1、16.4 組合（1）上海市南洋模范中學 張卉 一、教學內(nèi)容分析本節(jié)內(nèi)容是學生在學習了乘法原理、 排列、排列數(shù)公式和加法 原理以后的知識，學生已經(jīng)掌握了排列問題，并且對順序與排列的關(guān) 系已經(jīng)有了一個比較清晰的認識.因此關(guān)鍵是排列與組合的區(qū)別在于 問題是否與順序有關(guān).與順序有關(guān)的是排列問題，與順序無關(guān)是組合 問題，順序?qū)ε帕小⒔M合問題的求解特別重要 .排列與組合的區(qū)別， 從定義上來說是簡單的，但在具體求解過程中學生往往感到困惑， 分 不清到底與順序有無關(guān)系，指導(dǎo)學生根據(jù)生活經(jīng)驗和問題的內(nèi)涵領(lǐng)悟 其中體現(xiàn)出來的順序.教的秘訣在于度，學的真諦在于悟，只有學生 真正理解了，才能舉一反三、融會貫通.二、教

2、學目標設(shè)計1理解組合的意義，掌握組合數(shù)的計算公式;2 .能正確認識組合與排列的聯(lián)系與區(qū)別 .3 .通過練習與訓(xùn)練體驗并初步掌握組合數(shù)的計算公式 三、教學重點及難點組合概念的理解和組合數(shù)公式；組合與排列的區(qū)別 四、教學用具準備多媒體設(shè)備 五、教學流程設(shè)計利用有向線段、線段 的區(qū)別由排列問題 入手，引出組合概念利用引入中的內(nèi)容，淺顯易懂的 方式讓學生了解了組合數(shù)及排列 數(shù)之間的關(guān)系，并由此掌握組合 數(shù)的性質(zhì)引導(dǎo)學生利用實際問題理六、教學過程設(shè)計解組合數(shù)性質(zhì)并證明，學會 靈活應(yīng)用公式，另一方面能 利用組合知識解決一些實 際例題；復(fù)習引入1.復(fù)習我們在前幾節(jié)中學習了排列、排列數(shù)以及排列數(shù)公式定義特點相

3、同排列公式排歹U以上由學生口答.2.引入那么請問：平面上有7個點，問以這7點中任何兩個為端點，構(gòu)成 有向線段有幾條？這是一個排列問題 P722若改為：構(gòu)成的線段有幾條？則為 P7.2 ,其實亦可用另一種方法解決，這就是組合.二、學習新課1.探究性質(zhì)1 .組合定義：P16一般地，從n個不同元素中取出m（m£n）個元素并成一組，叫做 從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.【說明】：不同元素；“只取不排”一一無序性；相同組合：元素相同.2 .組合數(shù)定義：從n個不同元素中取出m（m£ n）個元素的所有組合的個數(shù)，叫做 從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù).用符號Cm表示.如：引入

4、中的例子可表示為 C7222P7 2 = P7 P 2 = C7這是為什么呢？因為 構(gòu)成有向線段的問題可分成2步來完成：第一步，先從7個點中選2個點出來，共有C2種選法；第二步，將選出的2個點做一個排列，有P 2種次序；一一 22 P2根據(jù)乘法原理，共有C7 P： = P2所以C7= ZTP 2判斷何為排列、組合問題：利用書本P16P17例題請學生判斷一 m P mn!. C 0 = PT =f!而這個公式叫組合數(shù)公式n!3.組合數(shù)公式:(n - m)! m!2如C7 =用計算器求c22_ 14_ 2C26、 C17Cl7可發(fā)現(xiàn)C26 = C26215C17 = C17由此猜想：Cm=Cn-m

5、用實際例子說明：比如要從50人中挑選4個出來參加迎春長跑_ 4的選擇方案有C50,就相當于挑4646個人不參加長跑的選擇方案C50樣.“取法”與“剩法”是“一對應(yīng)”的.n!n!(n 一 m)!n - (n - m)! m!(n 一 m)!Cmnn!m!(n - m)!m =n ，一Cn - Cn當m= n 時，C： = C； = 1mc n-m此性質(zhì)作用：當mA：時，計算Cn可變?yōu)橛嬎鉉n ,能夠使運算簡化.4.組合數(shù)性質(zhì):1、2、C；+= Cm+Cm (m 之 1)可解釋為：從a1, a2，an+這n+1個不同元素中取出m個元素的m組合數(shù)是Cn中,這些組合可以分為兩類：一類含有元素 a1,

6、一類不含 有al.含有al的組合是從a2，a3，an由這n個元素中取出m -1個元素m 4.與a1組成的，共有Cn個；不含有a1的組合是從a2，a3，3*這n個元m 素中取出m個兀素組成的，共有Cn個.根據(jù)加法原理，可以得到組 合數(shù)的另一個性質(zhì).在這里，主要體現(xiàn)從特殊到一般的歸納思想，”含 與不含其元素”的分類思想.n!n!證明：Cm C+m!(n - m)! (m - 1)!n - (m - 1)!n!(n - m 1) n!m _ (n - m 1 m)n!m! (n - m 1)! m!(n - m 1)!(n 1)!m!(n - m+ 1)! = Cm1得證.【說明】1。公式特征：下標

7、相同而上標差1的兩個組合數(shù)之和，等 于下標比原下標多1而上標與高的相同的一個組合數(shù).2。此性質(zhì)的作用：恒等變形，簡化運算.在今后學習“二項式定理”時，我們會看到它的主要應(yīng)用2.例題分析2“r八 x -2x- 3x+6 I、例 1、(1)C12=C12 ，求 x(2)c3 + c3 + c3 + c3 + c3 + c317 -n八 3n(3)C2nC13 n略解：(1) x2 -2x =3x 6或x2 -2x =12-3x-6x2 -5x -6 =0或*2 x -6 = 0 x = 2, x = 3或 x - -3, x = 2經(jīng)檢驗：x = 2(2)原式=C4 +C4 +C3 +C3 +C3

8、 +C； =C： =12617-n <2n3n <13 + n,二原式=c；2 +c；911_= C12 +C19 =12 +19 =31例2、應(yīng)用題:有15本不同的書，其中6本是數(shù)學書,問:(1)分給甲4本，且都不是數(shù)學書;略解：(1) C93.問題拓展例3.題設(shè)同例2:(2)平均分給3人;(3)若平均分為3份;(4)甲分2本，乙分7本，丙分6本;(5)1人2本，1人7本,1人6本.略解:(2) C55C50c5(3)_ 5 _ 5 _ 5C15C10C5P：(4) C25C73C62763(5) C15c13c6P3三、課堂小結(jié)指導(dǎo)學生根據(jù)生活經(jīng)驗和問題的內(nèi)涵領(lǐng)悟其中體現(xiàn)出來的

9、順序 教的秘訣在于度，學的真諦在于悟，只有學生真正理解了，才能舉一 反三、融會貫通.能列舉出某種方法時，讓學生通過交換元素位置的辦法加以鑒別學生易于辨別組合、全排列問題，而排列問題就是先組合后全排列 .在求解排列、組合問題時，可引導(dǎo)學生找出兩定義的關(guān)系后，按以下兩步思考：首先要考慮如何選出符合題意要求的元素來，選出元素后再去考慮是否要對元素進行排隊，即第一步僅從組合的角度考慮，第二步則考慮元素是否需全排列，如果不需要，是組合問題；否則是排列問題.排列、組合問題大都來源于同學們生活和學習中所熟悉的情景，解題思路通常是依據(jù)具體做事的過程，用數(shù)學的原理和語言加以表述也可以說解排列、組合題就是從生活經(jīng)

10、驗、知識經(jīng)驗、具體情景的出發(fā)， 正確領(lǐng)會問題的實質(zhì)，抽象出 “按部就班 ”的處理問題的過程 .據(jù)觀察，有些同學之所以學習中感到抽象，不知如何思考，并不是因為數(shù)學知識跟不上，而是因為平時做事、考慮問題就缺乏條理性，或解題思路是自己主觀想象的做法（很可能是有悖于常理或常規(guī)的做法）.要解決這個問題，需要師生一道在分析問題時要根據(jù)實際情況，怎么做事就怎么分析，若能借助適當?shù)墓ぞ撸M做事的過程，則更能說明問題 .久而久之，學生的邏輯思維能力將會大大提高.四、作業(yè)布置（略 ）七、教學設(shè)計說明在學習過程中，從排列問題引入，隨即自然地過渡到組合問題.由此讓學生對于排列與組合兩者的異同有深刻理解，并能自如地進行判斷 .本節(jié)課在教學技術(shù)上通過多媒體課件大大縮短了教師板書抄題的時間，讓學生能夠更加連貫的思考以及探索問題.在例題的設(shè)計上從最基本的組合數(shù)公式的利用，到簡單的應(yīng)用題， 再到組合中較難的分組分配以及平均不平均分配問題的訓(xùn)練，由淺入深，層層遞進，以積極發(fā)揮課堂教學的基礎(chǔ)