1、Chap01 函數、極限與連續函數、極限與連續 不介紹、不需要掌握的內容不介紹、不需要掌握的內容:P17 雙曲函數雙曲函數_雙曲正弦雙曲正弦,雙曲余弦雙曲余弦,雙曲正切雙曲正切; P19 反雙曲函數反雙曲函數_.;P55 柯西柯西Cauchy收斂準則收斂準則;P72 一致連續性一致連續性.Chap01 函數、極限與連續函數、極限與連續 重點內容重點內容:極限定義極限定義,極限運算法則極限運算法則,極限存在準則極限存在準則,兩個重要極限兩個重要極限, 等價無窮小量等價無窮小量;2. 函數的連續性函數的連續性,連續函數的運算連續函數的運算,閉區間上連閉區間上連續函數的性質續函數的性質.難點難點:極

2、限存在準則極限存在準則,等價無窮小量的使用等價無窮小量的使用;函數的間斷點函數的間斷點,閉區間上連續函數性質的應用閉區間上連續函數性質的應用. 今日講課內容今日講課內容: 數列極限定義數列極限定義 函數極限定義函數極限定義長假后講課內容長假后講課內容: 極限運算法則極限運算法則 極限存在準則極限存在準則 兩個重要極限兩個重要極限 概念的引入概念的引入二二. . 數列極限的概數列極限的概念念三三. . 數列極限的性數列極限的性質質數列的極限數列的極限1. 如何用漸近的方法求圓的面積如何用漸近的方法求圓的面積A？ 用圓內接正多邊形的面積近似圓的面積用圓內接正多邊形的面積近似圓的面積A.A1 A2

3、A3 A1表示圓內接正表示圓內接正6邊形面積邊形面積,A2表示圓內接正表示圓內接正12邊形面積邊形面積,A3表示圓內接正表示圓內接正24邊形面積邊形面積,An表示圓內接正表示圓內接正62n-1邊形面積邊形面積, , 顯然顯然n越大越大, An越接近于越接近于A. 因而因而, 需要考慮當需要考慮當n時時, An的變化趨勢的變化趨勢. 一、概念的引入一、概念的引入劉徽割圓術：劉徽割圓術：“割之彌細，所失彌割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體不可割，則與圓周合體而無所失矣而無所失矣” 劉徽劉徽1213 23 2sinnnnAR 劉劉徽徽 | |牟牟合合方方蓋蓋

4、4VV:球球牟牟2. 2. 曲邊三角形的面積問題：曲邊三角形的面積問題：與割圓問題與割圓問題 同樣的是同樣的是 曲邊曲邊 三角形的三角形的 面積面積 A 如如何計算？何計算？11o oxy2yx我們通常的做法是我們通常的做法是:將區間將區間0,1 n 等份等份,用小用小矩形的面積來近似地表示小曲邊梯形的面積矩形的面積來近似地表示小曲邊梯形的面積.niniinnnnn nnnnninnnnn nnnnn222231322223131112(1)(1)(21)111(1)(2)66112(1)(21)111(1)(2)66 不足近不足近似似(橘橘色部分色部分)過剩近過剩近似似(橘色橘色 加藍色加藍

5、色 部分部分)可以看到，隨著可以看到，隨著 n 的不斷增大，不足近似的不斷增大，不足近似不斷增加，過剩近似不斷減少，越來越接不斷增加，過剩近似不斷減少，越來越接近于所要求的曲邊三角形面積近于所要求的曲邊三角形面積 A 的真值。的真值。1111(1)(2),631111(1)(2).63nnAnnAnn 3. 3. 截杖問題：截杖問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭一尺之棰，日截其半，萬世不竭”;211 X第一天截下的杖長為第一天截下的杖長為;212122 X為為第二天截下的杖長總和第二天截下的杖長總和;2121212nnXn 天截下的杖長總和為天截下的杖長總和為第第nnX211 1定義定義:按

6、自然數按自然數, 3 , 2 , 1編號依次排列的一列數編號依次排列的一列數 ,21nxxx (1)稱為稱為無窮數列無窮數列,簡稱簡稱數列數列.其中的每個數稱為數其中的每個數稱為數列的列的項項,nx稱為稱為通項通項(一般項一般項).數列數列(1)記為記為nx.例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n數數列列注意：注意： 數列對應著數軸上一個點列數列對應著數軸上一個點列.可看作一動可看作一動點在數軸上依次取點在數軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn

7、 2, 22, 222 , 問問題題當當 無限增大時無限增大時, 是否無限接近于某一是否無限接近于某一確定的數值確定的數值?如果是如果是,如何確定如何確定?nxn問題問題:當當 無限增大時無限增大時, 是否無限接近于某一是否無限接近于某一確定的數值確定的數值?如果是如果是,如何確定如何確定?nxn1( 1),11.nnnxn 例例如如，當當無無限限增增大大時時無無限限接接近近于于問題問題: “無限接近意味著什么無限接近意味著什么?如何用數學語言如何用數學語言刻劃它刻劃它. 1nxnnn11)1(1 二二. 數列極限的定義數列極限的定義nnnnnxnxnxnNx22233344410 ,10,1

8、10 ,10 ,10,110 ,10 ,10,110 ,10,1. 給給定定只只要要時時 有有給給定定只只要要時時 有有給給定定只只要要時時 有有給給定定只只要要 時時有有成成立立定義定義 1 如果對于任意給定的正數如果對于任意給定的正數 ( (不論它多么不論它多么小小),),總存在正數總存在正數N, ,使得對于使得對于Nn 時的一切時的一切nx, ,不等式不等式 axn都成立都成立, ,那末就稱常數那末就稱常數 a是數是數列列nx的極限的極限, ,或者稱數列或者稱數列nx收斂于收斂于 a, ,記為記為 ,limaxnn 或或).( naxn 如果數列沒有極限如果數列沒有極限,就說數列是發散的

9、就說數列是發散的.x1x2x2 Nx1 Nx3x幾何解釋幾何解釋: 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外個個至多只有至多只有只有有限個只有有限個內內都落在都落在所有的點所有的點時時當當NaaxNnn :定義定義N 其中其中;:每每一一個個或或任任給給的的 .:至少有一個或存在至少有一個或存在 ., 0, 0lim axNnNaxnnn恒有恒有時時使使數列收斂的表述數列收斂的表述用邏輯符號用邏輯符號: lim0,0,.,.nnnxaNnforNxaone of allexisryteve Greek alphabet : Eepsil n 1( 1)111110,1,nnnnxnnxnn

10、 ，任任給給要要只只要要或或例例1. 1)1(lim1 nnnn證證明明證證所以所以,1111( 1),1( 1)111( 1)1,lim1.1nnnnnNnNnnnnnNn 取取則則當當時時 就就有有即即用定義證數列極限存在時用定義證數列極限存在時,關鍵是對任意給定關鍵是對任意給定 的的 尋找尋找N., 0 例例2. 1, 0lim qqnn其中其中證明證明nnnnnqqqxqnqnqNq0,limlim00;01,0,0,lnlnln ,lnln.ln 分分析析 若若則則若若任任給給要要使使得得則則 可可取取qnnnnnnNnqnnqqqqqNqnNqqqqqqlnloglnlim0,1.

11、0,limlim00;ln01,0,ln,0lim0. 證證明明 其其中中證證 若若則則若若任任給給取取則則當當時時 有有例例3.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求求證證且且設設證證nnnnnnnnnmmnnxaNnNxaxaxaxaxaaxaxaam0,lim,lim.,.,lim 任任給給使使得得當當時時 恒恒有有 故故同同理理 對對于于給給定定的的Z Z注意：注意：1.,;2.,;nnxaxaNnNn 不不等等式式取取值值的的任任意意性性刻刻劃劃了了與與 的的無無限限接接近近與與任任意意給給定定的的正正數數 有有關關 而而刻刻劃劃了了 的的無無限限增增大大3. 改變或去掉數

12、列的有限項改變或去掉數列的有限項, 不影響數不影響數列的收斂性和極限列的收斂性和極限. 重排不改變數列斂重排不改變數列斂散性散性. * * 數列發散的表述數列發散的表述用邏輯符號用邏輯符號: : nnnnnnxxaNnNxaxNnNxaa00000000(1)lim0,;(2),0,. 數數列列發發散散有有數數列列發發散散有有Z ZZ Znnnnxxa114( 1).( 1) 例例 證證明明數數列列是是發發散散的的數數列列不不以以任任何何實實數數 為為極極限限三三. 數列極限的性質數列極限的性質1.有界性有界性定義定義: 對數列對數列nx, 若存在正數若存在正數M, 使得一切自使得一切自然數然

13、數n, 恒有恒有Mxn 成立成立, 則稱數列則稱數列nx有界有界,否則否則, 稱為無界稱為無界.例如例如,;1 nnxn數列數列.2nnx 數數列列數數軸軸上上對對應應于于有有界界數數列列的的點點nx都都落落在在閉閉區區間間,MM 上上.有界有界無界無界定理定理1 1 收斂的數列必定有界收斂的數列必定有界. .證證,limaxnn 設設由定義由定義, 1 取取, 1, axNnNn時時恒恒有有使使得得當當則則. 11 axan即即有有,1,1,max1 aaxxMN記記,Mxnn 皆有皆有則對一切自然數則對一切自然數 .有界有界故故nx注意：有界性是數列收斂的必要條件注意：有界性是數列收斂的必

14、要條件.推論推論 無界數列必定發散無界數列必定發散. .2.唯一性唯一性定理定理2 2 收斂的數列極限唯一。收斂的數列極限唯一。 112212lim,lim,0,;,;max,()()2.nnnnnnnnnnxaxbNnNxaNnNxbNNNnN abxbxaxbxaab 證證 設設又又由由定定義義有有有有取取上上式式僅僅當當時時才才能能成成立立 定理定理2 2 收斂的數列極限唯一。收斂的數列極限唯一。證證 法二法二,lim,limbxaxnnnn 又又設設 112212,0,2lim0,2lim0,2max,22,nnnnnnnnnnabababxaNnNxaabxaxbNnNxbabxba

15、babnNNNxxab 0 000000 000000 0假假設設不不妨妨設設則則可可取取對對于于對對矛矛盾盾！ 于于則則當當時時 應應有有同同時時成成立立. .3#.子數列的收斂性子數列的收斂性 的子數列（或子列）的子數列（或子列）的一個數列稱為原數列的一個數列稱為原數列到到中的先后次序，這樣得中的先后次序，這樣得這些項在原數列這些項在原數列保持保持中任意抽取無限多項并中任意抽取無限多項并定義：在數列定義：在數列nnnxxx,21nixxxx,21knnnxxx ,.kkknnnnkkxxkxxnnk 在在子子數數列列中中 一一般般項項是是第第項項而而在在原原數數列列中中卻卻是是第第項項 顯

16、顯然然注意：注意：例如，例如，定理定理3 3 收斂數列的任一子數列也收斂，且極限收斂數列的任一子數列也收斂，且極限相同。相同。證明從略。證明從略。其實這個結論就是其實這個結論就是 從一般到特殊的必然。從一般到特殊的必然。例例4.)1(1是是發發散散的的證證明明數數列列 nnx證證 nx的的不不同同的的子子列列極極限限值值不不相相等等. .小結小結數列數列: :研究其取值規律，變化趨勢。研究其取值規律，變化趨勢。數列極限數列極限: :極限思想、精確定義、幾何意義極限思想、精確定義、幾何意義; ;收斂數列的性質收斂數列的性質: :有界性、唯一性、子數列的收斂性有界性、唯一性、子數列的收斂性. .2

17、222222222225.lim1.1,.()0,nnannanannnaaannnnanaN 例例 求求證證分分析析只只要要證證明明 任任給給我我們們可可取取則則22222222222220.0,1,()lim1.naaNnanannNnnaaanannannan 證證明明 不不妨妨設設取取則則當當時時即即nnanannnanaannN222211lim1.,. 求求證證分分析析 只只要要的的取取值值顯顯然然只只要要二二合合適適夠夠用用即即可可法法nnnnQaan1:0,lim?lim? nnnnnnnnnnaaahahahnhnaaanaaannaNnNaa6.lim1.(1)1,1,0.

18、(1)11(1),11.0,111,1,1,lim1. 例例 求求證證證證明明 記記則則由由得得 要要只只要要或或取取則則當當時時即即適當放大適當放大例例7 求數列求數列 的極限。的極限。分析分析nn nnnnnnnnnnnnnnanh hnnhnhC hC hahnnNannn22222221,0(1)111,2111,12201,11222,1,11 記 要使得 即只要故可取 nnnnnnnnnnnnnnnnnNanh hnnhnhC hC hahannanNnnN2222221,0(1)111,22111,0111222011111.20,1,21lim 證證明明 記記 nnnnnnnn

19、nnnNnNnnnnnnnnnnN211211122221,040,011112241,2221 法法二二 練習題練習題3. , |limlimaaaannnn 反之是否成立反之是否成立?nnExnNnNnnnnnnnnnnn313.1(2).lim;2120,313.21231311,2122(21)41111,1,.44,.4 分分析析 要要找找使使當當時時有有只只要要即即可可當當然然即即也也可可也也nnnnnExnNnNnnnnnnn nn nnnn!.1(3).lim0 ;0,!0.!1 2(1)1,11,. 分分析析 要要找找使使當當時時有有只只要要即即可可也也 nnnnnmnmmmmaExnaannaNnNnnaammamaaaaaaanmnmmnaanmnm11|.1(4).lim0 .!1|1,0,0,!11,0;!|1,|,|1,|0!1!|1|,.!1 2| 求求證證 證證明明 當當時時可可取取有有當當時時 記記則則所所以以只只要要使使得得成成立立即即可可1111