1、第3章 靜定結構位移計算3-1 概述3-2 虛功原理3-3 單位荷載法3-4 荷載作用下結構的位移計算3-5 圖乘法3-6 支座移動引起的靜定結構位移計算3-7 制造誤差引起的靜定結構位移計算3-8 溫度改變引起的靜定結構位移計算3-9 互等定理3-1 概述 靜定結構的位移計算靜定結構的位移計算是是結構的動力計算結構的動力計算及及超靜定結構超靜定結構計算計算的基礎。的基礎。 結構在自重和外界因素作用下，會產生變形和位移。結構在自重和外界因素作用下，會產生變形和位移。變形和位移過大將影響建筑物的使用功能。變形和位移過大將影響建筑物的使用功能。門洞口上的隔墻破壞門洞口上的隔墻破壞變形導致窗戶變形導

2、致窗戶不能正常開啟不能正常開啟3-2-1變形體的虛功原理3-2 虛功原理虛位移虛位移：與對應的力無關的位移，：與對應的力無關的位移， FP虛虛 力力：與對應的位移無關的力，：與對應的位移無關的力， FP 虛虛 功：彼此無關的位移與力的乘積，功：彼此無關的位移與力的乘積， FP FP狀態狀態1 狀態狀態2首先明確虛位移、虛力和虛功的概念。首先明確虛位移、虛力和虛功的概念。虛功原理中的兩種狀態1 平衡的力狀態3-2 虛功原理2 協調的位移狀態外力虛功外力虛功We ：力狀態中的荷載：力狀態中的荷載及支座反力在位移狀態的位移及支座反力在位移狀態的位移上所作的功。上所作的功。微段的變形虛功微段的變形虛功

3、：力狀態中微力狀態中微段的截面內力在位移狀態中微段的截面內力在位移狀態中微段的變形位移上所作的功段的變形位移上所作的功。結構的變形虛功結構的變形虛功Wi ：整個桿件整個桿件的變形虛功為微段變形虛功的總的變形虛功為微段變形虛功的總和和。變形體的虛功原理：一組平衡的外力在虛位移上所做的外力虛功等于外力產生的內力在微段變形上所做的虛功之和，即： We=Wi注意以下基本概念：注意以下基本概念：（1）力狀態必須是平衡的力狀態必須是平衡的；位移狀態必須是協調的位移狀態必須是協調的；虛位虛位移還必須是微小的。移還必須是微小的。（2）力狀態與虛位移狀態之間是相互獨立的。虛位移并非）力狀態與虛位移狀態之間是相互

4、獨立的。虛位移并非由原平衡狀態的力引起的，而是由其他任意原因引起由原平衡狀態的力引起的，而是由其他任意原因引起的可能位移。的可能位移。（3）虛功原理可以適用于任何類型的結構和材料，也可以）虛功原理可以適用于任何類型的結構和材料，也可以適用于材料非線性問題和幾何非線性問題。適用于材料非線性問題和幾何非線性問題。3-2 虛功原理虛功原理dsds3-2-2 平面桿系結構的虛功原理力狀態中取出一個微段力狀態中取出一個微段:畫出微段截面內力。畫出微段截面內力。位移狀態中取出同樣微段：畫出微段變形。位移狀態中取出同樣微段：畫出微段變形。FNFN+dFNFQFQ+dFQM+dMMdsds3-2 虛功原理虛功

5、原理dsdsds略去高階微量后，得略去高階微量后，得式中式中 FN、FQ、M分別為力狀態中微段截面的軸力、剪力和彎矩；分別為力狀態中微段截面的軸力、剪力和彎矩； 分別為位移狀態中微段的虛軸向應變、虛剪切角和虛曲率。分別為位移狀態中微段的虛軸向應變、虛剪切角和虛曲率。iNQddddWFsFsMs和、整個結構的總變形虛功為整個結構的總變形虛功為iiNQ=d=+dllWWFFMs3-2 虛功原理虛功原理微段的截面內力在微段變形位移上所做的虛功微段的截面內力在微段變形位移上所做的虛功iNNQQdddddddWFFsFFsMMs由變形體虛功方程由變形體虛功方程We=Wi，可得可得NQdelWFFMs3-

6、3 單位荷載法單位荷載法 圖（圖（a）為一結構在荷載、支座位移、溫度變化等因素作）為一結構在荷載、支座位移、溫度變化等因素作用下的實際位移狀態。用下的實際位移狀態。將這個真實的狀態視為虛功方程中的位將這個真實的狀態視為虛功方程中的位移狀態。移狀態。 若求這個位移狀態中某一點若求這個位移狀態中某一點k的豎向位移的豎向位移k，可以在表示，可以在表示力狀態的圖（力狀態的圖（b）中的）中的k點施加一個單位荷載。點施加一個單位荷載。將這個虛設的單將這個虛設的單位位荷載荷載及其引起的支座反力視為虛功方程中的力狀態。及其引起的支座反力視為虛功方程中的力狀態。（a a）位移狀態）位移狀態實際位移實際位移 （b

7、 b）力狀態）力狀態虛設的單位虛設的單位荷載荷載虛設的平衡力系在實際位移上所做的虛功虛設的平衡力系在實際位移上所做的虛功 右側第一項是虛設的單位荷載在實際位移狀態上所作右側第一項是虛設的單位荷載在實際位移狀態上所作的虛功，第二項是虛設單位荷載下支座反力在實際支座位的虛功，第二項是虛設單位荷載下支座反力在實際支座位移上所作的虛功。將上式代入移上所作的虛功。將上式代入下下式式 得得式（式（3-2）就是平面桿系結構位移狀態的一般公式。）就是平面桿系結構位移狀態的一般公式。這種通過虛這種通過虛設單位荷載下的平衡力系，求結構位移的方法稱為單位荷載法。設單位荷載下的平衡力系，求結構位移的方法稱為單位荷載法

8、。eR1 1R22R3 3Ri i11kkWF cF cF cF c eNQdlWFFMsNQRi idklFFMsF c （3-2）3-3 單位荷載法單位荷載法式式3-2中需注意兩點：中需注意兩點：（1）公式）公式左側左側k 的物理意義是單位荷載在所求位移上所的物理意義是單位荷載在所求位移上所作的虛功，只是在數值上等于所求的位移。作的虛功，只是在數值上等于所求的位移。（2）在實際問題中，需要計算的位移有線位移、轉角位）在實際問題中，需要計算的位移有線位移、轉角位移以及兩個截面的相對線位移和相對轉角位移等。因此，移以及兩個截面的相對線位移和相對轉角位移等。因此，需要注意需要注意虛設的單位荷載要

9、與所求的位移對應虛設的單位荷載要與所求的位移對應。 所謂所謂“對應對應”有兩個方面的含義：一個是指力和位有兩個方面的含義：一個是指力和位移在做功的關系上對應，即與線位移對應的是集中力，與移在做功的關系上對應，即與線位移對應的是集中力，與轉角位移對應的是集中力偶。另一個含義是虛設的單位荷轉角位移對應的是集中力偶。另一個含義是虛設的單位荷載在所求的位移上所作的功要在數值上等于所求位移。載在所求的位移上所作的功要在數值上等于所求位移。3-3 單位荷載法單位荷載法ABkk（a）k截面的豎向位移及其對應的廣義力截面的豎向位移及其對應的廣義力AB1k （b）A截面的轉角位移及其對應的廣義力截面的轉角位移及

10、其對應的廣義力ABAAB1 （c）A、B兩個截面的相對轉角位移及其對應的廣義力兩個截面的相對轉角位移及其對應的廣義力ABAABAB11（d）EF截面的相對豎向位移其對應的廣義力截面的相對豎向位移其對應的廣義力ABEFE FAB113-3 單位荷載法單位荷載法AB1（a）與豎向位移對應）與豎向位移對應的虛設力狀態的虛設力狀態AB11（b）與兩點的相對位移）與兩點的相對位移 對對應的虛設力狀態應的虛設力狀態ABl1/l1/lCD（c）與）與CD桿的轉角位移對桿的轉角位移對應的虛設力狀態應的虛設力狀態AB1/lll1/l1/l1/lDCE（d）與）與CD、DE兩個桿件的相對轉兩個桿件的相對轉角位移對

11、應的虛設力狀態角位移對應的虛設力狀態3-3 單位荷載法單位荷載法3-4 荷載作用下結構的位移計算荷載作用下結構的位移計算考慮如下情況：考慮如下情況： (1)位移狀態中，沒有支座位移，位移狀態中，沒有支座位移，ci=0； (2)位移狀態是由真實的荷載引起的，構件為直桿，材料在線位移狀態是由真實的荷載引起的，構件為直桿，材料在線彈性范圍內，故彈性范圍內，故QPNPPd ,d ,dkFFMsssEAGAEI 分分別為位移狀態中，荷載引起的軸力、剪別為位移狀態中，荷載引起的軸力、剪力和彎矩。力和彎矩。E、G分別為材料的彈性模量和剪切模量；分別為材料的彈性模量和剪切模量；A、I分別為桿件的橫截面面積和截

12、面慣性矩。分別為桿件的橫截面面積和截面慣性矩。k是截面剪應力是截面剪應力不均勻系數，與截面形狀有關。對于矩形截面，不均勻系數，與截面形狀有關。對于矩形截面，k=1.2；圓形截面，圓形截面，k=10/9。NPQPPFFM、3-4 荷載作用下結構的位移計算荷載作用下結構的位移計算（3）對于常見的曲桿結構，桿件一般都是小曲率的，）對于常見的曲桿結構，桿件一般都是小曲率的，可以忽略曲率對變形的影響，仍可以按直桿公式計算應可以忽略曲率對變形的影響，仍可以按直桿公式計算應變。變。式式NQRi idlFFMsF c 變成變成QQPNNPP0e()dlF FF FMMsEAGAEI式式3-4就是單位荷載法計算

13、由荷載引起的結構位移計算公式就是單位荷載法計算由荷載引起的結構位移計算公式（3-4）實際應用時，式（實際應用時，式（3-4）可以進一步簡化）可以進一步簡化（1）桁架結構：因為桿件只有軸力，且軸力均為常數。）桁架結構：因為桿件只有軸力，且軸力均為常數。 式（式（3-4）簡化為）簡化為NNPF F lEA （2）梁及剛架：與彎曲變形相比，剪切變形和軸向變形對）梁及剛架：與彎曲變形相比，剪切變形和軸向變形對位移的貢獻很小，可忽略不計，式（位移的貢獻很小，可忽略不計，式（3-4）簡化為簡化為PdMMsEI 3-4 荷載作用下結構的位移計算（4）組合結構：桁架桿只有軸向變形，對梁式桿只需考慮彎）組合結構

14、：桁架桿只有軸向變形，對梁式桿只需考慮彎曲變形對位移的貢獻，式（曲變形對位移的貢獻，式（3-4）簡化為）簡化為NNPPdF F lMMsEAEI3-4 荷載作用下結構的位移計算荷載作用下結構的位移計算（3）小曲率拱結構：與梁和剛架相比，拱結構的軸力要大很）小曲率拱結構：與梁和剛架相比，拱結構的軸力要大很多，故一般需要考慮軸向變形和彎曲變多，故一般需要考慮軸向變形和彎曲變形對位移的影響，式（形對位移的影響，式（3-4）簡化為）簡化為NNPPdF FMMsEIEA【例【例3-1】圖】圖a所示桁架，各桿所示桁架，各桿 EA相等。求結點相等。求結點C豎向位豎向位移及移及AC桿與桿與CB桿的相對轉角。桿

15、的相對轉角。 解出荷載和單位力作用下各桿軸力，并標在圖解出荷載和單位力作用下各桿軸力，并標在圖a，b上，上，代入公式，得代入公式，得NNPPPPP12212 () (2)2() ()222(22) ( )CyF F lFaFaFlaEAEAF aEA 【解解】（1）求節點）求節點C的豎向位移的豎向位移3-4 荷載作用下結構的位移計算荷載作用下結構的位移計算_NNPPPPP12221222242 2AC CBFF lEAaFaFFaEAaaaFEA （2）求）求AC桿與桿與CB桿的相對轉角桿的相對轉角3-4 荷載作用下結構的位移計算荷載作用下結構的位移計算虛設的單位力虛設的單位力如圖所示如圖所示

16、 【例題【例題3-2】圖圖a和和c為一等截面懸臂曲梁，梁軸線為一等截面懸臂曲梁，梁軸線為為 圓弧圓弧，彈性常數和截面性質已知。試分別求集中力彈性常數和截面性質已知。試分別求集中力作用下自由端作用下自由端 的豎向位移的豎向位移 和均布水壓作用下自由端和均布水壓作用下自由端 的的水平位移水平位移 。并比較軸向變形、剪切變形和彎矩變形對。并比較軸向變形、剪切變形和彎矩變形對位移的貢獻。位移的貢獻。3-4 荷載作用下結構的位移計算荷載作用下結構的位移計算（1）求集中力作用下自由端）求集中力作用下自由端A的豎向位移的豎向位移Ay 在在A點施加一個豎向單位力（圖點施加一個豎向單位力（圖b）。單位力作用下，

17、）。單位力作用下，隔離體上的內力為隔離體上的內力為 NQsin ,cos ,sinFFM xR荷載作用下的內力為荷載作用下的內力為 sin,cos,sinPPPQPPNPRFxMFFFF將以上兩表達式代入公式，得將以上兩表達式代入公式，得3-4 荷載作用下結構的位移計算荷載作用下結構的位移計算EIRFGARFkEARFREIRRFRGAFkREAFsEIMMsGAFkFsEAFFMFFsssAy3PPP20P20P20P0P0QQP0NNP444d)sin()sin(dcoscosd)sin()sin(dddQN 分別分別表示軸向變形、剪切變形和彎曲變形引起表示軸向變形、剪切變形和彎曲變形引起

18、的位移。計算結果為正，表示點的位移。計算結果為正，表示點 豎向位移的方向與所加單位力豎向位移的方向與所加單位力方向相同。反之，點方向相同。反之，點 豎向位移方向與所加單位力方向相反。豎向位移方向與所加單位力方向相反。NFQFM3-4 荷載作用下結構的位移計算荷載作用下結構的位移計算討論討論若該梁是高度為若該梁是高度為 h的矩形截面鋼筋混凝土梁，則的矩形截面鋼筋混凝土梁，則124 .02hAIEG、101RhQN111200400QNFFMM，3-4 荷載作用下結構的位移計算荷載作用下結構的位移計算則則 又設又設 由此可見，對于細長的受彎構件，剪切與軸向變形對由此可見，對于細長的受彎構件，剪切與

19、軸向變形對位移的影響很小，可以略去不計。位移的影響很小，可以略去不計。 (2)均布水壓作用下自由端均布水壓作用下自由端 的水平位移的水平位移忽略剪切與軸向變形對位移的影響忽略剪切與軸向變形對位移的影響Ax2P002201 cosd(1 cos ()(1 cos cos sin sin )d cos sin sin cos (sin )MRMqRRqRqRqR 220241(sin )1 cos d4208AxqRRREIqREI 3-4 荷載作用下結構的位移計算荷載作用下結構的位移計算【例題【例題3-3】試求圖示結構】試求圖示結構C、B點的水平位移點的水平位移。 AC桿（以右側受拉為正）：桿（

20、以右側受拉為正）：BD桿（以右側受拉為正）：桿（以右側受拉為正）：CD桿（以下側受拉為正）：桿（以下側受拉為正）： PP12,2FMxxMxxMxx PP12,0,2FMxxMxMxx PPP12,2FMxlF xMxlxMxl 3-4 荷載作用下結構的位移計算荷載作用下結構的位移計算【解解】 首先建立各桿相應的彎矩方程：首先建立各桿相應的彎矩方程：將彎矩方程代入公式，得將彎矩方程代入公式，得P1P1P1PPPP0003P1114111d0dd2242316CxACBDCDlllM M dxM M dxM M dxEIEIEIFFFx x xxxlF xlxxEIEIEIF lEIP2P2P2

21、PPPP0001114111ddd22420BxACBDCDlllM M dxM M dxM M dxEIEIEIFFFx x xxxxlF xl xEIEIEI 3-4 荷載作用下結構的位移計算荷載作用下結構的位移計算（1） 圖乘法基本公式PdBAM MxEI PP1ddBBAAM MxM MxEIEI tgMx PPdtgdBBAAM MxMxx PtgdBAx Mx 00tgdtgBAxAxAyA Myy0MP圖圖圖圖dxABxx0dAMP3-5 圖乘法圖乘法條件：條件：1各桿各桿EI為常數；為常數； 2桿軸為直線；桿軸為直線； 3 MP、 中至少有一個為直線圖形。中至少有一個為直線圖形

22、。MP0dBAM MxyA 積分等于曲線圖形的面積乘以其積分等于曲線圖形的面積乘以其形心對應的直線圖形的縱坐標。形心對應的直線圖形的縱坐標。Myy0MP圖圖圖圖dxABxx0dAMP3-5 圖乘法圖乘法應用圖乘法時，下面幾點需要注意：應用圖乘法時，下面幾點需要注意：（1）必須符合圖乘法的前提條件。）必須符合圖乘法的前提條件。（2） 必須取自直線圖形。必須取自直線圖形。（3）當面積）當面積A與縱坐標與縱坐標y0在基線的同側時，圖乘結果取在基線的同側時，圖乘結果取“+”號，在異側時取號，在異側時取“-”號。號。3-5 圖乘法圖乘法均布荷載下均布荷載下簡支梁的彎矩圖簡支梁的彎矩圖均布荷載下均布荷載下

23、簡支梁彎矩圖的一半簡支梁彎矩圖的一半均布荷載下均布荷載下懸臂梁彎矩圖懸臂梁彎矩圖幾種需要記住并熟練掌握的圖形面積計算公式及形心位置幾種需要記住并熟練掌握的圖形面積計算公式及形心位置3-5 圖乘法圖乘法 當圖形的面積或形心位置不方便確定時，可以將其分當圖形的面積或形心位置不方便確定時，可以將其分解成幾個簡單的圖形，分別與另個圖形相乘，然后取它們解成幾個簡單的圖形，分別與另個圖形相乘，然后取它們結果的代數和。結果的代數和。M 圖3-5 圖乘法圖乘法 11221A yA yEI 11221A yA yEI 【例題例題3-4】 試求圖示等截面多跨靜定梁試求圖示等截面多跨靜定梁E點的豎向位移點的豎向位移

24、和和C點左右截面的相對轉角。點左右截面的相對轉角。EI為常數。為常數。【解解】（1） 求求E點的豎向位移點的豎向位移 MP圖中圖中BC段不是標準圖形，段不是標準圖形，需要分解。如圖需要分解。如圖d所示所示3-5 圖乘法圖乘法將圖（將圖（b）與圖（）與圖（c）圖乘得）圖乘得 222241122636112212633637232612213183237432EyqlllEIqlllqlllEIqlllEIqlEI 3-5 圖乘法圖乘法（2）求）求C點左右截面的相對轉角點左右截面的相對轉角MP圖中的圖中的BD段不是標準圖形，將其段不是標準圖形，將其如圖（如圖（f）分解。）分解。圖（圖（e）與圖（）

25、與圖（b）圖乘得）圖乘得3-5 圖乘法圖乘法222311232632112321326323822548C CqllEIqlqlllEIqlEI 【例題【例題3-5】 試求圖示剛架試求圖示剛架C點及點及B點的水平位移點的水平位移?！窘饨狻?（1）求）求C點的水平位移點的水平位移 。3-5 圖乘法圖乘法 由于圖由于圖b中橫梁彎矩圖面積及形中橫梁彎矩圖面積及形心位置均難以確定，可將其分解成心位置均難以確定，可將其分解成矩形和三角形，如圖所示。矩形和三角形，如圖所示。ppp3p11228331174822161267 ()1536CxF lllEIF lF lllllEIF lEI （2）B點的水平

26、位移點的水平位移33212112834821635 ()384PPPBxPFlFlFllllllEIEIFlEI 3-5 圖乘法圖乘法3-5 圖乘法【例題【例題 3-6】試求圖】試求圖3-18a所示三鉸剛架鉸所示三鉸剛架鉸 E 兩側截面的相對兩側截面的相對轉角及豎向位移。轉角及豎向位移。 【解解】（1 1）求）求鉸鉸 E 兩側截面的相對轉角兩側截面的相對轉角2223112211124338211121012243 -()24qlqlllEIqlllEIEIqlEI 位移與所設單位力反向（2）求）求E點豎向位移點豎向位移22222411221243 4382 41121222423 42423

27、4121243 4 ()96EyqllqllllEIqlllqlllEIqlllEIqlEI 3-5 圖乘法3-5 圖乘法圖乘法【解解】（1）求）求E點的豎向位移點的豎向位移5/23m2m11NMF、圖圖MP、FNP圖圖20kNm75kN90kNm113122120 2220 4220 4234233211215155937.5290 337550.0259m4232BVEIEIEAEIEA 2m10kN/mD3m3m4mAB4EIEIEAC42422.1 10 kN/cm3200cm16cm .已已知知：，求求：、BVC CEIA（2）求）求C點兩個桿端的相對角位移點兩個桿端的相對角位移3-

28、5 圖乘法圖乘法5/1212N2MF、圖MP、FNP圖圖20kNm75kN90kNm1112111220420490323324231535.83156.257550.0058rad12C CEIEIEAEIEA 支座位移不引起靜定結構內力，桿件沒有變形，結構支座位移不引起靜定結構內力，桿件沒有變形，結構只有剛體位移，即只有剛體位移，即3-6 支座移動引起的靜定結構位移計算支座移動引起的靜定結構位移計算平面桿系結構位移狀態的一般公式平面桿系結構位移狀態的一般公式NQRi idklFFMsF c 0上述位移計算公式簡化為上述位移計算公式簡化為Rki iF c 式中，式中， 為虛設單位力下的支座反

29、力；為虛設單位力下的支座反力； 為反力虛功，當為反力虛功，當 與與實際支座位移實際支座位移c方向一致時其乘積取方向一致時其乘積取“+”號，相反時取號，相反時取“-”號。號。RiFRi iF cR iF 【例題【例題3-8】 圖示兩跨簡支梁，在圖示支座移動狀態圖示兩跨簡支梁，在圖示支座移動狀態下，求鉸下，求鉸B兩側截面的相對轉角兩側截面的相對轉角 。 【解解】在在B點兩側截面施加等值反向的單位力偶，并求出點兩側截面施加等值反向的單位力偶，并求出有支座位移的支座反力，如圖有支座位移的支座反力，如圖（b）所示。所示。3-6支座移動引起的靜定結構位移計算支座移動引起的靜定結構位移計算 【例題【例題3-

30、9】試求圖】試求圖3-21a所示剛架在支座移動情況下，所示剛架在支座移動情況下，鉸鉸D上面桿截面與地面的相對夾角上面桿截面與地面的相對夾角 。 【解解】在在D結點加一個單位力偶，并求出有支座位移的結點加一個單位力偶，并求出有支座位移的支座反力支座反力,如圖如圖b。所示。所示。3-6支座移動引起的靜定結構位移計算支座移動引起的靜定結構位移計算3-6支座移動引起的靜定結構位移計算支座移動引起的靜定結構位移計算1R1110.020.010.013690.0061radDiiF c 3-7 制造誤差引起的靜定結構位移制造誤差引起的靜定結構位移 以圖以圖a所示桁架結構為例，說明有制造誤差的靜定結構所示桁

31、架結構為例，說明有制造誤差的靜定結構位移計算方法。假定位移計算方法。假定AC桿做短了，誤差為桿做短了，誤差為lAC 。位移狀態位移狀態： 結構在結構在AC桿制造誤差下，結點桿制造誤差下，結點A、B、D不動，不動，C、E兩個結點分別兩個結點分別移動到移動到C1、E1（圖（圖a中虛線所示）中虛線所示） 。 將有制造誤差的桿件去掉，以將有制造誤差的桿件去掉，以剩下桿件的位移作為虛功原理中的剩下桿件的位移作為虛功原理中的位移狀態（圖位移狀態（圖b中虛線所示）。中虛線所示）。 與支座位移類似，發生位移后，與支座位移類似，發生位移后，桿件的內力和變形都等于零，結構桿件的內力和變形都等于零，結構只有剛體位移

32、。只有剛體位移。3-7 制造誤差引起的靜定結構位移制造誤差引起的靜定結構位移力狀態力狀態： 在原結構需要求位移的在原結構需要求位移的E結結點上加上一個單位力，在這個單點上加上一個單位力，在這個單位力作用下，結構各桿將產生軸位力作用下，結構各桿將產生軸力（圖力（圖c所示）。所示）。 將原結構中有制造誤差的桿將原結構中有制造誤差的桿件移開，用相應的軸力件移開，用相應的軸力 代替代替。這這時，時， 軸力軸力就變成了作用在結點就變成了作用在結點A和和C的外力了。的外力了。 這對兒軸力與這對兒軸力與施加在施加在E點點上上的單位力及支座反力組成一個平的單位力及支座反力組成一個平衡力系（圖衡力系（圖d所示）

33、所示） 。3-7 制造誤差引起的靜定結構位移制造誤差引起的靜定結構位移對兩種狀態應用虛功原理，得總外力虛功為對兩種狀態應用虛功原理，得總外力虛功為N1eEyACACWFl 總變形虛功為總變形虛功為NQ0e()d0liWFFMs將外力虛功和變形虛功代入虛功方程，得將外力虛功和變形虛功代入虛功方程，得N10EyACACFl故位移計算公式為故位移計算公式為NEyACACFl 對于多個桿件有制造誤差的情況，上式變成對于多個桿件有制造誤差的情況，上式變成NyiiiFl 需要指出以下幾點：需要指出以下幾點： (1)位移計算公式的右側是與有誤差桿件對應的總虛功位移計算公式的右側是與有誤差桿件對應的總虛功移項

34、得到的，因此，與支座位移情況相同，求和號前有負移項得到的，因此，與支座位移情況相同，求和號前有負號。號。 (2)求和號下每一項都是單位廣義力引起的有制造誤差求和號下每一項都是單位廣義力引起的有制造誤差桿件的軸力在制造誤差上做的功，因此，桿件的軸力在制造誤差上做的功，因此，二者方向一致時二者方向一致時做正功，也即乘積為做正功，也即乘積為“+”，反之做負功、積為，反之做負功、積為“-”。具體。具體地說，地說，單位里引起的拉力在短的誤差上、引起的壓力在長單位里引起的拉力在短的誤差上、引起的壓力在長的誤差上做功都為正、反之為負的誤差上做功都為正、反之為負。 (3)計算單位力引起的桿件軸力時，只需求有制

35、造誤差計算單位力引起的桿件軸力時，只需求有制造誤差桿件的軸力，因為單位力引起的軸力在沒有制造誤差的桿桿件的軸力，因為單位力引起的軸力在沒有制造誤差的桿件上作功為零件上作功為零。3-7 制造誤差引起的靜定結構位移制造誤差引起的靜定結構位移ilNiF 【例題【例題3-10】已知圖】已知圖3-23a所示桁架的下弦桿均做短了所示桁架的下弦桿均做短了0.6 cm。試求結點。試求結點A的豎向位移。的豎向位移。 【解解】 在在A點施加豎向單位集中力，并求出有制造誤差點施加豎向單位集中力，并求出有制造誤差桿件的軸力，如圖桿件的軸力，如圖b所示。所示。3-7 制造誤差引起的靜定結構位移制造誤差引起的靜定結構位移

36、N142 10.6cm2 AyiiFl溫度改變時：溫度改變時：1）由于纖維的伸長或縮短引起軸向變形）由于纖維的伸長或縮短引起軸向變形 2）由于伸長或縮短不一致，引起彎曲變形）由于伸長或縮短不一致，引起彎曲變形 3）溫度改變不引起剪切變形）溫度改變不引起剪切變形dud 1dwd xd xhdud 2dtx 1dtx 121201ddd2dd2utxtxttxtx 21dddttxtxhh NQ1dddlFuFwM 一般公式一般公式3-8 溫度變化引起的靜定結構位移計算NQ1dddlFuFwM 0NddllttFxMxh N0ddlltxFtxMh N0FMtt AAh MNFQF虛設的單位力狀態

37、d xd xhdud 2dtx 1dtx 實際的位移狀態符號：符號：1 由溫度引起的變形方向與由單位力引起由溫度引起的變形方向與由單位力引起的彎曲方向一致時，取的彎曲方向一致時，取“正正”號。號。2 其余符號均取絕對值。其余符號均取絕對值。溫度變化引起的位移計算公式溫度變化引起的位移計算公式3-8 溫度變化引起的靜定結構位移計算 【例題【例題3-11】圖示剛架，外側溫度不變，內側溫度上升】圖示剛架，外側溫度不變，內側溫度上升 。已知：。已知：l = 4 m，線脹系數，線脹系數=10-5/ , 各桿均為高度各桿均為高度h=0.4 m的矩形截面。求的矩形截面。求A點豎向和水平位移。點豎向和水平位移

38、?！窘饨狻浚海ǎ海?）求）求A點豎向位移點豎向位移3-8 溫度改變引起的靜定結構位移計算 N0220 C 110 C110 C1()2 1.2 10 m ()AyFMtA tAhlll ll lh （2）A點水平位移點水平位移 _0oo220 C110 C221.64 10 m ()NAxFMtt AAhll ll lh 3-8 溫度改變引起的靜定結構位移計算溫度改變引起的靜定結構位移計算 【例題例題3-123-12】 已知圖示剛架外部溫度降低已知圖示剛架外部溫度降低2020，左邊，左邊剛架內部溫度升高剛架內部溫度升高2020，右側剛架內部溫度升高，右側剛架內部溫度升高1010。試。試求求F

39、F點水平位移。點水平位移。解：在解：在F點施加水平單位力，作出點施加水平單位力，作出相應的單位軸力圖和單位彎矩圖，相應的單位軸力圖和單位彎矩圖，如圖如圖b和圖和圖 c所示。所示。 3-8 溫度改變引起的靜定結構位移計算溫度改變引起的靜定結構位移計算AD桿：桿： EB桿：桿： DE桿：桿： EF桿：桿： ttoooooooooooo0 0-20 C+ 20 C-20 C+ 20 C= 0 C= 0 C = -20 C-20 C = 40 C = -20 C-20 C = 40 C2 2tto oo oo oo oo oo o0 02 20 0 C C+ +1 10 0 C C= = =1 15

40、5 C C = = 2 20 0 C C- -1 10 0 C C = =1 10 0 C C2 2ttoooooooooooo0 0-20 C+ 20 C-20 C+ 20 C= 0 C= 0 C = - 20 C-20 C = 40 C = - 20 C-20 C = 40 C2 2tto oo oo oo oo oo o0 0- -2 20 0 C C+ +1 10 0 C C= = = 5 5 C C = = - -2 20 0 C C- -1 10 0 C C = = 3 30 0 C C2 23-8 溫度改變引起的靜定結構位移計算溫度改變引起的靜定結構位移計算 N022210 C1

41、40 C115 C5 C222525F xFMtt AAhaaaahhaah 【例題例題3-13】求圖示具有彈性支座梁，求圖示具有彈性支座梁，AC跨跨中截面處的跨跨中截面處的豎向位移。彈性支座的彈簧剛度系數豎向位移。彈性支座的彈簧剛度系數 。3kEI l解法解法1：將彈簧看成結構中的一個桁架桿，二者的等效關系為：將彈簧看成結構中的一個桁架桿，二者的等效關系為EAklNPN1P1333PPPPPd1.50.50.751112441616F FM MxlEIEAF lFF lF lF lllkEIEIEI 3-8 溫度改變引起的靜定結構位移計算溫度改變引起的靜定結構位移計算按照組合結構計算位移的方法進行計算了。按照組合結構計算位移的方法進行計算了。EAkl 解法解法2：將荷載作用下彈性支座的變形視為主體結構將荷載作用下彈性支座的變形視為主體結構的支座位移，彈性支座的位移為的支座位移，彈性支座的位移為P1.5FkP1R33