1、微分中值定理與導數的應用 中值定理中值定理 洛必達法則洛必達法則導數的應用導數的應用拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 lagrange Theoremlagrange Theorem若函數若函數( )f x滿足：滿足： (2) 在開區間在開區間( , )a b內可導；內可導； 則在則在( , )a b內至少存在一點內至少存在一點，使，使 ( )( )( )f bf afba , a b (1) 在閉區間上連續；上連續； CxyabAB幾何意義幾何意義: 連續曲線連續曲線 y = f (x)的弧的弧AB除端點外至少存在一點除端點外至少存在一點 ，使得，使得曲線在點曲線在點 處的切線平行弦處的切線

2、平行弦AB。推論：如果函數推論：如果函數 f (x)在區間在區間I上的導數恒為零，那末上的導數恒為零，那末 f (x) 在在區間區間I上是一個常數上是一個常數證明證明1212,()Ix xxx在區間上任取兩點則由拉格朗日中值公式，得則由拉格朗日中值公式，得212112()( )( ) () ()f xf xfxxxx( )0f由假設21()()0f xf x所以21()()f xf x12,( )( )x xf xIf xI 由的任意性可知在區間 上的函數值都相等，即在區間 上是 一個常數。12xx，( )f x在由已知條件可知：在由已知條件可知： 在在 上連續，在上連續，在 內可導內可導12

3、()xx，所以所以( )20 2f xxx求函數在 ，上滿足拉格朗日定理的 。由由LagrangeLagrange中值定理可知中值定理可知(1)(0)( )1 ln21 0fff ( ) , ( )( )( ),f xa bf bf afbaa b求在上滿足拉格朗日定理中的 ， 就是求在（）內的根。434( ),( )032 2xfxfxxx令得( )ln(1)01f xxx求函數在 ，上滿足Lagrange中值定理的 值。例例2解解1( )11fxx 因為因為1( )11f 所以所以111 ln21 即即11ln2所以所以 即為所求。即為所求。練習練習解答解答例例3 證明證明arctanco

4、t, , 2xarcxx 證明證明 令令( )arctancotf xxarcx那么那么 在在 內滿足內滿足Lagrange中值定理中值定理( )f x, 而而2211( )0, ,11fxxxx 所以所以( ) f xC（常數）而而(1)arctan1cot12farc所以所以( )arctancot, ,2f xxarcxx 構造有關的函數構造有關的函數0, ( ) 0 xf xxLagrange 則在區間 ， 上滿足中值定理條件確定應用區間確定應用區間應用應用Lagrange定理定理計算導數后的等式計算導數后的等式轉化為不等式轉化為不等式0ln(1) 1xxxxx證明：當時, 成立。例例

5、4( )ln(1)f xx令解解( )(0)( ) (0) (0)f xffxx所以所以ln(1)1xx (0)x即即ln(1)(0)1xxxxx 所以所以解題思路：解題思路：x 0又又x 111, 11111 x,11xxxx 羅爾定理羅爾定理 Rolle TheoremRolle Theorem(2) 在開區間( , )a b內可導；內可導； 則在則在( , )a b內至少存在一點內至少存在一點，使，使 ( )0f , a b(1) 在閉區間 上連續( )( ),f af b(3) C若函數若函數( )fx滿足：滿足：羅爾定理的幾何意義羅爾定理的幾何意義 連續曲線連續曲線 y = f (x

6、)的弧的弧AB兩個端點的縱坐標相等，則曲線兩個端點的縱坐標相等，則曲線弧上至少存在一點弧上至少存在一點C，使得曲線在該點處的切線是水平的，使得曲線在該點處的切線是水平的.ABxyab( )( )f af b例如例如, ,32)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上上連連續續在在 ,)3 , 1(上上可可導導在在 , 0)3()1( ff且且)3 , 1(1( , 1 取取. 0)( f),1(2)( xxf例例5 驗證函數驗證函數 在區間在區間 上滿足羅爾上滿足羅爾定理，并求出定理中的定理，并求出定理中的 值。值。2( )23f xxx 1,1.5解解 因為函數在因為函數在 上連續，在上連續，在 內可導，且內可導，且 1,1.5( 1,1.5)