1、第一單元長方體和正方體一、長方體和正方體的認識1.長方體和正方體的特征。(1)長方體和正方體各部分的名稱。面:圍成立體圖形的平面圖形叫作立體圖形的面。棱:立體圖形中,兩個面相交的線段,叫作棱。頂點:三條棱相交的點叫作頂點。(2)長方體的特征。長方體面的特點。a.長方體共6個面,分別是上面和下面、前面和后面、左面和右面,它們分別是一組相對的面。b.把長方體放在一個平面上,從任意角度觀察,最多能同時看到3個面。圖1圖2c.一般情況下,長方體每個面的形狀都是長方形,如圖1;但有的長方體有2個相對的面是正方形,其余4個面都是長方形,如圖2。d.通過折一折長方體的平面展開圖可以發現: 相對的面能夠完全重

2、合,即上面和下面、前面和后面、左面和右面完全相同。長方體棱的特征。長方體有12條棱;相對的棱互相平行,相鄰的棱互相垂直;相對的棱的長度相等,即4條相對的棱的長度相等。長方體頂點的數量:長方體共有8個頂點。(3)正方體的特征。正方體的面:一個正方體有6個面,每個面都是正方形,并且6個面完全相同。正方體的棱:正方體有12條棱,12條棱的長度都相等,相對的棱互相平行,相鄰的棱互相垂直。正方體的頂點:正方體有8個頂點。2.長方體的長、寬、高和棱長的認識。相交于一個頂點的三條棱,分別叫作長方體的長、寬、高。長方體的12條棱可以分成3組,即4條長、4條寬、4條高,4條相對的棱的長度相等。長方體的棱長總和=

3、(長+寬+高)4。3.正方體棱和棱長的認識。正方體有12條棱,每條棱的長度都相等。正方體棱長的總和=1條棱的長度12。4.長方體和正方體的關系:正方體是特殊的長方體。 5.長方體和正方體的聯系與區別。面棱頂點個數形狀大小關系條數長度關系個數長方體6每個面一般是長方形,也可能有兩個相對的面是正方形相對的面形狀相同,面積相等12相對的棱長度相等8正方體6每個面都是正方形面積都相等1212條棱都相等8二、長方體和正方體的表面積1.長方體、正方體表面積的意義。(1)長方體的表面積:把長方體6個面的面積合在一起,就是長方體的表面積。(2)正方體的表面積:把正方體6個面的面積合在一起,就是正方體的表面積。

4、2.長方體表面積的計算方法。(1)長方體的表面積=長寬2+長高2+寬高2=(長寬+長高+寬高)2。(2)長方體表面積的字母公式:S=2ab+2ah+2bh=(ab+ah+bh)2。(S表示長方體的表面積,a、b、h分別表示長方體的長、寬、高)3.正方體的表面積的計算方法。(1)正方體的表面積=棱長棱長6。(2)正方體表面積的字母公式:S=6a2。(S表示正方體的表面積,a表示正方體的棱長)三、長方體和正方體的體積1.體積和體積單位。(1)物體所占空間的大小叫作物體的體積。(2)體積單位:常用的體積單位有厘米3、分米3、米3。1厘米3:棱長1厘米的正方體,它的體積是1厘米3。1分米3:棱長1分米

5、的正方體,它的體積是1分米3。1米3:棱長1米的正方體,它的體積是1米3。體積的大小是由體積單位的個數決定的。 (3)體積單位的換算。1米3=1000分米3或1 m3=1000 dm3;1分米3=1000厘米3或1 dm3=1000 cm3。相鄰的兩個體積單位間的進率都是1000。2.長方體和正方體的體積計算公式。(1)長方體的體積計算公式。長方體的體積=長寬高(2)用V表示長方體的體積,用a、b、h分別表示長方體的長、寬、高,那么長方體的計算公式用字母表達式為V=abh。3.正方體的體積計算公式。(1)正方體是特殊的長方體,即正方體是長、寬、高都相等的長方體,根據長方體的體積公式推導出正方體

6、的體積公式。長方體的體積=長寬高正方體的體積=棱長 棱長 棱長(2)如果用V表示正方體的體積,用a表示正方體的棱長,那么正方體體積計算公式用字母表達式為V=aaa,通常寫成V=a3。(3)長方體、正方體統一的體積計算公式。長方體的體積=長寬(底面積)高正方體的體積=棱長棱長(底面積)棱長(看作高)長方體(或正方體)的體積=底面積高如果用V表示體積,S表示底面積,h表示高,長方體、正方體統一的體積計算公式可以表示為V=Sh。四、容積1.容積的意義和單位。(1)容器:包裝箱、油桶、醫院用的注射器、集裝箱等都是用來容納物體的,通常被稱為容器。(2)包裝箱、油桶、倉庫等所能容納物體的體積,通常叫作它們

7、的容積。(3)容積的單位:計量容積一般就用體積單位,如厘米3、分米3、米3,但計量容器內所盛的液體的體積時,通常用“升”“毫升”作單位。升用字母“L”表示,毫升用字母“mL”表示。計量較大容器的容積用“升”作單位,計量較小容器的容積用“毫升”作單位。2.容積單位間的進率及容積單位與體積單位間的換算。(1)1升=1000毫升 1 L=1000 mL(2)1分米3=1升1 dm3=1 L 1厘米3=1毫升1 cm3=1 mL3.容積的計算方法。(1)規則容器容積的計算方法與體積的計算方法相同,但要從容器的里面測量所需的數據。(2)求不規則較小容器的容積時,可用量杯或量筒測量容器中所容納的液體的體積

8、;求不規則的較大容器的容積時,可以借助液體把它轉化成求規則容器的容積來計算。4.容積與體積的聯系與區別。(1)容積與體積的聯系:容積的大小可以通過所能容納物體的體積呈現出來,容積的計算方法與體積的計算方法相同。(2)容積與體積的區別。意義不同,體積是指物體所占空間的大小;容積是指所能容納物體的體積。計算時,測量數據的方法不同,計算體積從物體的外部測量所需數據;計算容積從容器的里面測量所需數據。有容積的物體一定有體積,但有體積的物體不一定有容積。五、探索規律1.組合正方體表面涂色情況的規律。如果用n表示正方體的棱長,那么,規律如下:(1)3面涂色的小正方體的個數=正方體的頂點個數=8。(2)2個

9、面涂色的小正方體的個數=正方體棱的條數乘棱長減2的差=12(棱長-2)=12(n-2)。(3)1面涂色的小正方體的個數=正方體的面數乘棱長減2的差的平方=6(棱長-2)2=6(n-2)2。(4)沒有涂色的小正方體的個數=正方體的棱長減2的差的立方=(棱長-2)3=(n-2)3。2.包裝中的數學問題。把同樣多的物體包裝成長方體,長、寬、高越接近,表面積越小。物體的重合面越大,包裝箱的用料越少。重點提示:立體圖形和平面圖形的區別,平面圖形只在平面上占有一定的面積,立體圖形不僅在平面上占有一定的面積,還占有一定的空間。易錯點:判斷:長方體的6個面一定都是長方形。()錯解分析:此題錯在對長方體的特征理

10、解不全面。一般情況下,長方體的6個面都是長方形,但也有2個相對的面是正方形的長方體。正確答案:方法提示:沿著不同的棱剪開長方體后,可以得到多種形狀的平面圖。重點提示:有2個正方形的面的長方體中有8條棱的長度相等,而另外4條棱的長度相等。重點提示:對于同一個長方體來說,它的擺放方式不同,所對應的長、寬、高也就不同。一般把底面較長的那條棱叫作長、底面較短的那條棱叫作寬,垂直于底面的那條棱叫作高。重點提示:正方體可以看成是長、寬、高都相等的長方體。重點提示:長方體和正方體展開圖的形狀不是唯一的,可以有多種展開方法。易錯點:棱長1厘米的正方體的體積是1厘米3,但是體積為1厘米3的物體不一定就是棱長為1厘米的正方體。重點提示:已知長方體的體積計算公式中的任意三個量,都可以求出第四個量。即V=abh、a=Vbh、b=Vah、h=Vab。重點提示:aaa可以寫成a3,a3讀作a的立方,表示3個a相乘。易錯題:判斷:a3一定大于3a。()錯解分析:a3表示3個a相乘,即aaa;3a表示3個a相加,即a+a+a;當a=1時,a3=1,3a=3,a3小于3a。正確答案:重點提示:計算體積從外部測量數據,計算容積從容器里面測量數據。易錯題:判斷:電冰箱的體積和容積相等。 ()錯解分析:此題錯在沒有