1、8振動的測量8.1 前言有的時候，一些微小的、不顯著的振動，會與結構，或者結構的某一部分產生共振，從而將振動放大。共振也會發生在人的身上，人體的自振頻率大概為7.5Hz,因此次聲（20Hz）會對人體造成傷害。所以說，對于結構來說，利用合適的裝置或者設計來減小這樣的共振是非常有必要的。那么，想要研究如何減小共振，我們首先要知道將要發生的振動的參數。想要知道這些參數，我們就需要一些儀器來測量，這些儀器就是我們這章要了解的。首先來看一下一些概念。在結構工程中常常進行運動量（位移、速度或加速度）的測量，例如地震動時程的測量；振動臺試驗中結構模型的動力反應的測量；脈動作用下結構物的振動的測量；大橋、超高

2、層結構風振的測量等。用于測量振動量的儀器（拾振儀）主要有三種：加速度位移計：測量加速度的時程（強震儀）。位移計：測量位移時程（地震儀）。速度計：測量速度。8.2 理論8.2.1 運動方程的建立D'Alembert原理：在質點系的運動的任意瞬間，如果除了實際作用于每一質點的主動力和約束反力外，再加上假想的慣性力，則在該瞬間質點系將處于假想的平衡狀態，稱之為動力平衡狀態。記？?？粉?？粉別為質點？所受的主動力、慣性力和約束反力，則D'Alembert原理可表示為?+?=0通常主動力？泡括外荷載、阻尼力和彈性恢復力。上圖質量塊m所受的主動力為?=?-c?-?慣性力為?=-?由于該體系

3、是約束反力不做功的理想約束體系，故列運動方程時僅考慮運動方向上的受力，此時的約束反力是沒有的。將上面兩式代入D'AlemberO（理表達式，有?+c?+?=?/?當然，建立運動方程的方法有多種，除了上面介紹的D'Alembert理之外，還有虛位移原理、Hamilton原理和Lagrange方程，這四種方法對建立運動方程是完全等同的，可以推得完全相同的運動方程。8.2.2 Fourier變化法（頻域分析法）最簡單的測量儀器模型是一單自由度彈簧-質點-阻尼體系，被封閉在一個剛性盒子里面,如圖所示單自由度體系運動方程為:其中:c=2?=?%則（1）式可以寫為:?(2)?+2?夕？+?

4、孑？=-?使用傅里葉變換法（之后補上介紹），正變換，把問題從時間域（自變量為t）轉變到頻域（自變量為？，可得:，？2?+?+?2?=?，？?(3)?=?2=?(4)?2?',1-工+?2?-?7?彳?21-?-?2?彳2+2?212?2?(5)?=告£三。M3wzq工302.520?:?為復頻反應函數，也叫傳遞函數。相角PrcQuencratio(J?)0000.50«*-,0t70g=】-t)0-?的含義，在動力荷載作用下，有阻尼?(6)一一，一?卜面給出了訴?與？關于頻率比的圖像:體系的動力反應（位移、速度、加速度）一定要滯后動力荷載一段時間，即存在反應滯后現象

5、。相角？校際是反映結構體系位移相對于動力荷載的反應滯后時間，從下圖可以發現，頻率比越大，即外荷載作用的越快，動力反應的滯后時間越長。補充：傅立葉變換Fourier變換的定義為oo?=?,?的?？-正變換?=12?oo?-?-逆變換-8其中，？稱為位移？勺Fourier譜。根據Fourier變換的性質，速度和加速度的Fourier變換為?>?簞野-8OO?笑?？-?2?q?-OO8.3振動測量儀器8.3.1 加速度計（強震儀）加速度計測量的是加速度，在基底加速度作用下儀器質點的運動方程為式（1）:?+c?+?=-?/？實際要測量的加速度運動時程是任意變化的，包含在一定的頻段分布的一系列簡諧

6、分量,我們可以先分析儀器對一個簡諧分量的測量。儀器基底加速度時程:?=?e?(7)為簡諧運動，其中？?為地面運動加速度的振幅。帶入上式，可得儀器質點的相對位移？的?01?=五sin?1-(?初22+2?況2?=-萬?)sin?(8)下面僅討論？勺振幅?=市?加?(9)作為一種測量儀器，其測量的對象的單位可以不同，但一定要成比例。由上式可知，儀器記錄值？與被測量的地面加速度值之間的關系變化由動力放大系數?決定，而動力放大系數？?是由？勺函數，觀察不同阻尼比時動力放大系數曲線圖(下圖)可以發現，當？N0.7時，在頻段0W?W0.5范圍內，？?=1為常數?？?Qfq再tn相率比制/，oE.SJ虜34

7、324ro.o.ao.o.在'OL0.0.即在以上的頻段范圍內，儀器反應的振幅？，或者說是對于不同的簡諧運動，儀器的記錄與儀器要測量的加速的振幅成線性關系。這時可以用儀器反應？來度量要測量的加速的。為了保證加速的不同簡諧分量的頻率？?TB滿足0w?W0.5,可以采用提高？?5痢方法來實現，因為？?=赤，一般情況下，質量？環變，可以采用提高加速度計中的彈簧剛度？的方法來實現提高？?)甥目的。因此，加速度計或強震儀中的彈簧剛度比較大，儀器是比較剛性的。8.3.2 位移計(地震儀)位移計是用來測量儀器基底的位移量，設任意一個簡諧位移為其中？齊為地面運動位移振幅,將？?=-?2?)?動方程式(

8、1),解得儀器的相對位移反應為:?=?另?-?)?=?2?)?(11)相對位移反應的振幅為:與加速度計的原理相同,?2?=?)?(12)?我們希望在所測量的振動頻率范圍內，對于不同的頻率分量均有？和？?)之間的比例系數？?2?接近常量。下圖給出了？?2?獨頻率？電變化的曲線。由圖可以看出，當阻尼比？?=0.5時，在頻率范圍？?>1時，？7P?2?獗近于常數，因此可以用位移計來測量頻率范圍在?>?)擷段范圍內的位移量。為了保證被測位移的頻率滿足?>?r?可通過降低儀器自振頻率？?甥方法來實現。實際中采取降低彈簧剛度？或者增大質量？硒方法來實現。因此，位移計一般都是比較柔的。第十

9、章反應譜10.1 前言地震動引起地面的運動，并通過地面的運動，是結構也產生振動。因此，在地震中，結構上所受的荷載是由于其支座的運動而產生的。地面的運動有三個平動分量和三個轉動分量，但是由于測量水平的限制，轉動分量很難測得，而平動的分量可以由加速度計測得。相對于平動分量來說，轉動分量很小，因此在對結構進行抗震分析的時候，轉動分量忽略不計。對一個結構來說，在彈性范圍內，它的響應是由于地面的一個平動分量產生的，對于一個結構體系來說，就是這些分量的和。由于結構的自振頻率是未知的，在設計的時候需要多次迭代才能求出來。所以，結構設計者就需要反應譜的幫助了。10.2 傅立葉譜將振動的信號（或任意變化的函數）

10、分解為簡諧振動（三角函數）的過程稱為傅里葉分解。得到振幅和相位隨頻率變化的關系稱為傅里葉譜，包括振幅譜和相位譜，統稱為頻譜，完成分解的運算稱為傅立葉變化。傅里葉譜全面描述了地震動過程的頻譜特征，包括了各頻率分量的相位及幅值信息。因此，從兩個傅里葉譜可以反推出地震動的時程，而功率譜和反應譜則不行。傅立葉譜是復數，由實部和虛部組成，他的模稱為幅值譜，幅角為相位譜。oo?=?/?(13)-OO假設地面運動的加速度在？?(0?利，則上式可以變為叫?=?(14)00則強震下傅立葉振幅譜和相位譜可以用下式定義?2?2?=?+?(15)00?"?(16)AC-?=_?010.3 反應譜單自由度體系

11、在給定的地震作用下某個最大反應與體系自振周期的關系曲線稱為該反應的地震反應譜。反盛講不問自振周期的握了揮板子刑京反肉及最火值各標大值，索子冏期走系t氏胸譜)10.3.1 Duhamel積分(1)單位脈沖反應函數單位脈沖：作用時間很短，沖量等于1的荷載，實際上就是數學中的特殊函數一？函數。?函數的定義為?(17)OO.2?=0,其他oo?10?(18)在?=?時刻一個單位脈沖?=?乍用在單自由度體系上，使結構的質點獲得一個單位沖量，在脈沖結束后，質點獲得一個初速度，即?=?1?(19)當？?0時,1?=一?由于脈沖作用時間很短，當？A0時，由單位脈沖引起質點的位移為零，即?=0求體系在單位脈沖下

12、的反應，即是求解單位脈沖作用后的自由振動問題。將初始條件?=?和？?？=0代入單自由度體系自由振動（低阻尼體系）一般解式?=?*?0?+?0+?梆劭?需?？?(20)?3?所以有阻尼體系單位脈沖反應函數為?=?=?少?？?-?乂？>?(21)?（2）對任意荷載的反應我們可以把荷載分解為一系列脈沖,獲得每一個脈沖下結構的反應，最后疊加得到結構的總反應。如果已經將作用于結構體系的外荷載?離散成一系列脈沖，首先計算其中任一脈沖?動力反應。則該脈沖下結構的反應為?=?,?>?(22)在任意時間？結構的反應，就是在？之前所有脈沖作用下的反應之和為?=?=0將（21）式代入上式，可以求解阻尼體

13、系動力反應的?0Duhamel積分公式?(23)1?=?'?»?一?(?(24)?0'?其中？?）?=?1-?為阻尼體系的自振頻率。10.3.2 反應譜法前面介紹了一些結構動力反應分析的方法，可以對結構地震反應問題展開分析計算。當地震動較小時，結構處于線彈性范圍，可以采用時域的Duhamel積分法，或頻域的Fourier變換方法獲得地震下結構的反應，并根據得到的結構最大變形最大內力進行抗震設計。當地震動較強時，結構反應可能進入塑性，需要用到時域逐步積分法進行彈塑性反應分析。我們僅討論結構線彈性地震反應問題，采用Duhamel積分法介紹地震反應譜。地震作用的特點是地震動

14、過程非常復雜，隨時間不規則、快速變化。設地震加速度時程為？?？?，其特點為：第一階段，振幅快速增長；第二階段，相對穩定；第三階段，震蕩衰減。地震作用下結構的運動方程為?+c?+?=-?彳？地震等效荷載為？私?？=-?寄(?，應用Duhamel積分，結構地震的位移反應為-1?=?(?(25)?0觀察上式可以發現，對于給定的地震動？?，結構的地震反應僅與結構的阻尼比？和自振頻率？?，有關。換句話說，對于大小尺寸不同的結構，當結構阻尼比和自振頻率相同時，對同一個地震的反應完全相同。當阻尼比較小時，？'=?)?,則結構地震反應式可以簡化為/?-1?=-?一?(?(26)?0則最大位移反應為：1

15、?=?=?夕?初？?-?(?(27)?rrrrrr?質點相對于地面的速度為：?=?,?0?:?-?”？?？?？?0?“+?/?-?(?(28)?3?0一，''則質點相對于地面的最大速度反應為:?=?=?-?-?儂?0?(29)?2?+?？?29?-?-?(?,?3?0在實際工程中，我們比較看重的是結構的絕對加速度?+?«?,從單指點體系的在地震作用下的運動方程可以知道:?+?=-2?-?%?+?-?(?(30)?3?0'''將上面求得的？?、？?(弋入上式：?,?-?磔？?0?:?-?(?(31)?+?=2?)?初？?-?”？砥？?02?-為?

16、濟+?由于低阻尼體系，？?"?方則上式可以簡化為?+?=?-?(?(32)0則點相對于地面的最大加速度反應為：?2=?+?名？=?o?2?夕?？?-?(33)?QQQQQQ?0?瓶加速度反應譜絕利加速度反&譜范ia度計等公式£a二一2的41一網等國尼無阻尼足一者相同行出尼時K獨L速竊戒若恒小于枷加逋度反山名，莊喇月時運相差異并砌縣.總配的比較郵品：蔭種反應篇的蛆旗盛都酒回尼增大而域M且炭應港的波動星優變化劇烈性，隨阻尼比的喝大而落低工速度仲稔最大的.過度為零.此時芽漁,值上一片相等結應自內商用隨讀T的鷺心尺后史居不國阻尼比之叮BT差異IfflSfMHn到長周MS段展

17、本重合.隨葡T的電大，地對加速度反史諾不同明圮比之間的墓具還年窿h在TTf左右接近先零.而到了洛的攔病期殷這獨差早又開始智大,最后趨于平簇.并目島明尼的反廖80密尼的反府酒才r.T<4s笆運.固期理，兩種反亞國的加瘠色鄱硒足增大而減小以上，我們求得了？、?>?他們具有如下關系?=?3北?=?%?當阻尼比給定時，結構對任一地震的最大相對位移反應、最大相對速度和最大絕對加速度反應僅由？?)?夬定。工程中，一般習慣采用結構的自振周期？?=2?代替圓頻率，因而工程譜中使用的反應譜一般以自振周期為自變量。ELCFNTRO型O(NE劭一二笨兔2002B=A/必0絕對加速度譜度米/秒相對速度反譜

18、位移反應譜10.3.3 影響地震反應譜的因素影響地震反應譜的因素有兩點，一是體系阻尼比，二是地震動。(1)體系阻尼比體系阻尼比越大，地震反應譜加速度反應越小，地震反應譜值也越小。(2)地震動不同的地震動將會有不同的地震反應譜，大家都知道地震動特性的三要素：振幅、頻譜、持時。振幅越大，地震反應譜值越大，但是地震動振幅僅對地震反應譜值有影響，且呈線性比例關系。地面運動的各種頻率與加速度幅值的對應關系場地越軟，地震震中距越大，地震反應譜峰值對應的周期也越長。所以說，地震動頻譜對地震反應譜的形狀有影響。持時對地震反應譜影響不大。10.3.4 地震反應譜的特點(1)阻尼比對反應譜影響很大，不僅能降低結構

19、反應的幅值，而且可以削平不少峰值，使反應譜曲線變得平緩。(2)對于加速度反應譜，當結構的周期小于某個值時，幅值隨周期急劇增大，大于某個值時，快速下降，當?>3?時，加速度反應譜值下降緩慢。(3)對于速度反應譜，當結構周期小于某個值時幅值隨周期增大，隨后趨于常數。(4)對于位移反應譜，幅值隨周期增大。(5)土質條件對反應譜形狀有很大的影響，土質越松軟，地震反應譜峰值對應的周期也越長。小結：結構的最大地震反應，對于高頻結構來說，主要取決于地面運動的加速度；對于中頻結構來說，主要取決于地面運動的最大速度；對于低頻結構來說，只要取決于地面運動的最大位移。10.3.5設計反應譜地震反應譜直接用于結

20、構的抗震設計有一定的困難,所以需要有專門的可供結構抗震設計用的反應譜，我們稱之為設計反應譜。?一?=?=?一也?？?=?(33)?(1)地震系數？?=?可以將地震動振幅對地震反應譜的影響分離出來。基本烈度fl789地震系散k優0511.10(0.15)0.20(0.30)040烈度每增加一度，地震系數大致增加一倍。(2)體系最大加速度的放大系數?=2?1?2?浮?0?-?(33)?那么，對于給定的加速度記錄9?和結構白阻尼比？那么可以用上式計算出對應不同的結構自振周期？?勺動力系數？?直。?2。=?+?2。？=?o?2?-?(?(34)?QQQQQQ?0?對比兩個公式，可以看出，地面最大加速度

21、？?？寸于給定的地震是一個常數，所以？?-?的曲線形式與擬加速度反應譜的曲線的形狀是完全一致的，只是縱坐標的數值不同。？?-?釉線的縱坐標為善，而擬加速度反應譜的縱坐標是？?0?n?回顧一下，地震反應譜是現階段計算地震作用的基礎，通過反應譜把隨時程變化的地震作用轉化為等效側向力。對于單自由度體系，把慣性力看作反映地震對結構體系影響的等效力，用它對結構進行抗震驗算。?=?=?=?=?(35)?=?水平地震影響系數。上面講過，？0?勺曲線形式與擬加速度反應譜的曲線的形狀是完全一致的，只是縱坐?。?一?標的數值不同，由于對于給定的地震(或者設防烈度)，地震系數？為常數，所以呢，？?勺曲線形式與擬加速度反應譜的曲線的形狀是完全一致的，其縱坐標為但是，由于地震的隨機性，同一地點、相同地震烈度的前后兩次地震記錄的地面運動加速度曲線時程？我？?也有很大不