1、 代數學發展簡史代數學發展簡史 代數學(algebra)是數學中最重要的分支之一。代數學的歷史悠久，它隨著人類生活的提高，生產技術的進步，科學和數學本身的需要而產生和發展。在這個過程中，代數學的研究對象和研究方法發生了重大的變化。代數學可分為初等代數學初等代數學和抽象抽象代數學代數學兩部分。初等代數學是更古老的算術的推廣和發展，而抽象代數學則是在初等代數學的基礎上產生和發展起來的。 代數學的西文名稱algebra來源于9世紀阿拉伯數學家花拉子米的重要著作的名稱。該著作名為”ilm al-jabr waI muqabalah”，原意是“還原與對消的科學”。這本書傳到歐洲后，簡譯為algebra。

2、清初曾傳入中國兩卷無作者的代數書，被譯為阿爾熱巴拉新法后改譯為代數學(李善蘭譯，1853)。 初等代數學是指19世紀上半葉以前的方程理論，主要研究某一方程（組）是否可解，怎樣求出方程所有的根（包括近似根）以及方程的根所具有的各種性質等。 代數與算術的區別是什么？代數與算術的區別是什么？ 四大文明古國中，除古代希臘外，都曾對算術和代數的發展做出非常杰出的貢獻。從中世紀的歐洲一直到19世紀上半期，代數學在歐洲得到了長足的發展。19世紀，代數學發生了革命性的變革。 一系列新的代數領域被建立起來，大大地擴充了代數學的研究范圍，形成了所謂的近世代數學。包括抽象代數和線性代數。 抽象代數學是以研究數字、文

3、字和更一般元素的代數運算的規律和由這些運算適合的公理而定義的各種代數結構各種代數結構的性質為其中心問題的。 由于代數結構及其中元素的一般性，近世代數學的研究在數學中是最具有基本性的，它的方法和結果滲透到那些與它相接近的各個不同的數學分支中，成為一些有著新面貌和新內容的數學領域代數數論、代數幾何、拓撲代數、李氏代數、代數拓撲、泛函分析等，這樣，近世代數學就對于全部現代數學發展有著顯著的影響，并且對于其它一些科學領域如理論物理、計算機原理等也有較直接的應用。 代數學發展簡史代數學發展簡史-線性代數線性代數 線性代數是討論矩陣理論、與矩陣結線性代數是討論矩陣理論、與矩陣結合的有限維向量空間及其線性變

4、換理論的合的有限維向量空間及其線性變換理論的一門學科。主要研究對象有行列式、線性一門學科。主要研究對象有行列式、線性方程組、矩陣、線性空間等。方程組、矩陣、線性空間等。 主要理論成熟于十九世紀，而第一塊主要理論成熟于十九世紀，而第一塊基石（二、三元線性方程組的解法）則早基石（二、三元線性方程組的解法）則早在兩千年前出現（見于我國古代數學名著在兩千年前出現（見于我國古代數學名著九章算術九章算術）。）。 1、學科概述、學科概述 九章算術九章算術的的“方程術方程術” 九章算術九章算術中的中的“方程章方程章”，是世界上最早的系統，是世界上最早的系統研究代數方程的專門論著。它在世界數學歷史上，最早研究代

5、數方程的專門論著。它在世界數學歷史上，最早創立了多元一次方程組的籌式表示方法，以及它的多種創立了多元一次方程組的籌式表示方法，以及它的多種求解方法。求解方法。 九章算術九章算術把這些線性方程組的解法稱為把這些線性方程組的解法稱為“方程方程術術”，其實質相當于現今的矩陣變形方法。方程術是通，其實質相當于現今的矩陣變形方法。方程術是通過對方程的系數矩陣實施遍乘、直除的變換（即連續相過對方程的系數矩陣實施遍乘、直除的變換（即連續相減）實現減元、獲取方程解的過程。減）實現減元、獲取方程解的過程。 1、學科概述、學科概述 在在“方程章方程章”問題的解法中還可以發現下述方程問題的解法中還可以發現下述方程變

6、形的性質：變形的性質： 如果方程的兩邊都加上（或減去）同一數，那么所如果方程的兩邊都加上（或減去）同一數，那么所得的方程和原方程是同解方程。如果方程兩邊同乘以得的方程和原方程是同解方程。如果方程兩邊同乘以（或除以）一個不等于零的數，那么所得的方程和原（或除以）一個不等于零的數，那么所得的方程和原方程是同解方程。方程是同解方程。 劉徽：劉徽：“程，課程也。群物總雜，各列有數，總程，課程也。群物總雜，各列有數，總言其實。令每行為率，二物者再程，三物者三程，皆言其實。令每行為率，二物者再程，三物者三程，皆如物數程之，并列為行，故謂之方程。如物數程之，并列為行，故謂之方程。”。 其中其中“課課”為比較

7、的意思，而為比較的意思，而“程程”則為表達的意則為表達的意思。可見，按照思。可見，按照“方程方程”的原義可以把它理解為的原義可以把它理解為“方方形表達式形表達式”，與現在的，與現在的“增廣矩陣增廣矩陣”類似。類似。1、學科概述、學科概述 線性代數在數學、力學、物理學和技術學科中有各種線性代數在數學、力學、物理學和技術學科中有各種重要應用，因而它在各種代數分支中占據首要地位；重要應用，因而它在各種代數分支中占據首要地位； 在計算機廣泛應用的今天，計算機圖形學、計算機輔在計算機廣泛應用的今天，計算機圖形學、計算機輔助設計、密碼學、虛擬現實等技術無不以線性代數為其助設計、密碼學、虛擬現實等技術無不以

8、線性代數為其理論和算法基礎的一部分；理論和算法基礎的一部分； 隨著科學的發展，我們不僅要研究單個變量之間的關隨著科學的發展，我們不僅要研究單個變量之間的關系，還要進一步研究多個變量之間的關系，各種實際問系，還要進一步研究多個變量之間的關系，各種實際問題在大多數情況下可以線性化，而由于計算機的發展，題在大多數情況下可以線性化，而由于計算機的發展，線性化了的問題又可以計算出來，線性代數正是解決這線性化了的問題又可以計算出來，線性代數正是解決這些問題的有力工具。些問題的有力工具。1、學科概述、學科概述 歷史上線性代數的第一個問題是關于解線性方程組的歷史上線性代數的第一個問題是關于解線性方程組的問題，

9、而線性方程組理論的發展又促成了作為工具的矩陣問題，而線性方程組理論的發展又促成了作為工具的矩陣論和行列式理論的創立與發展，這些內容已成為我們線性論和行列式理論的創立與發展，這些內容已成為我們線性代數教材的主要部分。代數教材的主要部分。 最初的線性方程組問題大都是來源于生活實踐，正是最初的線性方程組問題大都是來源于生活實踐，正是實際問題刺激了線性代數這一學科的誕生與發展。另外，實際問題刺激了線性代數這一學科的誕生與發展。另外，近現代數學分析與幾何學等數學分支的要求也促使了線性近現代數學分析與幾何學等數學分支的要求也促使了線性代數的進一步發展。代數的進一步發展。1、學科概述、學科概述 行列式出現于

10、線性方程組的求解，它最早是行列式出現于線性方程組的求解，它最早是一種速記的表達式，現在已經是數學中一種非一種速記的表達式，現在已經是數學中一種非常有用的工具。常有用的工具。 行列式是由萊布尼茨和日本數學家關孝和發行列式是由萊布尼茨和日本數學家關孝和發明的。明的。1693 年年 4 月，萊布尼茨在寫給洛必達的月，萊布尼茨在寫給洛必達的一封信中使用并給出了行列式，并給出一封信中使用并給出了行列式，并給出方程組方程組的系數行列式為零的條件的系數行列式為零的條件。同時代的日本數學。同時代的日本數學家關孝和在其著作家關孝和在其著作解伏題元法解伏題元法中也提出了中也提出了行列式的概念與算法。行列式的概念與

11、算法。2、矩陣和行列式、矩陣和行列式 1750 年，瑞士數學家克萊姆年，瑞士數學家克萊姆 (G.Cramer,1704-1752) 在其著作在其著作線性代數分線性代數分析導引析導引中，對行列式的定義和展開法則給出中，對行列式的定義和展開法則給出了比較完整、明確的闡述，并給出了現在我們了比較完整、明確的闡述，并給出了現在我們所稱的解線性方程組的克萊姆法則。所稱的解線性方程組的克萊姆法則。 稍后，數學家貝祖稍后，數學家貝祖 (E.Bezout,1730-1783) 將將確定行列式每一項符號的方法進行了系統化，確定行列式每一項符號的方法進行了系統化，利用系數行列式概念指出了如何判斷一個齊次利用系數行

12、列式概念指出了如何判斷一個齊次線性方程組有非零解。線性方程組有非零解。2、矩陣和行列式、矩陣和行列式 在行列式的發展史上，第一個對行列式理論在行列式的發展史上，第一個對行列式理論做出連貫的邏輯的闡述，即把行列式理論與線性做出連貫的邏輯的闡述，即把行列式理論與線性方程組求解相分離的人，是法國數學家范德蒙方程組求解相分離的人，是法國數學家范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) 。 范德蒙自幼在父親的指導下學習音樂，但對范德蒙自幼在父親的指導下學習音樂，但對數學有濃厚的興趣，后來終于成為法蘭西科學院數學有濃厚的興趣，后來終于成為法蘭西科學院院士。特別地，他給出了用二階子式和它

13、們的余院士。特別地，他給出了用二階子式和它們的余子式來展開行列式的法則。就對行列式本身這一子式來展開行列式的法則。就對行列式本身這一點來說，他是這門理論的奠基人。點來說，他是這門理論的奠基人。 1772 年，拉年，拉普拉斯在一篇論文中證明了范德蒙提出的一些規普拉斯在一篇論文中證明了范德蒙提出的一些規則，推廣了他的展開行列式的方法。則，推廣了他的展開行列式的方法。 2、矩陣和行列式、矩陣和行列式 繼范德蒙之后，法國數學家柯西在行列式繼范德蒙之后，法國數學家柯西在行列式理論方面做出了突出貢獻。理論方面做出了突出貢獻。 1815 年，柯西在一篇論文中給出了行列式年，柯西在一篇論文中給出了行列式的第一

14、個系統的、幾乎是近代的處理。的第一個系統的、幾乎是近代的處理。 其中主要結果之一是行列式的乘法定理。其中主要結果之一是行列式的乘法定理。另外，他第一個把行列式的元素排成方陣，采另外，他第一個把行列式的元素排成方陣，采用雙足標記法；引進了行列式特征方程的術語；用雙足標記法；引進了行列式特征方程的術語；給出了相似行列式概念；改進了拉普拉斯的行給出了相似行列式概念；改進了拉普拉斯的行列式展開定理并給出了一個證明。列式展開定理并給出了一個證明。2、矩陣和行列式、矩陣和行列式 19 世紀的半個多世紀中，詹姆士世紀的半個多世紀中，詹姆士.西爾維斯特西爾維斯特 (J.Sylvester,1814-1897)

15、對行列式理論研究始終對行列式理論研究始終不渝。他的重要成就之一是改進了從一個不渝。他的重要成就之一是改進了從一個m 次次和一個和一個n 次的多項式中消去次的多項式中消去 x 的方法，他稱之的方法，他稱之為配析法，并給出形成的行列式為零時這兩個為配析法，并給出形成的行列式為零時這兩個多項式方程有公共根充分必要條件這一結果，多項式方程有公共根充分必要條件這一結果，但沒有給出證明。但沒有給出證明。 2、矩陣和行列式、矩陣和行列式 西爾維斯特（西爾維斯特（James Joseph Sylvester，公元，公元1814年年9月月3日日公元公元1897年年3月月15日）是英國數學日）是英國數學家。生于倫

16、敦，卒于牛津。家。生于倫敦，卒于牛津。 西爾維斯特的貢獻主要在代數學方面。他同西爾維斯特的貢獻主要在代數學方面。他同凱萊一起，發展了行列式理論，創立了代數型的凱萊一起，發展了行列式理論，創立了代數型的理論，共同奠定了關于代數不變量的理論基礎，理論，共同奠定了關于代數不變量的理論基礎，他在數論方面也做出了突出的工作，特別是在整他在數論方面也做出了突出的工作，特別是在整數分拆和丟番圖分析方面。他創造了許多數學名數分拆和丟番圖分析方面。他創造了許多數學名詞，當代數學中常用到的術語，如不變式、判別詞，當代數學中常用到的術語，如不變式、判別式、雅可比行列式等都是他引入的。他一生發表式、雅可比行列式等都是

17、他引入的。他一生發表了幾百篇論文，著有了幾百篇論文，著有橢圓函數專論橢圓函數專論一書。西一書。西爾維斯特是爾維斯特是美國數學雜志美國數學雜志的創始人，為發展的創始人，為發展美國數學研究做出了貢獻。曾獲得英國皇家勛章、美國數學研究做出了貢獻。曾獲得英國皇家勛章、科普利獎章，以及都柏林、愛丁堡、牛津、劍橋科普利獎章，以及都柏林、愛丁堡、牛津、劍橋等大學授予的名譽學位等大學授予的名譽學位。2、矩陣和行列式、矩陣和行列式 繼柯西之后，在行列式理論方面最多產的繼柯西之后，在行列式理論方面最多產的人就是德國數學家雅可比人就是德國數學家雅可比 (J.Jacobi,1804-1851) ，他引進了函數行列式，

18、即他引進了函數行列式，即“雅可比行列式雅可比行列式”，指出函數行列式在多重積分的變量替換中的作指出函數行列式在多重積分的變量替換中的作用，給出了函數行列式的導數公式。用，給出了函數行列式的導數公式。 雅可比的著名論文雅可比的著名論文論行列式的形成和性論行列式的形成和性質質標志著行列式系統理論的建成。由于行列標志著行列式系統理論的建成。由于行列式在數學分析、幾何學、線性方程組理論、二式在數學分析、幾何學、線性方程組理論、二次型理論等多方面的應用，促使行列式理論自次型理論等多方面的應用，促使行列式理論自身在身在 19 世紀也得到了很大發展。整個世紀也得到了很大發展。整個 19 世紀世紀都有行列式的

19、新結果。除了一般行列式的大量都有行列式的新結果。除了一般行列式的大量定理之外，還有許多有關特殊行列式的其他定定理之外，還有許多有關特殊行列式的其他定理都相繼得到。理都相繼得到。2、矩陣和行列式、矩陣和行列式 矩陣是代數學的一個主要研究對象，也是數矩陣是代數學的一個主要研究對象，也是數學研究和應用的一個重要工具。學研究和應用的一個重要工具。 “矩陣矩陣”這個詞是由這個詞是由西爾維斯特西爾維斯特首先使用的，首先使用的，他是為了將數字的矩形陣列區別于行列式而發明他是為了將數字的矩形陣列區別于行列式而發明了這個術語。而實際上，矩陣這個課題在誕生之了這個術語。而實際上，矩陣這個課題在誕生之前就已經發展的

20、很好了。從行列式的大量工作中前就已經發展的很好了。從行列式的大量工作中明顯的表現出來，為了很多目的，不管行列式的明顯的表現出來，為了很多目的，不管行列式的值是否與問題有關，方陣本身都可以研究和使用值是否與問題有關，方陣本身都可以研究和使用，矩陣的許多基本性質也是在行列式的發展中建，矩陣的許多基本性質也是在行列式的發展中建立起來的。在邏輯上，矩陣的概念應先于行列式立起來的。在邏輯上，矩陣的概念應先于行列式的概念，然而在歷史上次序正好相反。的概念，然而在歷史上次序正好相反。 2、矩陣和行列式、矩陣和行列式 英國數學家英國數學家凱萊凱萊 (A.Cayley,1821-1895) 一般被公認一般被公認

21、為是矩陣論的創立者，因為他首先把矩陣作為一個獨立為是矩陣論的創立者，因為他首先把矩陣作為一個獨立的數學概念提出來，并首先發表了關于這個題目的一系的數學概念提出來，并首先發表了關于這個題目的一系列文章。列文章。 凱萊同研究線性變換下的不變量相結合，首先引進凱萊同研究線性變換下的不變量相結合，首先引進矩陣以簡化記號。矩陣以簡化記號。 1858 年，他發表了關于這一課題的第年，他發表了關于這一課題的第一篇論文一篇論文矩陣論的研究報告矩陣論的研究報告，系統地闡述了關于矩，系統地闡述了關于矩陣的理論。文中他定義了陣的理論。文中他定義了矩陣的相等、矩陣的運算法則矩陣的相等、矩陣的運算法則、矩陣的轉置以及矩

22、陣的逆、矩陣的轉置以及矩陣的逆等一系列基本概念，指出了等一系列基本概念，指出了矩陣加法的可交換性與可結合性。另外，凱萊還給出了矩陣加法的可交換性與可結合性。另外，凱萊還給出了方陣的特征方程和特征根（特征值）以及有關矩陣的一方陣的特征方程和特征根（特征值）以及有關矩陣的一些基本結果。些基本結果。2、矩陣和行列式、矩陣和行列式英國數學家英國數學家 。英國純粹數學。英國純粹數學的近代學派帶頭人。的近代學派帶頭人。凱萊最主要的貢獻是與凱萊最主要的貢獻是與J.J.西爾維斯特一起西爾維斯特一起 ，創立，創立了代數型的理論，共同奠定了代數型的理論，共同奠定了關于代數不變量理論的基了關于代數不變量理論的基礎。

23、他是矩陣論的創立者。礎。他是矩陣論的創立者。他對幾何學的統一研究也作他對幾何學的統一研究也作了重要的貢獻。凱萊在勸說了重要的貢獻。凱萊在勸說劍橋大學接受女學生中起了劍橋大學接受女學生中起了很大的作用。他曾任劍橋哲很大的作用。他曾任劍橋哲學會、倫敦數學會、皇家天學會、倫敦數學會、皇家天文學會的會長。文學會的會長。2、矩陣和行列式、矩陣和行列式凱萊（凱萊（18211895）Cayley，Arthur 1855 年，埃米特年，埃米特 (C.Hermite,1822-1901) 證明證明了別的數學家發現的一些矩陣類的特征根的特殊了別的數學家發現的一些矩陣類的特征根的特殊性質，如現在稱為埃米特矩陣的特征

24、根性質等。性質，如現在稱為埃米特矩陣的特征根性質等。后來后來 ，克萊伯施，克萊伯施 (A.Clebsch,1831-1872) 、布克海、布克海姆姆 (A.Buchheim) 等證明了對稱矩陣的特征根性質等證明了對稱矩陣的特征根性質。泰伯。泰伯 (H.Taber) 引入引入矩陣的跡矩陣的跡的概念并給出了的概念并給出了一些有關的結論。一些有關的結論。 2、矩陣和行列式、矩陣和行列式 在矩陣論的發展史上，弗羅伯紐斯在矩陣論的發展史上，弗羅伯紐斯 (G.Frobenius,1849-1917) 的貢獻是不可磨滅的。的貢獻是不可磨滅的。 他討論了最小多項式問題，引進了矩陣的他討論了最小多項式問題，引進

25、了矩陣的秩、不變因子和初等因子、正交矩陣、矩陣的相秩、不變因子和初等因子、正交矩陣、矩陣的相似變換、合同矩陣等概念，以合乎邏輯的形式整似變換、合同矩陣等概念，以合乎邏輯的形式整理了不變因子和初等因子的理論，并討論了正交理了不變因子和初等因子的理論，并討論了正交矩陣與合同矩陣的一些重要性質。矩陣與合同矩陣的一些重要性質。 1854 年，約當研究了矩陣化為標準型的問題年，約當研究了矩陣化為標準型的問題。 1892 年，梅茨勒年，梅茨勒 (H.Metzler) 引進了矩陣的超引進了矩陣的超越函數概念并將其寫成矩陣的冪級數的形式。傅越函數概念并將其寫成矩陣的冪級數的形式。傅立葉、西爾和龐加萊的著作中還

26、討論了無限階矩立葉、西爾和龐加萊的著作中還討論了無限階矩陣問題，這主要是適用方程發展的需要而開始的陣問題，這主要是適用方程發展的需要而開始的。2、矩陣和行列式、矩陣和行列式 矩陣本身所具有的性質依賴于元素的性質，矩陣本身所具有的性質依賴于元素的性質，矩陣由最初作為一種工具經過兩個多世紀的發展矩陣由最初作為一種工具經過兩個多世紀的發展，現在已成為獨立的一門數學分支，現在已成為獨立的一門數學分支矩陣論。矩陣論。而矩陣論又可分為矩陣方程論、矩陣分解論和廣而矩陣論又可分為矩陣方程論、矩陣分解論和廣義逆矩陣論等矩陣的現代理論。矩陣及其理論現義逆矩陣論等矩陣的現代理論。矩陣及其理論現已廣泛地應用于現代科技

27、的各個領域。已廣泛地應用于現代科技的各個領域。2、矩陣和行列式、矩陣和行列式 線性方程組的解法，早在中國古代的數學著作線性方程組的解法，早在中國古代的數學著作九章算術九章算術 方程章中已作了比較完整的論述。其中所方程章中已作了比較完整的論述。其中所述方法實質上相當于現代的對方程組的增廣矩陣施行初述方法實質上相當于現代的對方程組的增廣矩陣施行初等行變換從而消去未知量的方法，即高斯消元法。等行變換從而消去未知量的方法，即高斯消元法。 在西方，線性方程組的研究是在在西方，線性方程組的研究是在 17 世紀后期由萊世紀后期由萊布尼茨開創的。他曾研究含兩個未知量的三個線性方程布尼茨開創的。他曾研究含兩個未

28、知量的三個線性方程組組成的方程組。麥克勞林在組組成的方程組。麥克勞林在 18 世紀上半葉研究了具世紀上半葉研究了具有二、三、四個未知量的線性方程組，得到了現在稱為有二、三、四個未知量的線性方程組，得到了現在稱為克萊姆法則的結果。克萊姆不久也發表了這個法則。克萊姆法則的結果。克萊姆不久也發表了這個法則。 18世紀下半葉，法國數學家貝祖對線性方程組理世紀下半葉，法國數學家貝祖對線性方程組理論進行了一系列研究，證明了論進行了一系列研究，證明了 n元齊次線性方程組有非元齊次線性方程組有非零解的條件是系數行列式等于零。零解的條件是系數行列式等于零。3、線性方程組、線性方程組 19 世紀，英國數學家史密斯

29、世紀，英國數學家史密斯 (H.Smith) 和道奇森和道奇森 (C-L.Dodgson) 繼續研究線性方程組理論，前者引進了繼續研究線性方程組理論，前者引進了方程組的增廣矩陣和非增廣矩陣的概念，后者證明了方程組的增廣矩陣和非增廣矩陣的概念，后者證明了 個未知數個未知數 個方程的方程組相容的充要條件是系數矩陣個方程的方程組相容的充要條件是系數矩陣和增廣矩陣的秩相同。這正是現代方程組理論中的重要和增廣矩陣的秩相同。這正是現代方程組理論中的重要結果之一。結果之一。 大量的科學技術問題，最終往往歸結為解線性方大量的科學技術問題，最終往往歸結為解線性方程組。因此在線性方程組的數值解法得到發展的同時，程組

30、。因此在線性方程組的數值解法得到發展的同時，線性方程組解的結構等理論性工作也取得了令人滿意的線性方程組解的結構等理論性工作也取得了令人滿意的進展。現在，線性方程組的數值解法在計算數學中占有進展。現在，線性方程組的數值解法在計算數學中占有重要地位。重要地位。 3、線性方程組、線性方程組 二次型也稱為二次型也稱為“二次形式二次形式”，數域，數域 P上的上的n 元二次元二次齊次多項式稱為數域齊次多項式稱為數域 上的上的 n元二次型。元二次型。 二次型的系統研究是從二次型的系統研究是從 18 世紀開始的，它起源于世紀開始的，它起源于對二次曲線和二次曲面的分類問題的討論。將二次曲線對二次曲線和二次曲面的分類問題的討論。將二次曲線和二次曲面的方程變形，選有主軸方向的軸作為坐標軸和二次曲面的方程變形，選有主軸方向的軸作為坐標軸以簡化方程的形狀，這個問題是在以簡化方程的形狀，這個問題是在 18 世紀引進的。世紀引進的。 柯西在其著作中給出結論：當方程是標準型時，柯西在其著作中給出結論：當方程是標準型時，二次曲面用二次項的符號來進行分類。然而，那時并不二次曲面用二次項的符號來進行分類。然而，那時并不太清楚，在化簡成標準型時，為何總是得到同樣數目的太清楚，在化簡成標準型時，為何總是得到同樣數目的正項和負項。正項和負項。 西爾維斯特回答了這個問題，他給出了西爾維斯特回答了這個問題，他給出了 個變數