1、數(shù)學(xué)教學(xué)論終極筆記1、中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（現(xiàn)在叫課程標(biāo)準(zhǔn)）：是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的綱領(lǐng)性文件。它是根據(jù)國家科技、經(jīng)濟(jì)和教育事業(yè)發(fā)展的需要對中學(xué)數(shù)學(xué)提出的要求,根據(jù)數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)及發(fā)展的需要，根據(jù)學(xué)生在不同階段的認(rèn)識水平和心理特征，在總結(jié)、吸收國內(nèi)外數(shù)學(xué)教育的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)的基礎(chǔ)上，反復(fù)研究和論證而制定出的。我國的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱由國家頒發(fā)，全國統(tǒng)一施行。2、中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目的：是指通過中學(xué)數(shù)學(xué)教育，學(xué)生在數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、數(shù)學(xué)能力、個性發(fā)展、思想情操等方面所應(yīng)達(dá)到的目標(biāo)。3、原始概念：不能引用別的概念來定義，且又用來定義其它概念的概念,就叫做原始概念。4、確定中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目的的依據(jù)(1)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目的

2、要依據(jù)黨的教育總目標(biāo)及普通中學(xué)的性質(zhì)和任務(wù)來確定。確定學(xué)科教學(xué)的目的，必須服從于國家辦教育的總方計(jì),即把青少年培養(yǎng)成為什么樣的人，才能適應(yīng)社會的需要。普通中學(xué)的教育是屬于基礎(chǔ)教育的性質(zhì),是幫助受教育者打下文化知識基礎(chǔ)和做好生活準(zhǔn)備的教育。普通中學(xué)的性質(zhì)和任務(wù)決定了中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)傳授給學(xué)生的是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本的技能技巧和思想品德教育及美育。(2)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目的要依據(jù)數(shù)學(xué)的的特點(diǎn)來確定。數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是：內(nèi)容的抽象性、應(yīng)用的廣泛性、推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和結(jié)淪的明確性。雖然數(shù)學(xué)概念與結(jié)論都表現(xiàn)為高度的抽象形式，但它們的形成與發(fā)現(xiàn)以及對結(jié)論的證明都要運(yùn)用到一系列邏輯思維的形式和方法，所以，數(shù)學(xué)自身就具有向?qū)W生進(jìn)

3、行思維訓(xùn)練、發(fā)展學(xué)生邏輯思維能力的功能。在從具體事物中抽象出數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)抽象過程中，可以培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力。同時數(shù)學(xué)也是發(fā)展學(xué)生觀察力、注意力、記憶力和想象力的理性材料。數(shù)學(xué)研究的內(nèi)容必然涉及對事物形狀、大小、位置關(guān)系的想象，因此，數(shù)學(xué)可以培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力。（3）中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)目的要依據(jù)中學(xué)生地學(xué)習(xí)基礎(chǔ)年齡特征和認(rèn)識水平來確定。學(xué)生在中學(xué)階段的學(xué)習(xí)以小學(xué)階段的學(xué)習(xí)為基礎(chǔ)，同時也要為進(jìn)入高一級學(xué)校學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，所以確定中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目的時，應(yīng)注意數(shù)學(xué)知識、能力及學(xué)習(xí)方法與習(xí)慣等方面的銜接。中學(xué)生年齡特征是指青少年各年齡階段身心發(fā)展的不同特點(diǎn)。中學(xué)教育對象是青少年,他們正處在成長發(fā)育

4、時期,認(rèn)知能力與知識水平均沒有達(dá)到成熟階段,在理解能力上有局限性。數(shù)學(xué)教育與認(rèn)識過程有非常密切的關(guān)系，而思維是認(rèn)識過程的核心部分。從思維發(fā)展的特征來看,初中學(xué)生處在以形象思維為主的逐步向經(jīng)驗(yàn)型的抽象思維過渡階段，高中學(xué)生處在以經(jīng)驗(yàn)型為主的抽象思維向理論型抽象思維過渡階段,高二是思維的初步成熟期。因此,在確定教學(xué)目的時，必須從這些特點(diǎn)出發(fā)，抽象化程度太高的內(nèi)容與要求對中學(xué)生是不適合的。5、世界各國數(shù)學(xué)教育目的共同特點(diǎn)（1）注重?cái)?shù)學(xué)應(yīng)用 （2）重視問題解決 （3）注重?cái)?shù)學(xué)思想方法（4）注重?cái)?shù)學(xué)交流 （5）注重培養(yǎng)能力 （6）重視數(shù)學(xué)美育（7）注重培養(yǎng)自信心 （8）重視計(jì)算器和計(jì)算機(jī)的使用6、選擇中

5、學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的原則（1）社會作用的原則。隨著社會的發(fā)展,社會各領(lǐng)域都需要用到數(shù)學(xué)，這就要求數(shù)學(xué)課程選取的內(nèi)容是現(xiàn)代社會人們的生活、生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)普遍需要的數(shù)學(xué)知識。（2）與科學(xué)技術(shù)的發(fā)展相適應(yīng)的原則。科學(xué)技術(shù)越發(fā)展，應(yīng)用數(shù)學(xué)的程度就越高。高科技本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)，人們通過數(shù)學(xué)才能更好地掌握科學(xué)技術(shù)?？萍紝θ瞬诺臄?shù)學(xué)素質(zhì)的需要必然要反映到數(shù)學(xué)教育中，特別地，反映到數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的取舍上，必定要刪去那些不能適應(yīng)科技發(fā)展需要的一些傳統(tǒng)內(nèi)容，增加近代或現(xiàn)代的知識，為學(xué)生提供應(yīng)用的工具、閱讀科技書籍的基礎(chǔ)以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)的需要。（3）基礎(chǔ)性原則?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)已有了相當(dāng)迅速的發(fā)展，知識量急劇增加,但其基本的內(nèi)

6、容是相對穩(wěn)定的，只有掌握了基本原理和基本概念,才能在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)更高深的知識。同時中學(xué)的教育是基礎(chǔ)教育,從這一性質(zhì)來看，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是為了提高社會公民的文化素質(zhì),使學(xué)生具備進(jìn)一步學(xué)習(xí)和參加生產(chǎn)勞動的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。(4)教育性原則。選取的教學(xué)內(nèi)容應(yīng)對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)能力以及形成辯證唯物主義世界觀和良好的個性品質(zhì)有重要作用。(5)可接受性與發(fā)展性相結(jié)合的原則。所選擇的教學(xué)內(nèi)容應(yīng)與學(xué)生的認(rèn)知水平和接受能力相適應(yīng),同時又要有利于最大限度地促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。(6)統(tǒng)一性與靈活性結(jié)合的原則。作為一個國家、一個地區(qū),對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容應(yīng)按教學(xué)目的的要求具有統(tǒng)一性,規(guī)定所有中學(xué)生都必須達(dá)到同一的基本要求，否則，

7、提高全民族的文化素質(zhì)和培養(yǎng)合格的建設(shè)人才等設(shè)想就會落空。同時，也要考慮到各地區(qū)之間的差異,各地生產(chǎn)、經(jīng)濟(jì)發(fā)展和文化教育發(fā)展的不平衡。(7)后繼作用與靈活性相結(jié)合的原則。指內(nèi)容的選擇要考慮學(xué)生進(jìn)一步深造和參加實(shí)際工作的需要，搞好中學(xué)與小學(xué)、大學(xué)、職業(yè)教育的銜接,注意數(shù)學(xué)學(xué)科自身內(nèi)容的銜接以及與其它課程教學(xué)內(nèi)容的銜接，以適應(yīng)不同階段、不同性質(zhì)、不同學(xué)科的需要,使它們在內(nèi)容上協(xié)調(diào)統(tǒng)一。(8)可行性原則。指選擇的內(nèi)容在中學(xué)教學(xué)計(jì)劃規(guī)定的時間和進(jìn)度的范圍內(nèi)，經(jīng)過絕大多數(shù)的學(xué)校、教師教學(xué)實(shí)踐的證明是可行的。選擇的內(nèi)容要與學(xué)生的認(rèn)識水平、接受能力,教師的知識水平、教學(xué)能力相適應(yīng)。7、教學(xué)內(nèi)容安排要符合的原則

8、（1）要符合學(xué)生的心理發(fā)展規(guī)律。遵照學(xué)生思維發(fā)展規(guī)律，在編排知識體系時，既不可割斷學(xué)生連續(xù)漸進(jìn)的思維方式，也不能顛倒思維發(fā)展階段的順序。對內(nèi)容的編排還要注意符合認(rèn)識規(guī)律，由淺入深，由易到難，由表及里，循序漸進(jìn),貫穿遷移的訓(xùn)練。要發(fā)揮非智力的心理因素的作用。（2）要符合數(shù)學(xué)知識的科學(xué)性和系統(tǒng)性應(yīng)以科學(xué)數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)及其內(nèi)涵的數(shù)學(xué)規(guī)律及思想方法為前提，以基本概念、基本原理為主線，展現(xiàn)數(shù)學(xué)感性材料、應(yīng)用材料與基礎(chǔ)知識的有機(jī)組成。（3）必須遵循理論聯(lián)系實(shí)際的原則理論結(jié)合實(shí)際，要求理論的建立依賴于實(shí)際，又要求已有的理論來解決實(shí)際問題，使原有的知識在學(xué)習(xí)中得以應(yīng)用和深化，使新的知識在原有知識的應(yīng)用中引伸。(

9、4)必須遵循聯(lián)系性和銜接性原則數(shù)學(xué)各分支之間具有廣泛的聯(lián)系，特別是數(shù)學(xué)思想方法的相互滲透。為使學(xué)生更好地理解所學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識,更全面靈活地掌握數(shù)學(xué)的基本思想和方法，教材體系必須揭示出知識間的相互聯(lián)系。內(nèi)容的安排還要注意數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、小學(xué)與初中、初中與高中、高中與大學(xué)學(xué)科知識的銜接。8、中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本內(nèi)容主要包括以下四個方面：（1）數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識：指符合中學(xué)培養(yǎng)目標(biāo)的數(shù)學(xué)科學(xué)中最本質(zhì)的、已定型的、科學(xué)的、系統(tǒng)的初步知識。數(shù)學(xué)思想和方法數(shù)學(xué)思想：指數(shù)學(xué)研究活動中解決問題的基本觀點(diǎn)和根本想法,它是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識。數(shù)學(xué)方法：指研究數(shù)學(xué)的手段和方式,它包括理論研究方法和數(shù)學(xué)理論應(yīng)用于實(shí)際的方

10、法。中學(xué)數(shù)學(xué)方法大體分為發(fā)現(xiàn)方法、邏輯方法和解題方法三類。發(fā)現(xiàn)方法是指發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)性質(zhì)、規(guī)律時常用的方法，如歸納方法、類比方法、猜想方法、聯(lián)想方法等等，但所得的結(jié)果還需進(jìn)行嚴(yán)格論證。邏輯方法是指通過概念、判斷、推理等邏輯程序進(jìn)行嚴(yán)格推理的證明方法，包括形式邏輯方法、數(shù)理邏輯方法和辯證邏輯方法。中學(xué)里主要學(xué)習(xí)形式邏輯方法,如比較法、分析法、綜合法、分析綜合法、歸納法、演繹法、反證法、同一法等。解題方法可分為通法與技巧性較強(qiáng)的巧法，如配方法、換元法、待定系數(shù)法、代入法、消元法、解析法、數(shù)形結(jié)合法、抽屜原則等等通法；如放縮法、錯位相消法、分裂項(xiàng)法、割補(bǔ)法等等巧法。數(shù)學(xué)語言和邏輯。數(shù)學(xué)中對概念的表述、定理

11、的邏輯推理和證明，對量、量的關(guān)系進(jìn)行比較和運(yùn)算等一系列的活動,都是在某種有規(guī)則的符號系統(tǒng)中進(jìn)行的，采用的是一套形式化的數(shù)學(xué)語言。這種數(shù)學(xué)語言的形式簡明扼要，表達(dá)內(nèi)容深刻、精確。技能、技巧。包括知識技能（如恒等變換、論證技能等）操作技能（如作圖、測量、使用計(jì)算工具等)和解題技能。9、教材體系：就是教學(xué)內(nèi)容安排所展現(xiàn)的知識的序列及各知識之間的相互聯(lián)系，是數(shù)學(xué)科學(xué)知識體系經(jīng)教學(xué)法加工而得到的學(xué)科知識體系。10、螺旋排列式：是針對學(xué)生的接受能力，按照繁簡、深淺、難易的不同程度，使一科教材的基本概念和基本原理分層次地重復(fù)出現(xiàn)、逐步擴(kuò)展螺旋上升的排列方式。11、直線排列式：是一科教材內(nèi)容采取環(huán)環(huán)相扣直線推

12、進(jìn)不予重復(fù)的排列方式。這種方式的優(yōu)點(diǎn)是能避免不必要的前后重復(fù)，節(jié)省時間，提高效率。12：過渡排列式是為跨入新學(xué)段和升入高年級的學(xué)生學(xué)好新知識、掌握新方法而適當(dāng)提前安排有關(guān)奠基內(nèi)容的排列方式。13、教學(xué)原則是指導(dǎo)教學(xué)活動的基本原理，是客觀教學(xué)規(guī)律的主觀反映，是所有教學(xué)規(guī)則的統(tǒng)一整體。14、教學(xué)原則與教學(xué)規(guī)律的聯(lián)系在于：科學(xué)的教學(xué)原則是教學(xué)規(guī)律的反映。我們的教學(xué)原則是根據(jù)不依人們的意志為轉(zhuǎn)移的客觀教學(xué)規(guī)律制定出來的。15、教學(xué)原則與教學(xué)規(guī)律的區(qū)別在于：教學(xué)規(guī)律是不依人們意志為轉(zhuǎn)移的客觀存在，是教學(xué)活動中內(nèi)在的本質(zhì)的必然的聯(lián)系。例如，復(fù)習(xí)教材就可以鞏固知識，這是一條教學(xué)規(guī)律，不管我們是否愿意遵循,它

13、都是客觀存在的。我們對教學(xué)規(guī)律只能發(fā)現(xiàn)、掌握和利用，決不能臆造和違背。然而，教學(xué)原則是由人們自己制定的，可能部分或者完全符合教學(xué)規(guī)律,也可能根本不符合教學(xué)規(guī)律。16、教學(xué)原則與教學(xué)規(guī)則的聯(lián)系在于：教學(xué)原則總是借助于一定的教學(xué)規(guī)則來實(shí)現(xiàn)的，沒有一定的教學(xué)規(guī)則，教學(xué)原則也就變成了a空洞的東西。17、教學(xué)原則與教學(xué)規(guī)則的區(qū)別在于：教學(xué)規(guī)則是教學(xué)原則的組成部分和具體細(xì)節(jié)，它的任務(wù)是闡明某一個教學(xué)原則的某一方面的指導(dǎo)原理。每一方面的每個教學(xué)原則都包括一系列具體的教學(xué)規(guī)則。18、數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性與數(shù)學(xué)教學(xué)的可行性相結(jié)合的原則（一）嚴(yán)謹(jǐn)性，是數(shù)學(xué)學(xué)科理論的基本特點(diǎn)之一。它要求數(shù)學(xué)概念必須嚴(yán)格地加以定義，即使

14、是那些最基本、最常用，而又不能按邏輯方法加以定義的原始概念,除了直觀地用語言描述之外，還要求用公理加以確定。它要求數(shù)學(xué)結(jié)論必須準(zhǔn)確地表述，數(shù)學(xué)推理、論證必須合乎邏輯地進(jìn)行，即使數(shù)學(xué)計(jì)算也要求無可爭辯。可以說，整個數(shù)學(xué)學(xué)科體系就是一個嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫿Y(jié)構(gòu)。我們這里提出的“數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性要求”，是指在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師安排教學(xué)內(nèi)容、講授數(shù)學(xué)知識時,應(yīng)該根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科理論的基本特點(diǎn)，使學(xué)生在理解、掌握、運(yùn)用這些知識時能滿足嚴(yán)謹(jǐn)性的要求。數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性和數(shù)學(xué)教學(xué)的可行性這對矛盾的雙方都是具有相對性的。其實(shí)，它們總是在“對立一統(tǒng)一”的不同層次的循環(huán)運(yùn)動中發(fā)展的。顯然，嚴(yán)謹(jǐn)性是矛盾的主要方面，因?yàn)樗菙?shù)學(xué)教學(xué)的

15、教學(xué)目的之一。因此，嚴(yán)謹(jǐn)性可以主導(dǎo)矛盾運(yùn)動的發(fā)展方向，只要抓住矛盾的主要方面,對嚴(yán)謹(jǐn)性要求加以適當(dāng)調(diào)整,做到保證數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的科學(xué)性,有利于發(fā)展學(xué)生邏輯思維能力，適應(yīng)學(xué)生現(xiàn)有知識和能力的水平，是可以形成嚴(yán)謹(jǐn)性要求與可行性相統(tǒng)一的良性循環(huán)的。即嚴(yán)謹(jǐn)性不斷提高，可行性也不斷增強(qiáng)。這樣才能發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生學(xué)習(xí)的自覺性和積極性。（二）數(shù)學(xué)學(xué)科嚴(yán)謹(jǐn)性與數(shù)學(xué)教學(xué)可行性相結(jié)合原則的貫徹（1）明確要求，謹(jǐn)慎處理?，F(xiàn)行教學(xué)大綱和教材對中學(xué)各部分?jǐn)?shù)學(xué)內(nèi)容在嚴(yán)謹(jǐn)性方面的具體要求，都有一定的反映。教師必須深入鉆研大綱、教材，明確各部分內(nèi)容對嚴(yán)謹(jǐn)性的要求程度,在教學(xué)中參照施行。不宜隨意提髙要求，也不宜降低要求。

16、尤其是對于那些鑒于中學(xué)生認(rèn)識發(fā)展的特征而降低了嚴(yán)謹(jǐn)性的內(nèi)容，或者說只有階段性的相對嚴(yán)謹(jǐn)性的內(nèi)容,教學(xué)處理必須謹(jǐn)慎,一定要設(shè)法向?qū)W生講清這些內(nèi)容還有欠缺，還有發(fā)展的必要，只是當(dāng)前尚未深入。比如，銳角三角函數(shù)的教學(xué)，開始是利用直角三角形的邊長之間的各種比給出，但是必須指出：銳角三角函數(shù)是隨角的改變而變化的變量，而且它的變化可以由相應(yīng)的線段之比來確定，決不能使學(xué)生誤認(rèn)為銳角三角函數(shù)只是邊長一定的直角三角形的兩邊之比。（2）從開始抓起，持之以恒。從初中一年級的數(shù)學(xué)教學(xué)開始，就應(yīng)當(dāng)在數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性方面提出明確的要求。首先要規(guī)范數(shù)學(xué)用語。數(shù)學(xué)概念也好，數(shù)學(xué)定理也好，不僅要懂得其內(nèi)涵，了解其外延，還要用規(guī)范的數(shù)

17、學(xué)術(shù)語或數(shù)學(xué)表達(dá)式表示出來。其次，數(shù)學(xué)命題的推導(dǎo)、數(shù)學(xué)算式的推演也要嚴(yán)格地使用數(shù)學(xué)語言。這種嚴(yán)謹(jǐn)性要求，隨著中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的發(fā)展，其標(biāo)準(zhǔn)也應(yīng)該逐步提高。因?yàn)?，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容越高深,抽象程度也越高,相應(yīng)地嚴(yán)謹(jǐn)性要求也越高。教師應(yīng)該采取適當(dāng)?shù)拇胧?，使學(xué)生盡快地適應(yīng)這種發(fā)展，以形成習(xí)慣。為此，教師應(yīng)該持之以恒，并以身作則。備課、講授、批改作業(yè)、課外輔導(dǎo)都應(yīng)該注意這方面的要求。（3）要求學(xué)生周密思考、言必有據(jù)。周密思考,就是要全面地思考,不要遺漏，從而體現(xiàn)嚴(yán)謹(jǐn)性。但是，要養(yǎng)成這種習(xí)慣，必須經(jīng)過嚴(yán)格訓(xùn)練。言必有據(jù)，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的重要標(biāo)志之一，也是保障周密思考的有力的措施。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以結(jié)合典型

18、例題，強(qiáng)調(diào)“言必有據(jù)”。譬如，在幾何證明題中,要求學(xué)生在練習(xí)時,每一步推論都用括號注明其理由，以逐步養(yǎng)成言必有據(jù)的習(xí)慣。（4）改革中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容。數(shù)學(xué)教育工作者們普遍認(rèn)為，要想很好地解決嚴(yán)謹(jǐn)性與可行性的矛盾，促成這對矛盾形成良性循環(huán)，必須從早抓起。但是，歷來的中學(xué)數(shù)學(xué)教材在低年級階段,對嚴(yán)謹(jǐn)性要求太低,，而到高年級階段又從嚴(yán)要求，學(xué)生一時難以適應(yīng),教師也不易把握分寸。尤其是代數(shù)、幾何兩門課在低年級對嚴(yán)謹(jǐn)性的要求有很大的差異。如何改革中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，如何提出適度的嚴(yán)謹(jǐn)性要求的標(biāo)準(zhǔn)，如何處理那些不具備嚴(yán)謹(jǐn)性要求而又必須引用的數(shù)學(xué)知識，以維持教學(xué)可行性的問題等，是我們在貫徹?cái)?shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性與數(shù)學(xué)

19、教學(xué)可行性相結(jié)合原則時必須研究的課題。對此，必須加強(qiáng)探索和改革的力度。19、數(shù)學(xué)概念的抽象性與具體對象的直觀性相結(jié)合的原則（一）數(shù)學(xué)的抽象性，是數(shù)學(xué)學(xué)科理論的基本特點(diǎn)之一。本來現(xiàn)實(shí)世界的客觀對象是非常具體的。但是，數(shù)學(xué)是將客觀對象的所有其它特性拋開，而只提取其空間形式和數(shù)量關(guān)系進(jìn)行系統(tǒng)的、理論的研究。因此，數(shù)學(xué)具有比其它學(xué)科更顯著的抽象性。然而任何一個抽象的數(shù)學(xué)概念，在它形成的過程中，卻往往以大量的具體對象作為基礎(chǔ)，或者以一些相對具體的抽象概念作為基礎(chǔ)。抽象程度越高的數(shù)學(xué)概念，概括性越強(qiáng)，越是能代表更廣泛的具體對象共有的屬性。數(shù)學(xué)概念的抽象性與具體對象的直觀性是有聯(lián)系的，而且高度的抽象不是一下

20、子達(dá)到的，它需要一個從具體到抽象，又從相對具體到比較抽象的發(fā)展過程，這就是數(shù)學(xué)概念抽象的相對性。（二）數(shù)學(xué)概念的抽象性與具體對象的直觀性相結(jié)合的理論基礎(chǔ)由數(shù)學(xué)抽象的相對性與中學(xué)生抽象思維的局限性所決定。數(shù)學(xué)概念的抽象性與具體對象的直觀性是有聯(lián)系的，而且高度的抽象不是一下子達(dá)到的，它需要一個從具體到抽象，又從相對具體到比較抽象的發(fā)展過程，這就是數(shù)學(xué)概念抽象的相對性。另一方面，中學(xué)生尤其是低年級中學(xué)生對具體對象的直觀性有很強(qiáng)的依賴性，或者說中學(xué)生抽象思維有一定的局限性。事實(shí)上，引入比較抽象的概念時，往往需要從具體實(shí)例出發(fā)；若不舉出一定數(shù)量的實(shí)例，初一學(xué)生就連“相反方向的量”也不好接受；教學(xué)要從具體

21、對象入手，適時地上升為抽象理論,然后又及時地把它概括到更豐富、更廣泛的具體對象上去,學(xué)生就會逐漸突破其抽象思維不強(qiáng)的局限性,從而適應(yīng)數(shù)學(xué)概念的抽象性，并逐步提髙抽象思維的能力。由教學(xué)過程與認(rèn)識過程的共性和特殊規(guī)律所決定。教學(xué)過程就是學(xué)生認(rèn)識與掌握知識的過程，教學(xué)過程與認(rèn)識過程基本上是一致的，教學(xué)過程不過是前人對知識認(rèn)識過程的快速的、科學(xué)的重演。因此，教學(xué)過程必須以科學(xué)的認(rèn)識論為基礎(chǔ)。另一方面,教學(xué)過程也有與認(rèn)識過程相區(qū)別的特殊性。教學(xué)過程最主要的特點(diǎn)在于，它是傳授間接知識或書本知識的有效途徑。教學(xué)過程與認(rèn)識過程之間存在著間接知識與直接經(jīng)驗(yàn)的矛盾。為了解決這對矛盾,必須堅(jiān)持抽象與具體相結(jié)合的原則

22、，才可能使抽象的理論具體化，間接知識直接化,理論知識實(shí)際化。由人的兩種信號系統(tǒng)協(xié)同活動的規(guī)律所決定。所謂第一信號系統(tǒng),是以外界具體的對象、現(xiàn)象為客觀刺激物，直接作用于各種感覺器官，引起反射的系統(tǒng)，這是人與一般動物所共有的；所謂第二信號系統(tǒng)，是以語言作為剌激信號，引起神經(jīng)反射的系統(tǒng)，這是只有人類才有的。人的第一和第二信號系統(tǒng)永遠(yuǎn)是協(xié)同活動和相互作用的：第二信號系統(tǒng)是在第一信號系統(tǒng)的基礎(chǔ)上形成起來的，第一信號系統(tǒng)又經(jīng)常受第二信號系統(tǒng)支配和調(diào)節(jié)。另一方面，第二信號系統(tǒng)的言語又有直觀性要求的生理機(jī)制。言語直觀是通過教師有意識組織的言語來恢復(fù)學(xué)生大腦皮層中已建立的暫時聯(lián)系或喚起學(xué)生同時性、相似性和對比性

23、的聯(lián)想,并借此促使學(xué)生迅速地形成新的暫時聯(lián)系或開辟新的神經(jīng)通路。這便是抽象性與直觀性相結(jié)合的真諦之所在。第一、第二信號系統(tǒng)在不同年齡階段，還具有不同的發(fā)展特征和規(guī)律，這是我們正確地堅(jiān)持抽象與具體相結(jié)合原則的重要根據(jù)。（三）數(shù)學(xué)概念的抽象性與具體對象的直觀性相結(jié)合貫徹（1）直觀教學(xué)注意通過實(shí)物直觀、模型直觀、圖形直觀、言語直觀，以形成學(xué)生鮮明的表象，為他們掌握基礎(chǔ)理論提供必要的感性材料。這些感性知識越完善、越豐富，學(xué)生形成抽象的理性知識也就越順利、越牢固。直觀教學(xué)必須注意以下幾點(diǎn)：實(shí)物直觀、模型直觀、圖形直觀教學(xué)，要注意知識的系統(tǒng)性和理論的嚴(yán)謹(jǐn)性，以便把直觀得到的感性認(rèn)識提高到抽象的理論的水平；

24、直觀教具亮出的時機(jī)也要適當(dāng)，拿出教具后要引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、綜合、概括、抽象，不要在細(xì)節(jié)上分散了學(xué)生的注意力，要利于他們抓住本質(zhì)的數(shù)學(xué)特征。運(yùn)用言語直觀教學(xué)時，要為透徹地講授知識服務(wù)，為了讓學(xué)生更能準(zhǔn)確地理解教材的文字，不能濫用粗俗的習(xí)語，以免喧賓奪主，適得其反。言語直觀要照顧學(xué)生的年齡特征和知識水平，以他們已有的記憶表象為基礎(chǔ)，使其再現(xiàn)并重新組合，形成新的高層次的表象。要防止脫離學(xué)生經(jīng)驗(yàn)，單純追求言語的形象性。言語直觀要求教師語言通俗、有趣、易懂，并配以節(jié)奏感和鼓動性，富于啟發(fā)性和感染力,但切忌“八股調(diào)”和矯揉造作的手勢，以及各種語病。（2）數(shù)形結(jié)合可以根據(jù)數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合的方法

25、。這樣可以使較為抽象的數(shù)量關(guān)系通過直觀的幾何圖形將其性質(zhì)反映出來，使抽象的概念、關(guān)系得以直觀化、形象化,有利于分析、發(fā)現(xiàn)和理解它們。（3）注重觀察對于抽象的關(guān)系，還可以讓學(xué)生對一些具體的關(guān)系進(jìn)行觀察、比較、分析、歸納，逐步提高他們的抽象思維的能力。（4）重視教學(xué)手段改革運(yùn)用幻燈、投影儀、電視、電子計(jì)算機(jī)等先進(jìn)教學(xué)設(shè)備，加速教學(xué)手段現(xiàn)代化,也是貫徹抽象性與直觀性相結(jié)合教學(xué)原則的重要途徑。20、數(shù)學(xué)理論與實(shí)際問題相結(jié)合的原則（一）緊密聯(lián)系實(shí)際，講授概念、公式、原理、法則，加強(qiáng)理論基礎(chǔ)的教學(xué)。為了讓學(xué)生能真正理解、掌握基本理論知識，又必須聯(lián)系實(shí)際，從具體事物和現(xiàn)象入手。例如,引入有理數(shù)概念，尤其是正

26、、負(fù)數(shù)概念，可以結(jié)合“表示零上5度和零下5度的氣溫”、“表示東行10千米和西行10千米”等實(shí)際問題。將抽象的數(shù)學(xué)概念、定理與實(shí)際問題相結(jié)合地引入講授，一方面可以逐步培養(yǎng)學(xué)生抽象思維的能力，既體現(xiàn)了理論源于實(shí)踐，又符合認(rèn)識論的規(guī)律；另一方面可以向?qū)W生講明抽象的理論對實(shí)際問題的指導(dǎo)意義和應(yīng)用價值,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)理論的積極性，克服盲目死記硬背的弊端。緊密聯(lián)系實(shí)際，指導(dǎo)學(xué)生參加教學(xué)實(shí)踐和社會實(shí)踐，切實(shí)搞好基礎(chǔ)理論教學(xué)和基本技能訓(xùn)練。我們知道，數(shù)學(xué)學(xué)科知識是人們的主觀對客觀世界的反映，只有通過實(shí)踐這條聯(lián)系主觀與客觀的紐帶，才能使理論知識轉(zhuǎn)化為實(shí)際技能。在課堂上，教師在講授了必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識之后，可以

27、讓學(xué)生進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、制作等實(shí)踐活動，或者解答具有實(shí)際意義的問題。例如,講過平行線、異面直線等概念，可以讓學(xué)生在日常生活和周圍環(huán)境中尋找屬于這些概念的相應(yīng)的實(shí)際對象；講授了直角尺求圓直徑的方法后，可以讓學(xué)生自己動手自制一個直角尺，并實(shí)測幾個圓的直徑。解答具有實(shí)際意義的問題，能廣泛地用來引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)論與實(shí)際問題相結(jié)合。這類問題可以學(xué)?；蛏鐣鱾€方面。可以是真實(shí)的、具體的，也可以是模擬的，形式也是多樣的。不斷地改進(jìn)現(xiàn)有教學(xué)內(nèi)容和教科書，加強(qiáng)中學(xué)數(shù)學(xué)與實(shí)際的聯(lián)系。為了適應(yīng)社會進(jìn)步和科學(xué)發(fā)展，數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容必然要不斷地更新。例如，微積分初步、概率統(tǒng)計(jì)初步等納入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，是應(yīng)該堅(jiān)持、發(fā)揚(yáng)的重要舉

28、措；又如，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注意與其它學(xué)科的教學(xué)緊密配合?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法也要結(jié)合實(shí)際問題，編入中學(xué)數(shù)學(xué)教科書。現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中確實(shí)充實(shí)了不少現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容，其目的之一就是提高中學(xué)數(shù)學(xué)的實(shí)用性。所以講授這些內(nèi)容時，還必須注意加強(qiáng)這些內(nèi)容與實(shí)際問題的聯(lián)系，才能達(dá)到目的。例如，引入集合概念之后，就應(yīng)當(dāng)引用文氏圖來示意，并隨即用于解決一定數(shù)量的涉及集合之間關(guān)系的實(shí)際問題。（二）在貫徹?cái)?shù)學(xué)理論與實(shí)際問題相結(jié)合的原則時，必須注意以下幾個問題。（1）數(shù)學(xué)理論與實(shí)際問題相結(jié)合要從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，不要為了結(jié)合實(shí)際問題而結(jié)合實(shí)際問題。比如，有些數(shù)學(xué)理論學(xué)生早已熟練地掌握,教師就沒有必要一定讓學(xué)生到

29、實(shí)際中去觀察;而有些內(nèi)容是學(xué)生根本無法接觸到又難于理解的實(shí)際問題，教師也沒有必要硬講給學(xué)生聽。（2）數(shù)學(xué)理論與實(shí)際問題相結(jié)合要從數(shù)學(xué)學(xué)科的實(shí)際出發(fā)。數(shù)學(xué)理論有很強(qiáng)的邏輯性，構(gòu)成了獨(dú)立的系統(tǒng)，并不是每一章每一節(jié)每一個概念都可以聯(lián)系實(shí)際問題。比如，對數(shù)理論在計(jì)算上有實(shí)用性，但其概念本身卻不易結(jié)合實(shí)際問題。所以，教學(xué)內(nèi)容暫時不便結(jié)合實(shí)際問題時,不必勉強(qiáng)。（3）數(shù)學(xué)理論與實(shí)際問題相結(jié)合，是為了提高教學(xué)質(zhì)量，強(qiáng)調(diào)與實(shí)際問題相結(jié)合，并不等于忽視或削弱理論知識的講授。如果為了結(jié)合實(shí)際問題占用了大量的教學(xué)時間，而少講或不講系統(tǒng)的理論，那就不妥當(dāng)了。（4）貫徹?cái)?shù)學(xué)理論與實(shí)際問題相結(jié)合的原則，要求教師對數(shù)學(xué)知識及

30、其應(yīng)用都比較熟練，做到有目的、有計(jì)劃，胸中有數(shù)；教師所舉的實(shí)際問題應(yīng)該具有典型性、思想性、科學(xué)性、鮮明性和適當(dāng)性。否則，舉例不當(dāng)，講解不清，反而沖淡了理論的價值，降低了教學(xué)質(zhì)量。21、鞏固知識與發(fā)展能力相結(jié)合的原則（一）鞏固知識與發(fā)展能為相結(jié)合的意義。能力的發(fā)展,應(yīng)用是核心，應(yīng)用的熟練程度，標(biāo)志著能力的高低。顯然，這里的熟練程度又取決于知識的鞏固程度。所以，要想發(fā)展能力，必須先鞏固知識。應(yīng)用又是一個由認(rèn)識到行動的過程。在行動過程中，知識可以獲得確認(rèn)或檢驗(yàn),這不僅能鞏固已學(xué)的知識,甚至還能獲取新的知識?？梢?，應(yīng)用過程本身也是知識保持的過程。所以，要想獲取鞏固的知識，必須將知識付諸于應(yīng)用。鞏固知識

31、與發(fā)展能力之間具有這種相輔相成的依賴關(guān)系，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們倡導(dǎo)貫徹鞏固知識與發(fā)展能力相結(jié)合的原則（二）鞏固知識與發(fā)展能力相結(jié)合原則的貫徹遵循記憶的規(guī)律，鞏固所學(xué)的知識。通過加深理解，增強(qiáng)識記和保持。理解就是掌握數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)特征及其相互關(guān)系。加深理解，掌握了各種相關(guān)知識之間的聯(lián)系，又更容易使記憶保持。例如，四類象限角的各種三角函數(shù)值的符號，除了從定義出發(fā)進(jìn)行理解之外，還可以借助單位圓直觀地幫助學(xué)生加深理解。通過歸納、類比、聯(lián)想，促進(jìn)再認(rèn)、再現(xiàn)。經(jīng)過歸納整理過的信息，加以類比，引起聯(lián)想,這個提取的過程也就很容易實(shí)現(xiàn)了。例如，學(xué)習(xí)不等式時，可以將不等式與等式的相應(yīng)概念和性質(zhì)，進(jìn)行歸納、類比，使已

32、學(xué)知識系統(tǒng)化;學(xué)習(xí)相似三角形時,可以將相似三角形與全等三角形的定義、判定、性質(zhì)，進(jìn)行歸納、類比。掌握遺忘的規(guī)律，復(fù)習(xí)所學(xué)知識。要想提高記憶效率，鞏固所學(xué)知識，就必須克服遺忘。組織科學(xué)的復(fù)習(xí)，是克服遺忘的有效手段,也是鞏固記憶的基本途徑。復(fù)習(xí)的周期和時機(jī)對遺忘先快后慢、先多后少的規(guī)律，我們應(yīng)該將復(fù)習(xí)的周期控制成先短后長，復(fù)習(xí)的力度控制成先強(qiáng)后弱，或者說復(fù)習(xí)的次數(shù)先多后少。復(fù)習(xí)的時機(jī)，應(yīng)該選擇在所學(xué)知識即將遺忘、印象模糊、再認(rèn)和再現(xiàn)有一定困難時，及時復(fù)習(xí)。復(fù)習(xí)的方式要多樣化，要使復(fù)習(xí)舊知識而有新鮮感，形成強(qiáng)烈的刺激、反應(yīng)。也就是說在復(fù)習(xí)時不是簡單的重復(fù)，而是每復(fù)習(xí)一次，提出一次新的要求，上升一個新

33、的知識層次。鞏固知識著眼于發(fā)展能力。鞏固知識的關(guān)鍵在于組織學(xué)生復(fù)習(xí)，鞏固知識必須著眼于發(fā)展學(xué)生分析問題、解決問題的能力。能力的發(fā)展，是需要訓(xùn)練的。那么就要求我們在復(fù)習(xí)、訓(xùn)練兩方面下功夫，使復(fù)習(xí)與訓(xùn)練有效地配合起來。這樣不僅達(dá)到了發(fā)展能力,同時又有利于鞏固知識。基礎(chǔ)知識的復(fù)習(xí)，要注重?cái)?shù)學(xué)思想的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)方法的訓(xùn)練，用以促使學(xué)生知識整體結(jié)構(gòu)向系統(tǒng)化方向發(fā)展,提高他們掌握、應(yīng)用所學(xué)知識的能力。例如，將復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)知識系統(tǒng)化,概括成框圖。這樣，可以將復(fù)數(shù)與復(fù)平面、平面向量、平面直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系、三角函數(shù)概念、參數(shù)方程、平面點(diǎn)集等知識都溝通了。綜合知識的復(fù)習(xí),要有計(jì)劃、有步驟地進(jìn)行題組訓(xùn)練。這樣的復(fù)習(xí)

34、題組,要具備代表性、綜合性、漸進(jìn)性,還要有一定梯度,題組間要求具有配合協(xié)調(diào)性。22、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)：是指學(xué)生在教育情境中，以數(shù)學(xué)語言、符號為中介，自覺地、積極主動地掌握數(shù)學(xué)概念、公式、法則、定理，形成數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)技能與能力的過程。23、機(jī)械學(xué)習(xí)：是指學(xué)生并未理解由符號所代表的知識，僅記住某個數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)概念、公式、定理等。24、有意義學(xué)習(xí)：指學(xué)生經(jīng)過思考，掌握并理解了由符號所代表的數(shù)學(xué)知識，并能融會貫通。25、接受學(xué)習(xí)：是指要學(xué)習(xí)的全部數(shù)學(xué)內(nèi)容是以定論的形式呈現(xiàn)給學(xué)習(xí)者的，這種學(xué)習(xí)不涉及學(xué)習(xí)者任何獨(dú)立的發(fā)現(xiàn)，只需要他將所學(xué)的新知識與舊的知識有機(jī)結(jié)合起來，即內(nèi)化，以便以后的再現(xiàn)和運(yùn)用。2

35、6、發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)：是指一般只提出問題或提供背景材料，主要內(nèi)容要有學(xué)生自己獨(dú)立發(fā)現(xiàn)。因此，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的主要特點(diǎn)是：不把學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容提供給學(xué)生，而是由學(xué)自己獨(dú)立發(fā)現(xiàn)，然后內(nèi)化。27、數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)：的形成依賴于外在的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)者內(nèi)在的心理結(jié)構(gòu)，它是學(xué)習(xí)者通過教師所激發(fā)起來的心理結(jié)構(gòu)作用于外界的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)而形成的一種內(nèi)在的知識結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)大體上由以下要素構(gòu)成：內(nèi)化了的數(shù)學(xué)理論；內(nèi)化了的數(shù)學(xué)技能；數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗(yàn)。28、同化：學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，總是以原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)為依據(jù)對新知識進(jìn)行加工。當(dāng)新知識能與原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中適當(dāng)?shù)闹R相聯(lián)系，那么通過新舊知識的相互作用，新知識被納入原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知

36、結(jié)構(gòu)之中,從而擴(kuò)大了它的內(nèi)容，這一方式稱為同化。29、順應(yīng)：若新知識在原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中沒有適當(dāng)?shù)闹R與它相聯(lián)系，則就要對原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行改組，進(jìn)而形成新的數(shù)學(xué)。30、有意義學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)：從認(rèn)知結(jié)構(gòu)的觀點(diǎn)來看，有意義學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)，就是符號所代表的新觀念（指概念、原理等)與學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的適當(dāng)觀念之間建立起實(shí)質(zhì)性的和非人為的聯(lián)系。（一）有意義接受學(xué)習(xí)的條件是：數(shù)學(xué)理論具有潛在意義。即數(shù)學(xué)理論本身具有邏輯意義，并且學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中又具有適當(dāng)?shù)闹R基礎(chǔ)。學(xué)生具備有意義學(xué)習(xí)的心向。即學(xué)生有積極主動地把新材料與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的適當(dāng)內(nèi)容加以聯(lián)系的傾向性。內(nèi)化過程是有意義的。即對呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)理論不僅

37、在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中進(jìn)行“登記”，而且考慮它的邏輯依據(jù),使新知識與舊知識發(fā)生聯(lián)系，最后還要尋求獲得這一理論的思維過程,即新理論要轉(zhuǎn)化為個人參照系，使之與本人的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)趨于和諧。另外,在數(shù)學(xué)理論獲得的同時,形成一定的數(shù)學(xué)技能。（二）有意義發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的條件是：問題具有潛在意義。即數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的理論知識對解決面臨的問題是充分的。學(xué)生具有有意義學(xué)習(xí)的心向。解決問題的過程是有意義的。即：解決問題的手段是通過一個積極主動的探索過程獲得的，而不是依靠強(qiáng)化訓(xùn)練所形成的機(jī)械操作模式獲得的。內(nèi)化過程是有意義的。即：對發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)中所涉及的所有知識、技能、活動經(jīng)驗(yàn)加以內(nèi)化；對發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)中得到的新的數(shù)學(xué)理論、技能和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)

38、加以內(nèi)化。31、概念同化：一種以定義的形式給出，由學(xué)生主動地與自己認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的有關(guān)概念相互聯(lián)系、相互作用以領(lǐng)會它的意義,從而獲得新概念。這種獲得概念的方式叫做概念同化。概念同化心理過程要把新概念的本質(zhì)屬性與原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的適當(dāng)概念相聯(lián)系，明確新概念是原有概念的限制，并能從原有概念中分離出來；要把新概念與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念融合在一起，納入認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，以便于記憶和應(yīng)用。例如，學(xué)習(xí)梯形的概念：“梯形是一組對邊平行另一組對邊不平行的四邊形”，這時學(xué)生要主動積極地與自己認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的概念(平行、四邊形等)聯(lián)系起來思考，認(rèn)識到梯形是原有四邊形中特殊的一類，從而明確它的內(nèi)涵和外延；接著與原有的概

39、念(如平行四邊形等）區(qū)別開來，并相互貫通組成一個整體,納入原有的概念體系(四邊形)之中；最后通過例題的學(xué)習(xí)與練習(xí)、習(xí)題的解答，加深對梯形本質(zhì)屬性的認(rèn)識，使它在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中得到鞏固。32、概念形成：一種通過對概念所反映的事物的不同例子中，讓學(xué)生積極主動地去發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)屬性，從而形成新概念，這種獲得概念的方式叫概念形成。概念形成心理過程是：辨別同類事物不同的例子，抽象出各例子的共同屬性；提出它們共同本質(zhì)屬性的各種假設(shè)并加以檢驗(yàn);把本質(zhì)屬性與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的適當(dāng)知識聯(lián)系起來，使新概念與已知的有關(guān)概念區(qū)別開來;把新概念的本質(zhì)屬性推廣到一切同類事物中去，以明確它的外延;擴(kuò)大或改組原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu),從而發(fā)展數(shù)學(xué)

40、認(rèn)知結(jié)構(gòu)。例如，初中學(xué)生學(xué)習(xí)變量和函數(shù)這兩個概念，是處于初次接觸變量數(shù)學(xué)的內(nèi)容,所以這兩個概念都可以用概念形成的方式讓學(xué)生獲得。如函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，一般可采用如下步驟：第一步，讓學(xué)生分別指出下列例子中的變量以及變量之間的關(guān)系的表達(dá)式：以每小時40千米勻速行駛的汽車所駛過的路程和時間；用表格所給出的某水庫的存水量與水深；由-某一天氣溫變化的曲線所揭示的氣溫和時間；任何整數(shù)的平方運(yùn)算中,底數(shù)與它的二次冪。第二步，找出上述各例中兩變量之間關(guān)系的共同的本質(zhì)屬性。學(xué)生經(jīng)過多次分析比較后可知：一個變量每取一個確定的值,相應(yīng)地另一個變量也唯一地確定一個值，這是函數(shù)的本質(zhì)屬性；同時，前一個變量取值范圍的限制，也

41、是它們共同的本質(zhì)屬性。第三步，學(xué)生以第二步中明確的函數(shù)的本質(zhì)屬性為依據(jù)，辨別若干正反面的例子。如在任意正數(shù)開平方運(yùn)算中，被開方數(shù)與平方根y(寫成這里x與y這兩個變量就不是函數(shù)關(guān)系。第四步，在以上幾步的基礎(chǔ)上，抽象、歸納、概括出函數(shù)定義。第五步,通過練習(xí)、習(xí)題等的解答,加深對函數(shù)概念的理解,建立起新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以利于進(jìn)一步的學(xué)習(xí)。33、影響掌握概念的因素（1）經(jīng)驗(yàn)與抽象概括能力。概念的獲得依賴于學(xué)生有關(guān)的感性材料、經(jīng)驗(yàn)和抽象概括能力。如果學(xué)生缺乏這方面的經(jīng)驗(yàn)，教學(xué)時就要采用實(shí)物、模型或舉例等方式彌補(bǔ)。值得注意的是，舉例時要區(qū)分日常用語中有一些詞的含義與數(shù)學(xué)概念不一致的地方，以免發(fā)生混淆。例如

42、，幾何中的垂線與日常用語中的“垂線”（實(shí)指鉛垂線)是不相同的，但有的學(xué)生卻誤用他的經(jīng)驗(yàn)認(rèn)為兩者相同，只承認(rèn)自上而下方向的直線是垂線。如果學(xué)生抽象概括能力差，就不能抓住事物的本質(zhì)屬性，不能明確概念的內(nèi)涵和外延。例如會出現(xiàn)如下錯誤：|a|=a；直角三角形的直角邊上沒有高等。這就要求有計(jì)劃地發(fā)展學(xué)生的抽象概括能力。（2）本質(zhì)屬性與非本質(zhì)屬性。我們知道，概念的本質(zhì)屬性越明顯，學(xué)習(xí)時就容易掌握；反之，非本質(zhì)屬性多而又明顯，則就難于學(xué)習(xí)。因此,采用適當(dāng)?shù)姆椒?，突出本質(zhì)屬性，是有利于概念學(xué)習(xí)的。如教學(xué)時,常常用加重語氣等方式，突出概念的本質(zhì)屬性，讓學(xué)生易于掌握;有時直接指出哪些與定義無關(guān)的非本質(zhì)屬性，例如三

43、角形的垂心,有的學(xué)生往往認(rèn)為只有三角形三邊上的高的交點(diǎn)在其形內(nèi)時才稱為垂心，把非本質(zhì)屬性(交點(diǎn)的位置)誤認(rèn)為本質(zhì)屬性。因此及時指出非本質(zhì)屬性，有利于突出本質(zhì)屬性和概念的正確掌握。（3）變式。要理解一類事物的共同本質(zhì)屬性，往往可以通過列舉具有該本質(zhì)屬性的事物(概念的肯定例證)或不具有該本質(zhì)屬性的事物(概念的否定例證)的分析來獲得。例如，曲線的切線這一概念,有的學(xué)生往往認(rèn)為切線是與曲線只有一個公共點(diǎn)的直線，這時可舉出否定例證:“拋物線的對稱軸與這個拋物線只有一個交點(diǎn)，但它不是切線”，說明“只有一個公共點(diǎn)”不是曲線切線的本質(zhì)屬性，學(xué)生就容易理解。理解概念常常利用肯定例證，這時“變式”具有重要意義。所

44、謂變式就是指概念的肯定例證在非本質(zhì)屬性方面的變化。如函數(shù)概念，學(xué)生往往誤認(rèn)為只有“變量y隨x的變化而變化y才是x的函數(shù)”，把非本質(zhì)屬性y隨y的變化而變化”作為本質(zhì)屬性，擴(kuò)大了概念的內(nèi)涵，這時可以舉出肯定例證(x0)。從兩者可知，“對定義域中的每一個x的值,y都有唯一確定的值與它對應(yīng)”,這才是函數(shù)概念的本質(zhì)屬性。因此利用變式有利于糾正學(xué)生錯誤的認(rèn)識。34、數(shù)學(xué)定理公式的學(xué)習(xí)（1）探究發(fā)現(xiàn)式：探究發(fā)現(xiàn)式是學(xué)生通過探索，提出并論證假設(shè)，從而獲得定理公式及其意義的一種學(xué)習(xí)模式。其心理過程一般是這樣的：學(xué)生利用認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的經(jīng)驗(yàn)，對信息進(jìn)行分解與組合，從而提出基本假設(shè)。運(yùn)用數(shù)學(xué)語言正確表述假設(shè)，并探索

45、證明假設(shè)的途徑，認(rèn)識命題的邏輯意義。把證明為真的假設(shè)(定理公式)納入原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,擴(kuò)大或改組認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以獲得心理意義。通過定理公式的應(yīng)用、對定理公式的探索及證明的思想方法的總結(jié)以及定理公式的各種變形來進(jìn)一步優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)。（2）同化式：同化式是學(xué)生把呈現(xiàn)的定理公式及其推導(dǎo)證明直接同自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)相聯(lián)系,從而掌握數(shù)學(xué)定理公式的學(xué)習(xí)模式。其心理過程為:他要對定理公式的條件、結(jié)論進(jìn)行分析，以明確它的邏輯意義和數(shù)學(xué)解釋。理解并總結(jié)定理公式證明的思維過程、邏輯推理形式及表達(dá)格式。要把新定理公式與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)內(nèi)容融合在一起，納入認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中。35、數(shù)學(xué)技能的學(xué)習(xí)（1）技能：是指順利完成某種任務(wù)的自動化

46、的外部操作活動方式或心智活動方式。（2）動作技能：即外部實(shí)際操作活動的方式。例如用圓規(guī)、直尺等工具畫圖、查表、使用計(jì)算工具等都是動作技能。分為三個階段，一是掌握局部動作階段；二是初步掌握完整動作階段。三是動作協(xié)調(diào)和完善階段。（3）心智技能：即按一定的合理的、完善的方式進(jìn)行的心理活動方式。例如,運(yùn)算、推理論證技能等都是心智技能。分為如下幾個階段：一是掌握心智活動各環(huán)節(jié)的活動方式。二是心智活動的各環(huán)節(jié)逐漸聯(lián)成一個整體,且內(nèi)部語言趨于概括化和簡約化，運(yùn)算或推理逐漸簡縮。三是心智活動熟練化、自動化。數(shù)學(xué)技能的形成是學(xué)生練習(xí)的直接結(jié)果，其途徑有兩條：（1）是伴隨著數(shù)學(xué)理論的獲得而形成數(shù)學(xué)技能;（2）是在

47、綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)理論過程中形成數(shù)學(xué)技能。36、數(shù)學(xué)思維：就是以數(shù)和形為思維對象，以數(shù)學(xué)語言和符號為思維載體，并以認(rèn)識和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律為目的的一種思維。37、形象思維：是指憑借事物的形象或表象進(jìn)行聯(lián)想或想象的一種思維形式。所以，形象思維的物質(zhì)基礎(chǔ)是事物的形象或表象,而它的運(yùn)動形式則主要是聯(lián)想與想象。形象思維不但對數(shù)學(xué)研究而且對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都有十分重要的意義：（1）形象思維與抽象思維一樣，同是整個思維結(jié)構(gòu)中的一個層次。數(shù)學(xué)雖以其抽象性而著稱，數(shù)學(xué)思維也突出地表現(xiàn)為抽象思維,但數(shù)學(xué)畢竟離不開形象思維，它是人們賴以建立和理解數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ),是數(shù)學(xué)思維上升為抽象思維所必不可少的環(huán)節(jié)。因?yàn)樵跀?shù)學(xué)科學(xué)的演繹體系中，從

48、原始概念到命題、結(jié)論，無一不是從具體事物中抽象出來的理想事物。顯然，對理想事物的感知,純邏輯、純抽象不能解決全部問題，但形象思維在其中起著應(yīng)有的作用。以圖表為例，在數(shù)學(xué)中，圖不僅是研究的對象,而且也成為重要的數(shù)學(xué)語言，是對數(shù)學(xué)進(jìn)行思維表達(dá)的一種工具。用圖形表現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容能化抽象為具體，化深奧為淺顯,用圖作為思維材料,易懂易用。（2）形象思維對數(shù)學(xué)知識的識記、保持和運(yùn)用也十分有意義。學(xué)生能理解數(shù)學(xué)理論抽象意義當(dāng)然重要，但若還能把抽象的知識，通過形象思維，轉(zhuǎn)移到自己熟悉的、淺顯的直觀事物中去，那么，不但使知識的保持更加容易和穩(wěn)定，而且被保持的抽象知識因具有豐富的直觀背景而變得更容易提取和運(yùn)用。（3）

49、形象思維中的聯(lián)想和想象是創(chuàng)造性思維的重要成分。聯(lián)想在性態(tài)上是發(fā)散的、多層次的、多方聞的，它除了具有創(chuàng)造性思維的發(fā)散性、能動性、創(chuàng)造性等一般特性外,還具有觸發(fā)性。聯(lián)想常常使我們能借助于明顯的形象或表象產(chǎn)生“觸景生情”、“觖類旁通”的效果。想象則更為重要，想象具有補(bǔ)充思維鏈條的功能，因?yàn)閮H僅依靠材料提供的事實(shí)，難以抅成對事物的整體認(rèn)識，而想象則可馳騁于這些事實(shí)和材料之間,發(fā)揮其特有的作用。因此，形象思維應(yīng)引起我們足夠的重視。38、抽象概括：就是在研究亂標(biāo)的指導(dǎo)下，揭示出某類部分對象的本質(zhì)屬性，并把這些對象的共同本質(zhì)屬性聯(lián)合起來，然后合理地推廣到同類對象的全體，形成關(guān)于該類對象的一般性認(rèn)識的一種思維

50、形式。39、函數(shù)思維的特點(diǎn)在于對數(shù)學(xué)對象與其性質(zhì)之間的一般和個別的相互關(guān)系的動態(tài)認(rèn)識，這種認(rèn)識鮮明地體現(xiàn)在函數(shù)思想之中。函數(shù)思維這種思維形式應(yīng)包括變量思維與對應(yīng)思維。變量思維的特點(diǎn)是：從運(yùn)動變化的觀點(diǎn)去把握數(shù)學(xué)對象;運(yùn)動變化地看待因果關(guān)系，從運(yùn)動變化中去把握數(shù)學(xué)對象的不同側(cè)面。對應(yīng)思維有兩個層次：把握某一數(shù)學(xué)過程中變化著的各量之間的對應(yīng)關(guān)系，如把所研究的對象間的聯(lián)系，用數(shù)學(xué)關(guān)系（公式、表格、圖象等）表示出來；把握不同集合之間的對應(yīng)關(guān)系，這是對應(yīng)思維的高級形式。40、邏輯思維：是指脫離具體形象，按照邏輯的規(guī)律,運(yùn)用概念、判斷、推理等思維形式所進(jìn)行的思維。41、直覺思維：是指未經(jīng)過一步步的邏輯分析

51、或無清晰的邏輯步驟,而對問題直接的、突然間的領(lǐng)悟、理解或給出答案的思維。42、收斂思維：又叫求同思維或集中思維。它是指由所提供的條件或事實(shí)聚合起來，朝著一個方向思考,得出確定的答案，即它的思考方向是趨于同一。43、發(fā)散思維：又叫求異思維，它是由某一條件或事實(shí)出發(fā),從各個方面思考,產(chǎn)生出多種答案,即它的思考方向是向外發(fā)散的。44、正向思維與逆向思維：是指在思考數(shù)學(xué)問題時,可以按通常思維的方向進(jìn)行，也可以采用與它相反的方向探索。45、再現(xiàn)性思維：也就是一般性思維，它是運(yùn)用所獲得的知識經(jīng)驗(yàn)，按現(xiàn)成的方法或程序去解決問題的思維，它的創(chuàng)造成分少。46、創(chuàng)造性思維：是在已有的知識和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，對問題找出

52、新答案、發(fā)現(xiàn)新關(guān)系或創(chuàng)造新方法的思維。47、思維的特點(diǎn)（1）思維的廣闊性表現(xiàn)在能多方面、多角度地去思考問題,善于發(fā)現(xiàn)事物間的多方面的聯(lián)系，找出多種解決問題的辦法，并能將它推廣到類似的問題中去，從而形成一些有普遍意義的方法,或擴(kuò)大解題中得到的結(jié)果的適用范圍，或?qū)⑵渫茝V到類似的問題中去。因此,思維的廣闊性也稱為思維的概括性。例如，學(xué)生在求解“過拋物線的焦點(diǎn)F作一條直線,交拋物線于A、B兩點(diǎn)。設(shè)P為拋物線的焦點(diǎn)參數(shù),且AF=m,BF=n,則1/m+1/n=2/p”時，能用多種方法來證明，包括從拋物線的定義出發(fā)，利用平面幾何知識來證等，并能推廣到橢圓、雙曲線情形，且作出相應(yīng)的證明。這表明學(xué)生思路寬廣,

53、思維不停留在解析幾何中常用的各種方法上，還引用平面幾何知識證明；思維也沒有在證明了該題后止步，還思考著應(yīng)用同一思想方法試著對橢圓、雙曲線會有什么結(jié)論。（2）思維的深刻性表現(xiàn)在能深入地鉆研與思考問題,善于從復(fù)雜的事物中把握住它的本質(zhì),而不被一些表面現(xiàn)象所迷惑；能區(qū)分哪些是嚴(yán)格證明而哪些是“大概對的”，特別要在學(xué)習(xí)中克服思維的表面性、絕對化與不求甚解的毛病。例如在概念學(xué)習(xí)中，要分清一些容易混淆的概念,如正數(shù)和非負(fù)數(shù)、方根與算術(shù)根、充分條件與必要條件等；在公式、定理、法則的學(xué)習(xí)中,要完整地掌握它們(包括條件、結(jié)論和適用范圍)，領(lǐng)會其精神實(shí)質(zhì)，切忌形式主義、表面化和一知半解。（3）思維的靈活性表現(xiàn)在能

54、對具體問題作具體分析，善于根據(jù)情況的變化，及時地調(diào)整原有的思維過程與方法，靈活地運(yùn)用有關(guān)的概念、定理、公式、法則，并且思維不囿于固定程式或模式，具有較強(qiáng)的應(yīng)變能力。（4）思維的批判性表現(xiàn)在有主見地評價事物，能嚴(yán)格地評判自己提出的假設(shè)或解題方法的正確或優(yōu)劣與否;喜歡獨(dú)立思考，善于提出問題和發(fā)表不同的看法，既不人云亦云，也不自以為是。因此，在教學(xué)中要待別注重培養(yǎng)學(xué)生樂意進(jìn)行各種方式的檢驗(yàn)，善于找出和改正自己的錯誤，重新計(jì)算和思考；找出問題所在的良好習(xí)慣（5）思維的獨(dú)創(chuàng)性表現(xiàn)在能獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題，主動地提出新的見解和采用新的方法。我們在日常教學(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的自覺性和習(xí)慣，

55、教育他們要勇于創(chuàng)新、敢于突破常規(guī)的思考方法和解題模式，大膽提出新的見解和解法,使他們逐步具有思維獨(dú)創(chuàng)性的良好品質(zhì)。48、數(shù)學(xué)思維發(fā)展的年齡特征（1）直觀行動思維 （2）具體形象思維（3）經(jīng)驗(yàn)型抽象思維 （4）理論型抽象思維49、中學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的特點(diǎn)（1）數(shù)學(xué)思維發(fā)展的趨向。由具體形象思維占優(yōu)勢逐步發(fā)展到理論型抽象思維占優(yōu)勢。抽象性成分越多，那么思維就越具有預(yù)見性，思維活動中的自我意識和自我控制與調(diào)節(jié)能力就越強(qiáng)，這樣，學(xué)生思維活動的主動性也相對加強(qiáng),思路更清晰,判斷更準(zhǔn)確，并由此發(fā)展直覺思維。(2)數(shù)學(xué)思維的最近發(fā)展區(qū)。由思維發(fā)展的趨向可知，任何一個層次的思維必有最適合于它發(fā)展的階段，這一階

56、段即稱為這一思維的“最近發(fā)展區(qū)”。最近發(fā)展區(qū)是數(shù)學(xué)思維發(fā)展的關(guān)鍵,也是我們設(shè)計(jì)教材結(jié)構(gòu)和教學(xué)過程的重要依據(jù)之一。(3)數(shù)學(xué)思維發(fā)展的關(guān)鍵期。思維發(fā)展并不是直線上升的，而有一個從量變到質(zhì)變的過程。與最近發(fā)展區(qū)相聯(lián)系，那么，任何一個層次的思維必有一個質(zhì)變過程，這一時期就是其發(fā)展的關(guān)鍵期。一般說來，中學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展有兩個主要的關(guān)鍵期：其一是在初中二年級,表現(xiàn)為從經(jīng)驗(yàn)型思維向理論型思維的轉(zhuǎn)化。在此期間，思維的方式、方法和品質(zhì)都處于一個新的轉(zhuǎn)折點(diǎn)；抽象、概括、邏輯推理等都處于迅速發(fā)展之中，前后有著明顯的差異，因此初中二年級往往是產(chǎn)生學(xué)習(xí)分化的一個焦點(diǎn)。這時平面幾何的教學(xué)，特別是其人門教學(xué)，具有全局性的

57、意義。二是在高一到高二年級,學(xué)生的思維逐步成熟，思維的方式、法和品質(zhì)等趨于穩(wěn)定，可塑性變小。而在此之前，其變動性與可塑性較大。故在此之前是思維優(yōu)化發(fā)展的關(guān)鍵期。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中必須抓緊成熟期前的函數(shù)、三角和立體幾何的教學(xué)，及時促進(jìn)思維的優(yōu)化發(fā)展。50、發(fā)展數(shù)學(xué)思維的教學(xué)途徑（1）注重非智力因素的培養(yǎng)。非智力因素對數(shù)學(xué)思維的發(fā)展有著強(qiáng)烈的影響、從培養(yǎng)人才來看,只有智力因素與非智力因素的協(xié)同發(fā)展,才會產(chǎn)生高的創(chuàng)造效應(yīng)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一項(xiàng)艱苦的腦力勞動，它受意識的支配。在學(xué)習(xí)中要有直接推動學(xué)生學(xué)習(xí)的一種動力，即學(xué)習(xí)動機(jī)。學(xué)習(xí)動機(jī)有內(nèi)部動機(jī)和外部動機(jī)。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中，還會遇到各種困難，因而還需要學(xué)生在

58、學(xué)習(xí)中堅(jiān)定信心，認(rèn)真對待困難,戰(zhàn)勝困難，以獲得知識、技能和能力。還要注意培養(yǎng)學(xué)生的自信心和勤奮的態(tài)度。（2）注重恰當(dāng)引導(dǎo)。引導(dǎo)學(xué)生全面熟悉問題情境，使外部問題情境與學(xué)生內(nèi)在經(jīng)驗(yàn)發(fā)生恰當(dāng)沖突。這種沖突表現(xiàn)為既使學(xué)生領(lǐng)會了整個問題情境，又使學(xué)生就處于“憤悱”狀態(tài)，自覺地產(chǎn)生一種主動探索的意向。在學(xué)生處于“憤悱”狀態(tài)之后，教師就應(yīng)當(dāng)推遲判斷，而讓學(xué)生進(jìn)行積極思維。在學(xué)生的積極思維過程中，教師應(yīng)對學(xué)生的思維進(jìn)行恰當(dāng)?shù)恼{(diào)節(jié)，這種調(diào)節(jié)主要是通過教師對學(xué)生思維過程中發(fā)出的信息的恰當(dāng)反饋來進(jìn)行的。通過教師的反饋來引導(dǎo)學(xué)生不斷地進(jìn)行評價，不斷地調(diào)整著思維的方向。教師的反饋恰當(dāng)與否，主要在于教師的反饋信息是起到激發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生的思維的作用，還是直接地代替學(xué)生的思維。因此，教師的反饋多