1、第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎邏 輯 代 數(shù) 基 礎第 二 章第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)是數(shù)子系統(tǒng)邏輯設計的理論基礎和重要數(shù)學工邏輯代數(shù)是數(shù)子系統(tǒng)邏輯設計的理論基礎和重要數(shù)學工具！具！ 18471847年年,英國數(shù)學家喬治布爾(G.Boole)提出了用數(shù)學分析方法表示命題陳述的邏輯結(jié)構(gòu)，并將形式邏輯歸結(jié)為一種代數(shù)演，從而誕生了著名的“布爾代數(shù)布爾代數(shù)”。19381938年年，克勞德向農(nóng)(C.E.Shannon)將布爾代數(shù)應用于電話繼電器的開關電路，提出了“開關代數(shù)開關代數(shù)”。隨著電子技術的發(fā)展，集成電路邏輯門已經(jīng)取代了機械觸點開關，故人們更習慣于把開關代數(shù)叫做邏輯代

2、數(shù)邏輯代數(shù)。第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎本章知識要點：本章知識要點： 基本概念基本概念 ； 基本定理和規(guī)則基本定理和規(guī)則 ； 邏輯函數(shù)的表示形式邏輯函數(shù)的表示形式 ； 邏輯函數(shù)的化簡邏輯函數(shù)的化簡 。第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎 邏輯代數(shù)L是一個封閉的代數(shù)系統(tǒng)，它由一個邏輯變量集K，常量0和1以及“或”、“與”、“非”三種基本運算所構(gòu)成，記為L=K,+,-,0,1L=K,+,-,0,1。該系統(tǒng)應滿足下列公理。 2.1 2.1 邏輯代數(shù)的基本概念邏輯代數(shù)的基本概念公公 理理 1 1 交交 換換 律律對于任意邏輯變量對于任意邏輯變量A、B，有，有A + B = B + A；AB

3、 = B A公公 理理 2 2 結(jié)結(jié) 合合 律律對于任意的對于任意的邏輯變量邏輯變量A、B、C，有，有(A + B) + C = A + ( B + C )(A + B) + C = A + ( B + C )( AB ) C = A( B C )( AB ) C = A( B C )第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎公公 理理 3 3 分分 配配 律律對于任意的邏輯變量對于任意的邏輯變量A、B、C，有，有A + ( BC ) = (A + B)(A + C) ；A( B + C) = AB + AC公公 理理 4 01 4 01 律律對于任意邏輯變量對于任意邏輯變量A，有，有 A + 0

4、 = A A + 0 = A ； A 1 = AA 1 = A A + 1 = 1 A + 1 = 1 ； A 0 = 0A 0 = 0 公理是一個代數(shù)系統(tǒng)的基本出發(fā)點，無需加以證明。公理是一個代數(shù)系統(tǒng)的基本出發(fā)點，無需加以證明。A0AA 1AA公公 理理 5 5 互互 補補 律律對于任意邏輯變量對于任意邏輯變量A，存在唯一的，使得，存在唯一的，使得第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎2.1.1 2.1.1 邏輯變量及基本邏輯運算邏輯變量及基本邏輯運算邏輯代數(shù)和普通代數(shù)一樣，是用字母表示其值可以變化邏輯代數(shù)和普通代數(shù)一樣，是用字母表示其值可以變化的量，即變量。所不同的是：的量，即變量。所不同

5、的是：1任何邏輯變量的取值只有兩種可能性任何邏輯變量的取值只有兩種可能性取值取值0 0或或取值取值1 1。2邏輯值邏輯值0 0和和1 1是用來表征矛盾的雙方和判斷事件真?zhèn)问怯脕肀碚髅艿碾p方和判斷事件真?zhèn)蔚男问椒枺瑹o大小、正負之分。的形式符號，無大小、正負之分。一、變量一、變量第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎二、基本邏輯運算二、基本邏輯運算 描述一個數(shù)字系統(tǒng)，必須反映一個復雜系統(tǒng)中各開關元件之間的聯(lián)系，這種相互聯(lián)系反映到數(shù)學上就是幾種運算關系。邏輯代數(shù)中定義了邏輯代數(shù)中定義了“或或”、“與與” ” 、“非非”三種基本三種基本運算。運算。 1 1“或或”運算運算 如果決定某一事件是否發(fā)生

6、的多個條件中，只要有一如果決定某一事件是否發(fā)生的多個條件中，只要有一個或一個以上條件成立，事件便可發(fā)生，則這種因果關系個或一個以上條件成立，事件便可發(fā)生，則這種因果關系稱之為稱之為“或或”邏輯。邏輯。 例如，用兩個開關并聯(lián)控制一個燈的照明控制電路。第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎 電路中，開關A和B并聯(lián)控制燈F。可以看出，當開關A、B中有一個閉合或者兩個均閉合時，燈F即亮。因此，燈F與開關A、B之間的關系是“或”邏輯關系。可表示為 并聯(lián)開關電路并聯(lián)開關電路 ABF例如，下圖所示電路。F = A + B或者或者F = A B，讀作讀作“F F等于等于A A或或B”B”。第二章第二章 邏輯代

7、數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎 假定開關斷開用假定開關斷開用0表示，開關閉合用表示，開關閉合用1表示；燈滅用表示；燈滅用0表示，燈表示，燈亮用亮用1表示，則燈表示，則燈F與開關與開關A、B的關系如下表所示。的關系如下表所示。 即：A、B中只要有一個為中只要有一個為1，則，則F為為1；僅當；僅當A、B均為均為0時，時，F(xiàn)才為才為0。A0111100BF01011“或或”運算表運算表 F 并聯(lián)開關電路并聯(lián)開關電路 AB“或或”運算的運算法則：運算的運算法則：0 + 0 = 01 + 0 = 10 + 1 = 11 + 1 = 1實現(xiàn)“或”運算關系的邏輯電路稱為“或或”門門。 第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)

8、基礎 2 2“與與” ” 運算運算如果決定某一事件發(fā)生的多個條件必須同時具備，事如果決定某一事件發(fā)生的多個條件必須同時具備，事件才能發(fā)生，則這種因果關系稱之為件才能發(fā)生，則這種因果關系稱之為“與與”邏輯。邏輯。在邏輯代數(shù)中，“與”邏輯關系用“與”運算描述。兩變量“與”運算關系可表示為F = AB或者F = AB即：即：若若A A、B B均為均為1 1，則，則F F為為1 1；否則，；否則，F(xiàn) F為為0 0。 A0110000BF01011 “ “與與”運算表運算表 第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎ABF 串聯(lián)開關電路串聯(lián)開關電路 例如，兩個開關串聯(lián)控制同一個燈。顯然，僅當兩個開關均閉合時

9、，燈才能亮，否則，燈滅。假定開關閉合狀態(tài)用1表示，斷開狀態(tài)用0表示，燈亮用1表示，燈滅用0表示，則F和A、B之間的關系 “與”運算關系。 數(shù)字系統(tǒng)中，實現(xiàn)“與”運算關系的邏輯電路稱為“與與”門門。 “與與”運算的運算法則運算的運算法則:0 0 = 01 0 = 00 1 = 01 1 = 1第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎 3 3“非非” ” 運算運算 如果某一事件的發(fā)生取決于條件的否定，即事件與事件如果某一事件的發(fā)生取決于條件的否定，即事件與事件發(fā)生的條件之間構(gòu)成矛盾，則這種因果關系稱為發(fā)生的條件之間構(gòu)成矛盾，則這種因果關系稱為“非非”邏輯。邏輯。在邏輯代數(shù)中，“非”邏輯用“非”運算描

10、述。其運算符號為“”，有時也用“”表示。“非”運算的邏輯關系可表示為F = 或者 F = A讀作“F等于A非”。即：若若A為為0，則，則F為為1；若；若A為為1，則，則F為為0。A“非非”運算表運算表 AF0101第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎A開關與燈并聯(lián)電路 F例如，下面開關與燈并聯(lián)的電路中，僅當開關斷開時，燈亮；一旦開關閉合，則燈滅。令開關斷開用令開關斷開用0表示，開關閉合表示，開關閉合用用1表示，燈亮用表示，燈亮用1表示，燈滅用表示，燈滅用0表示，則電路中燈表示，則電路中燈F與開關與開關A的關系即為上表所示的關系即為上表所示“非非”運算關系。運算關系。 “非非”運算的運算法則：

11、運算的運算法則：；數(shù)字系統(tǒng)中實現(xiàn)“非”運算功能的邏輯電路稱為“非非”門門，有時又稱為“反相器反相器”。10 01第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎2.1.2 2.1.2 邏輯函數(shù)及邏輯函數(shù)間的相等邏輯函數(shù)及邏輯函數(shù)間的相等邏輯代數(shù)中函數(shù)的定義與普通代數(shù)中函數(shù)的定義類似，即即隨自變量變化的因變量隨自變量變化的因變量。但和普通代數(shù)中函數(shù)的概念相比，邏輯函數(shù)具有如下特點特點： 1邏輯函數(shù)和邏輯變量一樣，取值只有邏輯函數(shù)和邏輯變量一樣，取值只有0和和1兩種可兩種可能能 ； 2函數(shù)和變量之間的關系是由函數(shù)和變量之間的關系是由“或或”、“與與”、“非非”三種基本運算決定的三種基本運算決定的 。 一一、

12、邏輯函數(shù)的定義邏輯函數(shù)的定義第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎圖中，圖中，F(xiàn)被稱為被稱為A1，A2，An的邏輯函數(shù)，記為的邏輯函數(shù)，記為F = f( A1，A2，An )邏輯電路輸出函數(shù)的取值是由邏輯變量的取值和電路本邏輯電路輸出函數(shù)的取值是由邏輯變量的取值和電路本身的結(jié)構(gòu)決定的身的結(jié)構(gòu)決定的。 廣義的邏輯電路邏輯電路邏輯電路 FA1A2An設某一邏輯電路的輸入邏輯變量為A1，A2，An，輸出邏輯變量為F，如下圖所示。第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎 邏輯函數(shù)和普通代數(shù)中的函數(shù)一樣存在是否相等相等的問題。設有兩個相同變量的邏輯函數(shù)F1 = f1( A 1,A 2, ,A n)F2 =

13、 f2( A 1,A 2, ,A n)若對應于邏輯變量若對應于邏輯變量 A1 ,A2 , , An的任何一組取值，的任何一組取值，F(xiàn)1和和F2的值都相同，則稱函數(shù)的值都相同，則稱函數(shù)F1和和F2相等，記作相等，記作F1 = F2 。如何判斷兩個邏輯函數(shù)是否相等？如何判斷兩個邏輯函數(shù)是否相等？通常有兩種方法：真值表法真值表法，代數(shù)法代數(shù)法。第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎2.1.3 2.1.3 邏輯函數(shù)的表示法邏輯函數(shù)的表示法函數(shù)函數(shù)F和變量和變量A、B的關系是：的關系是： 當變量當變量A和和B取值不同時，函數(shù)取值不同時，函數(shù)F的值為的值為“1”； 取值相取值相同時，函數(shù)同時，函數(shù)F的值為

14、的值為“0”。BABABA,fF邏輯表達式是由邏輯變量和“或”、“與”、“非”3種運算符以及括號所構(gòu)成的式子。例如一一、邏輯表達式邏輯表達式 如何對邏輯功能進行描述？如何對邏輯功能進行描述？常用的方法有常用的方法有邏輯表達式、真值表、卡諾圖邏輯表達式、真值表、卡諾圖3種種。 第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎邏輯表達式的簡寫邏輯表達式的簡寫: 1.“非非”運算符下可不加括號，如運算符下可不加括號，如 ， 等。等。BABA2.“與與”運算符一般可省略，如運算符一般可省略，如AB可寫成可寫成AB。 高高低低3.在一個表達式中，如果既有“與”運算又有“或”運算，則按按先先“與與”后后“或或”的規(guī)

15、則進行運算，可省去括號的規(guī)則進行運算，可省去括號, ,如如(AB)+(CD)可寫為可寫為AB+CD。注意注意:(A+B)(C+D):(A+B)(C+D)不能省略括號不能省略括號, ,即不能寫成即不能寫成A+BC+DA+BC+D！ 運算優(yōu)先法則：運算優(yōu)先法則： ( ) +4.(A+B)+C或者A+(B+C)可用A+B+C代替；(AB)C或者A(BC)可用ABC代替。 第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎二、真值表二、真值表 依次列出一個邏輯函數(shù)的所有輸入變量取值組合及其相依次列出一個邏輯函數(shù)的所有輸入變量取值組合及其相應函數(shù)值的表格稱為真值表。應函數(shù)值的表格稱為真值表。一個一個n個變量的邏輯函

16、數(shù)，其真值表有個變量的邏輯函數(shù)，其真值表有2n行。行。例如，真值表由兩部分組成：真值表由兩部分組成： 左邊一欄列出變量的所有左邊一欄列出變量的所有取值組合，為了不發(fā)生遺漏，取值組合，為了不發(fā)生遺漏，通常各變量取值組合按二進制通常各變量取值組合按二進制數(shù)碼順序給出；右邊一欄為邏數(shù)碼順序給出；右邊一欄為邏輯函數(shù)值。輯函數(shù)值。第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎三三、卡諾圖卡諾圖 卡諾圖是由表示邏輯變量所有取值組合的小方格所構(gòu)卡諾圖是由表示邏輯變量所有取值組合的小方格所構(gòu)成的平面圖成的平面圖。這種用圖形描述邏輯函數(shù)的方法，在邏輯函數(shù)化簡中十分有用，將在后面結(jié)合函數(shù)化簡問題進行詳細介紹。 描述邏輯邏

17、輯函數(shù)的描述邏輯邏輯函數(shù)的3 3種方法可用于不同場合。但針對某種方法可用于不同場合。但針對某個具體問題而言，它們僅僅是同一問題的不同描述形式，相個具體問題而言，它們僅僅是同一問題的不同描述形式，相互之間可以很方便地進行變換。互之間可以很方便地進行變換。 第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎2 .2 2 .2 邏輯代數(shù)的基本定理和規(guī)則邏輯代數(shù)的基本定理和規(guī)則 常用的組定理：常用的組定理：2.2.1 2.2.1 基本定理基本定理 定理定理10 + 0 = 01 + 0 = 10 0 = 01 0 = 00 + 1 = 11 + 1 = 10 1 = 01 1 = 1證明證明：在公理4中，A表示集

18、合K中的任意元素，因而可以是0或1。用0和1代入公理4中的A，即可得到上述關系。 如果以如果以1和和0代替公理代替公理5中的中的A，則可得到如下推論：，則可得到如下推論： 0110 第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎證明證明A+AB = A1+AB 公理4 = A (1+B)公理3 = A (B+1) 公理1 = A1公理4 = A公理4證明證明A+A = (A+A)1公理4 = (A+A)(A+A)公理5 = A+(AA)公理3 = A+0公理5 =A公理4定理定理2A + A = A ；A A = A 定理定理3A + A B = A；A ( A + B ) = A第二章第二章 邏輯代

19、數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎定理定理4 A+AB = A+B ;A(A+B) = AB證明證明A+AB = (A+A) (A+B)公理3 = 1(A+B)公理5 = A+B公理4證明證明令A=X因而 XA = 0 X+A = 1公理5但是 AA = 0 A+A = 1公理5由于X和A都滿足公理5，根據(jù)公理5的唯一性，得到：A=X由于A=X，所以A=A定理定理5 = A A第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎定理定理7AB + A = A ( A + B ) ( A+ ) = A BB第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎第二章

20、第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎2.2.2 2.2.2 重要規(guī)則重要規(guī)則 邏輯代數(shù)有邏輯代數(shù)有3 3條重要規(guī)則。條重要規(guī)則。例如，將邏輯等式A(B+C)=AB+AC中的C都用(C+D)代替，該邏輯等式仍然成立，即AB+(C+D)= AB+A(C+D)代入規(guī)則的正確性是顯然的，因為任何邏輯函數(shù)都和邏輯變量一樣，只有0和1兩種可能的取值。 任何一個含有變量任何一個含有變量A的邏輯等式的邏輯等式,如果將所有出現(xiàn)如果將所有出現(xiàn)A的位的位置都代之以同一個邏輯函數(shù)置都代之以同一個邏輯函數(shù)F，則等式仍然成立。這個規(guī)則，則等式仍然成立。這個規(guī)則稱為代入規(guī)則。稱為代入規(guī)則。 一一、代入規(guī)則代入規(guī)則 第二章第二章

21、 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎代入規(guī)則的意義：代入規(guī)則的意義：利用代入規(guī)則可以將邏輯代數(shù)公理、定理中的變量用任意函數(shù)代替，從而推導出更多的等式。這些等式可直接當作公使用，無需另加證明。注意：注意：使用代入規(guī)則時,必須將等式中所有出現(xiàn)同一變量的地方均以同一函數(shù)代替，否則代入后的等式將不成立。1)AAf(A)AA(Af A1AA)AAf(AF例如， n21n21n21可得到邏輯等式，中的代替公里用邏輯函數(shù)第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎二、反演規(guī)則二、反演規(guī)則 D)C()B(AF例如，已知函數(shù)，根據(jù)反演規(guī)則可得到 DCBAF若將邏輯函數(shù)表達式若將邏輯函數(shù)表達式F中所有的中所有的“”變成變成“+”

22、，“+”變變成成“”,“0”變成變成“1”,“1”變成變成“0”,原變量變成反變量，反變原變量變成反變量，反變量變成原變量，并保持原函數(shù)中的運算順序不變，則所量變成原變量，并保持原函數(shù)中的運算順序不變，則所得到的新的函數(shù)為原函數(shù)得到的新的函數(shù)為原函數(shù)F的反函數(shù)。的反函數(shù)。F即:“” “+”,“0” “1”,原變量原變量 反變量反變量第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎 注意注意: 使用反演規(guī)則時，應保持原函數(shù)式中運算符號的優(yōu)先順序不變！三、對偶規(guī)則三、對偶規(guī)則如果將邏輯函數(shù)表達式F中所有的“”變成變成“+”,“+”變變成成“”，“0”變成變成“1”，“1”變成變成“0”，并保持原函數(shù)中的，并

23、保持原函數(shù)中的運算順運算順序不變序不變，則所得到的新的邏輯表達式稱為函數(shù)F的對偶式，并記作F。例如，例如，已知函數(shù)，根據(jù)反演規(guī)則得到的反函數(shù)應該是 而不應該是！錯誤！錯誤E)D(CBAFEDCBAF)ED(CBAF第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎注意注意: :求邏輯表達式的對偶式時，同樣要保持原函數(shù)的求邏輯表達式的對偶式時，同樣要保持原函數(shù)的運算順序不變。運算順序不變。 顯然，利用對偶規(guī)則可以使定理、公式的證明減少一半。 若兩個邏輯函數(shù)表達式若兩個邏輯函數(shù)表達式F和和G相等，則其對偶式相等，則其對偶式F和和G也相等。這一規(guī)則稱為對偶規(guī)則。也相等。這一規(guī)則稱為對偶規(guī)則。根據(jù)對偶規(guī)則，當已證

24、明某兩個邏輯表達式相等時，即可知道它們的對偶式也相等。例如，已知AB+ C+BC=AB+ C，根據(jù)對偶規(guī)則對等式兩端的表達式取對偶式，即可得到等式(A+B)( +C)(B+C)=(A+B)( +C)AAAA第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎2.2.3 2.2.3 復合邏輯復合邏輯 實際應用中廣泛采用“與非”門、“或非”門、“與或非”門、“異或”門等門電路。這些門電路輸出和輸入之間這些門電路輸出和輸入之間的邏輯關系可由的邏輯關系可由3 3種基本運算構(gòu)成的復合運算來描述，故通常種基本運算構(gòu)成的復合運算來描述，故通常將這種邏輯關系稱為復合邏輯，相應的邏輯門則稱為復合門。將這種邏輯關系稱為復合邏輯

25、，相應的邏輯門則稱為復合門。 一、與非邏輯一、與非邏輯 與非邏輯是由與、非兩種邏輯復合形成的，可用邏輯函數(shù)表示為邏輯功能邏輯功能：只要變量只要變量A A、B B、C C、中有一個為中有一個為0 0，則函數(shù)，則函數(shù)F F為為1 1；僅當變量；僅當變量A A、B B、C C、全部為全部為1 1時，函數(shù)時，函數(shù)F F為為0 0。實現(xiàn)與非邏輯的門電路稱為實現(xiàn)與非邏輯的門電路稱為“與非與非”門門。 CBAF第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎只要有了與非門便可組成實現(xiàn)各種邏輯功能的電路，通常稱與非門為通用門通用門。 與與: :BABA1BAF 或或: :BABA1B1AF 非非: :A1AF使用與非門

26、可以實現(xiàn)與、或、非三種基本運算：第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎二二、或非邏輯或非邏輯邏輯功能：邏輯功能：只要變量A、B、C中有一個為1，則函數(shù)F為0；僅當變量A、B、C全部為0時，函數(shù)F為1。實現(xiàn)或非邏輯的門電路稱為“或非或非”門門。 或非邏輯是由或、非兩種邏輯復合形成由或、非兩種邏輯復合形成的，可表示為 CBAF與：與：BABA0B0AF或或: :BABA0BAF非非: : A0AF或非門同樣可實現(xiàn)各種邏輯功能，是一種通用門。通用門。 同樣，或非邏輯也可以實現(xiàn)與、或、非3種基本邏輯。以兩變量或非邏輯為例： 第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎三、與或非邏輯三、與或非邏輯邏輯功能：邏

27、輯功能：僅當每一個“與項”均為0時，才能使F為1，否則F為0。實現(xiàn)與或非功能的門電路稱為“與或非與或非”門門。 顯然，可以僅用與或非門去組成實現(xiàn)各種功能的邏輯電路。但實際應用中這樣做一般會很不經(jīng)濟，所以，與或非門主要用來實現(xiàn)與或非形式的函數(shù)。必要時可將邏輯函數(shù)表達式的形式變換成與或非的形式。 與或非邏輯是由3種基本邏輯復合形成的，邏輯函數(shù)表達式的形式為 CDABF第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎四、異或邏輯及同或邏輯四、異或邏輯及同或邏輯邏輯功能：邏輯功能：變量變量A A、B B取值相同，取值相同，F(xiàn) F為為0 0；變量；變量A A、B B取值取值相異，相異，F(xiàn) F為為1 1。實現(xiàn)異或運

28、算的邏輯門稱為“異或門異或門”。 1 1異或邏輯異或邏輯 當多個變量進行異或運算時，可用兩兩運算的結(jié)果再運算，也可兩兩依次運算。異或邏輯是一種兩變量邏輯關系兩變量邏輯關系，可用邏輯函數(shù)表示為 BABABAF 根據(jù)異或邏輯的定義可知：A 0 = AA 0 = AA 1 =A 1 =A A = 0A A = 0A = 1 A = 1 AA第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎注意：在進行異或運算的多個變量中，若有奇數(shù)個變量注意：在進行異或運算的多個變量中，若有奇數(shù)個變量的值為的值為1 1，則運算結(jié)果為，則運算結(jié)果為1 1；若有偶數(shù)個變量的值為；若有偶數(shù)個變量的值為1 1，則運算，則運算結(jié)果為結(jié)果為

29、0 0。 例如， F = A B C D= (A B) (C D)(兩兩運算的結(jié)果再運算) =(A B) C D(兩兩依次運算)2 2同或邏輯同或邏輯同或邏輯也是一種兩變量邏輯關系，其邏輯函數(shù)表達式為 功能邏輯功能邏輯：變量A、B取值相同，F(xiàn)為1；變量A、B取值相異，F(xiàn)為0。實現(xiàn)同或運算的邏輯門稱為“同或門同或門” ” 。 F = A B = + AB 式中，“”為同或運算的運算符。 BA第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎同或邏輯與異或邏輯的關系既互為相反，又互為對偶同或邏輯與異或邏輯的關系既互為相反，又互為對偶。即有：由于同或?qū)嶋H上是異或之非，所以實際應用中通常用異或門加非門實現(xiàn)同或運算

30、。 注意：注意：當多個變量進行同或運算時，若有奇數(shù)個變量的當多個變量進行同或運算時，若有奇數(shù)個變量的值為值為0，則運算結(jié)果為，則運算結(jié)果為0；反之，若有偶數(shù)個變量的值為；反之，若有偶數(shù)個變量的值為0，則運算結(jié)果為則運算結(jié)果為1。 BAABBA B)A)(B(A B)ABA(B)(ABABAAB )BB)(AA( BABA BA ，第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎2.3 2.3 邏輯函數(shù)表達式的形式與變換邏輯函數(shù)表達式的形式與變換任何一個邏輯函數(shù)，其表達式的形式都不是唯一的。下面介紹邏輯函數(shù)表達式的基本形式、標準形式及其相互轉(zhuǎn)基本形式、標準形式及其相互轉(zhuǎn)換。換。 2.3.1 2.3.1 邏

31、輯函數(shù)表達式的邏輯函數(shù)表達式的兩種兩種基本形式基本形式 兩種基本形式：指兩種基本形式：指“與與- -或或”表達式和表達式和“或或- -與與”表達式表達式。 一一、“與與- -或或”表達式表達式 “與與-或或”表達式：是指由若干表達式：是指由若干“與項與項”進行進行“或或”運運算構(gòu)成的表達式。例如，算構(gòu)成的表達式。例如，CCBABAF“與項與項”有時又被稱為有時又被稱為“積項積項”，相應地，相應地“或或與與”表達式又稱為表達式又稱為“積之和積之和”表達式。表達式。第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎二、二、“或或- -與與”表達式表達式 “或項或項”有時又被稱為有時又被稱為“和項和項”，相應地

32、，相應地“或或與與”表達式又稱為表達式又稱為“和之積和之積”表達式。表達式。 C)DB)(ACB)(BA(D)C,B,F(A,“或或- -與與”表達式：是指由若干表達式：是指由若干“或項或項”進行進行“與與”運算運算構(gòu)成的表達式。例如，構(gòu)成的表達式。例如，第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎該函數(shù)既不是該函數(shù)既不是“與與或或”式？也不是式？也不是“或或與與”式！式！2.3.2 2.3.2 邏輯函數(shù)表達式的標準形式邏輯函數(shù)表達式的標準形式 邏輯函數(shù)表達式可以被表示成任意的混合形式。例如， B)CBC)(AB(AC)B,F(A,邏輯函數(shù)的基本形式都不是唯一的。邏輯函數(shù)的基本形式都不是唯一的。例如

33、CAABBCCAABF為了在邏輯問題的研究中使邏輯功能能和唯一的邏輯表達式對應，引入了邏輯函數(shù)表達式的標準形式。邏輯函數(shù)表達式的標準形式是建立在最小項和最大項概念的基礎之上的。第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎一、最小項和最大項一、最小項和最大項 （1）定義：）定義：如果一個具有n個變量的函數(shù)的“與項”包含全部n個變量，每個變量都以原變量或反變量形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次，則該“與項”被稱為最小項最小項。有時又將最小項稱為標準標準“與項與項”。 1最小項最小項（3）簡寫：）簡寫：用mi表示最小項。下標下標i的取值規(guī)則是：的取值規(guī)則是：按照變量順序?qū)⒆钚№椫械脑兞坑?表示，反變量用0表示，

34、由此得到一個二進制數(shù)，與該二進制數(shù)對應的十進制數(shù)即下標i的值。 （2）最小項的數(shù)目：）最小項的數(shù)目：n個變量可以構(gòu)成2n個最小項。 例如，3個變量A、B、C可以構(gòu)成、 A B C共8個最小項。 CBACBA第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎在由n個變量構(gòu)成的任意“與項”中，最小項是使其值為1的變量取值組合數(shù)最少的一種“與項”，這也就是最小項名字的由來。 （4） 性質(zhì)性質(zhì) 最小項具有如下四條性質(zhì)。 性質(zhì)性質(zhì)1： 任意一個最小項，其相應變量有且僅有一種取值使這個最小項的值為1。并且，最小項不同，使其值為1的變量取值不同。 例如，3變量A、B、C構(gòu)成的最小項 A C 可用 m5 表示。因為 m5

35、 (5)10 101ACBB第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎性質(zhì)性質(zhì)3： n個變量的全部最小項相“或”為1。通常借用數(shù)學中的累加符號“”，將其記為1n20i1mi性質(zhì)性質(zhì)2： 相同變量構(gòu)成的兩個不同最小項相相同變量構(gòu)成的兩個不同最小項相“與與” 為為0。因為任何一種變量取值都不可能使兩個不同最小項同時為1，故相“與”為0。即mi mj = 0 性質(zhì)性質(zhì)4： n個變量構(gòu)成的最小項有個變量構(gòu)成的最小項有n個相鄰最小項。個相鄰最小項。相鄰最小項：相鄰最小項：是指除一個變量互為相反外，其余部分均相同的最小項。例如 ，三變量最小項A B C和相鄰 。 BCA第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎定

36、義定義：如果一個具有n個變量函數(shù)的“或項”包含全部n個變量，每個變量都以原變量或反變量形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次，則該“或項”被稱為最大項。有時又將最大項稱為標準“或項”。 2 2最大項最大項數(shù)目：數(shù)目：n個變量可以構(gòu)成個變量可以構(gòu)成2n 個最大項。個最大項。例如，3個變量A、B、C可構(gòu)成、共8個最大項。 CBACBACBA第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎性質(zhì)：性質(zhì)：最大項具有如下四條性質(zhì)。 性質(zhì)性質(zhì)1 任意一個最大項，其相應變量有且僅有一種取值使這個最大項的值為0。并且，最大項不同，使其值為0的變量取值不同。 簡寫：用簡寫：用Mi表示最大項。表示最大項。下標下標i的取值規(guī)則是的取值規(guī)則

37、是：將最大項中的原變量用0表示，反變量用1表示，由此得到一個二進制數(shù)，與該二進制數(shù)對應的十進制數(shù)即下標 i 的值。例如，3變量A、B、C構(gòu)成的最大項 可用 M5 表示。因為 M5 (5)10 101CBACBA在n個變量構(gòu)成的任意“或項”中，最大項是使其值為1的變量取值組合數(shù)最多的一種“或項”，因而將其稱為最大項。最大項。 第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎性質(zhì)性質(zhì)2 相同變量構(gòu)成的兩個不同最大項相相同變量構(gòu)成的兩個不同最大項相“或或”為為1。因為任何一種變量取值都不可能使兩個不同最大項同時為0，故相“或”為1。即 M i + M j = 1 性質(zhì)性質(zhì)3 n個變量的全部最大項相個變量的全部

38、最大項相“與與”為為0。通常借用數(shù)學中的累乘符號“”將其記為 010ii2nM性質(zhì)性質(zhì)4 n個變量構(gòu)成的最大項有個變量構(gòu)成的最大項有n個相鄰最大項。個相鄰最大項。相鄰最大項是指除一個變量互為相反外，其余變量均相同的最大項。 第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎兩變量最小項、最大項的真值表如下。m2 000101001000M3 M2 M 1 M 0 m 3 m1m 0 001011101101101101110 00 11 01 1A B最最 大大 項項 最最 小小 項項 變變 量量 2變量最小項、最大項真值表變量最小項、最大項真值表 BABABAABBABABABA真值表反映了最小項、最大

39、項的有關性質(zhì)。 第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎3最小項和最大項的關系最小項和最大項的關系 在同一問題中，下標相同的最小項和最大項互為反函數(shù)。在同一問題中，下標相同的最小項和最大項互為反函數(shù)。或者說，相同變量構(gòu)成的最小項mi和最大項Mi之間存在互補關系。即 或者iiMm iiMm 例如，由3變量A、B、C構(gòu)成的最小項m3和最大項M3之間有 33MCBABCAm33mBCACBAM第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎二、邏輯函數(shù)表達式的標準形式二、邏輯函數(shù)表達式的標準形式 邏輯函數(shù)表達式的標準形式有標準標準“與與-或或”表達式表達式和和標準標準“或或-與與”表達式表達式兩種類型兩種類型。

40、 1標準標準“與與 - 或或”表達式表達式 由若干最小項相由若干最小項相“或或”構(gòu)成的邏輯表達式稱為標準構(gòu)成的邏輯表達式稱為標準“與與-或或”表達式，也叫做最小項表達式。表達式，也叫做最小項表達式。 該函數(shù)表達式又可簡寫為 F(A，B，C) = m1 + m2 + m4 + m7 = m(1,2,4,7)例如，如下所示為一個3變量函數(shù)的標準“與-或”表達式 ABCCBACBACBAC)B,F(A,第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎2標準標準“或或-與與”表達式表達式 由若干最大項相由若干最大項相“與與”構(gòu)成的邏輯表達式稱為標準構(gòu)成的邏輯表達式稱為標準“或或-與與”表達式，也叫做最大項表達式

41、表達式，也叫做最大項表達式 。該表達式又可簡寫為 M(1,5,7)MMMC)B,F(A,751CBA 例如， 、 、 為3變量構(gòu)成的3個最大項，對這3個最大項進行“與”運算，即可得到一個3變量函數(shù)的標準“或-與”表達式 CBACBA)CBA)(CBA)(CB(AC),B,F(A第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎2.3.3 2.3.3 邏輯函數(shù)表達式的轉(zhuǎn)換邏輯函數(shù)表達式的轉(zhuǎn)換 將一個任意邏輯函數(shù)表達式轉(zhuǎn)換成標準表達式有兩種常用方法。一、代數(shù)轉(zhuǎn)換法一、代數(shù)轉(zhuǎn)換法 1 . 求標準求標準“與與-或或” 式式一般步驟如下：一般步驟如下： 第一步第一步：將函數(shù)表達式變換成一般“與-或”表達式。 所謂代

42、數(shù)轉(zhuǎn)換法，就是利用邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)所謂代數(shù)轉(zhuǎn)換法，就是利用邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)則進行邏輯變換，將函數(shù)表達式從一種形式變換為另一種形則進行邏輯變換，將函數(shù)表達式從一種形式變換為另一種形式。式。 第二步：第二步：反復使用將表達式中所有非最小項的“與項”擴展成最小項。 )YX(YX第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎例例 將邏輯函數(shù)表達式將邏輯函數(shù)表達式 轉(zhuǎn)換成標準轉(zhuǎn)換成標準“與與-或或”表達式。表達式。 AB)CBB(AC)B,F(A,C)C( ABA)BCA(B)BC(AC)C(BAC)B,F(A,ABCC ABABCBCABCACBACBACBAABCCABBCACBACBA解解

43、 第一步：第一步：將函數(shù)表達式變換成“與-或”表達式。即ABCBBAABC)BB)(A(ABBCCABAAB)CBB(A C)B,F(A,第二步：第二步：把“與-或”式中非最小項的“與項”擴展成最小項。第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎所得標準“與-或”式的簡寫形式為 當給出函數(shù)表達式已經(jīng)是“與-或”表達式時，可直接進行第二步。 2 . 求一個函數(shù)的標準求一個函數(shù)的標準“或或-與與” 式式一般步驟：一般步驟：第一步：第一步：將函數(shù)表達式轉(zhuǎn)換成一般“或-與”表達式。 第二步：第二步：反復利用定理把表達式中所有非最大項的“或項”擴展成最大項。 )BB)(A(AA76310mmmmmC)B,F(

44、A,)(0,1,3,6,7m第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎解解 第一步：第一步：將函數(shù)表達式變換成“或-與”表達式。即 例例 將邏輯函數(shù)表達式 變換成標準“或-與”表達式。 CBC)A(ABC)B,F(A,CBC)A(ABC)B,F(A,CBCAABCB)C(AB)A(C)C)(ABA(B)C)(ABA(C)CC)(ABA)(BC)(ABBA(C)BA)(CB)(ABA(=1第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎第二步第二步：將所得“或-與”表達中的非最大項擴展成最大項。即 當給出函數(shù)已經(jīng)是“或-與”表達式時，可直接進行第二步。 該標準“或-與”表達式的簡寫形式為 M(3,6,7)MM

45、MC)B,F(A,763C)BA)(CB)(ABA(C)B,F(A,C)BA)(CBC)(ABA)(CBA()CBAC)(BA)(CB(A第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎二、真值表轉(zhuǎn)換法二、真值表轉(zhuǎn)換法 具體：具體：真值表上使函數(shù)值為真值表上使函數(shù)值為1的變量取值組合對應的最的變量取值組合對應的最小項相小項相“或或”,即可構(gòu)成一個函數(shù)的標準即可構(gòu)成一個函數(shù)的標準“與與-或或”式式 。 邏輯函數(shù)的最小項表達式與真值表具有一一對應的關系。邏輯函數(shù)的最小項表達式與真值表具有一一對應的關系。 假定函數(shù)假定函數(shù)F的真值表中有的真值表中有k組變量取值使組變量取值使F的值為的值為1，其他，其他變量取值

46、下變量取值下F的值為的值為0，那么，函數(shù)，那么，函數(shù)F的最小項表達式由這的最小項表達式由這k組組變量取值對應的變量取值對應的k個最小項相或組成。個最小項相或組成。1 . 求標準求標準“與與-或或” 式式第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 A B C F 1 1 0 11 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 函數(shù)的真值表 CBBAC)B,F(A,解解:首先，列出F的真值表如下表所示，然后，根據(jù)真值表可直接寫出F的最小項表達式 m(2,4,5,6)C)B,F(A,)6 , 5 , 4 , 2(),(mCBAF例例 將函數(shù)表達

47、式變換成標準“與-或”表達式。 CBBAC)B,F(A,第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎具體：具體：真值表上使函數(shù)值為真值表上使函數(shù)值為0的變量取值組合對應的最的變量取值組合對應的最大項相大項相“與與”即可構(gòu)成一個函數(shù)的標準即可構(gòu)成一個函數(shù)的標準“或或-與與”式式 。 2 . 求一個函數(shù)的標準求一個函數(shù)的標準“或或-與與” 式式 邏輯函數(shù)的最大項表達式與真值表之間同樣具有一一邏輯函數(shù)的最大項表達式與真值表之間同樣具有一一對應的關系。對應的關系。 假定在函數(shù)F的真值表中有p組變量取值使F的值為0，其他變量取值下F的值為1，那么，函數(shù)F的最大項表達式由這p組變量取值對應的p個最大項“相與”組

48、成。第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎解：解：首先，列出F的真值表如下表所示。然后，根據(jù)真值表直接寫出F的最大項表達式 )7 , 6 , 5 , 2 , 0(),(MCBAF) 7 , 6 , 5 , 2 , 0 (),(MCBAF函數(shù)的真值表 1010 0111 0100 1001 1110 1100 CBACAC)B,F(A,ABC F 0000 0011 例例 將函數(shù)表達式 表示成最大項表達式的形式。 CBACACBAF),(第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎由于函數(shù)的真值表與函數(shù)的兩種標準表達式之間存在一一對應的關系，而任何個邏輯函數(shù)的真值表是唯一的，可見，任何一個邏輯函數(shù)的兩

49、種標準形式也是唯一的任何一個邏輯函數(shù)的兩種標準形式也是唯一的。邏輯函數(shù)表達式的唯一性給我們分析和研究邏輯問題帶來了很大的方便。 第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎2.4 2.4 邏輯函數(shù)化簡邏輯函數(shù)化簡實現(xiàn)某一邏輯功能的邏輯電路的復雜性與描述該功能的實現(xiàn)某一邏輯功能的邏輯電路的復雜性與描述該功能的邏輯表達式的復雜性直接相關。邏輯表達式的復雜性直接相關。為了降低系統(tǒng)成本、減小復雜度、提高可靠性，必須對為了降低系統(tǒng)成本、減小復雜度、提高可靠性，必須對邏輯函數(shù)進行化簡。邏輯函數(shù)進行化簡。 由于“與-或”表達式和“或-與”表達式可以很方便地轉(zhuǎn)換成任何其他所要求的形式。因此，從這兩種基本形式出發(fā)討論

50、函數(shù)化簡問題，并將重點放在“與-或”表達式的化簡上。 邏輯函數(shù)化簡有邏輯函數(shù)化簡有3種常用方法。種常用方法。即：代數(shù)化簡法即：代數(shù)化簡法、卡諾卡諾圖化簡法圖化簡法和列表化簡法列表化簡法。 第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎2.4.1 2.4.1 代數(shù)化簡法代數(shù)化簡法 代數(shù)化簡法就是運用邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)則對邏代數(shù)化簡法就是運用邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)則對邏輯函數(shù)進行化簡的方法。輯函數(shù)進行化簡的方法。一、一、“與與-或或”表達式的化簡表達式的化簡 最簡最簡“與與-或或”表達式應滿足兩個條件：表達式應滿足兩個條件： 1表達式中的表達式中的“與與”項個數(shù)最少；項個數(shù)最少； 2在滿足上述條件

51、的前提下，每個在滿足上述條件的前提下，每個“與與”項中的變量項中的變量個個 數(shù)最少。數(shù)最少。 滿足上述兩個條件可以使相應邏輯電路中所需門的數(shù)量以及門的輸入端個數(shù)均為最少，從而使電路最經(jīng)濟。 第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎 幾種常用方法如下：幾種常用方法如下： 1并項法并項法 2吸收法吸收法 利用定理3中A + AB = A ，吸收多余的項。例如， BACBABA利用定理7中的，將兩個“與”項合并成一個“與”項，合并后消去一個變量。例如， BACBABCAAABBA第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎3消去法消去法 利用定理4中，消去多余變量。例如，BABAACABCABABCBAAB

52、CBCAAB4配項法配項法 利用公理4和公理5中的 A1=A及 A+A=1，先從函數(shù)式中適當選擇某些“與”項，并配上其所缺的一個合適的變量，然后再利用并項、吸收和消去等方法進行化簡。例如，CBABCACBACBACBBACCBACBAACBBABACBCBBA CACBBA第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎例例 化簡化簡 CBADCBDDBCF解解 DBCBADDBCCBADBCDBCCBADCBDBCCBADCBDDBCF 實際應用中遇到的邏輯函數(shù)往往比較復雜，化簡時應實際應用中遇到的邏輯函數(shù)往往比較復雜，化簡時應靈活使用所學的公理、定理及規(guī)則，綜合運用各種方法靈活使用所學的公理、定理及

53、規(guī)則，綜合運用各種方法。第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎例例 化簡化簡 CBACBACBAF)( )(解解 CBACCBACACBACBACBACBACBACBACBAF )()( )()( )()(第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎二、二、“或或-與與”表達式的化簡表達式的化簡 最簡最簡“或或-與與”表達式應滿足兩個條件：表達式應滿足兩個條件： 1表達式中的表達式中的“或或”項個數(shù)最少；項個數(shù)最少； 2在滿足上述條件的前提下，每個在滿足上述條件的前提下，每個“或或”項中的變量項中的變量個數(shù)最少。個數(shù)最少。 用代數(shù)化簡法化簡“或-與”表達式可直接運用公理、定理中的“或-與”形式，并綜

54、合運用前面介紹“與-或”表達式化簡時提出的各種方法進行化簡。 第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎例例 化簡化簡 CADCACBBAF)()(解解 )( )()()( )()()()(CBBACACBBACADCACBBAF此外，可以采用兩次對偶法。具體如下：具體如下： 第一步：第一步：對“或-與”表達式表示的函數(shù)F求對偶，得到“與-或”表達式F； 第二步：第二步：求出F的最簡“與-或”表達式； 第三步：第三步：對F再次求對偶,即可得到F的最簡“或-與”表達式。 第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎例例 化簡化簡 )()()()CACBBABAF （第二步：第二步：化簡化簡F ； CBAB

55、A CBABABA )CA(BBABA CABCBABAF第三步：第三步：對F求對偶, 得到F的最簡“或-與”表達式。 CBABAF)()(解解 第一步：第一步：求求F的對偶式的對偶式F； CABCBABAF第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎歸納：歸納： 代數(shù)化簡法的優(yōu)點是：代數(shù)化簡法的優(yōu)點是：不受變量數(shù)目的約束；當對公理、不受變量數(shù)目的約束；當對公理、定理和規(guī)則十分熟練時，化簡比較方便。定理和規(guī)則十分熟練時，化簡比較方便。 缺點是：缺點是：沒有一定的規(guī)律和步驟，技巧性很強，而且在沒有一定的規(guī)律和步驟，技巧性很強，而且在很多情況下難以判斷化簡結(jié)果是否最簡。很多情況下難以判斷化簡結(jié)果是否最簡

56、。 第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎2.4.2 2.4.2 卡諾圖化簡法卡諾圖化簡法 卡諾圖化簡法具有簡單、直觀、容易掌握等優(yōu)點簡單、直觀、容易掌握等優(yōu)點，在邏輯設計中得到廣泛應用。 一、卡諾圖的構(gòu)成一、卡諾圖的構(gòu)成 卡諾圖是一種平面方格圖，每個小方格代表一個最小項，卡諾圖是一種平面方格圖，每個小方格代表一個最小項，故又稱為最小項方格圖。故又稱為最小項方格圖。 結(jié)構(gòu)特點：結(jié)構(gòu)特點：(1) n n個變量的卡諾圖由2n個小方格構(gòu)成；(2) 幾何圖形上處在相鄰、相對相鄰、相對、相重相重位置的小方格所代表的最小項為相鄰最小項。第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎2變量、3變量、4變量卡諾圖如圖

57、(a)、(b)、(c)所示。m3 m1 m2 m0 AB0110( a ) 0m5m4m7m6m3 m1 m2 m0 100011110ABC( b ) m10m14m6m2m11m15m7m3m9m8m13m12m5 m1 m4 m0 00011110ABCD00011110( c ) 第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎例如，四變量卡諾圖中，如m5的4個相鄰最小項分別是和m5相連的 m1，m4，m7，m13。 m2的4個相鄰最小項除了與之幾何相鄰的m3和m6之外，另外兩個是處在“相對”位置的m0 ( 同一列的兩端)和m10( 同一行的兩端)。這種相鄰稱為相對相鄰相對相鄰。 m10m14m

58、6m2m11m15m7m3m9m8m13m12m5 m1 m4 m0 00011110ABCD00011110從各卡諾圖可以看出，在在n個變量的卡諾圖中，能從圖形個變量的卡諾圖中，能從圖形上直觀、方便地找到每個最小項的上直觀、方便地找到每個最小項的n個相鄰最小項。個相鄰最小項。第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎1014621115739813125 1 4 0 26302218273123192524292821 17 2016 00011110000 001 011 010100 101 111 110ABCDE( d ) 5變量卡諾圖 5變量卡諾圖如圖（d）所示。此外， 處在“相重”位

59、置的最小項相鄰，如五變量卡諾圖中的m3，除了幾何相鄰的m1，m2，m7和相對相鄰的m11外，還與m19相鄰。這種相鄰稱為重疊相鄰重疊相鄰。 第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎m15m7m13m5 00011110ABCD00011110ABCDDCABBCDADCBAABDBDAB D二、卡諾圖的性質(zhì)二、卡諾圖的性質(zhì) 用卡諾圖化簡邏輯函用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的基本原理：數(shù)的基本原理：把卡諾圖上表征相鄰最小項的相鄰小方格“圈”在一起進行合并，達到用一個簡單“與”項代替若干最小項的目的。 通常把用來包圍那些能由一個簡單“與”項代替的若干最小項的“圈”稱為卡諾圈。卡諾圈。 性質(zhì)：可以從圖形上直觀地

60、找出相鄰最小項合并。可以從圖形上直觀地找出相鄰最小項合并。合并的理論依據(jù)是并項定理： 。A ABBA第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎三、邏輯函數(shù)在卡諾圖上的表示三、邏輯函數(shù)在卡諾圖上的表示 當邏輯函數(shù)為標準“與-或”表達式時，只需在卡諾圖上找出和表達式中最小項對應的小方格填上1，其余小方格填上0，即可得到該函數(shù)的卡諾圖。 1給定邏輯函數(shù)為標準給定邏輯函數(shù)為標準“與與-或或”表達表達式式例如，3變量函數(shù) 的卡諾圖如下圖所示。 7 , 3 , 2 , 1,mCBAF000101 1 1 0 100011110ABC F(A,B,C)=m(1,2,3,7)的卡諾圖 第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏