展開式如何確定的展開式如何確定.？ ？( A：振幅：振幅 ：角頻率：角頻率：初相：初相 ) 10sincos2)(nnnxnbxnaaxf的傅的傅里里葉系數葉系數 ;由公式由公式 確定的確定的nnba ,稱為函數稱為函數f(x),1,0(dcos)(1 nxnxxfan),2,1(dsin)(1 nxnxxfbn定義定義以以f (x)的傅里葉系數為系數的三角級數的傅里葉系數為系數的三角級數 稱為稱為f(x)的的傅傅里里葉級數葉級數 . cossinnnnaanxbnx 012記作：記作： ( ) cossinnnnaf xa

8、nxbnx012 若等式若等式成立，則稱成立，則稱式為式為f(x)的的傅里葉展開式傅里葉展開式設設 f (x) 是周期為是周期為2 的周期函數，的周期函數， 如果它滿足如果它滿足:1) 在一個周期內連續或只有有限個第一類間斷點在一個周期內連續或只有有限個第一類間斷點;2) 在一個周期內至多只有有限個極值點在一個周期內至多只有有限個極值點, 則則 f (x) 的傅的傅里里葉級數收斂葉級數收斂 , 并且并且當當x 為為f (x)的間斷點時的間斷點時,級數收斂于級數收斂于 當當x 為為f (x)的連續點時的連續點時,級數收斂于級數收斂于);(xf).()(21 xfxf設設 f (x) 是周期為是周

9、期為 2 的周期函數的周期函數 , 它在它在 上的表達式為上的表達式為), 0,10,1)(xxxf將將 f (x) 展成傅展成傅里里葉級數葉級數. oyx11u例例11( )cosd(0,1,)naf xnx xn),2,1(dsin)(1 nxnxxfbn和函數的圖形和函數的圖形 oyx11傅氏級數的部分和逼近傅氏級數的部分和逼近f (x)的情況的情況),2,0,( xx77sin x99sinx33sinsin4)(xxxf55sin xf (x)的傅里葉展開式的傅里葉展開式xoy 0,00,)(xxxxf將將 f (x) 展成傅展成傅里里葉級數葉級數. 2332上的表達式為上的表達式為

10、), 設設 f (x) 是周期為是周期為 2 的周期函數的周期函數 , 它在它在 u例例2)(xf周期延拓周期延拓傅傅里里葉展開葉展開在在, 上有定上有定義義)(xF周期為周期為2在在),( 內內)()(xfxF )(xf在在, 上的傅里葉展開式上的傅里葉展開式展開思路展開思路u例例3展開成傅里葉級數展開成傅里葉級數, 其中其中E 是正的常數是正的常數 .將函數將函數,2sin)( ttEtutOu 22 E傅里葉級數傅里葉級數一、三角級數一、三角級數二、函數展開成傅里葉級數二、函數展開成傅里葉級數三、正弦級數和余弦級數三、正弦級數和余弦級數傅里葉級數傅里葉級數一、三角級數一、三角級數二、函數

11、展開成傅里葉級數二、函數展開成傅里葉級數三、正弦級數和余弦級數三、正弦級數和余弦級數 周期為周期為2 的的奇、偶函數的傅里葉級數奇、偶函數的傅里葉級數 對周期為對周期為 2 的奇函數的奇函數 f (x) ,對周期為對周期為2 的偶函數的偶函數 f (x) , ),2,1,0( dcos)(20 nxnxxfan),3,2,1( 0 nbn),2,1,0( 0 nan 0),3,2,1(dsin)(2nxnxxfbn其傅其傅里里葉系數為葉系數為其傅其傅里里葉系數為葉系數為此時其傅里葉此時其傅里葉級數為只含有正弦項的級數為只含有正弦項的正弦級數正弦級數.此時此時其傅里葉級數為只含有常數項和余弦項的

12、其傅里葉級數為只含有常數項和余弦項的余弦級數余弦級數. u例例4 yxo將將 f (x) 展成傅展成傅里里葉級數葉級數.是是周期為周期為2 的周期函數的周期函數,)(xf它在它在), 上的表達式為上的表達式為xxf )(設設u例例5將將 f (x) 展成傅展成傅里里葉級數葉級數.是是周期為周期為2 的周期函數的周期函數,)(xf它在它在), 上的表達式為上的表達式為|)(xxf 設設oyx22 )(xf奇延拓奇延拓傅傅里里葉展開葉展開在在, 0上有定義上有定義)(xF在在, 0(上上)()(xfxF 展開思路展開思路定義在定義在,( 上上,在在),( 上為上為奇函數奇函數)(xf的正弦級數的正弦級數展開式展開式(偶延拓偶延拓)(偶函數偶函數)(余弦函數余弦函數)u例例6分別展開成正弦級數和余弦級數分別展開成正弦級數和余弦級數.將函數將函數 )(xfxcos20 x02 xxyO22 )(x