1、發揮計算機的潛力推進數學教學改革發揮計算機的潛力推進數學教學改革 計算機技術對我們生活的各個方面都產生了巨大的沖擊 ,我們很難想象一個組織機構在運做中不使用計算機。在百貨商店 ,帶條形碼掃描儀的計算機可以讓我們更快地結帳；當我們去看足球比賽時 ,我們能夠看到計算機控制的記分牌；汽車引擎系統和儀器面板都是由計算機控制的；有很多人已經開始使用個人計算機來管理家庭的日常收支、管理名片、打印信封、給朋友發送電子郵件、甚至上網玩拱豬游戲。在學校 ,計算機的普及率也在逐步提高。在美國 ,1994年底已經使用1810萬臺教育計算機 ,其中620萬臺直接進入了中小學 ,98%的中小學已經在不同程度上使用計算機

2、輔助教學 ,全美小學、初中、高中在校人數與計算機的比率分別為151、141、101。在我國 ,中小學計算機的普及率也在逐步提高 ,據不完全統計 ,截止2019年 ,在我國近80萬所中小學中 ,已有34萬所配置了不同檔次的計算機40萬臺 ,許多學校還配備了網絡計算機教室。但實際上真正在課堂上使用計算機的教師卻很少 ,計算機教室成了打字室。這種情況在興旺國家也是如此。比方日本高中計算機普及率達99.7% ,但教師愿意在課堂上使用的也僅占18.7%。造成這種情況有許多原因 ,如有的教師對CAI持疑心態度 ,或由于對新技術的陌生而不愿意嘗試 ,還有教學軟件的缺乏 ,現有的教學軟件質量不高等。在21世紀

3、 ,計算機必然在數學教育中發揮重要作用 ,因此 ,如何在數學教學中充分地發揮計算機的優勢 ,已成為數學教育現代化和數學教改的現實課題了。 本文將根據計算機的優勢及它與數學教育現代化的關系談談筆者對在數學教學中使用計算機的幾點看法。一、數學教學中如何更好地應用計算機目前 ,隨著計算機的開展和教學軟件數量的增加 ,數學CAI也在逐步開展 ,許多地區、學校都在進行CAI實驗。但是 ,根據目前學校、學生擁有計算機的狀況以及教師對于計算機的熟悉程度 ,目前的應用還只是初步的 ,利用CAI的數學課還是比擬少 ,大多也只是講一講公開課 ,而缺乏大范圍的、系統的實驗。在數學CAI課中 ,教師該如何組織課堂教學

4、 ,如何發揮主導作用 ,學生在CAI課堂上的認知過程如何等等 ,都只有通過實驗才能答復。另外 ,通過實驗 ,尋找數學CAI的切入點 ,也是開展數學CAI所必須的。因此 ,在今后的數學課中 ,有條件的地方應盡可能多地使用計算機 ,解決傳統教學做不好的事情 ,這應作為教學改革的重要內容。下面根據不同的計算機軟件的特點 ,談談計算機在數學教學中的應用。1用計算機進行課堂演示在這種模式下 ,計算機作為指導者 ,是將傳統教學過程中教師通過黑板、投影片、教具模型等媒體展示的各種信息 ,由計算機加工成文字、圖形、影象等資料 ,并進行一些必要的處理如動畫 ,將這些資料組織起來。課堂教學時 ,可以將計算機與大屏

5、幕投影電視連接起來 ,也可以在網絡計算機教室中進行。利用這種模式進行課堂教學 ,在較短的時間內 ,計算機使學生多種感官并用 ,提高對信息的吸收率 ,加深對知識的理解 ,因而可以做到更高密度的知識傳授 ,大大提高課堂利用率。例如 ,對于三角形“三線合一的教學 ,傳統教學因較難展現其發現過程 ,從而造成學生對其不好理解。利用計算機 ,可以在屏幕上作出斜三角形ABC及其角A的平分線、BC邊的垂直平分線和中線 ,之后用鼠標在屏幕上隨意拖動點A ,利用軟件功能 ,此時三角形ABC和“三線在保持依存關系的前提下隨之發生變化。在移動的過程中 ,學生會直觀地發現存在這樣的點A ,使得角平分線、垂直平分線和中線

6、三線重合。再如 ,對于圓周率的概念的教學 ,利用CAI ,可以對圓周進行展開 ,同時跟蹤測量圓周長和圓半徑 ,引導學生發現圓周長與圓半徑的比是一個定值。由于實驗中圓可以隨意變化 ,學生很容易接受的存在。利用計算機進行課堂演示 ,通過精心設計的動畫、插圖和音頻等 ,可以使抽象深奧的數學知識以簡單明了、直觀的形式出現 ,縮短了客觀事物與學生之間的距離 ,更好地幫助學生思考知識間的聯系 ,促進新的認知結構的形成。計算機的動態變化可以將形與數有機結合起來 ,把運動和變化展現在學生面前 ,使學生由形象的認識提高為抽象的概括 ,這對于培養學生良好的思維習慣會起到很好的效果。同時 ,在這里也應注意 ,計算機

7、的演示只能是幫助學生思考 ,而不能代替學生的思考 ,教師應當恰當的給予提示 ,結合計算機的演示幫助學生完成思考過程 ,形成對概念的理解。2利用計算機進行小組合作學習在信息技術環境開展的背景下 ,我們傳統的教育思想也應當發生轉變。開展以學生為中心進行合作學習的思想 ,開展以問題共同解決為中心的思想 ,開展以培養能力為中心 ,強調終身學習的思想。問題是數學開展的動力 ,所以對解題的教學歷來受到教師的重視 ,現代數學教育更是強調要進行“問題解決 ,在解決問題過程中鍛煉思維、提高應用能力。而傳統的數學教育由于多方面的限制 ,片面強調了數學演繹推理的一面 ,無視了數學作為經驗科學的一面。現在 ,計算機強

8、大的處理能力為數學的發現學習提供了可能 ,它的動態情境可以為學生“做數學提供必要的工具與手段 ,使學生可以自主地在“問題空間里進行探索 ,來做“數學實驗。教師可以將更多的探索、分析、思考的任務交給學生去完成。在數學實驗課中 ,可考慮把學生分成23個人一個小組 ,每組共用一臺計算機。教師提供問題 ,學生利用計算機提供的環境 ,積極思考、討論 ,動手演算 ,解答這個問題。教師要深入每一個小組中參加討論 ,觀察其進程 ,了解遇到的問題并及時解答 ,對有共性的問題組織全班討論或講解 ,努力在全班創設一種研究探索的學術氣氛。例如 ,幾何畫板提供了一個十分理想的讓學生積極的探索問題的“做數學的環境 ,學生

9、完全可以利用它來做數學實驗 ,這樣就能在問題解決過程中理解和掌握抽象的數學概念 ,使得學生獲得真正的數學經驗 ,而不僅僅是一些抽象的數學結論。目前 ,在這方面已經有了一些有益的嘗試。如98全國計算機輔助中學數學教學課例展評、交流、研討活動中 ,北京師大附中的一個課例“求圓內接三角形面積的最大值 ,就是在電腦網絡教室里 ,讓學生利用幾何畫板 ,自己在動態變化中觀察靜態圖形的變化規律 ,對圖形進行定量的研究 ,通過交流、討論 ,最終得到問題的解答 ,其中有一個解法是教師在備課時也未想到的。2019年夏季學期 ,兩個美國初中二年級學生DavidGoldeheim和DanLitchfiled應用幾何畫

10、板發現了又一種任意等分線段的方法；東北育才學校一名學生發現了廣義蝴蝶定理。拋開這些問題自身的意義不說 ,他們處理問題的過程猜想 ,驗證 ,論證 ,對我們的數學教學也是一種啟示。在這種小組合作學習的模式下 ,教師在教室里的角色更象學生的輔導者或幫助者。他們設置環境 ,幫助學生提出問題并進行探索 ,刺激學生解答問題 ,并為學生提供他們需要使用的工具與資源 ,以便學生能夠建構知識。教師不可能也不應該期望完全掌握與某個主題有關的內容 ,他們需要知道的是如何引導學生 ,如何問學生一些探試性的問題 ,如何使學生與有關的資源聯系起來 ,如何提供應他們存儲、操縱與分析信息的工具。3利用計算機復習、作業在課后

11、,可以利用一些輔導軟件來穩固和熟練某些已經學會的知識和技能。提高學生完成任務的速度和準確性。輔導軟件把計算機變成了教師。這種課件不僅提供文字、圖形、動畫視頻圖象 ,還有語音解說和效果音響 ,文、圖并茂 ,具有很好的視聽效果。教學內容的組織多按章節劃分知識點模塊 ,學習者可以根據需要自取進度 ,個別系統逐步深入地學習 ,復習已經學過的知識內容。這種課件能夠補充課堂學習的內容和加強概念的學習。交互性、及時反應和足夠耐心的優點使得數學輔導課件非常有用。學數學離不開做題目 ,利用計算機信息容量大的特點 ,可以做成一些智能題庫 ,學生可以用它做題、復習知識。這里所說的題庫的智能化 ,是指系統能根據測試者

12、的應答 ,測試答題者對于某些知識點的掌握程度 ,從而智能地調節題型、題量 ,并能在線調出相關知識點的理論講解 ,復習教學內容。在這種模式下 ,學生可以充分自主地選擇教學內容進行練習 ,并能及時得到指導 ,同時教師也可以利用智能題庫隨意生成程度不同、內容不同的電子試卷 ,對學生進行多方位的考察。另外 ,教師還可以記錄學生一個時期一學期或一學年的測試情況 ,列出統計圖 ,發現問題 ,并有針對性地進行指導。二、數學教學內容的改革由于計算機本身的優勢 ,它進入數學課堂后 ,越來越發揮著重要的作用。同時也應當考慮 ,有了計算機 ,學生應當學習什么樣的數學？計算機科學知識與數學學科知識之間可以說是“相互輔

13、助的關系 ,二者相輔相成、共同開展。幾十年來與計算機同步開展的計算數學包括數值計算、符號演算、計算機圖形學已有巨大進展 ,這些進展反過來又促進了計算機技術的開展。隨著計算機日益走入人們的生活 ,社會對人的數學素養的要求已經從依靠紙筆運算轉換到有效地、恰當地使用技術 ,能幫助學生數學地深入思考問題、簡化概括過程 ,提高學生解決問題以及在幾何與代數、代數與統計和真實問題情景與相關數學模型之間建立聯系的能力。數學教育應安排更多的時間讓學生去思考和理解更本質的方面 ,學會提出問題和抽象概括 ,從而到達幫助學生更深入地思考數學 ,應用數學。學校的數學教學應更重視培養學生對數學思想、方法及其應用的認識 ,

14、重視現實問題的解決。數學課程應當盡可能地使用計算器和計算機 ,這應當作為制定新數學課程的原那么。目前許多興旺國家都已這樣去做。全美數學教師協會(NCTM)早在1980年就建議：在所有年級中 ,都應充分發揮計算機的作用 ,并注重將計算機與數學課程結合為一體。1989年 ,NCTM又出版了一份?學校數學課程標準與評估標準? ,明確提出了“利用計算器和計算機作為學、做數學的工具的要求。在美國 ,全國各地的學校都正在把計算機編程結合到數學課中去 ,新出版的每一套教材都有BASIC編程的內容 ,相當于代數課程的8%。因此 ,如何將傳統內容進行現代處理 ,將計算機與數學課程結合為一體 ,是教材改革的一個重

15、要問題。1調整、精簡一些傳統的教學內容傳統的數學教學中 ,有大量繁雜的運算 ,教學時需要花費很多時間、精力來進行訓練。目前許多軟件包如mathcad ,marhematic ,maple都能完成數學里各種各樣的運算 ,mathpert還能在每一步給出提示 ,引導學生給出解答。這樣 ,技術使得有關數學技能、技巧方面的內容越來越不重要 ,這就使教師和學生可以從這些繁重的體力勞動中解放出來 ,把繁重的運算交給計算機。因此 ,教材中可以適當刪減、調整一些教學內容。例如 ,查表計算是否可以取消 ,是否要那么多偏難的四那么運算 ,因式分解和解方程組是否要那么多的訓練 ,三角函數的運算可否引入計算器等等 ,

16、都是需要考慮的問題。當然 ,并不是不要學生練習 ,而是掌握根本思想、根本方法即可。數學是講授數量關系和空間形式的科學 ,數和形本身就是一個有機的整體。而在傳統的幾何教學中 ,歐氏幾何戰占據了很大的內容 ,學生需要用很長的時間學習歐氏幾何 ,學習邏輯論證。我們可能都有這種體會 ,就是證明定理就像解四那么運算難題一樣 ,是非常難的。固然 ,這能很好地培養邏輯思維能力 ,但是 ,學生需要培養的思維能力也不僅僅是邏輯思維能力 ,邏輯論證方法也僅僅是解決幾何問題的一類方法。因此 ,在中學數學中應當將代數幾何綜合起來 ,將幾何問題代數化 ,盡早地引入解析幾何的思想。例如 ,我們可以在直線的概念上介紹數軸

17、,可以用方程來講直線的平行、垂直等。目前 ,在新的高中試驗教材中引入空間向量去解決立體幾何的問題 ,就是一個很好的嘗試。2增加一些教學內容現在學校的學生 ,將來必將走向一個更加信息化的社會 ,因此目前不僅要用現代技術來改良數學教育 ,而且應當適當增加一些教學內容 ,為學生將來進入技術社會做好準備。在應用發揮計算機的潛力推進數學教學改革 計算機技術對我們生活的各個方面都產生了巨大的沖擊 ,我們很難想象一個組織機構在運做中不使用計算機。在百貨商店 ,帶條形碼掃描儀的計算機可以讓我們更快地結帳；當我們去看足球比賽時 ,我們能夠看到計算機控制的記分牌；汽車引擎系統和儀器面板都是由計算機控制的；有很多人

18、已經開始使用個人計算機來管理家庭的日常收支、管理名片、打印信封、給朋友發送電子郵件、甚至上網玩拱豬游戲。在學校 ,計算機的普及率也在逐步提高。在美國 ,1994年底已經使用1810萬臺教育計算機 ,其中620萬臺直接進入了中小學 ,98%的中小學已經在不同程度上使用計算機輔助教學 ,全美小學、初中、高中在校人數與計算機的比率分別為151、141、101。在我國 ,中小學計算機的普及率也在逐步提高 ,據不完全統計 ,截止2019年 ,在我國近80萬所中小學中 ,已有34萬所配置了不同檔次的計算機40萬臺 ,許多學校還配備了網絡計算機教室。但實際上真正在課堂上使用計算機的教師卻很少 ,計算機教室成

19、了打字室。這種情況在興旺國家也是如此。比方日本高中計算機普及率達99.7% ,但教師愿意在課堂上使用的也僅占18.7%。造成這種情況有許多原因 ,如有的教師對CAI持疑心態度 ,或由于對新技術的陌生而不愿意嘗試 ,還有教學軟件的缺乏 ,現有的教學軟件質量不高等。在21世紀 ,計算機必然在數學教育中發揮重要作用 ,因此 ,如何在數學教學中充分地發揮計算機的優勢 ,已成為數學教育現代化和數學教改的現實課題了。 本文將根據計算機的優勢及它與數學教育現代化的關系談談筆者對在數學教學中使用計算機的幾點看法。一、數學教學中如何更好地應用計算機目前 ,隨著計算機的開展和教學軟件數量的增加 ,數學CAI也在逐

20、步開展 ,許多地區、學校都在進行CAI實驗。但是 ,根據目前學校、學生擁有計算機的狀況以及教師對于計算機的熟悉程度 ,目前的應用還只是初步的 ,利用CAI的數學課還是比擬少 ,大多也只是講一講公開課 ,而缺乏大范圍的、系統的實驗。在數學CAI課中 ,教師該如何組織課堂教學 ,如何發揮主導作用 ,學生在CAI課堂上的認知過程如何等等 ,都只有通過實驗才能答復。另外 ,通過實驗 ,尋找數學CAI的切入點 ,也是開展數學CAI所必須的。因此 ,在今后的數學課中 ,有條件的地方應盡可能多地使用計算機 ,解決傳統教學做不好的事情 ,這應作為教學改革的重要內容。下面根據不同的計算機軟件的特點 ,談談計算機

21、在數學教學中的應用。1用計算機進行課堂演示在這種模式下 ,計算機作為指導者 ,是將傳統教學過程中教師通過黑板、投影片、教具模型等媒體展示的各種信息 ,由計算機加工成文字、圖形、影象等資料 ,并進行一些必要的處理如動畫 ,將這些資料組織起來。課堂教學時 ,可以將計算機與大屏幕投影電視連接起來 ,也可以在網絡計算機教室中進行。利用這種模式進行課堂教學 ,在較短的時間內 ,計算機使學生多種感官并用 ,提高對信息的吸收率 ,加深對知識的理解 ,因而可以做到更高密度的知識傳授 ,大大提高課堂利用率。例如 ,對于三角形“三線合一的教學 ,傳統教學因較難展現其發現過程 ,從而造成學生對其不好理解。利用計算機

22、 ,可以在屏幕上作出斜三角形ABC及其角A的平分線、BC邊的垂直平分線和中線 ,之后用鼠標在屏幕上隨意拖動點A ,利用軟件功能 ,此時三角形ABC和“三線在保持依存關系的前提下隨之發生變化。在移動的過程中 ,學生會直觀地發現存在這樣的點A ,使得角平分線、垂直平分線和中線三線重合。再如 ,對于圓周率的概念的教學 ,利用CAI ,可以對圓周進行展開 ,同時跟蹤測量圓周長和圓半徑 ,引導學生發現圓周長與圓半徑的比是一個定值。由于實驗中圓可以隨意變化 ,學生很容易接受的存在。利用計算機進行課堂演示 ,通過精心設計的動畫、插圖和音頻等 ,可以使抽象深奧的數學知識以簡單明了、直觀的形式出現 ,縮短了客觀

23、事物與學生之間的距離 ,更好地幫助學生思考知識間的聯系 ,促進新的認知結構的形成。計算機的動態變化可以將形與數有機結合起來 ,把運動和變化展現在學生面前 ,使學生由形象的認識提高為抽象的概括 ,這對于培養學生良好的思維習慣會起到很好的效果。同時 ,在這里也應注意 ,計算機的演示只能是幫助學生思考 ,而不能代替學生的思考 ,教師應當恰當的給予提示 ,結合計算機的演示幫助學生完成思考過程 ,形成對概念的理解。2利用計算機進行小組合作學習在信息技術環境開展的背景下 ,我們傳統的教育思想也應當發生轉變。開展以學生為中心進行合作學習的思想 ,開展以問題共同解決為中心的思想 ,開展以培養能力為中心 ,強調

24、終身學習的思想。問題是數學開展的動力 ,所以對解題的教學歷來受到教師的重視 ,現代數學教育更是強調要進行“問題解決 ,在解決問題過程中鍛煉思維、提高應用能力。而傳統的數學教育由于多方面的限制 ,片面強調了數學演繹推理的一面 ,無視了數學作為經驗科學的一面。現在 ,計算機強大的處理能力為數學的發現學習提供了可能 ,它的動態情境可以為學生“做數學提供必要的工具與手段 ,使學生可以自主地在“問題空間里進行探索 ,來做“數學實驗。教師可以將更多的探索、分析、思考的任務交給學生去完成。在數學實驗課中 ,可考慮把學生分成23個人一個小組 ,每組共用一臺計算機。教師提供問題 ,學生利用計算機提供的環境 ,積

25、極思考、討論 ,動手演算 ,解答這個問題。教師要深入每一個小組中參加討論 ,觀察其進程 ,了解遇到的問題并及時解答 ,對有共性的問題組織全班討論或講解 ,努力在全班創設一種研究探索的學術氣氛。例如 ,幾何畫板提供了一個十分理想的讓學生積極的探索問題的“做數學的環境 ,學生完全可以利用它來做數學實驗 ,這樣就能在問題解決過程中理解和掌握抽象的數學概念 ,使得學生獲得真正的數學經驗 ,而不僅僅是一些抽象的數學結論。目前 ,在這方面已經有了一些有益的嘗試。如98全國計算機輔助中學數學教學課例展評、交流、研討活動中 ,北京師大附中的一個課例“求圓內接三角形面積的最大值 ,就是在電腦網絡教室里 ,讓學生

26、利用幾何畫板 ,自己在動態變化中觀察靜態圖形的變化規律 ,對圖形進行定量的研究 ,通過交流、討論 ,最終得到問題的解答 ,其中有一個解法是教師在備課時也未想到的。2019年夏季學期 ,兩個美國初中二年級學生DavidGoldeheim和DanLitchfiled應用幾何畫板發現了又一種任意等分線段的方法；東北育才學校一名學生發現了廣義蝴蝶定理。拋開這些問題自身的意義不說 ,他們處理問題的過程猜想 ,驗證 ,論證 ,對我們的數學教學也是一種啟示。在這種小組合作學習的模式下 ,教師在教室里的角色更象學生的輔導者或幫助者。他們設置環境 ,幫助學生提出問題并進行探索 ,刺激學生解答問題 ,并為學生提供

27、他們需要使用的工具與資源 ,以便學生能夠建構知識。教師不可能也不應該期望完全掌握與某個主題有關的內容 ,他們需要知道的是如何引導學生 ,如何問學生一些探試性的問題 ,如何使學生與有關的資源聯系起來 ,如何提供應他們存儲、操縱與分析信息的工具。3利用計算機復習、作業在課后 ,可以利用一些輔導軟件來穩固和熟練某些已經學會的知識和技能。提高學生完成任務的速度和準確性。輔導軟件把計算機變成了教師。這種課件不僅提供文字、圖形、動畫視頻圖象 ,還有語音解說和效果音響 ,文、圖并茂 ,具有很好的視聽效果。教學內容的組織多按章節劃分知識點模塊 ,學習者可以根據需要自取進度 ,個別系統逐步深入地學習 ,復習已經

28、學過的知識內容。這種課件能夠補充課堂學習的內容和加強概念的學習。交互性、及時反應和足夠耐心的優點使得數學輔導課件非常有用。學數學離不開做題目 ,利用計算機信息容量大的特點 ,可以做成一些智能題庫 ,學生可以用它做題、復習知識。這里所說的題庫的智能化 ,是指系統能根據測試者的應答 ,測試答題者對于某些知識點的掌握程度 ,從而智能地調節題型、題量 ,并能在線調出相關知識點的理論講解 ,復習教學內容。在這種模式下 ,學生可以充分自主地選擇教學內容進行練習 ,并能及時得到指導 ,同時教師也可以利用智能題庫隨意生成程度不同、內容不同的電子試卷 ,對學生進行多方位的考察。另外 ,教師還可以記錄學生一個時期

29、一學期或一學年的測試情況 ,列出統計圖 ,發現問題 ,并有針對性地進行指導。二、數學教學內容的改革由于計算機本身的優勢 ,它進入數學課堂后 ,越來越發揮著重要的作用。同時也應當考慮 ,有了計算機 ,學生應當學習什么樣的數學？計算機科學知識與數學學科知識之間可以說是“相互輔助的關系 ,二者相輔相成、共同開展。幾十年來與計算機同步開展的計算數學包括數值計算、符號演算、計算機圖形學已有巨大進展 ,這些進展反過來又促進了計算機技術的開展。隨著計算機日益走入人們的生活 ,社會對人的數學素養的要求已經從依靠紙筆運算轉換到有效地、恰當地使用技術 ,能幫助學生數學地深入思考問題、簡化概括過程 ,提高學生解決問

30、題以及在幾何與代數、代數與統計和真實問題情景與相關數學模型之間建立聯系的能力。數學教育應安排更多的時間讓學生去思考和理解更本質的方面 ,學會提出問題和抽象概括 ,從而到達幫助學生更深入地思考數學 ,應用數學。學校的數學教學應更重視培養學生對數學思想、方法及其應用的認識 ,重視現實問題的解決。數學課程應當盡可能地使用計算器和計算機 ,這應當作為制定新數學課程的原那么。目前許多興旺國家都已這樣去做。全美數學教師協會(NCTM)早在1980年就建議：在所有年級中 ,都應充分發揮計算機的作用 ,并注重將計算機與數學課程結合為一體。1989年 ,NCTM又出版了一份?學校數學課程標準與評估標準? ,明確提出了“利用計算器和計算機作為學、做數學的工具的要求。在美國 ,全國各地的學校都正在把計算機編程結合到數學課中去 ,新出版的每一套教材都有BASIC編程的內容 ,相當于代數課程的8%。因此 ,如何將傳統內容進行現代處理 ,將計算機與數學課程結合為一體 ,是教材改革的一個重要問題。1調整、精簡一些傳統的教學內容傳統的數學教學中 ,有大量繁雜的運算 ,教學時需要花費很多時間、精力來進行訓練。目前許多軟件包如mathcad ,marhematic ,maple都能完成數學里各種各樣的運算