1、3.1.1方程的根與函數的零點 方程方程x22x+1=0 x22x+3=0y= x22x3y= x22x+1函數函數函函數數的的圖圖象象方程的實數根方程的實數根x1=1,x2=3x1=x2=1無實數根無實數根函數的圖象函數的圖象與與x軸的交點軸的交點(1,0)、(3,0)(1,0)無交點無交點x22x3=0 xy01321121234.xy0132112543.yx012112y= x22x+3 從上面的表格，你能發現方程的根與函數圖象與X軸的交點具有什么樣的關系嗎？方程的根就是函數圖象與X軸交點的橫坐標。探究探究活動活動 對于函數對于函數y=f(x),我們把使我們把使f(x)=0的實數的實數

2、x叫做函數叫做函數y=f(x)的零點。的零點。注意：注意：零點指的是一個實數；零點指的是一個實數；方程方程f(x)=0有實數根有實數根函數函數y=f(x)的圖象與的圖象與x軸有交點軸有交點函數函數y=f(x)有零點有零點思考：零點是點嗎？思考：零點是點嗎？求零點的方法 (1) 解方程：令f(x)=0,解x。 （2）圖像法：作y=f(x)的圖像，看圖像與x軸的交點的橫坐標。練習練習求下列函數的零點：（1） （2）（3） （4）xxfln)(1)(xexfxxxf4)(353)(3xxxf解:（1）1；（2）0；（3）2、0、2 如圖所示，用幾條連續不斷的函數圖象連接A、B兩點。動一動手動一動手A

3、BLABLOXyOyXOyXabababABLABL 思考：思考：通過對圖象的觀察，分析函數在區間端點上的函數值的符號情況，與函數零點是否存在著一定的關系呢？ 0)()(bfafabxxf1)(0)()( bfaf有 ，但在區間(a，b)內無零點。0)()( bfaf是否只要滿足 ，就一定存在零點呢？函數零點存在性定理函數零點存在性定理 如果函數如果函數y=f(x)在區間在區間a,b上的圖象是上的圖象是連續不斷的一條曲線連續不斷的一條曲線，并且有，并且有f(a)f(b)0,則則y=f(x)在區間在區間(a,b)內內是否有零點？是否有零點？想一想想一想OyX2)(xxfab （2）若函數）若函數

4、y=f(x)在區間在區間a,b上連續，且有上連續，且有f(a)f(b)0,則則y=f(x)在區間在區間(a,b)內會只有一個內會只有一個零點嗎？零點嗎？OXyabABLABLOyXab （3）若函數）若函數y=f(x)在區間在區間a,b上連續，且在上連續，且在區間區間(a,b)內有零點時，一定有內有零點時，一定有f(a)f(b)0嗎？嗎？OyX2)(xxfab注意：注意：（1）只有同時滿足上述兩個條件，才能）只有同時滿足上述兩個條件，才能說明函數說明函數y=f(x)在區間在區間(a,b)內存在零點。內存在零點。（2）定理不可逆。）定理不可逆。例例1、判斷函數、判斷函數 是否存在是否存在零點？零

5、點？53)(3xxxf例例2、求函數、求函數 的零點的的零點的個數？個數？62ln)(xxxf想一想想一想函數函數y=f(x)在什么條件下，在區間在什么條件下，在區間(a,b)內只有一個零點？內只有一個零點？結論結論函數函數y=f(x)在區間在區間(a,b)內單調時，函數內單調時，函數在這個區間內有且只有一個零點。在這個區間內有且只有一個零點。作出函數的圖象如下：作出函數的圖象如下： 因為因為f(3)30,所以所以f(x)= 2x ln(x2)3在區間在區間(3,4)上有零點。又因為上有零點。又因為f(x) =2x ln(x2)3是是(2，）上的增函數，）上的增函數，所以在區間所以在區間(3,

6、4)上有且只有一個零點。上有且只有一個零點。xy01321125-3-242(2) f(x)=2x ln(x2)3作出函數的圖象如下：作出函數的圖象如下： 因為因為f(0)3.630,所以所以f(x)= ex1+4x4在區間在區間(0,1)上有零點。又因上有零點。又因為為f(x) = ex1+4x4是是( ，）上的增函數，所以在）上的增函數，所以在區間區間(0,1)上有且只有一個零上有且只有一個零點。點。2(3) f(x)=ex1+4x4xy0132112123424作出函數的圖象如下：作出函數的圖象如下：x080155y24012043604020432 因為因為f(4)40, f(2)20,f(2)700,所以所以f(x)= 3(x+2)(x 3)(x+4)+x 在區間在區間(4,3 )、 (3，2,)、 (2,3 )上各有上各有一個零點。一個零點。2(4) f(x)=3(x+2)