1、12.1 空間點、直線、平面之間的位置關系空間點、直線、平面之間的位置關系2A1BD1C1DCB1A觀察長方體，你能發現長方體的頂點、棱所在的直線，觀察長方體，你能發現長方體的頂點、棱所在的直線，以及側面、地面之間的關系嗎？以及側面、地面之間的關系嗎？長方體由上下、前后、左右六個面圍成，有些面是平行的，長方體由上下、前后、左右六個面圍成，有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直線與面平行，有些棱所在有些面是相交的；有些棱所在的直線與面平行，有些棱所在的直線與面相交；每條棱所在的直線都可以看作是某個面內的直線與面相交；每條棱所在的直線都可以看作是某個面內的直線等等的直線等等.空間中的點、直

2、線、平面之間有什么位置關系，是我們接下來要討論的問題空間中的點、直線、平面之間有什么位置關系，是我們接下來要討論的問題.31.平面的基本知識平面的基本知識(1)平面與我們學過的點、直線、集合等概念一樣都是平面與我們學過的點、直線、集合等概念一樣都是最基本的概念最基本的概念，即為不加定義的原始概念，即為不加定義的原始概念.(2)平面的基本特征是平面的基本特征是無限延展性無限延展性.平面是理想的，絕對的平（平面是處處平直的面）；平面是理想的，絕對的平（平面是處處平直的面）；平面沒有大小、沒有厚薄和寬窄，是不可度量的平面沒有大小、沒有厚薄和寬窄，是不可度量的. .光滑的桌面、平靜的湖面等都是我們熟悉

3、的平面形象，數學中光滑的桌面、平靜的湖面等都是我們熟悉的平面形象，數學中的平面概念是現實平面加以抽象的結果的平面概念是現實平面加以抽象的結果. .思考思考: :能不能說一個平面長能不能說一個平面長4 4米米, ,寬寬2 2米？為什么米？為什么? ? 不能不能. .4畫法畫法立體幾何中通常用立體幾何中通常用平行四邊形來平行四邊形來表示平面，表示平面， 有時也用有時也用圓或三角形等圖形圓或三角形等圖形來表示平面來表示平面.畫平面水平放置時，畫平面水平放置時，常把平行四邊形的常把平行四邊形的銳角通常畫成銳角通常畫成45，且橫邊長等于鄰邊且橫邊長等于鄰邊長的長的2倍倍.水平放置水平放置垂直放置垂直放置

4、為了增強立體感，如果一個平面被另一個平面遮擋住，常把它遮為了增強立體感，如果一個平面被另一個平面遮擋住，常把它遮擋的部分用擋的部分用虛線虛線畫出來畫出來.(3)平面的畫法及表示平面的畫法及表示1.平面的基本知識平面的基本知識5畫出兩個豎直放置的相交平面畫出兩個豎直放置的相交平面. .練習練習6表示方法：表示方法：ABCD把希臘字母把希臘字母 等寫在代表平面的平行四邊形的一個角上，等寫在代表平面的平行四邊形的一個角上，如如平面平面 ，平面，平面 ., 用表示平面的平行四邊形的四個頂點的大寫英文字母表示，用表示平面的平行四邊形的四個頂點的大寫英文字母表示，如如平面平面ABCD.用表示平面的平行四邊

5、形的相對的兩個頂點的大寫英文字母表用表示平面的平行四邊形的相對的兩個頂點的大寫英文字母表示，如示，如平面平面AC或者或者平面平面BD.(3)平面的畫法及表示平面的畫法及表示1.平面的基本知識平面的基本知識7(1)點、線、面的表示點、線、面的表示點點( (元素元素): ):大寫字母大寫字母A A、B B、C C、DD直線直線( (點的集合點的集合): ):小寫英文字母小寫英文字母 或者兩個大寫英文字母或者兩個大寫英文字母平面平面( (點的集合點的集合): ):用希臘字母表示用希臘字母表示 ； 用平行四邊形頂點字母或者其相對兩字母表示用平行四邊形頂點字母或者其相對兩字母表示. ., ,a b c,

6、 (2)點、線、面之間的位置關系的表示點、線、面之間的位置關系的表示用集合中的關系符號用集合中的關系符號元素與集合關系：元素與集合關系：集合與集合關系：集合與集合關系：,; 2.點、直線、平面的位置關系點、直線、平面的位置關系8ABa點點A在直線在直線a上，記作上，記作點點B不在直線不在直線a上，記作上，記作點點A在平面在平面上，記作上，記作點點B不在平面不在平面上，記作上，記作AB(1)點與直線的位置關系：點與直線的位置關系：(2)點與平面的位置關系：點與平面的位置關系：AaBaAB2.點、直線、平面的位置關系點、直線、平面的位置關系9(3)直線與平面的位置關系：直線與平面的位置關系：按公共

7、點個數分三類按公共點個數分三類直線直線a與平面與平面有且只有一個公共點有且只有一個公共點，稱直線，稱直線a與平面與平面相交相交.記為：記為：直線直線a與平面與平面沒有公共點沒有公共點，稱直線，稱直線a與平面與平面平行平行. .記為：記為：aA Aaa直線直線a與平面與平面有無數個公共點有無數個公共點，稱直線，稱直線a在平面在平面內，內，或稱平面或稱平面通過直線通過直線a. .記為：記為：a公理公理1aA/或aaa注注1：情況：情況和和統稱為直線統稱為直線a在平面在平面外，記作外，記作2.點、直線、平面的位置關系點、直線、平面的位置關系10(4)平面與平面的位置關系：按有否公共點分兩類平面與平面

8、的位置關系：按有否公共點分兩類a當兩個不同平面當兩個不同平面與平面與平面有公共點有公共點時，它們的公共點組成時，它們的公共點組成直線直線a，稱平面，稱平面與平面與平面相交相交. .記作：記作：當平面當平面與平面與平面沒有公共點沒有公共點時，稱平面時，稱平面與平面與平面平行平行. .記作：記作：公理公理3a /或 注注2：當平面：當平面上的所有點都在平面上的所有點都在平面上時，稱平面上時，稱平面與平面與平面重合重合.公理公理2（當兩個平面有不共線的三個公共點，則兩個平面重合（當兩個平面有不共線的三個公共點，則兩個平面重合)2.點、直線、平面的位置關系點、直線、平面的位置關系11小結：用數學符號來

9、表示點、線、面之間的位置關系：小結：用數學符號來表示點、線、面之間的位置關系：BaaAbaAAB練習練習AaBaABaabA/或aaa /或 平面平面與平面與平面重合重合12桌面桌面AB觀察下列問題，你能得到什么結論？觀察下列問題，你能得到什么結論？直尺落在桌面上（直線直尺落在桌面上（直線AB在平面在平面內）內）3.平面的基本性質平面的基本性質13,且Al BlABl 圖形語言：圖形語言：ABl(1)公理公理1：若一條直線上的兩點在一個平面內，若一條直線上的兩點在一個平面內， 則這條直線在此平面內則這條直線在此平面內.符號語言：符號語言：該公理反映了直線與平面的位置關系：該公理反映了直線與平面

10、的位置關系：可用于判定直線是否在平面內，點是否在平面內，又可用于判定直線是否在平面內，點是否在平面內，又可用直線檢驗平面可用直線檢驗平面.3.平面的基本性質平面的基本性質14思考：兩個平面會不會只有一個公共點呢？思考：兩個平面會不會只有一個公共點呢？不會！因為平面是無限延展的不會！因為平面是無限延展的.因此，兩個平面有一個公共點，必然有無數個公共點，因此，兩個平面有一個公共點，必然有無數個公共點，并且這些公共點在一條直線上并且這些公共點在一條直線上.3.平面的基本性質平面的基本性質15且PlPlPl(2)公理公理3：若兩個不重合的平面有一個公共點，若兩個不重合的平面有一個公共點， 則它們有且只

11、有一條過該點的公共直線則它們有且只有一條過該點的公共直線.圖形語言：圖形語言：符號語言：符號語言：該公理反映了平面與平面的位置關系：該公理反映了平面與平面的位置關系：i)該公理是用以判定兩個平面相交的依據：該公理是用以判定兩個平面相交的依據：只要兩個平面有一個只要兩個平面有一個公共點，就可判定這兩個平面必相交于過該點的一條直線公共點，就可判定這兩個平面必相交于過該點的一條直線.(找兩個面的交線只要找出兩個面的兩個公共點即可找兩個面的交線只要找出兩個面的兩個公共點即可)ii)該公理可用以判定點在直線上：該公理可用以判定點在直線上：點是某兩平面的公共點，線點是某兩平面的公共點，線是這兩個平面的公共

12、交線，則該點在交線上是這兩個平面的公共交線，則該點在交線上.3.平面的基本性質平面的基本性質16CBA觀察下列問題，你能得到什么結論？觀察下列問題，你能得到什么結論？自行車需要一個支腳架就可以保持平衡自行車需要一個支腳架就可以保持平衡.3.平面的基本性質平面的基本性質17ABC(3)公理公理2： 經過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面經過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面., ,不共線有且只有一個平面 ，使得A B CABC圖形語言：圖形語言：符號語言：符號語言：定義的說明：定義的說明：過不在一條直線上的四點，不一定有平面過不在一條直線上的四點，不一定有平面.故要充分重視故要充分重視“

13、不在不在一條直線上的三點一條直線上的三點”這一條件；這一條件；“有且只有一個有且只有一個”強調的是存在性和唯一性兩方面，不能用強調的是存在性和唯一性兩方面，不能用“只只有一個有一個”替代；替代；確定一個平面的確定一個平面的“確定確定”是是“有且只有有且只有”的同義詞的同義詞.3.平面的基本性質平面的基本性質18推論推論1 1 經過一條直線和這條直線外一點經過一條直線和這條直線外一點, ,有且只有一個平面有且只有一個平面. .證明：證明： 存在性存在性. .因為因為A a，在，在a上任取兩點上任取兩點B，C.所以過不共線的三點所以過不共線的三點A，B，C有一個平面有一個平面 .（公理（公理2）因

14、為因為B ，C ，故經過點故經過點A和直線和直線a有一個平面有一個平面 .ABCa因為因為B，C在在a上，上，所以過直線所以過直線a和點和點A的平面一定經過點的平面一定經過點A，B，C.由公理由公理2，經過不共線三點，經過不共線三點A，B，C的平面只有一個，的平面只有一個，所以過直線所以過直線a和點和點A的平面只有一個的平面只有一個.唯一性唯一性.所以所以a .（公理（公理1）已知點已知點A a，求證過點，求證過點A和直線和直線a可以確定一個平面可以確定一個平面.3.平面的基本性質平面的基本性質19推論推論2 2 經過兩條相交直線，有且只有一個平面經過兩條相交直線，有且只有一個平面. .推論推

15、論3 3 經過兩條平行直線，有且只有一個平面經過兩條平行直線，有且只有一個平面. .baab推論推論1 1 經過一條直線和這條直線外一點經過一條直線和這條直線外一點, ,有且只有一個平面有且只有一個平面. .ABCa注注3：公理公理2及其三個推論是確定平面以及判斷兩個平面重合的依據，及其三個推論是確定平面以及判斷兩個平面重合的依據，是證明點、線共面的依據，也是作截面、輔助平面的依據是證明點、線共面的依據，也是作截面、輔助平面的依據.ABC公理公理2： 經過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面經過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面.練習3.平面的基本性質平面的基本性質20abced我們知道

16、我們知道,在同一平面內在同一平面內, 如果兩條直線都和第三條直線平行如果兩條直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線互相平行那么這兩條直線互相平行.在空間這一規律是否還成立呢在空間這一規律是否還成立呢?觀察觀察 : 將一張紙如圖進行折疊將一張紙如圖進行折疊 , 則各折痕及邊則各折痕及邊 a, b, c, d, e, 之間有何關系？之間有何關系？ab c d e /,/BBAA DDAABBDD觀察：在右圖的長方體中，那么與平行嗎？ABCDABCD3.平面的基本性質平面的基本性質21符號表示符號表示:caabc c(4)公理公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行平行于同一條直線的兩條直線互相平

17、行.a/ , / .ab bcac平行具有傳遞性；平行具有傳遞性；注注4：該公理是判斷空間兩條直線平行的方法之一該公理是判斷空間兩條直線平行的方法之一.即要證明兩條即要證明兩條直線平行，一般利用第三條直線作為聯系兩直線的中間環節直線平行，一般利用第三條直線作為聯系兩直線的中間環節.3.平面的基本性質平面的基本性質22例例1 1 在正方體在正方體ABCDAABCDA1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，直線中，直線ABAB與與C C1 1D D1 1 ，ADAD1 1與與BCBC1 1是什么位置關系？為什么？是什么位置關系？為什么？解：解：C1ABCDA1B1D11）ABA1B1， C1

18、D1 A1B1， AB C1D1 2）AB C1D1 ，且，且AB = C1D1 ABC1D1為平行四邊形為平行四邊形故故AD1 BC1 練習：上例中，練習：上例中，AA1與與CC1，AC與與A1C1的位置是什么關系？的位置是什么關系？111,););若分別是的中點,判斷下列直線是否平行:與與E F G HAB AD C Di EFGHii DEHB23例例2 2 已知已知ABCDABCD是四個頂點不在同一個平面內的空間四邊形，是四個頂點不在同一個平面內的空間四邊形，E E，F F，G G，H H分別是分別是ABAB，BCBC，CDCD，DADA的中點，連結的中點，連結EFEF，FGFG，GH

19、GH，HEHE，求證：，求證：EFGHEFGH是一個平行四邊形是一個平行四邊形. .問問1:若上例加上條件若上例加上條件AC=BD，則四邊形，則四邊形EFGH是一個什么圖形？是一個什么圖形？“見中點找中點見中點找中點”構造構造三角形的中位線三角形的中位線是證明平行的常用方法是證明平行的常用方法 EH是是ABD的中位線，的中位線，EH FG且且EH =FGEFGH是一個平行四邊形是一個平行四邊形證明：證明：連結連結BD，同理，同理，FG BD且且FG = BD12 EH BD且且EH = BD12AB DEFGHC菱形菱形問問2:若上例中四邊形若上例中四邊形EFGH為矩形，為矩形，AC與與BD垂

20、直嗎？垂直嗎？EH/FG,EF/HG?法 二 ： 往 證呢另注：平行線段成比例另注：平行線段成比例練習24ABCDA1B1C1D1O1O11111111111111111111.,.,.,.例3 如圖，在正方體中，(1)判斷下列命題是否正確，并說明理由：直線在平面內；點可確定一個平面；由點確定的平面與由點確定的平面是同一個平面；設正方形與的中心分別為則面與面的交線為ABCDABC DAACCC B BBA O CCA C BA C DDABCDABC DO OAAC CBB D DOO1111.與面的交點落在直線上E ACBDD BOO25ABCDA1B1C1D1OABCDA1B1C1D1EF

21、找兩平面的兩個公共點找兩平面的兩個公共點111111111111;長方體中，畫出下列平面的交線：(1)平面與平面(2)平面與平面ABCDABC DAC DB D DAC BAB D例例 幾何體中的截面問題（兩平面的交線問題）幾何體中的截面問題（兩平面的交線問題）26?NDABCCABDMNQPQ即交線為即交線為QN , ,;,;*在棱長為 的正方體中，分別是的中點.(1)畫出過點的平面與正方體的下底面的交線(2)設平面求的長aABCDABCDM NAA DCD M NllABPPB例例 幾何體中的截面問題（兩平面的交線問題）幾何體中的截面問題（兩平面的交線問題）分析：找面與面的交線 找面與面的

22、兩個公共點.DMNABCDDMNABCD, 面面在同一個平面內,且交點為MDDMNADABCDMD ADADDAQ和的交點面面MDADQDMNABCD拓展274.點線共面問題點線共面問題(1)(1)證明的主要依據：公理證明的主要依據：公理1 1；公理；公理2 2及其三個推論及其三個推論. .(2)(2)證明的常用方法：證明的常用方法：納入平面法：先由部分元素確定一個平面，再證明其余有關的納入平面法：先由部分元素確定一個平面，再證明其余有關的點、線在此平面內；點、線在此平面內；輔助平面法：先證明有關的點、線確定平面輔助平面法：先證明有關的點、線確定平面 ，再證明其余元，再證明其余元素確定平面素確

23、定平面 ，最后證明平面，最后證明平面 、 重合重合. .28例例1 1 證明兩兩相交且不同點的三條直線必在同一個平面內證明兩兩相交且不同點的三條直線必在同一個平面內. .ABC已知：已知：ABAC=A，ABBC=B，ACBC=C求證：直線求證：直線AB，BC，AC共面共面.證明：證明： 因為因為ABAC=A，所以直線所以直線AB，AC確定一個平面確定一個平面 .（推論（推論2）因為因為BAB，CAC，所以，所以B ，C ，故故BC .（公理（公理1）因此直線因此直線AB，BC，CA共面共面.確定一個面，再確定一個面，再證明其余線在該證明其余線在該面內面內. .4.點線共面問題點線共面問題29證

24、法二：證法二：因為因為A 直線直線BC上，上，所以過點所以過點A和直線和直線BC確定平面確定平面 .（推論（推論1）因為因為BBC，所以，所以B . 又又A ， 故故AB ，同理同理AC ，所以所以AB，AC，BC共面共面.ABC例例1 1 證明兩兩相交且不同點的三條直線必在同一個平面內證明兩兩相交且不同點的三條直線必在同一個平面內. .證法三：證法三：因為因為A，B，C三點不在一條直線上，三點不在一條直線上，所以過所以過A，B，C三點可以確定平面三點可以確定平面 .（公理（公理2）因為因為A ，B ，所以，所以AB .（公理（公理1）同理同理BC ，AC ，所以所以AB，BC，CA三直線共面

25、三直線共面.4.點線共面問題點線共面問題30練 已知求證:直線,共面.,D, A B CllAD BD CD ABCDl證明與 確定平面:.DllD 又,.A B Cl lA B C 又即共面.,DBD CD ADAD BD CD 4.點線共面問題點線共面問題31P51 5 證明：一條直線與兩條平行直線都相交，則這三條直線共面證明：一條直線與兩條平行直線都相交，則這三條直線共面.已知：已知：a/b，ac=A，bc=B.求證：直線求證：直線a，b，c共面共面.證明：證明：因為因為a/b，所以直線所以直線a，b確定一個平面確定一個平面 .（推論（推論3）因為因為Aa，Bb，所以，所以A ，B .又

26、因為又因為Ac，Bc.故故AB .（公理（公理1）因此直線因此直線a，b，c共面共面.abcAB4.點線共面問題點線共面問題32例例2 2 已知一條直線與三條平行直線都相交，證明這四條直線共面已知一條直線與三條平行直線都相交，證明這四條直線共面. .abcABCl已知：已知：a/b/c，al=A，bl=B, cl=C.求證：直線求證：直線l與與a，b，c共面共面.證明：證明：a/b，直線直線a，b確定一個平面確定一個平面 .（推論（推論3） l a=A， l b=B， A ，B .又又Al，Bl，故，故l . 同理，同理，直線直線b，c確定一個平面確定一個平面 ，且，且l .平面平面 與與 都

27、過兩相交直線都過兩相交直線b，l.又又兩相交直線確定一個唯一的平面兩相交直線確定一個唯一的平面. 與與 重合重合.故故l與與a，b，c共面共面.證明兩個平面重合是證明直線在平面內問題的重要方法證明兩個平面重合是證明直線在平面內問題的重要方法.4.點線共面問題點線共面問題33練練 已知已知a ，b ，ab=A，Pb，PQ/a . 求證：求證：PQ .abQAPPQ/ ,PQ.P,.證明:直線與 確定一個平面，設為aaaP,P.又且baa1P.PQ.由推論 ，過 ， 有且只有一個平面和 重合，即有a4.點線共面問題點線共面問題34(1)(1)證明的主要依據是公理證明的主要依據是公理3 3： 如果兩

28、個平面相交，則這兩個平面的公共點共線；如果兩個平面相交，則這兩個平面的公共點共線； 如果兩個平面相交，那么一個平面內的直線和另一平面的交點如果兩個平面相交，那么一個平面內的直線和另一平面的交點必在這兩個平面的交線上必在這兩個平面的交線上. .(2)(2)證明的常用方法：證明的常用方法：首先找出兩個平面，再證這三個點都是這兩個平面的公共點；首先找出兩個平面，再證這三個點都是這兩個平面的公共點；選擇其中兩點確定一條直線，然后證明另一個點也在其上（一選擇其中兩點確定一條直線，然后證明另一個點也在其上（一般地，這條直線看作某兩個平面的交線，往證第三個點也是兩個般地，這條直線看作某兩個平面的交線，往證第

29、三個點也是兩個面的公共點）；面的公共點）；證明三線共點問題：先證明兩條直線交于一個點，再證明第三證明三線共點問題：先證明兩條直線交于一個點，再證明第三條直線經過這個點（轉化為證明點在線上的問題）條直線經過這個點（轉化為證明點在線上的問題）5.證明三點共線、三線共點的問題證明三點共線、三線共點的問題35例例1 1 已知三角形已知三角形ABCABC的三條邊的三條邊ABAB、BCBC、ACAC與平面與平面分別交于分別交于P P、Q Q、R.R.求證：求證：P、Q、R共線共線.BAQRCP證明：證明：同理同理Q、R也為公共點，也為公共點， 所以所以P、Q、R共線共線.要證明各點共線，只要證明各點共線，

30、只要證明他們是兩個相要證明他們是兩個相交平面的公共點交平面的公共點.ABCABC.平面平面PABPABC.又平面PP5.證明三點共線、三線共點的問題證明三點共線、三線共點的問題36P53 3 空間四邊形空間四邊形ABCD中，中，E，F分別是分別是AB和和CB上的點，上的點，G，H分別是分別是CD和和AD上的點，且上的點，且EH與與FG相交于相交于K.求證：求證：EH，BD，FG三條直線相交于同一點三條直線相交于同一點.分析：分析：已知已知EHFG=K，要證，要證EH，BD，FG共點共點.即要證明即要證明B，D，K三點共線三點共線.而而BD是面是面ABD和面和面CBD的交線的交線.所以所以往證往

31、證K面面ABD面面CBD.而顯然，由而顯然，由EH面面ABD，KEH，可得，可得K面面ABD.同理，由同理，由FG面面CBD，KFG，可得，可得K面面CBD.ABCDEFHGK5.證明三點共線、三線共點的問題證明三點共線、三線共點的問題37111111111, ,.(2),),),.練習 正方體中，(1)是該正方體下底面的中心，過作一截面，求證：此截面與對角線的交點 一定在上若分別是的中點，求證：四點共面；三線共點ABCDABC DMC B DACPC ME FAB A AiE F D Cii CE D F DA,:=2:3.,.練習 在四面體中，分別是的中點， 在上在上，且有求證:三線共點A

32、BCDE GAB BCFCDHADDF FCDH HAEF GH BDABCDA1B1C1D1M38小結：小結：空間點、線、面的位置關系空間點、線、面的位置關系平面的基本性質（四個公理）平面的基本性質（四個公理）證明直線平行的常用方法證明直線平行的常用方法點線共面，三線共點，三點共線問題的證明點線共面，三線共點，三點共線問題的證明作業：作業：P51 5、6 P53 B組組2、3 P78 3、4、8精講精練：精講精練： P18 9、839“見中點找中點見中點找中點”構造三角形的中位線是證明平行的常用方法構造三角形的中位線是證明平行的常用方法P78 4,5P78 4,5,/,./.,1/.21/.

33、2.EFAEBCAEBCABFEABEFABEFC DCDGEFDCEFDCEFDCABDCABABCD（1）證明:連接因為且所以四邊形為平行四邊形且又因為分別為棱邊的中點為的中位線.且即且四邊形為梯形ABCDEFG(2) 立體幾何中求解平面的角度立體幾何中求解平面的角度邊長面積等問題時，注意重新邊長面積等問題時，注意重新畫出圖形，結合幾何體找出邊畫出圖形，結合幾何體找出邊角關系并利用平面圖形性質求角關系并利用平面圖形性質求解問題解問題.back40在長方體中， 為棱的中點，畫出由, 三點所確定的平面 與長方體表面的交線.1111ACPBBA CP PCDBC1AB1A1D1PCDBC1AB1

34、A1D1例例 幾何體中的截面問題（兩平面的交線問題）幾何體中的截面問題（兩平面的交線問題）精講精練精講精練P2 4（正方體的截面形狀的研究）（正方體的截面形狀的研究）back41形狀形狀特殊情形特殊情形三角形三角形銳銳角角三三角角形形等等腰腰三三角角形形等等邊邊三三角角形形四邊形四邊形平平行行四四邊邊形形長長方方形形正正方方形形梯梯形形不可能是直角梯形不可能是直角梯形五邊形五邊形注意：該五邊形注意：該五邊形必有兩組分別平必有兩組分別平行的邊，且不可行的邊，且不可能是正五邊形能是正五邊形六邊形六邊形注意：該六邊形注意：該六邊形必有分別平行的必有分別平行的邊，且可以是正邊，且可以是正六邊形六邊形4

35、2例例 幾何體中的截面問題（兩平面的交線問題）幾何體中的截面問題（兩平面的交線問題）正方體中，試畫出過其中三條棱的中點正方體中，試畫出過其中三條棱的中點P P，Q Q，R R的平面的平面截得正方體的截面形狀截得正方體的截面形狀back43正方體中，試畫出過其中三條棱的中點正方體中，試畫出過其中三條棱的中點P P，Q Q，R R的平面的平面截得正方體的截面形狀截得正方體的截面形狀1111分析：找面PQRK與面ADD A的交線找面PQRK與面ADD A的兩個公共點.R?11PQ面PQRKAD面ADD APQ，AD在同一平面ABCD內，交點為S11PQ和AD的交點S面PQRK，S面ADD A .S即

36、交線為即交線為RS交交AA1于中點于中點GKGHS1111同理，找面PQRK與面BCC B的交線找面PQRK與面BCC B的兩個公共點.Q?T即交線為即交線為QT交交CC1于中點于中點HT例例 幾何體中的截面問題（兩平面的交線問題）幾何體中的截面問題（兩平面的交線問題）back44G,H,RKHQPG.GHRK/.RQRK=RRQPQ=QRQGH=JRHQG)RQGHPQ法二：取中點往證六點共面連結，/又(在平面內即直線與三條平行直線都相交故這四條直線共面（前面已證明），從而這六點共面KGHJ例例 幾何體中的截面問題（兩平面的交線問題）幾何體中的截面問題（兩平面的交線問題）正方體中，試畫出過其中三條棱的中點正方體中，試畫出過其中三條棱的中點P P，Q Q，R R的平面的平面截得正方體的截面形狀截得正方體的截面形狀back45* *畫出四面體畫出四面體ABCDABCD中過中過E,F,GE,F,G三點的截面與四面體各面的交線三點的截面與四面體各面的交線. .ABCEFGP分析：找面EFG與面BCD的交線找面EFG與面BCD的兩個公共點.EF面EFGBD面BCDEF，BD在同一平面內，交點為PEF和BD的交點P面EFG面BCD.P即交線為GPG?同理，找面EFG與面ADC的交線找面EFG與面ADC的兩個公共點.F?HD連接GP交DC于H，則HDC面ADC