1、 鐵磁性物質中磁疇的形成與具體的磁疇結構都與鐵磁體內存在的相互作用能量有關。 鐵磁體中的各種相互作用能量是研究鐵磁體的磁疇理論與技術磁化理論的基本出發點，所以討論與了解鐵磁體中各種能量是學好現代磁性物理中磁疇結構與技術磁化理論的關鍵。第四章第四章 磁性體中的能量磁性體中的能量第一節第一節 鐵磁體內的相互作用能鐵磁體內的相互作用能結束放映結束放映第三節第三節 磁晶各向異性能磁晶各向異性能第四節第四節 磁致伸縮磁致伸縮 習題四習題四第二節第二節 交換能交換能返回返回第五節第五節 磁彈性能磁彈性能第六節第六節 靜磁能靜磁能 在鐵磁體內表現為五種主要的相互作用： 交換能（Fex）： 電子自旋間的交換相

2、互作用產生的能量 磁晶各向異性能（Fk）： 鐵磁體內電子自旋之間及自旋與軌道之間的耦合作用 所產生的能量。 磁彈性能（ ）： 鐵磁體內磁性與彈性相互作用而引起的磁 彈性能量（又 稱磁彈性應力能，簡稱磁應力能）。 退磁場能（Fd）： 鐵磁體與其自身的退磁場之間的相互作用能 外磁場能（FH）： 鐵磁體與外磁場之間的相互作用能。第一節第一節 鐵磁體內的各種相互作用能鐵磁體內的各種相互作用能F 其中，交換能是具有靜電性質的相互作用能，而其余四種則是與磁的相互作用有關的能量。 因此，鐵磁體中，單位體積內的總自由能或總能量F表示為： F代表了單位體積中鐵磁體內部存在的各個元磁矩之間及其與外磁場的相互作用能

3、。HdkexFFFFFF 在第三章中，已經知道鐵磁體內相鄰原子的自旋間的交換能為：由于是近程作用，可設第i個原子與其近鄰原子的交換積分相同，即AijA，對于同種原子的電子有SiSjSjijiijexASSE2jiijjiexASAEcos222SS第二節第二節 交換能交換能 交換能增量（即自旋由完全平行夾角為 時的交換能增加）為：2222222222)cos1 (2)0cos2()cos2(sinijijijijexASASASASASEij一、交換能的微分形式 在實際應用中，為計算方便，常將化為連續函數形式。單位體積內交換能（即交換能密度）2322212)()()(aASexFjiijexA

4、SEcos22簡單立方：體心立方：面心立方：六角晶系：22421321、為自旋矢量相對于x、y、z軸的方向余弦為單胞中原子數，隨晶格結構而異。 當不考慮自旋軌道耦合時，鐵磁體中交換相互作用僅僅只依賴于相鄰原子自旋間的夾角，而于自旋取向無關。所以交換能是各向同性的。一、磁晶各向異性的宏觀描述單晶體： 原子離子按同一方式有規則地周期性排列組成的 固體。多晶體：由許多取向不同的單晶體組成的固體。1、Fe、Co、Ni單晶的磁化曲線（如圖P158 Fig.4-1） 三種單晶體沿不同晶軸方向磁化可以得到不同的磁化曲線（這種特性稱為磁晶各向異性，是鐵磁體單晶的一種普遍屬性），而且沿不同的晶軸方向磁化到飽和的

5、難易程度相差甚大。 易磁化方向與難磁化方向 易磁化方向是能量最低的方向，所以自發磁化形成磁 疇的磁矩取這些方向，在較弱的H下，磁化就很強甚 至飽和。第三節第三節 磁晶各向異性能磁晶各向異性能易磁化軸與難磁化軸： Fe：易軸 100，難軸 111 Ni：易軸 111，難軸 100 Co：易軸 0001，難軸 10102、磁化功鐵磁體磁化時所需要的磁化能 沿鐵磁晶體不同的晶軸方向上，磁化到飽和時所需要的磁化能不同：sMHdMW03、磁晶各向異性能 定義：飽和磁化強度矢量在鐵磁體中取不同方向而改變的能量。 只與磁化強度矢量在晶體中相對的取向有關。在易磁化軸上，磁晶各向異性能最小，Ms與磁疇取向它最穩

6、定.4、磁晶各向異性常數（用以表示單晶體磁各向異性的強弱） 對于立方晶體，定義為：單位體積的鐵磁體沿111軸與沿100軸飽和磁化所耗費的能量差。ssMMHdMHdMK11101000V1 Fe： K0， Ni： K0二、磁各向異性類型按其起源物理機制可分為： 磁晶各向異性 磁性單晶體所固有的 磁形狀各向異性： 反映沿磁體不同方向磁化與磁體幾何形狀有關的特性。 磁矩取向一致退磁場退磁場能（取決于磁體的幾 何形狀，如：由細長微粒組成的磁體、磁性薄膜） 顯出很強的形狀各向異性 磁應力各向異性： 反映磁體內磁化強度矢量取向與應力方向有關的特性。 交換磁各向異性： 將強磁性的Co微粒表面進行微弱 氧化，

7、形成薄層CoO，由于Co是鐵磁 性的，而CoO是反鐵磁性的，在Co與 CoO界面就有交換作用，當磁場熱處理 后，由此引起交換各向異性（做成磁帶，錄音效果好）。CoO薄膜Co包Co粒子 感生磁各向異性： 許多鐵磁性合金與鐵氧體中，通過對磁體施以某種 方向性處理的工藝，可以感生出磁各向異性。感生各向異性又可分為： 磁場熱處理感生各向異性 彈性形變感生各向異性 生長感生各向異性 輻照感生各向異性三、磁晶各向異性能的數學表達式 )(ikf F 1933年阿庫諾夫首先從晶體的對稱性出發將磁晶各向異性能用磁化矢量的方向余弦表示出來。 由于晶體的宏觀對稱性，當Ms處于晶體對稱位置時 可能改變符號，但Fk在對

8、稱位置不變。i（一）、立方晶體的磁晶各向異性能 （Fe、Ni 、尖晶石） 設鐵磁體為未變形的理想晶體1coscoscos332211i可將Fk展開成 的冪級數形式。.)()()()()()(2321222322216434241523122322132122322142322213312321232110)(BBBBBBBFiki 由圖可以看出，x、y、z三個坐標軸不論是正反兩個方面或者是其中任意兩個坐標互換，而 總是保持不變。 上式中只能出現 的偶次函數關系。 并且為輪換對稱。ikF)()()()(2321222322216434241523222130BBBBFik321、)(2)()(1

9、2321222322214342412232221232221又可將B3、B5項并入B0及B6項 最后，立方晶體的磁晶各向異性能 的數學表達式為：ikF.)(232221221232322222110KKKFk一般在考慮Fk相對于Ms取向變化時，常將K0略去：23222122123232222211)(KKFk 其中：K1、K2為磁晶各向異性常數，磁性材料特性參數之一。其大小表征磁性材料沿不同方向磁化至飽和時磁化功的差異。討論： 1、沿100方向（x軸）磁化2、沿110軸磁化：010032132101900KFko4220459010110213213KKFkoo3、沿111軸磁化：27342

10、733333arccos211001111100110210111321321KKFFKFFKKKFkkkkkFe：易軸100，難軸111 001100110KFFkkNi：易軸111，難軸100001100110KFFkk可見K1，K1的符號變化反映了晶體易磁化方向的不同。矢量圖可直觀反映磁晶各向異性能在各個方向上的變化情況： 可見立方晶體的易磁化軸在幾個晶軸方向上，所以立方晶體具有多易磁化軸簡稱多軸各向異性。K10的立方晶體叫三易磁化軸晶體；K10的六角晶體0001,9000J/m1010. 4Co10351易磁化方向在最大，單晶：如ukukuuKFFK00011010Fku六角晶體中磁晶

11、各向異性能一般表示為：.sinsin42210uuukuKKKF2、Ku10, Ku1 + Ku2 0） 垂直于0001的平面： 平面型 (0001)面內 （0 Ku1-Ku2 或Ku12Ku2) 與0001軸成 角的圓錐面： 錐面型 （0 Ku1 2Ku2)0090212arcsinuuK-K212122213212arcsin2sin0sin22sin0cossin4cossin20uuuuuuuukuK-KKKKKKKFP169表44給出了各種鐵磁材料在室溫下的磁晶各向異性常數，反映了如下特點： 晶體對稱性高的K1值低，反之也然。 在晶體結構相同的材料中， K1值的正負代表相反的 磁晶各

12、向異性，正值K1的易磁化方向是負值K1的難 磁化方向。 在尖晶石鐵氧體中，只有CoFe2O4的K10且值較大。 所以少量Co鐵氧體與其他尖晶石鐵氧體構成的復合 鐵氧體具有較低的K1值。 一般而言，隨著T的升高， K1、 K2下降 （Ni除外）。 的兩種材料 按一定比例混合，從而使K10。這樣可提高材料 的軟磁性能。 一般來說，磁晶各向異性常數大的物質，適于作永 磁材料，磁晶各向異性常數小的物質，適于作軟磁 材料。 在材料制備過程中，可有意識地將所有晶粒的易磁 化方向都排在某一特定方向，從而使該方向的磁性 顯著提高。111KHKcii，可使，欲使四、磁晶各向異性的來源 關于磁晶各向異性的微觀起源

13、的理論研究，幾乎與自發磁化的量子理論同時開始，早在1931年就有布洛赫與金泰爾、阿庫諾夫、范弗列克、馮索夫斯基和布魯克斯等人的工作，近期有曾納、凱弗、沃爾夫以及芳田與立木等人的工作。 其具體模型可分為兩大類： 以能帶理論為基礎的巡游電子模型 可用來解釋3d鐵族及其合金的磁晶各向異性。（由于 鐵族金屬離子狀態過于復雜，其交換作用本身尚未得 到滿意的解釋，故這方面進展緩慢。） 以局域電子為基礎的單離子模型與雙離子模型 適用于鐵氧體和稀土合金 單離子模型：等效的異性自旋哈密頓量。雙離子模型：包括磁偶極矩相互作用以及各向異性交換 作用。(一)、雙離子模型 1、磁偶極矩相互作用 按經典理論，電子自旋之間

14、的磁相互作用能為：電子的矢徑電子到：蘭德因子，jiggEijjiijijjijiijjiBmrrrSrSrSS5322)( 3 這是一種長程作用，Em隨rij的變化比較緩慢當Si與Sj平行取向時：的夾角與ijiijjiijijjiBmgErSrSS:)cos31 (3222 對于均勻磁化的立方晶體該項能量是與方向無關的常 量。 對于單軸晶體，該項能量與方向有關。 但對于某些鐵磁體而言，該能量數量級太小，不足 以完全解釋觀察到的磁晶各向異性。如：MnBi合金的 Fk ，而其磁偶極矩間相互作用能僅有37/10cmerg35/10cmerg 故只能把磁偶極矩相互作用視為產生磁晶各向異性的原因之一。2

15、、各向異性交換作用 離子間的各向異性交換作用產生于電子的自旋軌道耦合與各向同性的海森堡交換作用的聯合效應。 在電子自旋的相互作用中，除了各向同性的交換作用外，還要受電子自旋矩與軌道矩之間的耦合作用的影響。分布于晶格上的原子或離子，由于受到領近原子的電場作用，使電子軌道矩失去了在空間的方向對稱性，通過電子自旋矩與軌道矩的耦合作用，便產生了電子自旋間各向異性的交換作用能。范弗列克稱之為“準偶極矩相互作用”或“各向異性交換作用” 這個能量表達式與磁偶極矩作用能類似，可寫為： ：有效交換積分，且其中：各向異性AgACgCCEijijijBijijjiijijjijijiijij232222)(3rrr

16、rrSrSSSr這是一種近程作用，其能量隨rij的增大而迅速降低。 利用各向異性交換作用可定性解釋某些單軸鐵磁晶體的 磁晶各向異性。如：Co：計算值： ， 實驗測定： 對于立方晶體，上式仍不隨方向變化，需要考慮準四極 矩相互作用能，其中與方向有關的部分為：原子/10151ergK原子（略小）/105 . 0161ergK 在數量級上符合）原子實測值：原子：計算值：(/1054. 0/102)()(1711714222ergKergDKFegAACDDijijijijijjijiijijrrSrSr（二）、單離子模型(等效的異性自旋哈密頓量） 這是由于磁性離子本身的自旋軌道耦合作用與晶體場的聯合

17、效應所產生的磁晶各向異性。 在離子化合物（如鐵氧體）中，磁性離子被非磁性離子隔開，因此磁性離子間的各向異性交換作用較弱，不足以產生強的磁晶各向異性。但磁性離子受到很強的晶場作用，使磁電子的狀態發生變化，造成軌道動量矩“部分凍結”，未被凍結的那一部分軌道動量矩受晶場的作用被固定于某些特定的方向上，通過自旋軌道耦合，使自旋磁矩在空間的方向受到約束，從而造成各向異性。 在單離子模型中，磁晶各向異性能來源于每一個磁性離子的磁晶各向異性能 ijE 表示第i個次晶格的磁性離子的 平均自旋方向與晶位對稱軸之間的夾角。 角標i表示離子所處的晶位 j表示離子所處的量子狀態 顯然，離子的各向異性能應為等效的異性自

18、旋哈密頓量與分子場哈密頓量之和的本征值，而一旦求出 便可用波爾茲曼統計分布而求出系統的各向異性自由能。 ijEjiNiSLiijNiiijTkEiiiiBiHreVrereZHEHeZZNTkFBij12122/)()(21*21lni 理論與實驗表明：鐵氧體的磁晶各向異性主要來源于“單離子”機制，各向異性的交換作用以及磁偶極矩作用是次要的。 近10年來，單離子模型在計算稀土合金中稀土離子的各向異性方面也取得了很大的進展。 目前這一理論已經日趨成熟，并得到日益廣泛的應用。一、磁致伸縮現象與磁致伸縮系數 1、定義： 鐵磁晶體在外磁場中磁化時，其形狀與體積發生變 化，這種現象叫磁致伸縮。a、磁致伸

19、縮的三種表現：線磁致伸縮體積磁致伸縮：鐵磁體被磁化時其體積大小的相對 變化。縱向磁致伸縮：沿磁場方向尺寸大小的相 對變化。橫向磁致伸縮：垂直于磁場方向尺寸大小 的相對變化。第四節第四節 磁致伸縮磁致伸縮b、磁致伸縮效應與磁化過程有一定的聯系 體積磁致伸縮只有在鐵磁體技術磁化到飽和以后的順磁過程才能明顯表示出來，因此，磁致伸縮的討論將主要限于線磁致伸縮（簡稱為磁致伸縮）。 磁致伸縮的逆效應是應變影響磁化鐵磁體的壓磁現象。2、磁致伸縮系數 磁致伸縮的大小與外磁場的大小有關：在外磁場H達到飽和磁化場時，縱向磁致伸縮為一確定值 ，飽和磁致伸縮系數。sa、各種材料的 是一定的，但不同的材料其 是不同的。

20、b、 ，正磁致伸縮：沿H方向伸長，沿垂直于H方向縮短。如：Fe ，負磁致伸縮：沿H方向縮短，沿垂直于H方向伸長。如：Niss0s0s 3、對P196 表45的說明： 室溫下單晶體在不同晶軸方向 不同，說明單晶體的 磁致伸縮具有各向異性： ;也說明磁致伸 縮與磁晶各向異性相關聯的，通常是磁晶各向異 性較 弱時， 也較小。 對鐵氧體而言，除Fe3O4 的 外，其余的 材料的成分對 影響很大 含Co 的合金與鐵氧體，其 很大，CoFe2O4有較大 的負 值。1111000S0SS|SSc、 的數量級： ，達到 就稱為巨磁致伸縮材料。s3610103104、 與T的關系： 隨T的不同而變化，是溫度的函

21、數關系：ssTTc時，磁致伸消失即 。0Fe單晶的 曲線)(T二、磁致伸縮來源 有三個原因導致樣品的形狀與體積的改變：1、自發形變（自發的磁致伸縮） 由交換作用引起： 假設一單疇晶體，在 TTc 時是球形，當它從Tc 以上冷卻下來后，由于交換作用力使晶體自發磁化，與此同時，晶體也就改變了形狀“自發”的變形。 以交換積分A對 的關系曲線即SlaterBetle曲線可以說明：)(0raa、當鐵磁體Au曲線處于橫軸上方上升段時： 設球形晶體中在Tc以上原子間距為a1，對應A1，降至 Tc以下后，原子間距為a2，對應A2，由圖知A2A1, 由：ijexASEcos22 知： Eex2a1,尺寸增大0s

22、b、同理，若鐵磁體的A與u的關系處于下降的一段的話， 則鐵磁體從順磁狀態轉變為鐵磁狀態時，尺寸將縮 小0s2、場致形變（場致伸縮） 當磁場比飽和磁化場Hs小時（HHs時，樣品的形變主要為體積磁致伸縮。0VV 體積磁致伸縮在HHs才發生，此時樣品內的MMs，而飽和磁化強度Ms的產生及變化是與交換作用有關的。 所以體積磁致伸縮是與交換作用有關的，故為各向同性，而線磁致伸縮的原因是軌道耦合與SL耦合相疊加的結果，因而是各向異性的。3、形狀效應 對于一個球形單疇晶體，設其內部無交換作用與SL耦合作用，而只有退磁場能 ，為降低此退磁場能，樣品體積要縮小；并且在磁化方向要伸長（球形橢球形），以減小退磁因子

23、N。VMNEsd2021三、自發形變對磁晶各向異性能的影響（實際晶體） 前面討論的Fk的表達式，只考慮了理想晶體的情形， Fk只與 有關，對于實際的鐵磁晶體，由于存在自發形變，所以Fk與Ms的取向 以及晶體的形變Aik有關。ii 均有關和為磁彈性能，與有關形變為純彈性能，只與晶體有關與向異性能，只為未考慮形變的磁晶各其中：ikiikimsikikelaiikikimsikelaiKikiikAAFAAFFAFAFFAfF,當不考慮應力的影響，只考慮自發磁化引起的自發形變 時，則鐵磁體廣義磁晶各向異性能為：000ikikAFAFFFimselaikk0ikA)()(232221223212322

24、222110KKKFk彈性模量磁彈性耦合系數，其中：:;:.3.32222242412343222211202210110000CaCaCaaKCaCaCaKKKKKKKKKKi 自發形變的廣義磁晶各向異性能的表達式與未形變的理想晶體的純磁晶各向異性能表達式形式完全相同(僅是磁晶各向異性常數大小進行修正）。四、磁致伸縮的計算(一)、立方晶體的磁致伸縮唯象表述xyzP0(x0,yo,z0)P(x,y,z)r0r0030020010rzryrxri的方向余弦表示矢徑以3103303102203101100kkkkkkkkkikArzAryArxA 的關系知：張量由前面已討論的與形變31,00031

25、,002131,0031,020222220000310312303223033232023202322022210212220231013210122101121202121211,(222222222kikiikkikiikkikiikkikiikikikkiikArrrArArrArzyxrAAAAAAArzAAAryAAArx項）略去1、當磁化矢量Ms相對于晶軸方向余弦為 時，鐵磁體在 方向上測量的磁致伸縮為：ii13133232212122323222221211323122132221131021031302031,02312312,22312bbbbcabcabkicaAcaAA

26、AAkikikiiiikiikiiiikikiikiiikikiikiiii則令，x100y010z001ii2、磁化方向與測量方向一致時，ii212323222221121232bbb 立方單晶體沿100磁化至飽和時，0, 13211001121111100233232bCCab可見，立方晶體的磁致伸縮為各向異性，111100 立方單晶體沿111磁化至飽和時，3332111124412111233232bCab 為磁化方向與測量方向的夾角， 即是沿H的方向的 。 以上公式只適用于一個飽和磁化的單晶體或磁疇內部（飽和磁化在一個方向）3、立方單晶體的 的計算公式（阿庫洛夫公式）：討論： a、假設

27、磁致伸縮為各向同性的，s111100iiscos,3123cos2其中：s，00)(3)31(23113333222211111323222221212100 說明外場方向的磁致伸縮系數即為多晶體的磁致伸縮系數。 表明多晶體各個方向上的磁致伸縮相同，也表明各向異性的晶粒組成的多晶，若晶粒混亂分布，則多晶體的磁致伸縮各向同性。c、多晶體的磁致伸縮系數與其單晶體的磁致伸縮系數之間的關系：b、對多晶體的磁致伸縮：多晶的磁致伸縮系數，0031cos23000，1111005352 說明多晶體的磁致伸縮是由各個不同取向的晶粒統計平均而得。對c的關系式的證明： 由于實驗中在磁化場方向測量 ，故在多晶體的各

28、晶粒中，測量方向即磁化方向。0ii由阿庫洛夫公式可得單個晶粒的磁致伸縮系數為：212323222221434241223222123222121232322222111143424110021331232321232222211111001003cossinsincossin321利用：xyzi變換形式111100020022224111100100535241cossincossinsin3ddd、對多晶體22900/000/0，(二)、六角晶系的飽和磁致伸縮系數1、易磁化軸為0001。2211221153342323321RRRRii2、易磁化軸位于六角平面2211221153342352

29、323321211RRRRRiiR2，R3，R4，R5為與材料有關的常數。第五節第五節 磁彈性能磁彈性能 外應力：一般包括外加應力與晶體內部由于制備工藝或材料 加工與熱處理等工藝過程中留下來的殘余內應力。 鐵磁體在受到外應力的作用時，晶體中將發生相應的形變，此時晶體的能量除了由于自發形變引起的磁彈性能（歸入廣義的磁晶各向異性能中）外，還有因外應力而產生的非自發形變引起的磁彈性能量（即磁應力能）。 設外應力張量 為外應力強度為 的方向余弦，晶體的總形變張量為：kikiik、，ikikikAAA0受外應力作用的Fk受外應力作用的應力能總自由能為： ikikikimsikelaikikikikiki

30、kAAFAFFAAFAF當 一定時，平衡狀態下有：)3111221(1113)233322222111(1002323222102)212323222221)(21112100(2901003233232KCCKKikAiFikAikFikAFikAikAFi 表明鐵磁晶體在受到外力作用時，其能量相當于在自發形變的磁晶各向異性能基礎上再疊加一項與應力作用有關的磁彈性能 。F應力各向異性能 的表達式為：FiissskiikMFFFcoscos232233232111100131332322121111232322222121100233231131221111233322222111100磁化方

31、向的夾角。與為的應力能。同性的磁致伸縮材料中此為存在應力時，各向，則：若應力對自發磁化強度矢量的影響： 同向或相反與很小，即，或時ssMFa00)0s為張力, 0, 0s為壓力, 0, 0s0sssM，即或時2320為張力, 0, 0s為壓力, 0, 0s0s0sb) 外應力對Ms的取向將產生影響，使得Ms取向不能任意。 若只有應力作用，則視 的正負不同，磁化強度必須在與應力平行或垂直的方向上。這種由應力而產生的各向異性應力各向異性。在改善材料的磁性能時，必須考慮這種效應。（具有單軸各向異性）c、磁化過程中，應力對磁化進程可起到促進或阻礙作用。 但H=0時應力不會導致宏觀磁性。s第六節第六節 靜磁能靜磁能靜磁能（磁場作用能）：鐵磁體與磁場間相互作用能量。靜磁能的分類：v 外磁場能：鐵磁體在外磁場中被磁化，鐵磁體與外磁 場間的相互作用能量。v 退磁場能：鐵磁體與其自身所產生的退磁場之間的相 互作用能（去磁場能）。一、外磁場能F FH cos,)J/m(cos0300HMFMMMHFsHsH則若1、外場對Ms取向有重要作用：也是各向異性的取此方向最不穩定）最高，（取此方向最穩定）最低，（HsHsHFFFMM, 02、H=0FH=0，鐵磁體處于宏觀退磁狀態，對外不顯示磁性，此時鐵