1、第二講配套習題及答案1.若效用函數現為：u(c, 0 = cyl1 r ( 0 < f < I其他條件與實例中給出的相同，試分別求分散經濟與計劃經濟的最優解。計劃者目標函數為：max (crlr eri$工 c = y = (h - f)1-£t代約束條件進目標函數，可以得到無約束的最大化問題：tnax 來；(后_廣)一階條件為：(FOC J(y-a)rh- /嚴一獷=工二丁-1)(1-冷廣，求解可得：(1- /)h* h/(l - a)I =n =I - a/1 - ay代n*進生產函數可得：* '*"卜/Q-a)丫“c = y =水心1 1-QF )

2、企業利潤函數為：笈=zt _ (1 + r)左一 H71企業利潤最大化的一階條件為：=工ak (1 + r) = 0 dk=z(l -a - w = 0dn利用這兩個一階條件可以取得均衡的價格解，為:A/(l - a)1- a/2 .假設行為人的效用函數如下：，U =啊G + H 0 其中c是行為人的消費，l是行為人每天 用于閑暇的時間。行為人每天的時間除了用于閑暇，就是用于工作，但他既可以為自己工作也可以為別人工作。他為自己工作時的產出函數為，n = 4(hj” 其中ns為用于自己工作的時間。如果他為別人工作，每小時得到的報酬是工資，記為w (當然是用消費品衡量的)。試寫出該行為人的最優化問

3、題，并求解之。max (ln( c) + 坂 0七舁工匚=%產+(24)凡上代約束條件進目標函數，分別對l和ns兩個變量求一階導數，并令其為零，有:產+(24-=乙河=7(口)求解上述聯立方程，可得:782* =12- 2 e* = oT + 12 VI- -43 .考慮一個具有如下代表性行為人的模型。代表性消費者的效用函數如下：其中，c是消費，l是閑暇，且 >° 消費者擁有一單位的時間稟賦和k0單位的資本。代表性企業生產消費品的技術由如下的生產函數來表示：y =人依網其中，y是產出，A是全要素生產率，k是資本投入，n是勞動投入，且記w為市場的實際工資，r為資本的租金率。 a.

4、試求解實現競爭均衡時的所有價格和數量。 b.試分析全要素生產率 A的一個變化會對消費、產出、就業、實際工資以及資本租金率產生 怎樣的影響。解：a.第一步，分析消費者行為：max必以)=max夕+代約束條件進目標函數，可轉化為無約束的最大化問題。m衿鳳 R1 + 勺+，對1求一階導數，并令其為零，可得：1W =,第二步，分析企業的行為：乃=A切尸-卬 -(1+1)3 + Q -4FOQ (1-丁 墳=0FOCk孫:“產1 5 = 0根據市場出清條件，可得如下方程組：( , 1(】1)A攵浮丁二產心=及口求解得:獷二好（1以）峪卜產二四立伊Q_q）比-3第三步，全部均衡解：= 16=1一質）小了

5、=* =人外網（1 一隼'；=4©膽?勺w* = 1 a或者，考慮計劃經濟情形：inax"（C，）- max 俘十E1一*M亡=4#汽1一/）代約束條件進目標函數，可轉化為無約束的最大化問題：m2產）十/對1求一階導數，并令其為零，可得：網k（1尸=1解得：尸=1依Q 小沖推外=睇（1-0）4 Pb.=-73(1-G) a 勺 <0l-a川-M(伊(1)飛>oi W1-a,月 fl (/?(i-a)v0 >o=0說明：閑暇將隨技術進步而減少，因而就業將隨技術進步而增加；產出、消費和資本租金率將隨技術進步而上升；實際工資不會隨技術進步的變化而變化。4

6、 .考慮一個如下的含有政府的代表性行為人的經濟。消費者的偏好由如下的效用函數代表:必曰）二Im.+ Sln/+ yin g這里，c是消費；l是閑暇；g是政府購買，。，才0；消費者擁有一單位的時間稟賦。私人消 費品的生產技術如下：這里，y是產出，n是勞動投入，z>0,假設政府通過向消費者征收一個總額稅。來為自己的購買融資。(1)對于一個給定的 g,試求均衡時的消費、產出和就業。證明這些均衡數量是帕累托最優的。(2)試分析當政府購買發生變化時，這些均衡數量會受到怎樣的影響。平衡預算乘數時大于1還是小于1,解釋之。(3)現在假設政府是一個“仁慈”的政府，它將選擇一個最優的go也就是說，政府將選

7、擇一個合適的g去最大化代表性行為人的福利。試求解最優水平的政府購買數量。解：(1)在給定g, A 0時，消費者的最優規劃問題可以表述如下：max hi r + J In，十 7 In gnt:二做1 一代約束條件進目標函數，可以轉化為無約束的極值問題：max in叫1 一7)r + ehi，+ yIng該最大化問題的一階條件為：;r1二。I利用這一一階條件，可以求得消費者的閑暇需求函數:大 w).(卬-T)一卬(1 +仍我們可以進一步求得消費者的這確保在我們假設的效用函數w的增加而增加，這意味利用閑暇的需求函數，再加上消費者的時間約束和預算約束, 勞動供給和消費需求函數：w +c_ 中4卬(1

8、 + 6) 可以注意到，閑暇和消費都是都是隨總額稅的增加而減少的， 下，這兩種商品都是正常商品。也可以注意到，閑暇和消費都隨 著在我們的模型中，相對于收入效應而言，替代效應是占主導地位的。 從企業的利潤最大化問題中，我們能得到： w=z競爭均衡的定義要求政府的預算要平衡: g=代這些表達式進入消費者的閑暇和消費需求函數中，可以得到如下的競爭均衡數量:ez-g), z + eg , c= z-g £(i+e)' 一硝 + 田' -注意，當我們把消費者的時間預算代進其預算約束的時候，我們已經運用了勞動市場的出清條件，n=1-l。利用或者商品市場出清條件，c+g=y,或者生

9、產函數，y=zn,并與上述均衡數量相結合，可以求得均衡產量：一 J旗1+0給定時，g>0我們可以借助如下的社會計劃者最優問題來求得帕累托最優的均衡數量:max In c + 外口，+ yhig5 .Ljg = z(l 1)代約束條件進目標函數，可以轉化為無約束的極值問題：max lnz(l- 0 - g十 Gin，+ ylng該最大化問題的一階條件為：一二 8 n,+ =0z(l /) g I利用該一階條件，可以求得消費者的閑暇需求函數：日Yi力利用閑暇的需求函數，再加上消費者的時間約束、生產函數和資源約束，我們可以進一步求 得如下的均衡數量：H N + / v £ +依 JK

10、ti -, y = , l =z(i + e) ' i + e i + e因為這些解與上面我們已經推導出來的競爭均衡數量是相同的，因此，競爭均衡分配是帕累托最優的分配。在這一例子中，之所以兩者的結果相同是因為總額稅并不會產生扭曲效應。(2)因為在題(1)中我們已經求得均衡數量解，因而，我們之需要簡單地讓這些均衡解對 g求全導數，就可以得到結論:«1 + 6)=>01 + 8=<01 + 6可以注意到，平衡預算乘數是小于1的。因為(X 1+0,所以,dy 61r =< 1dg 1 + 6°的相同(回憶：政府預算約束 看g必須成立，因而，g的任何一個變

11、化一定對應著的一個 變化：d營dg。因此，我們有“平衡預算乘數”這一名詞。)也可以注意到，擠出是不完全的：因為0>0,所以I(3)為了確定最優水平的政府購買數量，政府在給定行為人對g變化的最優反應的基礎上通過選擇一個合適的 g來最大化代表性行為人的福利。我們可以把在題(1)中求得的行為人的決策規則看成是一個 g的函數：c=c(g)和l=l(g)。這些函數告訴我們行為人的最優選擇c和l是如何隨著g的變化而變化的。政府的最優化問題可以描述如下：max In +/ + /111?或者，等價地：max ki 十例川+v1iiks 口1十”飛忒 1 + 60 J /_一階條件如下：z-g z-g

12、g或者上(1)£ g g注意，方程(1)的左邊代表的是政府購買的邊際成本。這些成本是借助純財富效應通過減少消費和閑暇的形式實現的。方程(1)的右邊代表的是政府購買的邊際收益。因此，最優的g平衡著政府購買的邊際收益和邊際成本。注意到邊際成本隨著 g的增加而增加，而邊際收益則隨著g的增加而減少。求解(1)式可以得到最優的政府購買水平：鼠二一(2)1 + 0 + /5 .考慮一個具有和題1相同的偏好和生產技術的代表性行為人經濟。假設現在政府通過向消費者的勞動收入征收比例稅來為自己的購買進行融資。讓t代表稅率，因而政府的總稅收收入等于tw(1-l)，這里，w是實際工資。(1)寫出政府的預算約

13、束。(2)對于給定的 g,試求競爭均衡中的消費、產出和就業。討論這一均衡是否是帕累托最 優均衡。(3)證明競爭均衡的最優數量將隨著g的變化而變化。(4)求解實現福利最大化的政府購買g的水平。這里的答案為什么與在題1中征總額稅時的答案不同？請解釋之。解：(1)政府的預算約束是政府購買等于稅收收入：片=加(1_/)(2)由于稅收扭曲的存在，我們不能用社會計劃者的最優問題去求解競爭均衡。在給定g,G0時，消費者的最優規劃問題可描述如下：max hi t: + In / + ylng$上c =卬(1 _ f)代約束條件進目標函數，可以轉化為無約束的極值問題:max阿叩X1-()+ eln' +

14、 y hig該最大化問題的一階條件為：-必1- /)g _ o“江二)(匚萬+ 7 =利用該一階條件，可以求得消費者的閑暇需求函數：1 + 9可以注意到該表達式與稅后實際工資無關。 在這種情形下，替代效應在數值上等于收入效應， 因此正好相互抵消。代閑暇的需求函數進預算約束方程， 我們可以進一步求得消費者的消費 需求函數：c = w(l - 9i + t?可以注意到消費與稅后收入成正比關系。因此，消費將隨稅率的提高而下降。從企業的最大化問題中，我們可以得到：w=z市場出清條件是：n=1-l,c+g=y(=zn)因此，競爭均衡的數量解將由如下的表達式給出：I e1、， e 、 e /=,=f V

15、= t C = gi+0 i+d i+01+eg=o我們在第一題的(i)部分已經求得帕累托最優的數量解。通過對比，可以發現只有在 時兩個解才一致。只要g。，競爭均衡分配將總是次優的。(4)政府的最優化問題能描述如下：roaxlnc(g) + 8 hi/(g) + yin g這里，c(g)和l(g)代表了競爭均衡的數量(我們已經在(2)中求得)。代入c(g)和1(g)的表達式，可以得到政府的最優化問題：max In%1十9-g +十/lng或者，更簡潔地:max hi11 + 6一階條件如下:(3)再一次，可以注意到，方程（3）的左邊代表的是政府購買的邊際成本。方程（3）的右邊代表的是政府購買的

16、邊際收益。求解（3）式可以得到最優的政府購買水平：(4)比較表達式（4）和第一題中的表達式（2）,我們可以看到在目前的情形下，政府的購買水 平更小（因為0 >0）。也就是說，最優水平的 g在征總額稅時要比在征比例稅時來得大。因 為，在征比例稅時，稅收將對勞動供給和消費需求產生一個扭曲效應。而這些額外的成本是伴隨著政府的行為而產生的，因此，g自然會下降。比較（1）和（3）式可以發現，在 g給定時，在征比例稅時，政府活動的邊際成本更大，而邊際收益兩者卻是一樣的。第三講配套習題及答案1.在我們的講義的實例中曾描述了一個兩期模型，現在，若在這個兩期模型中的期效用函數 成為：I（1） .試推導出歐

17、拉方程。（2） .試求代表性消費者的最優消費組合（c*i,c*2,b*i）（3） .試求均衡的利率r*。（1）歐拉方程為因為=所以w'C）= G"因而有:=BQ + r)（2）我們有三個未知數，但相應的也有三個方程， 一個是歐拉方程，另兩個就是約束條件。+力；為 十年（-；求解得:C*=為+匕(1 +，)1 - "(1+叫1+)廠= /?“】+r)力+匕。+/)2 =1+6。+)斤=V _ 為»« +,)1 (2)(3)在均衡時，b*i=0,因此：2 .假設瑪麗只生活兩期。在每一期里她都可以不勞而獲地得到一些消費品：第一期記為ei；第二期記為e2

18、。她對兩期消費品的偏好可由如下的效用函數來表達：u(Ci,C2)=ln(ci)+3ln(C2),其中，ci和C2分別是她在第一期和第二期的消費；3是一個間于0和1之間的參數，表示的是時間偏好。當然，如果瑪麗覺得第一期的稟賦，也即ei太多，她是可以把它儲蓄起來，以供第二期消費的。我們把她儲蓄的數量記為so非常不幸，老鼠會偷吃她儲蓄的物品，因此，假如她在第一期儲蓄 s單位的物品，在第二期她只能得到(1-8)單位，其中，8是一個間于0和1之間的參數。a.試寫出瑪麗的最優化問題。(你應該描述出她的選擇變量、目標函數和約束條件。)b.試求解最優化問題的解。(當然，你應給把諸如 ei、e2、& 8等參數看作外生給定的。) c.假如瑪麗現在發現了一種可以減少老鼠偷吃的方法，這會對她的最優選擇產生怎樣的影響？(無非是對的變化作一個比較靜態分析！)a. 1一;二川：.口.q +雷=% = 4+(1 9b.構建拉格朗日函數：1=h】(;)+ / ln(q) + 4 4-g 一 £ + 友電 + (1 - 6)s q 一階條件為：(FO