1、不等式的基本知識（一）不等式與不等關(guān)系1、應(yīng)用不等式（組）表示不等關(guān)系；不等式的主要性質(zhì):（1）對稱性：a bb a傳遞性：ab,bCaC加法法則：ab a c bC ； ab, C da C Ib d（同向可加）乘法法則：ab,c 0 acbc ；a b, C 0acbcab 0,c d OI acbd （同向同正可乘）倒數(shù)法則：ab, ab 01 1 a b乘方法則：a b 0 an bn(n N * 且n1)開方法則：ab 0 n an b(nN * 且 n 1)2、應(yīng)用不等式的性質(zhì)比較兩個實數(shù)的大小:作差法（作差一一-變形-主I I怖竹旦判斷符號結(jié)論）3、應(yīng)用不等式性質(zhì)證明不等式（二）

2、解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式ax2 bx C O或ax2 bx c 0 a 0的解集：設(shè)相應(yīng)的一元二次方程a2 bx C O a O的兩根為為、x2且Xi x2，b2 4ac，則不等式的解的各種情況如下表：二次函數(shù)（a 0）的圖象一兀二次方程有兩相異實根有兩相等實根無實根R2、分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為 0,再通分并將 分子分母分解因式，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正 ，最后用標(biāo)根法求解。解 分式不等式時，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負(fù)時可去分母。3、不等式的恒成立問題：常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題若不等式f X

3、A在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間D± f X min A若不等式f X B在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間D± f XmaX B（三）線性規(guī)劃用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域二元一次不等式Ax+By+C>O在平面直角坐標(biāo)系中表示直線 Ax+By+C=O某一側(cè)所有 點組成的平面區(qū)域（虛線表示區(qū)域不包括邊界直線）2、二元一次不等式表示哪個平面區(qū)域的判斷方法由于對在直線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點（X） y）,把它的坐標(biāo)（X） y）代入Ax+By+C,所得到實數(shù)的符號都相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取一特殊點（x。, Yo）,從A溝+By°+C 的正負(fù)即可

4、判斷Ax+By+C>0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.（特殊地，當(dāng)CMo時，常把 原點作為此特殊點）3、線性規(guī)劃的有關(guān)概念： 線性約束條件：在上述問題中，不等式組是一組變量 x、y的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，故又稱線性約束條件. 線性目標(biāo)函數(shù)：關(guān)于x、y的一次式z=ax+by是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量 x、y的解析 式，叫線性目標(biāo)函數(shù). 線性規(guī)劃問題：一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線 性規(guī)劃問題. 可行解、可行域和最優(yōu)解：滿足線性約束條件的解(x,y)叫可行解.由所有可行解組成的集合叫做可行域.使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可

5、行解叫線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解4、求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解的步驟：(1) 尋找線性約束條件，列出線性目標(biāo)函數(shù)；(2) 由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；(3) 依據(jù)線性目標(biāo)函數(shù)作參照直線 ax+by = O,在可行域內(nèi)平移參照直線求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解（四）基本不等式ab22 21 .若a,b R,則a +b 2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.題型一：不等式的性質(zhì)1.對于實數(shù)a,b,c中，給出下列命題:2如果a,b是正數(shù)，那么 U . ab（當(dāng)且僅當(dāng)a b時取""號）22變形：有:a+b 2 ab ； ab a一b ,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.23.如果a,b R

6、+ a b=R定值）,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，a+b有最小值2P ；S2 如果a,b R+且a+b=S（定值）,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，ab有最大值 一.4注：（1）當(dāng)兩個正數(shù)的積為定值時，可以求它們和的最小值，當(dāng)兩個正數(shù)的和為定值時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”.（2）求最值的重要條件“一正，二定，三取等”若a2 2b,貝U ac bc ;若ac2bc2,則 ab ；若ab0,則 a2ab b2 ;若ab 0,則a1b ；若ab0,則-aab ；若ab 0,則 ab ；若Cab 0,則abCaCb；若ab，a b則 a 0,b0其中正確的命題是題型二：比較大小（作差法、函數(shù)單

7、調(diào)性、中間量比較,基本不等式）2.設(shè) a 2， Pa1a 2a2 4a 2q 2,試比較p,q的大小3. 比較1 + logx3與2logx2(x 0且X 1)的大小構(gòu)選用）；（2） a、b、C R, a2(3)若 a b 0,m0 ,則-a（糖水的濃度問題）a m 2 24. 常用不等式有：（1）寸少- 才 Uab 十（根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運算結(jié)a bb2 c2 ab bc Ca （當(dāng)且僅當(dāng)a b C時，取等號）；不等式主要題型講解I 1a b4. 若 a b 1,P lga lgb,Q (lg a lg b), R lg( )，貝U P,Q, R 的大小關(guān)系2 2是 .(二) 解不等式題型

8、三：解不等式（一）不等式與不等關(guān)系5. 解不等式 x2 +7+4 >04x2-4÷1 >iJ6. 解不等式(X 1)(x 2)20。7. 解不等式J X 1X2 2x 38. 不等式 a2 bx 12 0 的解集為x-1 VX V 2,則 a =, b=9. 關(guān)于X的不等式ax b 0的解集為(1,),貝U關(guān)于X的不等式-b 0的解集為X 210.解關(guān)于X的不等式ax2 (a 1)x 10題型四：恒成立問題11. 關(guān)于X的不等式a X2+ a X +1> 0 恒成立，則a的取值范圍是12. 若不等式X2 2mx 2m 1 0對0 X 1的所有實數(shù)X都成立，求m的取值

9、范圍.,1 Q13. 已知X 0, y 0且- 一 1 ,求使不等式X y m恒成立的實數(shù)m的取值范圍。X y(三)基本不等式,0b Lb2題型五：求最值14. (直接用)求下列函數(shù)的值域(1) y=3 2 +秒15.(配湊項與系數(shù))5(1)已知X -,求函數(shù)y 4X4(2)當(dāng)上時，求y x(81 y 二 X +x21的最大值。4x 52x)的最大值。216.(耐克函數(shù)型)求y Z 70(x1)的值域。X 1注意：在應(yīng)用基本不等式求最值時，若遇等號取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性。17.18.(1)(2)(3)(用耐克函數(shù)單調(diào)性)(條件不等式)若實數(shù)滿足a b已知X 0,y 0，求函數(shù)y2 ,

10、則 3af (x) X XX2 5的值域。X243b的最小值是，求X y的最小值。2已知X，y為正實數(shù)，且X 2 +與1(4) 已知a, b為正實數(shù)，2b+ ab+ a= 30,求函數(shù)y =亦 的最小值題型六：利用基本不等式證明不等式19. 已知a,b,c為兩兩不相等的實數(shù)，求證：a2b2 c2ab bc Ga20. 正數(shù) a, b, C 滿足 a+ b+ C = 1,求證：(1 a)(1 b)(1 C) 8abc11121. 已知 a、b、C R ,且 a b C 1。求證：1-1-18abC已知實系數(shù)一元二次方程X2 (1 a)x a b 1 0的兩個實根為 x1、x2 ,并且24.0 x

11、1 2, X2 2 則R的取值范圍是a 1X 03x 4y 425. 已知,y滿足約束條件：y 0,則2 y2 2x的最小值是x 2y 3026. 已知變量XIy滿足約束條件x 3y 3 0.若目標(biāo)函數(shù)Z ax y (其中a>0)僅在點y 10(3, 0)處取得最大值，則a的取值范圍為。XIy0題型七：均值定理實際應(yīng)用問題:27.已知實數(shù)x, y滿足y 1，y 2x 1,如果目標(biāo)函數(shù)Z X y的最小值為1 ,則實數(shù)m等Xy m題型八：目標(biāo)函數(shù)求最值22.某工廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200吊的三級污水處理池(平面圖如圖)，如果池外圈周壁建造單價為每米 400元，中間兩條隔墻建設(shè)計污

12、水池的長和寬，使總造價最低，并求出最低造價。28.某餅店制作的豆沙月餅每個成本 35元，售價50元；鳳梨月餅每個成本20元，售(四)線性規(guī)劃價30元。現(xiàn)在要將這兩種月餅裝成一盒，個數(shù)不超過10個，售價不超過350元,筑單價為每米248元，池底建造單價為每平方米 80元，池壁的厚度忽略不計，試題型九：實際問題問豆沙月餅與鳳梨月餅各放幾個，可使利潤最大？又利潤最大為多少?2x y23.滿足不等式組7x y3080 ,求目標(biāo)函數(shù)k3x y的最大值復(fù)習(xí)一一不等式的基本知識參考答案高中數(shù)學(xué)必修內(nèi)容練習(xí)-不等式1) > 0當(dāng)a0時，a(x- )( X-1) V0；當(dāng)av0時，原不等式等價于(X a-

13、)(Xa1.；2. Pq ；3. 當(dāng) O X 1 或 X 4 時，1 + log3 > 2log x2 ；當(dāng) 1 X -時，1 + og3 V 2log X 2 ；當(dāng)334X 時，1 + log X 3 2og X 234. / a b 1 1 ；g a 0,lg b 0 Q (Iga Igb) lg a lg b P2a b； 1_ _ _R lg( ) lg , ab lg ab Q R>OP02 25. x X 1 或 X 2；不等式的解集為XX誡X -；a當(dāng)0vav 1時，1V-,不等式的解集為x1 Xa當(dāng)a> 1時,當(dāng)a 1時,10.11. m12. 解:(2)0

14、X V 46.( 1,1)U(2,3)；7.不等式 ax2 bx 12 0 的解集為x-1 VXV2,則 a=_-6, b=_68. ( , 1) (2,)9.解：當(dāng)a 0時，不等式的解集為XX 1 ； 2分-V 1,不等式的解集為X1 X 1aa不等式的解為 2 13x 21(1) y3x 2 +£?1當(dāng) X > 0 時，y XX1 X X2；1當(dāng) XV0 時， y X +_ = -(- X-_ ) - XX值域為(-,- 2 2，+13.(I)解：X 5,15 4x 0 , y 4x 2 -10分12分值域為,6 , +1X = 2X4x32 35 4x4x 5當(dāng)且僅當(dāng)5

15、4x,即X 1時，上式等號成立，故當(dāng)X 1時，ymax 1。5 4x所以，所求函數(shù)的值域為 -,227. 1j = (8-2x) =(8-2x)1(2j + 82JT16.(條件不等式)當(dāng)U -,即X = 2時取等號 當(dāng)X = 2時,x(8 2x)的最大值為&(1) 解：3a和3b都是正數(shù),3a 3b 2 3a 3b2 3a b 614.解析一:當(dāng)3a 3b時等號成立,2及3a3b 得 a b1即當(dāng)a b 1時,3a3b的最小值是6.(當(dāng)且僅當(dāng)X = 1時取“=”號)。(2)解:1016解析二：本題看似無法運用基本不等式，可先換元，令t=x + 1,化簡原式在分離求最值。當(dāng)且僅當(dāng)丄X9

16、x時，上式等號成立，又V1 ,可得X4, V 12 時,Vmin 16當(dāng),即 t = : + 1 時，y2t 4 59 (當(dāng)t=2即X= 1時取“=”號)(3) 解:1 + V 22盲15.解：令 X2 4 t(t 2),則 V X5×r72)F面將x,2 + V2分別看成兩個因式:1不在區(qū)間2,故等號不成立，考慮單調(diào)性。22丄VX +三因為y t 1在區(qū)間1,單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間2,為單調(diào)遞增函數(shù)，故t5y 2。（4） 解：法a=30 2bb+ 1-30 2b ab =冇2 b 2+ 30bb+ 1證明：a、b、C R , a b C 10-1b_Caa a由 a>0 得

17、，0vbv15上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得=b+1, 1 vt V16, ab=-2t2+ 34t 31t8。當(dāng)且僅當(dāng)a1時取等號。320.解:200若設(shè)污水池長為X米，則寬為工（米）ab 18當(dāng)且僅當(dāng)t = 4,即b= 3, a=6時，等號成立。21.2瓷+2水池外圈周壁長：工（米）法二：由已知得：30 ab= a+ 2bv a+ 2b2 2 ab/. 30 ab2 2 ab令 U= aJ貝U u2 + 2 /2 u 300, 5 ,2 u 3 '222.2 200中間隔墻長：J （米）23.ab 3 2 , ab 18,池底面積：200 （米2）24.2rry=40C(2+L-)+24g-2÷8O×20O = SOCz-)+160C目標(biāo)函數(shù)：'b222,c為兩兩不相等的實數(shù)，求證： a b G ab bc Ga18.正數(shù) a, b, C 滿足 a+ b+ C = 1,求證：(1 a)(1 b)(1 C) 8abcIII19.已知 a、b、C R ,且 a b C 1。求證：1- 1- 18a b