1、魔方格二次函數面積問題相關試題(困難)一、解答題1、如圖1,二次函數y=-x2+bx+c的圖象過點A(3,0),B(0,4)兩點，動點P從A出發，在線段AB上沿A“B的方向以每秒2個單位長度的速度運動，過點P作PEUy于點D,交拋物線于點C.設運動時間為t(秒).(1)求二次函數y=-x2+bx+c的表達式；(2)連接BC當t=W時，求BCP勺面積；(3)如圖2,動點P從A出發時，動點Q同時從O出發，在線段OA±7古0-A的方向以1個單位長度的速度運動.當點P與B重合時，P、Q兩點同時停止運動，連接DQPQ將DPQfi直線PC折疊得到DPE在運動過程中，設DPE和OAE®合

2、部分白面積為S,直接寫出S與t的函數關系及t的取值范圍.2、如圖，二次函數y=a/+bx(aW0)的圖象經過點(1,4),對稱軸是直線x=-,線段AD平行于x軸，交拋物線于點D.在y軸上取一點C(0,2),直線AC交拋物線于點B,連結OAOB,ODBD.(1)求該二次函數的解析式；點B坐標(2)求坐標平面內使4EO&4AOB的點E的坐標；(3)設點F是BD的中點，點P是線段DO上的動點，問PD為何值時，將BPF沿邊PF翻折，使BPF與4DPF重疊部分的面積是BDP的面積的占?試卷第1/23頁魔方格3、已知：如圖，直線y=mx+n與拋物線=，/十石芯-匚交于點A(1,0)和點B,與拋物線

3、的對稱軸x=-2交于點C(-2,4),直線f過拋物線與x軸的另一個交點D且與x軸垂直.,.一1.(1)求直線y=mx+n和拋物線卜=產"十石瓦十匚的解析式；(2)在直線f上是否存在點P,使。P與直線y=mx+n和直線x=-2都相切.若存在,求出圓心P的坐標，若不存在，請說明理由；(3)在線段AB上有一個動點M(不與點AB重合)，過點M作x軸的垂線交拋與y軸交于點C,與x軸交于點AB,點A在原點的左側，點B的坐標為(3,0),1OBOCtan/ACO=.(1)求這個二次函數的解析式;試卷第2/23頁魔方格(2)若平行于x軸的直線與該拋物線交于點MN,且以MM直徑白圓與x軸相切，求該圓的

4、半徑長度；(3)如圖2,若點G(2,y)是該拋物線上一點，點P是直線AG下方的拋物線上的一動點，當點P運動到什么位置時，AGP勺面積最大？求此時點P的坐標和AGP勺最大面積.5、如圖1,二次函數y=ax2+bx+c(a>0)的圖象的頂點為D點，與y軸交于C點,小F小M(1)求這個二次函數的表達式.與x軸交于A、B兩點，B點的坐標為(3,0),OB=OCtanZACO=.(2)經過GD兩點的直線，與x軸交于點E,求點E的坐標.(3)平行于x軸的直線與拋物線交于MN兩點，且以MNfe直徑白圓與x軸相切,求圓的半徑.(4)如圖2,若點G(2,y)是該拋物線上一點，點P是直線AG下方的拋物線上一

5、動點，當點P運動到什么位置時，APG勺面積最大？求出此時P點的坐標和APGB最大面積.6、如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A坐標為(8,0),點B在y軸的正半軸41上，且cot/OAB=,拋物線y=-mx2+bx+c經過A、B兩點.(1)求b、c的值；(2)過點B作CBLOB交這個拋物線于點C,以點C為圓心，CB為半徑長的圓記作圓C,以點A為圓心，r為半徑長的圓記作圓A.若圓C與圓A外切，求r的值;試卷第3/23頁魔方格(3)若點D在這個拋物線上，AOB勺面積是OBE®積的8倍，求點D的坐標.7、如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(1,4)，點B在x軸的負半軸上，/ABO=30

6、.(1)求過點AOB的拋物線的解析式；(2)在(1)中拋物線的對稱軸上是否存在點C,使AC+OC勺值最小？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由；(3)在(1)中x軸下方的拋物線上是否存在一點P,過點P作x軸的垂線，交直線AB于點D,線段ODffizAOB分成兩個三角形.使其中一個三角形面積與四邊形BPOM積比為2:3?若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.8、如圖，頂點為A(-4,4)的二次函數圖象經過原點(0,0),點P在該圖象上,OP交其對稱軸l于點M點MN關于點A對稱，連接PN,ON(1)求該二次函數的表達式；(2)若點P的坐標是(-6,3),求OPN勺面積；(3)當點P

7、在對稱軸l左側的二次函數圖象上運動時，請解答下面問題:求證：/PNM=ONM若OPNJ直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標.試卷第4/23頁魔方格9、如圖，拋物線y=ax2+bx+c的頂點為C(1,4),交x軸于點A(3,0),B兩點,交y軸于點D.(1)求點R點D的坐標；(2)判斷ACD勺形狀，并求出ACD的面積；(3)請探究拋物線上是否存在除點C以外的點E,使得4ADE與4ACD的面積相等?若存在，請求出此時點E的坐標；若不存在，請說明理由.試卷第5/23頁魔方格二次函數面積問題相關試題(困難)的答案和解析一、解答題1、答案：試題分析：(1)直接將A、B兩點的坐標代入列方程組解出

8、即可；(2)如圖1,要想求BCP的面積，必須求對應的底和高，即PC和BR先求OD再求BDPC是利用點P和點C的橫坐標求出，要注意符號；(3)分兩種情況討論：八DPEI全在OAEfr時，即當0&t&裝時，如圖2所示，重合部分的面積為S就是4DPE的面積；DPE有一部分在OAB中時，當蔣<t<2.5時，如圖4所示，PDNB是重合部分的面積S.J崢試題解析：cLz2/oea圖3自：_.解得3,一次函數y=-x+bx+c的表達式為:(2)如圖1,當t=1時，AP=2t,.PC/x軸，OB_AB-ODdF，4_5_QD汽，一SrS5|4-OD-5-5x6-3,當y-g時，1-

9、x2+1x+4,3x2-5x-8-0,/sx1-1,x2-q,C(-1,3),(1)把A(3,0),B(0,4)代入y-x2+bx+c中y-x2+|x+4;試卷第6/23頁魔方格BDPDOB則PD=2BCP-11Q=*XPOBD=X3X=4;-Z3（3）如圖3,當點E在AB上時，由（2）得OD=QM=ME=EQ=-,由折疊得：EQLPD則EQ/y軸.EQAQOBOA?16f.二:,15仁行，同理得：PD=3-,.當0&t0意時，S=SPDQ=1XPDX8rX(3-y)x虧,BoQ4C24S=-§t2+Tt；當招<t<2.5時,如圖4,P'D'6/=

10、3-點Q與點E關于直線P'C'對稱，則Q（t,0）、E（t,16f5AB的解析式為:D'E的解析式為:y=-x+4,8.8y=x+t,15f則父點N（一/,2411S=&PUN=XP'D'X一,一出、zFN=X（3-5）（試卷第7/23頁魔方格S唱2-蜀率2、答案：(1)y=；r2+3x,B(-2,-2)點E的坐標是(8,-2)或(2,-8)(3)PD=VW或PD=32試題分析：(1)運用待定系數法和對稱軸的關系式求出a、b的即可，由待定系數法求出直線AC的解析式，由拋物線的解析式構成方程組就可以求出B點的坐標；(2)由相似三角形的性質及旋轉的性

11、質就可以得出E的坐標；(3)分情況討論當點B落在FD的左下方，點B,D重合，點B落在OD的右上方，由三角形的面積公式和菱形的性質的運用就可以求出結論.解：(1)y=as2+bx(a*0)的圖象經過點A(1,4),且對稱軸是直線x=-|,Ia+5=4fr32a2二次函數的解析式為y=7+3x； 點A(1,4),線段AD平行于x軸, .D的縱坐標為4, .4=+3x,.=-4：勺=1, .D(-4,4).設直線AC的解析式為y=kx+b,由題意，得二產解得:二;，y=2x+2;當2x+2=7+3x時，解得：-=-2,-i=1(舍去)'''y=-2. .B(-2,-2).(2

12、)如圖1試卷第8/23頁魔方格.DO*BO=V2,BD=2vIiy,OA=/TT.I。1=32,二。1=8三:。=40,+”=十.BDM直角三角形.,.EODoAAOB/cODO£46c ./EOD=AOB_5=京=2,丁./AOB/AOD=EOD/AOD ./BOD=AOE=90.即把AO啜著O點順時針旋轉90°,O哈在OD上B',OAg在OE±A1A1（4,-1）,.E（8,-2）.作AAO聯于x軸的對稱圖形，所得點E的坐標為（2,-8）.當點E的坐標是（8,-2）或（2,-8）時，zEO。AAOB（3）由（2）知DO=4/2,BO=V2,BD=2IC

13、T,/BOD=90.若翻折后，點B落在FD的左下方，如圖2.試卷第9/23頁魔方格S占"P=3SBDP=%EPF=S£DHF=SdR*HF, .DH=HFB'H=PH 在平行四邊形B'FPD中，PD=BF=BF=iBD=/10;若翻折后，點B,D重合，S/JFP二,不合題意，舍去.若翻折后，點B落在OD的右上方,如圖3,S豆FP=，6以DP+§以PF=SSaDPF=S-R'PE=S11DHF=S匕皂'HP .B'P=BPB'F=BFDH=HPB'H=HF一四邊形DFPB是平行四邊形， .B'P=DF=

14、BF .B'P=BP=BF=BF 四邊形B'FBP是菱形， .FD=BP=BP=BD=v，10,根據勾股定理，得OP2+OB2=BP.(46PP)2+(2v)2=|(V1O)2,試卷第10/23頁魔方格解得PD=/,PD=5>4通(舍去),綜上所述，PD、,宣或PD=3/2時，將BPF沿邊PF翻折，使BPF與4DPF重疊部分的面積是BDP的面積的.3、答案：試題分析：(1)利用待定系數法可以求出直線y=mx+n的解析式；在解二次函數的解析式時，可由其對稱軸方程求出b的值，再代入A點的坐標可以求出c的值.(2)此題需要從圖形入手，顯然在直線AB的上下方各有一個符合條件的P點

15、，那么可以將圖形進行簡化(如解答部分的圖示)，在簡化的圖形中，iEiF0ZXPEF且PESAADF圓的半徑可由直線f和直線x=-2的距離得出(即PEPiEi的長)，ADFD的長不難得到，那么由相似三角形即可求出PF的長，進而能求出PDPiD的長，由此求出圓心的坐標.(3)點B的坐標不難求出，根據直線AB和拋物線的解析式，可以先用一個未知數表達出點MN的坐標，以MNfe底，A、B點的橫坐標差的絕對值為高(也可將ABN成兩個三角形來分析)，即可得到關于ABN的面積和未知數的函數解析式，根據函數的性質求解即可.試題解析：(1)將A(1,0)、C(-2,4)代入直線y=mx+n>:%=41(_4

16、m解得：<II3故直線解析式為：y=17.將A(1,0)代入拋物線V二鏟一取十。及對稱軸為直線x=-2得:解得:故拋物線解析式為:(2)存在.如圖1,圖形簡化為圖2試卷第11/23頁魔方格圖L直線f解析式：x=-5,故圓半徑易得PESAADFzPEgAPEf1；其中PE=PEi=R=3AD=6FD=8PiF=PF在RtADF中，由勾股定理得：AF=1Q由普:基得：PF=5.綜上可得存在點P的坐標為（-5,13）或（-5,3）(3)如圖3:聯立直線與拋物線解析式得:解得交點B的坐標：（-9,4設點M（q,-亨q+父）,1245、N(q,q+sq-3)，所以：MN=(-gq+；)-(1q2+

17、1q-1)=-1q2-jq+3=-j(q+4)試卷第12/23頁12S魔方格S>AAB=S/AMN+SIaBM=-MN?上當q=-4時，Saabn有最大值腎；此時：MN號.4、答案:試題分析：(1)由點B的坐標為(3,0),OB=OC即可求得點tan/ACO=,即可求得點A的坐標，然后設兩點式y=a(x+1)A百MN?bE=MN(AF+B&=5MN=|(q+4)C的坐標，又由(x-3),將點C代入,即可求得這個二次函數的解析式；(2)分別從當直線MNftx軸上方時與當直線MNftx軸下方時去分析，然后由所求圓的圓心在拋物線的對稱軸x=1上，即可求得點的坐標，又由點在二次函數的圖象

18、上，即可求得該圓的半徑長度；(3)首先過點P作y軸的平行線與AG交于點Q,然后求得點G的坐與直線AG得方程,然后由S>AAGF=SAPQ+SGPCF7PQ?(G橫坐標A橫坐標)，利用二次函數的最值問題，即可求得此時點P的坐標和AGP勺最大面積.試題解析：(1)由OC=OB=3可知點C坐標是(0,-3),連接AC在RtAAOOt,0-4I.tan/ACOpr,_1. .OA=OCtan/ACO=3g=1,故A(-1,0),(3分)設這個二次函數的表達式為：y=a(x+1)(x-3),將C(0,-3)代入得：-3=a(0+1)(0-3),解得：a=1,丁這個二次函數的表達式為：y=(x+1)

19、(x-3)=x2-2x-3.(5分)(2)當直線MNftx軸上方時，設所求圓的半徑為R(R>0),設M在N的左側，;所求圓的圓心在拋物線的對稱軸x=1上， N(R+1,R)代入y=x2-2x-3中得：R=(R+1)2-2(R+1)-3,解得R上£1(10分)當直線MNtex軸下方時，設所求圓的半徑為r(r>0),由可知N(r+1,-r),代入拋物線方程y=x2-2x-3，可得-r=(r+1)2-2(r+1)-3,解得：=等.(13分)(3)過點P作y軸的平行線與AG交于點Q,把G(2,y)代入拋物線的解析式y=x2-2x-3,得G(2,-3).(15分)試卷第13/23頁

20、魔方格1?由A(-1,0)可得直線AG的方程為：y=-x-1,(16分)設P(x,x2-2x-3)，則Q(x,-x-1),1、227(20分)(18分).PQ=x2+x+2,Saag=Saapq+SagpctPQ?（G橫坐標-A橫坐標）=q（-x+x+2）x3=-Z當x=E時，APG的面積最大，（19分）11527此時P點的坐標為（亍，-；）,4APG的面積最大值為v.'nJ5、答案:試題分析：（1）求二次函數的表達式，需要求出ARC三點坐標.已知B點坐標，且OB=OC可知C（0,3）,tan/ACO=,則點A坐標為（-1,0）.將A,B,C三點坐標代入關系式，可求得二次函數的表達式.

21、（2）已知拋物線關系式，先求出頂點D坐標，再求出直線CD的解析式，E是直線與x軸交點，可得E點坐標.（3）分情況討論，當圓在x軸上方時，根據題意可知，圓心必定在拋物線的對稱軸上，設圓半徑為r,則N的坐標為（r+1,r）,將其代入拋物線解析式，可求出r的值.當圓在x軸的下方時，方法同上，只是N的坐標變為（r+1,-r）,代入拋物線解析式即可求解.（4）G在拋物線上，代入解析式求出G點坐標，設點P的坐標為（x,y）,即（x,x2-2x-3）已知點A、G坐標，可求出線段AG的長度，以及直線AG的解析式，再根據點到直線的距離求出P到直線的距離，即為三角形AGP勺高，從而用x表示出三角形的面積，然后求當

22、面積最大時x的值.試題解析：（1）由已知得：C（0,-3）,A（-1,0）將A、BC三點的坐標代入得歲一計亡09日的*±=。1，7門=1解得：&=-2,二一3所以這個二次函數的表達式為：y=x2-2x-3.試卷第14/23頁魔方格易得D(1,-4),所以直線CD的解析式為：y=-x-3,故E點的坐標為(-3,0).(3)如圖，當直線MNftx軸上方時，設圓的半徑為R(R>0),則N(R+1,R),代入拋物線的表達式y=x2-2x-3,解得R上小當直線MNtex軸下方時，設圓的半徑為r(r>0),則N(r+1,-r),代入拋物線的表達式y=x2-2x-3,解得=7上

23、.故圓的半徑為匕產或土產.(4)過點P作y軸的平行線與AG交于點Q,易得G(2,-3)，直線AG為y=-x-1.設P(x,x2-2x-3),則Q(x,-x-1),PQ=-x2+x+2.(-x2+x+2)X31-2寸，AAPG的面積最大1is27此時P點的坐標為(”j)，Saapg的最大值為下6、答案：試題分析：(1)根據點A的坐標求出OA再求出OB然后寫出點B的坐標，再把點A試卷第15/23頁魔方格B的坐標代入拋物線解析式求解即可；(2)先求出點C的坐標，再求出CB再利用兩點間的距離公式求出AC然后根據兩圓外切的定義列式求解即可得到r；(3)先求出AOB勺面積，再求出OBD勺面積，然后求出點D

24、到OB的距離，再根據拋物線解析式求解即可.試題解析：(1)A(8,0),.OA=8x/cacM4.cot/OAB=-=t, .OB=6 點B在y軸正半軸上， 點B的坐標為(0,6),4,解得4；c6(2)由(1)得拋物線解析式為y=-：x2+；x+6,.CBLOB點B(0,6),點C的坐標為(5,6), .CB=5AC=(8-5)o-6)2=33 圓C與圓A外切, .CB+r=AC.r=35-5;(3) vOA=8OB=6.111 SAAOb=-OA?OB=x8X6=24, AOB勺面積是OBD0積的8倍，SAOB=卜24=3, 點D在這個拋物線上，可設點D的坐標為(x,-：x2+；x+6),

25、1.SAOB=nX|x|XOB=3x=±1,魔方格當x=1時，-1x2+7X+6=-1X12+tX1+6=7,4444當x=-1時，-：x2+*6=-：x(-1)2+；x(-1)+6=|,所以，點D的坐標為(1,7)或(-1,當.7、答案：試題分析：(1)過點A作AFx軸于點F,構建直角ABF通過解該直角三角形易得點B的坐標，則該函數圖象經過點B和原點，故利用兩點式來求函數解析式即可.(2)過點A作AF垂直于x軸于點F,拋物線的對稱軸x=-1交x軸于點E.當點C位于對稱軸與線段AB的交點時，AC+OCJ值最小.利用相似三角形BC94BAF的性質來求CE的長度，則易得點C的坐標;(3)

26、如圖2,連結AQ設p(x,y),易求直線AB的解析式.由該解析式可以求得相關線段的長度，結合已知條件中所給圖形面積間的比例關系和三角形的面積公式得到關于x的方程，通過解方程求得點P的坐標即可.試題解析:(1)過點A作AFL軸于點F,/ABO=30,A的坐標為(1,6)，,BF=3.OF=1BO=2.B(-2,0).設拋物線的解析式為y=ax(x+2),代入點A(1,。)，得江二辛,(2)存在點C過點A作AF垂直于x軸于點F,拋物線的對稱軸x=-1交x軸于點E.當點C位于對稱軸與線段AB的交點時，AC+OC勺值最小.BCPABAF魔方格C(-1,(3)存在.(“0),則如圖2,連結AQ圖:J：“

27、口解得2k+b0,設p(x,y),直線AB為ykx+b直線AB為y二號54，S二空3四邊形BPOIXi=-三，X2=1(舍去).=Sbpo+Sbo=三IOB|yp|+-|OB|yD|=|yp|+|y-I-d|郭醇-我卻寸.n2J3又.SABOD="-X+-,3=3-sA5OZ)整理，得2x2+5x+2=0,xi=-2,X2=-2.P(-2,0),不符合題意.存在，點P坐標是(-三,試卷第18/23頁魔方格8、答案:試題分析：(1)根據二次函數圖象的頂點設出二次函數的關系式，再很據二次函數圖象經過原點，求出a的值，即可得出二次函數的關系式；(2)設直線OP的解析式為y=kx,將A點代入

28、，求出直線OP的解析式，再把x=-4代入y=-1x,求出M的坐標，根據點MN關于點P對稱，求出N的坐標，從而得出MN的長，再根據三角形的面積公式即可得出答案.(3)設對稱軸l交x軸于點B,彳PC11于點C,由P在二次函數圖象上，設P(九一9-2。,再由O的坐標，表示出直線OP的解析式，進而表示出MN及H的坐標,設對稱軸l交x軸于點B,彳PC，于點C,構建相似三角形：NC即ANBO由相似三角形的對應角相等證得結論；OPNtt為直角三角形，理由為：分三種情況考慮：若/ONF%直角，由得到/PNM=ONM=45,可得出三角形ACNJ等腰直角三角形，得到PC=CN將表示出的PC及CN代入，得到關于m的

29、方程，求出方程的解得到m的值為0或4土以，進而得到此時A與P重合，不合題意，故/ON不能為直角；若/PONJ直角，利用勾股定理得至ijoP+oN=pN,由P的坐標，利用勾股定理表示出OP,由OB及BN,利用勾股定理表示出ON,由PC及CN利用勾股定理表示出PN,代入OP+ON=PN,得到關于m的方程,求出方程的解得到m的值為4±4或0,然后判斷/PON否為直角；若/NPOXJ直角,則有PM2ABMOABON由相似得比例，將各自的值代入得到關于m的方程，求出方程的解得到m的值為4,此時A與P重合，故/NPO¥能為直角，綜上，點P在對稱軸l左側的二次函數圖象上運動時，OPN能為

30、直角三角形.表達式為y=a(x+4)2+4,把點(0,0)代入表達式，解得卜=v.1門二次函數的表達式為F=耳4,r_12即f_q工f；(2)設直線OP為y=kx(kw0),試卷第19/23頁魔方格將P(-6,3)代入y=kx,解得上=-1 .Ff當x=-4時，y=2. .M(-4,2). 點MN關于點A對稱, .NJ(-4,6). .MN=4SPO=SOMN+SkPM=12；一17一(3)證明：設點P的坐標為小丁一加其中t<-4,設直線OP為y=k'x(k'w0),將P(LT5-4代入y=k'x,解得,_什8 yr.當x=-4時，y=t+8. .M(-4,t+8

31、).AN=AM=4(t+8)=-t-4.設對稱軸l交x軸于點B,彳PCI1于點C,1?則B(-4,0),CL4,-r-2?>. .OB=4NB=4+(-t-4)=-t,PC=-4-t,NC=l6J-2e)=¥f.一斗一,W_NB-PCOB-空二士iOB44-又./NCP=NBO=90,.NCDANBO./PNM=ONMOPNtt為直角三角形，理由如下：分三種情況考慮：(i)若/ONF%直角，由得：/PNM=ONM=45,.PCNJ等腰直角三角形， .CP=NC即m-4=：n2-m,整理得：m-8m+16=0,即(m-4)2=0,試卷第20/23頁魔方格解得：m=4此時點A與點P

32、重合，故不存在P點使OPM直角三角形；(ii)若/POM直角，根據勾股定理得：OP+O咨PN,.OP=m+(-；m-2m)2,ON=42+m,aN=(m-4)2+(-；m2m+m2,m2+(-?n2-2m)2+42+n2=(m-4)2+(-1m-2m+m2,整理得：m(m-8m-16)=0,解得：m=0g£m=-4-4值或-4+4JI(舍去),當m=0時，P點與原點重合，故/POM能為直角，當m=-4-4J2,即P(-4-4至，4)時，N為第四象限點，成立，故/PONtt為直角;(iii)若/NPOJ直角，可得/NPM=OBM=90,且/PMN=BMO.PMNABMO又./MPN=OBN=90,且/PNM=OND.PMABON.PMABMO"ON四儂日口包OBNB=即4帆，整理得：(m-4)2=0,解得：m=4此時A與P重合，故/NPN能為直角，綜上，