1、第18章 勾股定理復習一知識歸納勾股定理內容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為，斜邊為，那么勾股定理的由來：勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達哥拉斯定理我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦早在三千多年前，周朝數學家商高就提出了“勾三，股四，弦五形式的勾股定理，后來人們進一步發現并證明了直角三角形的三邊關系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變根據同一種圖形的面積不同的

2、表示方法，列出等式，推導出勾股定理常見方法如下：方法一：，化簡可證方法二：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為大正方形面積為所以方法三：，化簡得證.勾股定理的適用范圍勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數量關系，它只適用于直角三角形，對于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應用勾股定理時，必須明了所考察的對象是直角三角形.勾股定理的應用直角三角形的任意兩邊長，求第三邊在中，那么，知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數量關系可運用勾股定理解決一些實際問題5、利用勾股定理作長為的線段 作長為、的線段。 思路點撥：由

3、勾股定理得，直角邊為1的等腰直角三角形，斜邊長就等于，直角邊為和1的直角三角形斜邊長就是，類似地可作。 作法：如下圖 1作直角邊為1單位長的等腰直角ACB，使AB為斜邊； 2以AB為一條直角邊，作另一直角邊為1的直角。斜邊為； 3順次這樣做下去，最后做到直角三角形，這樣斜邊、的長度就是 、。 舉一反三 【變式】在數軸上表示的點。 解析：可以把看作是直角三角形的斜邊， 為了有利于畫圖讓其他兩邊的長為整數， 而10又是9和1這兩個完全平方數的和，得另外兩邊分別是3和1。 作法：如下圖在數軸上找到A點，使OA=3，作ACOA且截取AC=1，以OC為半徑， 以O為圓心做弧，弧與數軸的交點B即為。注：逆

4、命題與勾股定理逆定理可以判斷真假的陳述句叫做命題，寫出以下原命題的逆命題并判斷是否正確 1原命題：貓有四只腳正確 2原命題：對頂角相等正確 3原命題：線段垂直平分線上的點，到這條線段兩端距離相等正確 4原命題：角平分線上的點，到這個角的兩邊距離相等正確 思路點撥：掌握原命題與逆命題的關系。 解析：1. 逆命題：有四只腳的是貓不正確 2. 逆命題：相等的角是對頂角不正確 3. 逆命題：到線段兩端距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上正確 4. 逆命題：到角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上正確 總結升華：此題是為了學習勾股定理的逆命題做準備。6.勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理的證明方法要掌

5、握，書74頁如果三角形三邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形，其中為斜邊要點詮釋：勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數轉化為形來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時應注意：1首先確定最大邊，不妨設最長邊長為：c；2驗證c2與a2+b2是否具有相等關系，假設c2a2+b2，那么ABC是以C為直角的直角三角形假設c2>a2+b2，那么ABC是以C為鈍角的鈍角三角形；假設c2<a2+b2，那么ABC為銳角三角形。定理中，及只是一種表現形式，不可認為是唯一的，如假設三角形三邊長，滿足，那么以，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊3：勾股定理與勾股

6、定理逆定理的區別與聯系區別：勾股定理是直角三角形的性質定理，而其逆定理是判定定理；聯系：勾股定理與其逆定理的題設和結論正好相反，都與直角三角形有關。4：互逆命題的概念如果一個命題的題設和結論分別是另一個命題的結論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。規律方法指導1勾股定理的證明實際采用的是圖形面積與代數恒等式的關系相互轉化證明的。2勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數量關系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關系的題目。3勾股定理在應用時一定要注意弄清誰是斜邊誰直角邊，這是這個知識在應用過程中易犯的主要錯誤。4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三條

7、邊長a，b，c有以下關系：a2+b2c2，那么這個三角形是直角三角形；該逆定理給出判定一個三角形是否是直角三角形的判定方法5.應用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的過程主要是進行代數運算，通過學習加深對“數形結合的理解我們把題設、結論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。例：勾股定理與勾股定理逆定理 勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數轉化為形來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和與較長邊的平方作比擬，假設它們相等時，以，為三邊的三角形是直角三角形；假設，時，以，為三邊的三角

8、形是鈍角三角形；假設，時，以，為三邊的三角形是銳角三角形；定理中，及只是一種表現形式，不可認為是唯一的，如假設三角形三邊長，滿足，那么以，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊勾股定理的逆定理在用問題描述時，說成：當斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形7.勾股數能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱為勾股數，即中，為正整數時，稱，為一組勾股數記住常見的勾股數可以提高解題速度，如；等用含字母的代數式表示組勾股數：為正整數；為正整數，為正整數8勾股定理的應用勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計算或直角三角形中線段之間的關系的證明問題在使用勾股定理時，必須把握直角三

9、角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運用勾股定理進行計算，應設法添加輔助線通常作垂線，構造直角三角形，以便正確使用勾股定理進行求解9勾股定理逆定理的應用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數量關系判斷一個三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應用兩短邊的平方和與最長邊的平方進行比擬，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比擬而得到錯誤的結論10.勾股定理及其逆定理的應用勾股定理及其逆定理在解決一些實際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個整體通常既要通過逆定理判定一個三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對問題的解決常見

10、圖形：題型一：直接考查勾股定理例.在中，求的長，求的長分析：直接應用勾股定理解： 題型二：應用勾股定理建立方程例.在中，于，直角三角形的兩直角邊長之比為，斜邊長為，那么這個三角形的面積為直角三角形的周長為，斜邊長為，那么這個三角形的面積為分析：在解直角三角形時，要想到勾股定理，及兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積有時可根據勾股定理列方程求解解：，設兩直角邊的長分別為，設兩直角邊分別為，那么，可得例.如圖中，求的長分析：此題將勾股定理與全等三角形的知識結合起來解：作于，在中在中，例4.如圖，,分別以各邊為直徑作半圓，求陰影局部面積答案：6題型三：實際問題中應用勾股定理例5.如圖有兩棵樹，一棵

11、高，另一棵高，兩樹相距，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵數的樹梢，至少飛了分析：根據題意建立數學模型，如圖，過點作，垂足為，那么，在中，由勾股定理得答案：題型四：應用勾股定理逆定理，判定一個三角形是否是直角三角形例6.三角形的三邊長為，判定是否為，解：，是直角三角形且，不是直角三角形例7.三邊長為，滿足，的三角形是什么形狀？解：此三角形是直角三角形理由：，且所以此三角形是直角三角題型五：勾股定理與勾股定理的逆定理綜合應用例8.中，邊上的中線，求證：經典例題透析類型一：勾股定理的直接用法 1、在RtABC中，C=90° (1)a=6， c=10，求b， (2)a=40，b=9，求c；

12、(3)c=25，b=15，求a. 思路點撥: 寫解的過程中，一定要先寫上在哪個直角三角形中，注意勾股定理的變形使用。 舉一反三 【變式】:如圖B=ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,那么AB的長是多少? 類型二：勾股定理的構造應用 2、如圖，：在中，. 求：BC的長. 舉一反三【變式1】如圖，：，于P. 求證：. 【變式2】：如圖，B=D=90°，A=60°，AB=4，CD=2。求：四邊形ABCD的面積。 分析：如何構造直角三角形是解此題的關鍵，可以連結AC，或延長AB、DC交于F，或延長AD、BC交于點E，根據此題給定的角應選后兩種，進一步根據

13、此題給定的邊選第三種較為簡單。 類型三：勾股定理的實際應用 一用勾股定理求兩點之間的距離問題 3、如下圖，在一次夏令營活動中，小明從營地A點出發，沿北偏東60°方向走了到達B點，然后再沿北偏西30°方向走了500m到達目的地C點。 1求A、C兩點之間的距離。 2確定目的地C在營地A的什么方向。 舉一反三 【變式】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門? 二用勾股定理求最短問題 舉一反三 【變式】如圖，一圓柱體的底面周長為20cm，高為4cm，是上底面的直徑一只螞蟻從點A出發，沿著圓柱的側面爬行到點C，試求

14、出爬行的最短路程 解：類型四：利用勾股定理作長為的線段 5、作長為、的線段。 舉一反三 【變式】在數軸上表示的點。7、如果ABC的三邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判斷ABC的形狀。【變式2】:ABC的三邊分別為m2n2,2mn,m2+n2(m,n為正整數,且mn),判斷ABC是否為直角三角形. 分析:此題是利用勾股定理的的逆定理， 只要證明:a2+b2=c2即可【變式3】如圖正方形ABCD，E為BC中點，F為AB上一點，且BF=AB。 請問FE與DE是否垂直?請說明。類型一：勾股定理及其逆定理的根本用法1、 假設直角三角形兩直角邊的比是3：4，斜邊長是2

15、0，求此直角三角形的面積。96舉一反三 【變式1】等邊三角形的邊長為2，求它的面積。【變式2】直角三角形周長為12cm，斜邊長為5cm，求直角三角形的面積。6cm2【變式3】假設直角三角形的三邊長分別是n+1，n+2，n+3，求n。n2【變式4】以以下各組數為邊長，能組成直角三角形的是 A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40【變式5】四邊形ABCD中，B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。2、如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且QPN30°，點A處有一所中學，AP160m。假設拖拉機行駛時，周圍

16、100m以內會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校是否會受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，拖拉機的速度為18km/h，那么學校受影響的時間為多少秒？ 答：拖拉機在公路 MN上沿PN方向行駛時，學校會受到噪聲影響，學校受影響的時間為24秒。 總結升華:勾股定理是求線段的長度的很重要的方法,假設圖形缺少直角條件,那么可以通過作輔助垂線的方法,構造直角三角形以便利用勾股定理。 舉一反三 【變式1】如圖學校有一塊長方形花園，有極少數人為了避開拐角而走“捷徑，在花園內走出了一條“路。他們僅僅少走了_步路假設2步為1m，卻踩傷了花草。 【答案】4 類型三：數學思想方法一轉化的思

17、想方法我們在求三角形的邊或角，或進行推理論證時，常常作垂線，構造直角三角形，將問題轉化為直角三角形問題來解決 3、如下圖，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DEDF，假設BE=12，CF=5求線段EF的長。 解：連接AD 所以EF=13。 總結升華：此題考查了等腰直角三角形的性質及勾股定理等知識。通過此題，我們可以了解：當的線段和所求的線段不在同一三角形中時，應通過適當的轉化把它們放在同一直角三角形中求解。 二方程的思想方法 4、如下圖，ABC中，C=90°，A=60°，求、的值。 ，。 總結升華：在直角三角形中，30

18、°的銳角的所對的直角邊是斜邊的一半。 舉一反三：【變式】如下圖，折疊矩形的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，AB=8cm，BC=10cm，求EF的長 即EF的長為5cm。9觀察以下幾組數據:(1) 8, 15, 17; (2) 7, 12, 15; (3)12, 15, 20; (4) 7, 24, 25. 其中能作為直角三角形的三邊長的有( )組 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4A1006410三個正方形的面積如圖，正方形A的面積為 A. 6 B. C. 64 D. 811.直角三角形的兩條邊長分別是5和12，那么第三邊為 或不能確定12.以下命題如果a、b、c為一組勾股數，那么4a、4b、4c仍是勾股數；如果直角三角形的兩邊是5、12，那么斜邊必是13；如果一個三角形的三邊是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；一個等腰直角三角形的三邊