1、直線與平面、平面與平面平行的判定 學(xué)習(xí)目標 1.理解直線與平面平行、平面與平面平行判定定理的含義.2.會用圖形語言、文字語言、 符號語言準確描述直線與平面平行、 平面與平面平行的判定定理， 并知道其地位和 作用 .3.能運用直線與平面平行的判定定理、 平面與平面平行的判定定理證明一些空間線面關(guān) 系的簡單問題 .知識點一 直線與平面平行的判定定理語言敘述符號表示圖形表示平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平a? b? ?a ab行，則該直線與此平面平行思考 若一條直線平行于一個平面內(nèi)的一條直線，則這條直線和這個平面平行嗎？答 根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知該結(jié)論錯誤知識點二 平面與平面平行的判定

2、定理語言敘述符號表示圖形表示一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行a?， b? a bA? a，b思考 如果一條直線與兩個平行平面中的一個平行， 那么這條直線與另一個平面也平行嗎？答 不一定 . 這條直線與另一個平面平行或在另一個平面內(nèi) 題型一 直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用例 1 如圖，空間四邊形 ABCD 中， E、F、G、H 分別是 AB、BC、CD 、 DA 的中點 .求證： (1)EH 平面 BCD ； (2)BD平面 EFGH .證明 (1) EH 為ABD 的中位線，EHBD.EH?平面 BCD， BD?平面 BCD ，EH 平面 BCD.(2)BDEH ，B

3、D ?平面 EFGH ，EH?平面 EFGH ，BD平面 EFGH .跟蹤訓(xùn)練 1 在四面體 ABCD中， M，N分別是 ABD和 BCD 的重心，求證： MN平 面 ADC .證明 如圖所示，連接 BM，BN并延長，分別交 AD，DC 于P，Q兩 點，連接 PQ .因為 M，N分別是 ABD和BCD 的重心，所以 BMMPBNNQ2 1.所以 MN PQ.又因為 MN?平面 ADC ， PQ ?平面 ADC ，所以 MN 平面 ADC.題型二 面面平行判定定理的應(yīng)用例 2 如圖所示，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， 面 A1EB平面 ADC1.證明 由棱柱性質(zhì)知，B1C1BC，B1C1B

4、C，又 D ，E 分別為 BC，B1C1的中點， 所以 C1E 綊 DB ，則四邊形 C1DBE 為平行四邊形， 因此 EB C1D，又 C1D ?平面 ADC1，EB?平面 ADC 1，所以 EB 平面 ADC1.連接 DE，同理， EB1綊 BD， 所以四邊形 EDBB 1為平行四邊形，則 ED 綊 B1B.因為 B1B A1A，B1BA1A(棱柱的性質(zhì) )，所以 ED 綊 A1A，則四邊形 EDAA1 為平行四邊形，所以 A1E AD ，又 A1E?平面 ADC1，AD?平面 ADC 1，所以 A1E平面 ADC 1.由 A1E平面 ADC 1，EB平面 ADC 1，A1E?平面 A1E

5、B ，EB?平面 A1EB， 且 A1EEBE，所以平面 A1EB 平面 ADC1.跟蹤訓(xùn)練 2 已知 ABCDA1B1C1D1是棱長為 3的正方體，點 E在 AA1上，點 F在 CC1上， 點 G 在 BB1上，且 AE FC1 B1G 1，H 是 B1C1的中點 .求證： (1)E，B，F(xiàn)，D1 四點共面；(2)平面 A1GH 平面 BED1F.證明 (1)AEB1G1， BGA1E2.又 BGA1E，四邊形 A1EBG 是平行四邊形，A1GBE.連接 FG. C1FB1G， C1FB1G，四邊形 C1FGB 1是平行四邊形，F(xiàn)GC1B1 D1A1，F(xiàn)GC1B1D1A1， 四邊形 A1GF

6、D 1 是平行四邊形，A1GD1F，D1FEB.故 E，B，F(xiàn)，D1 四點共面 .3(2)H 是 B1C1 的中點， B1H2.又 B1G 1，B1G 2.B1H 3.FC 2又 ，且 FCB GB1H90°， BC 3 B1HG CBF ， B1GH CFBFBG，HGFB.又由 (1)知， A1GBE，且 HGA1GG，F(xiàn)BBEB，平面 A1GH 平面 BED1F.題型三 線面平行、面面平行判定定理的綜合應(yīng)用 例 3 在正方體 ABCDA1B1C1D1中， O 為底面 ABCD 的中心， P 是 DD 1的中點，設(shè) Q 是 CC 1上的點 .問：當點 Q 在什么位置時，平面 D1

7、BQ平面 PAO？請說明理由 .解 當 Q為 CC1的中點時，平面 D1BQ平面 PAO.理由如下： 連接 PQ.Q為 CC1的中點， P為 DD 1的中點， PQDCAB，PQDCAB，四邊形 ABQP 是平行四邊形， QBPA.又O為 DB 的中點， D1BPO.又 POPAP， D1BQBB，平面 D1BQ 平面 PAO.跟蹤訓(xùn)練 3 如圖，三棱柱 ABC A1B1C1的底面為正三角形，側(cè)棱 A1A底面 ABC，E，F(xiàn) 分別是棱 CC1，BB1上的點， EC2FB.M 是線段 AC上的動點，當點 M 在何位置時， BM 平面 AEF ？請說明理由 .解 當 M 為 AC中點時， BM平面

8、 AEF.理由如下： 方法一 如圖 1，取 AE 的中點 O，連接 OF，OM .O， M 分別是 AE，AC 的中點，1OM EC，OM2EC.又 BFCE，EC2FB， OM BF，OMBF，四邊形 OMBF 為平行四邊形， BM OF.又OF?面 AEF ，BM ?面 AEF，BM 平面 AEF.方法二 如圖 2，取 EC 的中點 P，連接 PM ，PB.PM 是ACE 的中位線，PMAE.EC2FB2PE，CC1BB1，PEBF， PEBF，四邊形 BPEF 是平行四邊形， PB EF.又 PM?平面 AEF ， PB?平面 AEF，PM平面 AEF，PB 平面 AEF.又 PMPBP

9、，平面 PBM 平面 AEF.又BM?面PBM，BM平面 AEF.面面平行的判定例 4 已知在正方體 ABCDABCD中， M，N 分別是 AD，AB的中點，在 該正方體中是否存在過頂點且與平面 AMN 平行的平面？若存在，試作出該平面，并證明你 的結(jié)論；若不存在，請說明理由 .分析 根據(jù)題意畫出正方體，根據(jù)平面 AMN 的特點，試著在正方體中找出幾條平行于該平 面的直線，然后作出判斷，并證明 .解 如圖，與平面 AMN 平行的平面有以下三種情況：面以圖 為例進行證明如圖 ，取 BC的中點 E，連接 BD，BE，DE，ME，BD 可知四邊形 ABEM 是平行四邊形，所以 BEAM .又因為 B

10、E?平面 BDE ， AM?平面 BDE，所以 AM平面 BDE .因為 MN 是 AB D 的中位線，所以 MNBD .因為四邊形 BDD B是平行四邊形，所以 BD BD.所以 MN BD.又因為 BD ?平面 BDE ，MN?平面 BDE ，所以 MN平面 BDE .又因為 AM?平面 AMN ， MN ?平面 AMN ，且 AMMN M， 所以由平面與平面平行的判定定理可得，平面AMN平面 BDE .1. 過直線 l 外兩點，作與 l 平行的平面，則這樣的平面 ( )A. 不可能作出B.只能作出一個C.能作出無數(shù)個D. 上述三種情況都存在2. 經(jīng)過平面 外兩點，作與 平行的平面，則這樣

11、的平面可以作 ( )A. 1 個或 2 個B.0 個或 1 個BD 與C.1 個D.0 個3. 若線段 AB，BC，CD 不共面， M， N，P分別為線段 AB，BC，CD 的中點，則直線平面 MNP 的位置關(guān)系是 ( )的位置關(guān)系是a 平行4. 在正方體 EFGH E1F1G1H1 中，下列四對截面彼此平行的一對是 ( )A.平面 E1FG1與平面 EGH1B.平面 FHG 1與平面 F1H1GC.平面 F1H1H 與平面 FHE 1D.平面 E1HG 1與平面 EH1G5. 梯形 ABCD 中， ABCD ，AB?平面 ， CD ?平面 ，則直線 CD 與平面一、選擇題1. 下列說法正確的

12、是 ( ) 若一個平面內(nèi)有兩條直線都與另一個平面平行，則這兩個平面平行； 若一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線都與另一個平面平行，則這兩個平面平行； 若一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面，則這兩個平面平行； 若一個平面內(nèi)的兩條相交直線都與另一個平面平行，則這兩個平面平行A. B.C.D. 2. 平面 與平面 平行的條件可以是 ( )A. 內(nèi)有無窮多條直線與 平行B. 直線 a ， a ，且直線 a 不在 與 內(nèi)C. 直線 a?，直線 b?，且 b，a D. 內(nèi)的任何直線都與 平行3. 六棱柱的表面中，互相平行的平面最多有( )A.2 對 B.3 對 C.4 對 D.5 對4. 如果直線 a 平行于平

13、面 ，那么下列命題正確的是 ( )C.平面 內(nèi)不存在與 a 平行的直線D. 平面 內(nèi)的任意直線與直線 a 都平行A. 平面 內(nèi)有且只有一條直線與 a 平行 B. 平面 內(nèi)有無數(shù)條直線與5. 在空間四邊形 ABCD 中， E，F(xiàn) 分別為 AB，AD 上的點，且 AEEBAFFD 14，又H，G分別為 BC，CD的中點，則 ( )A.BD 平面 EFG，且四邊形 EFGH 是平行四邊形B. EF平面 BCD ，且四邊形 EFGH 是梯形C. HG 平面 ABD ，且四邊形 EFGH 是平行四邊形D. EH 平面 ADC ，且四邊形 EFGH 是梯形6. 平面內(nèi)有不共線的三點到平面 的距離相等且不為

14、零，則 與的位置關(guān)系為 ( )A. 平行B.相交C.平行或相交D. 可能重合7. 已知直線 l， m，平面，下列命題正確的是 ( )A.l， l? B.l ， m ， l ?， m?C.lm，l?，m?D.l，m， l?，m?，lmM?二、填空題8. 三棱錐 SABC中， G為 ABC的重心， E在棱 SA上，且 AE2ES，則 EG與平面 SBC的 關(guān)系為 .9. 如圖是正方體的平面展開圖 .在這個正方體中，以上四個命題中，正確命題的序號是 BM 平面 DE； CN平面 AF；平面 BDM 平面 AFN；平面 BDE 平面 NCF .10. 右圖是一幾何體的平面展開圖， 其中四邊形 ABCD

15、 為正方形，E， F， G，H 分別為 PA，PD ，PC，PB 的中點，在此幾何體中，給出 下面五個結(jié)論：平面 EFGH 平面 ABCD；PA平面 BDG；EF 平面 PBC；FH平面 BDG； EF 平面 BDG；其中正確結(jié)論的序號是 三、解答題11. 如圖， 在已知四棱錐 PABCD 中，底面 ABCD 為平行四邊形， 點 M，N，Q 分別在 PA， BD，PD 上，且 PMMABNNDPQQD.求證：平面 MNQ 平面 PBC.12. 如圖，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，M 是棱 AB 的中點，點 N在側(cè)面 AA1D1D 上運動， 點 N 滿足什么條件時， MN平面 BB1D

16、 1D當堂檢測答案1. 答案 D解析 設(shè)直線外兩點為 A、B，若直線 ABl，則過 A、B可作無數(shù)個平面與 l 平行；若直線 AB 與 l 異面，則只能作一個平面與 l 平行；若直線 AB 與 l 相交，則過 A、 B 沒有平面與 l 平行.2. 答案 B解析 當經(jīng)過兩點的直線與平面 平行時，可作出一個平面 使 .當經(jīng)過兩點的直線與平面 相交時， 由于作出的平面又至少有一個公共點， 故經(jīng)過兩點的 平面都與平面 相交，不能作出與平面 平行的平面 .故滿足條件的平面有 0個或 1 個.3. 答案 A解析 連接 NP，因為 N、P 分別是 BC、CD 的中點， M 是 AB 的中點， AB 、BC、

17、 CD 不共 面，所以直線 BD 不在平面 MNP 上 .直線 BD 與平面 MNP 平行 .4. 答案 A解析 如圖， EGE1G1，EG?平面 E1FG 1，E1G 1?平面 E1FG1 ，EG平面 E1FG 1，又 G1FH 1E，同理可證 H 1E 平面 E1FG1， 又 H 1EEG E，平面 E1FG1平面 EGH 1.5. 答案 CD 解析 因為 ABCD， AB?平面 ，CD?平面 ，由線面平行的判定定理可得 CD.課時精練答案、選擇題 1.答案 D解析 如圖，長方體 ABCDA1B1C1D1 中，在平面 ABCD 內(nèi)，在 AB 上任取一點 E，過點 E 作 EF AD，交 C

18、D 于點 F，則由線面平行的判 定定理，知 EF，BC 都平行于平面 ADD 1A1，用同樣的方法可以在平面 ABCD 內(nèi)作出無數(shù)條直線都與平面 ADD1A1 平行，但是平面 ABCD 與平面 ADD 1A1不平行，因此 都錯； 正確，事實上，因為一個平面內(nèi)任意一條直線都平行 于另一個平面，所以這兩個平面必無公共點（要注意 “任意一條直線 ”與“ 無數(shù)條直線 ” 的區(qū)別 ）；是平面與平面平行的判定定理，正確.2.答案 D解析 對于 A 項，當 與 相交時， 內(nèi)也有無數(shù)條直線都與交線平行， 故 A 錯誤； 對于 B 項，當 a 平行于 與 的交線時，也能滿足，但此時 與 相交，故 B 錯誤；對于

19、 C 項， 當 a 和 b 都與 與 的交線平行時， 也能滿足， 但此時 與 相交， 故 C 錯誤； 對于 D 項， 內(nèi)的任何直線都與 平行，故在一個平面內(nèi)存在兩條相交直線平行于另一平面， 故 D 正確 .3.答案C解析側(cè)面中有 3 對，對面相互平行，上下兩底面也相互平行 .4.答案B解析如圖，直線 B1C1平面 ABCD ，B1C1BC，B1C1AD，B1C1EF（E，F(xiàn) 為中點 ）等，平面 ABCD 內(nèi)平行于 BC的所有直線均與 B1C1平行.但 AB與 B1C1不平行 .5.答案 B解析 易證 EF 平面 BCD.1由 AEEBAFFD ，知 EF BD ，且 EF BD.5又因為 H，

20、G分別為 BC，CD 的中點，所以 HG BD，且 HG21BD .綜上可知， EFHG，EFHG ，所以四邊形 EFGH 是梯形，且 EF平面 BCD .6. 答案 C解析 若三點分布于平面 的同側(cè)，則 與 平行，若三點分布于平面 的兩側(cè)，則 與 相交.7. 答案 D解析 如圖所示，在長方體 ABCDA1B1C1D1中， ABCD，則 AB平面 DC1， AB?平面 AC，但是平面 AC 與平面 DC1 不平行，所以 A 錯誤；取 BB1的中點 E，CC1 的中點 F，則可證 EF平面 AC，B1C1平面 AC.EF?平面 BC1， B1C1?平面 BC1，但是平面 AC 與平面 BC 1不平行，所以 B 錯 誤；可證 ADB1C1，AD?平面 AC，B1C1?平面 BC1，又平面 AC 與平面 BC1 不平行，所以 C 錯誤；很明顯 D 是面面平行的判定定理，所以 D 正確 .、填空題8. 答案 平行解析 如圖，延長 AG 交 BC 于 F ，連接 SF，則由 G 為 ABC 的重心知 AGGF2，又 AE ES 2， EG SF，又 SF?平面 SBC，EG?平面 SBC， EG 平面 SBC.9. 答案 解析 以 ABCD 為下底面還原正方體，如圖： 則易判定四個命題都是正確的10. 答案 解析 把圖形還原為一個四棱錐，然后根據(jù)線面、面面平行的判定定