1、線性代數與矩陣論線性代數與矩陣論 劉彬劉彬 南京工業大學理學院南京工業大學理學院 矩陣論矩陣論是高等學校和研究院、所面向研是高等學校和研究院、所面向研究生開設的一門數學基礎課。作為數學的一究生開設的一門數學基礎課。作為數學的一個重要分支個重要分支, 理論具有極為豐富的內容；理論具有極為豐富的內容；作為一種基本工具，矩陣理論在數學學科以作為一種基本工具，矩陣理論在數學學科以及其他科學技術領域都有非常廣泛的應用。及其他科學技術領域都有非常廣泛的應用。特別是計算機的廣泛應用為矩陣論的應用開特別是計算機的廣泛應用為矩陣論的應用開辟了廣闊的前景。辟了廣闊的前景。例如，系統工程、優化方例如，系統工程、優化

2、方法以及穩定性理論等，都與矩陣論有著密切法以及穩定性理論等，都與矩陣論有著密切的聯系。的聯系。從而，使矩陣理論近年來在內容上從而，使矩陣理論近年來在內容上有相當大的更新。因此，學習和掌握矩陣的有相當大的更新。因此，學習和掌握矩陣的基本理論與方法，對于研究生來說是必不可基本理論與方法，對于研究生來說是必不可少的。少的。主要參考書目：主要參考書目：1. 劉劉 彬彬, 線性代數與矩陣論線性代數與矩陣論 ,電子版電子版2. 張明淳，工程矩陣理論，東大出版社張明淳，工程矩陣理論，東大出版社3. 劉慧等，矩陣論及應用，化工出版社劉慧等，矩陣論及應用，化工出版社矩陣論矩陣論內容要點索引內容要點索引線性代數（

3、矩陣代數）線性代數（矩陣代數） Ch.1 線性空間線性空間Ch.2 線性變換線性變換Ch.3 歐氏空間歐氏空間矩陣理論矩陣理論Ch.4 矩陣分析矩陣分析Ch.5 矩陣分解矩陣分解第一章第一章 線性空間線性空間1.1線性空間的定義和性質線性空間的定義和性質 線性空間是我們以前學習過的線性空間是我們以前學習過的n維向量空間的推廣維向量空間的推廣和抽象，它不僅在線性代數和矩陣的有關理論中占有和抽象，它不僅在線性代數和矩陣的有關理論中占有 一一 數域的概念數域的概念 重要的地位，而且它的理論和方法已經滲透到自然科學重要的地位，而且它的理論和方法已經滲透到自然科學和工程技術的許多領域和工程技術的許多領域

4、。設設 P 是由一些復數組成的集合，其中包括是由一些復數組成的集合，其中包括不為不為0）仍是）仍是 P 中的數，則稱中的數，則稱 P 為一個為一個數域數域0與與1，常見數域常見數域：注意：注意：自然數集自然數集N及整數集及整數集Z定義定義都不是數域都不是數域如果如果 P 中任意兩個數的和、差、積、商（除數中任意兩個數的和、差、積、商（除數有理數域有理數域Q； 實數域實數域R；復數域復數域C .是一個數域是一個數域例例 證明：數集證明：數集 ( 2)2 | ,Qaba bQ 證：證： 000 2,110 2, ,( 2),x yQ 又對又對 2,2,xabycd 設設 則有則有 (2)() 2(

5、 2)x yacbdadbcQ 0,1( 2)Q , , ,a b c dQ ()() 2( 2),xyacbdQ 設設20,ab 于是于是也不為也不為0 02ab 矛盾）矛盾） （否則，若（否則，若20,ab 則則2,ab 2,aQb于是有于是有22cdab 為數域為數域( 2)Q).2(22222222Qbabcadbabdac(2)(2)(2)(2)cdababab 二二 線性空間的基本概念及其性質線性空間的基本概念及其性質12121122(,)(,)(,)nnnna aab bbab abab 1212(,)(,)nnk a aakakkakaP 而且這兩種運算滿足一些重要的規律而且這

6、兩種運算滿足一些重要的規律, ,如如 空間空間Pn，定義了兩個向量的加法和數量乘法：，定義了兩個向量的加法和數量乘法： 在在線性代數線性代數中，我們討論了數域中，我們討論了數域 P上的上的n維向量維向量0()() ()0 1 ()()k lkl ()klkl()kkk,nPk lP 足上述這些重要的規律，足上述這些重要的規律，即即 ( ), ( ), ( ) ,f xg x h xP xk lP ( )( )( )( )f xg xg xf x 數域數域P上的一元多頂式環上的一元多頂式環Px中，定義了兩個多中，定義了兩個多項式的加法和數與多項式的乘法，而且這兩種運算項式的加法和數與多項式的乘法

7、，而且這兩種運算同樣滿同樣滿( )( )( )( )( ( )( )f xg xh xf xg xh x ( ) ( )() ( )k l f xkl f x 1 ( )( )f xf x ( )( )0f xf x ( )0( )f xf x () ( )( )( )kl f xkf xlf x ( )( )( )( )k f xg xkf xkg x 設設V是一個非空集合，是一個非空集合，P是一個數域，在集合是一個數域，在集合V中中定義了一種代數運算，叫做定義了一種代數運算，叫做加法加法：即：即對，對， ,V 在在V中都存在唯一的一個元素與它們對應，稱為中都存在唯一的一個元素與它們對應，稱

8、為 的的和和，記為，記為 ；與 定義了一種運算叫做定義了一種運算叫做數量乘法數量乘法：即：即,VkP 在在V中都存在唯一的一個元素中都存在唯一的一個元素與它們對應，稱與它們對應，稱為為 的的數量乘積數量乘積，記為，記為k與.k法還滿足下述規則，則稱法還滿足下述規則，則稱V為數域為數域P上的上的線性空間線性空間：如果加法和數量乘如果加法和數量乘在在 P與與 V的元素之間還的元素之間還加法滿足下列四條規則：加法滿足下列四條規則： 1 ()()k lkl 數量乘法與加法滿足下列兩條規則：數量乘法與加法滿足下列兩條規則： ()klkl （具有這個性質的元素（具有這個性質的元素0稱為稱為V的的零元素零元

9、素） 數量乘法滿足下列兩條規則數量乘法滿足下列兩條規則 : ()() ()kkk,V 對對 都有都有V中的一個元素中的一個元素，使得，使得 ,V ; ;（稱為稱為 的的負元素負元素） 0 在在V中有一個元素中有一個元素0，對，對,0V 有有3 線性空間的判定：線性空間的判定：1 凡滿足以上八條規則的加法及數量乘法也凡滿足以上八條規則的加法及數量乘法也2線性空間的元素也稱為線性空間的元素也稱為向量向量，線性空間也稱，線性空間也稱向量空間向量空間但這里的向量不一定是有序數組但這里的向量不一定是有序數組稱為稱為線性運算線性運算就不能構成線性空間就不能構成線性空間 運算封閉但不滿足八條規則中的任一條，

10、則此集合運算封閉但不滿足八條規則中的任一條，則此集合若集合對于定義的加法和數乘運算不封閉，或者若集合對于定義的加法和數乘運算不封閉，或者 4. 在本書中我們在本書中我們主要討論實數域或復數域上的線主要討論實數域或復數域上的線性空間，分別簡稱為實線性空間或復線性空間。性空間，分別簡稱為實線性空間或復線性空間。 例例1引例引例1, 2中的中的 Pn, Px例例2數域數域 P上的次數上的次數小于小于 n 的多項式的全體，再添的多項式的全體，再添的加法和數量乘法，的加法和數量乘法，法構成數域法構成數域 P上的一個線性空間，常用上的一個線性空間，常用 Pxn表示表示上零多項式作成的集合，上零多項式作成的

11、集合，1110110 ( ),nnnnP xf xaxa xaaa aP 例例3數域數域 P上上 矩陣的全體作成的集合矩陣的全體作成的集合, ,按矩陣按矩陣mn 用用 表示表示m nP 均為數域均為數域 P上的線性空間上的線性空間構成數域構成數域 P上的一個線性空間，上的一個線性空間，按多項式的加法和數量乘按多項式的加法和數量乘 例例4實數區間實數區間 上的所有實值連續函數構成的集上的所有實值連續函數構成的集合合 ，對于通常函數的加法及實數與函數的乘法構成，對于通常函數的加法及實數與函數的乘法構成實線性空間，稱之為連續函數空間。記實線性空間，稱之為連續函數空間。記 為由所有定為由所有定義在實數

12、義在實數R上的連續函數組成的空間。上的連續函數組成的空間。 ,baC)(RC,ba例例5全體正實數全體正實數R，kk aaabab kk aa判斷判斷 R是否構成實數域是否構成實數域 R上的線性空間上的線性空間 .1) 1) 加法與數量乘法定義為：加法與數量乘法定義為： ,a bRkR 2) 2) 加法與數量乘法定義為：加法與數量乘法定義為： ,a bRkR logaabb例例5全體正實數全體正實數R，kk aa1) 1) 加法與數量乘法定義為：加法與數量乘法定義為： ,a bRkR logaabb不封閉，如：不封閉，如： 12221log12 R 所以所以R不構成實數域不構成實數域R上的線性

13、空間上的線性空間. . abab kk aa2)2) 首先，首先，R ，且加法和數量乘法對，且加法和數量乘法對R是封閉的是封閉的. .,kaRkR k aaR , ,且且 ak 唯一確定唯一確定 ,a bRababR , ,且且 ab 唯一確定；唯一確定； 事實上事實上, , 其次，加法和數量乘法滿足下列算律其次，加法和數量乘法滿足下列算律 ()()()()()()abcabcab ca bcabcabc ababbaba R， 111,aaa aR，即即1 1是零元；是零元； 即即a 的負元素是的負元素是 1a 11 aaa ;a R； ()()()llklkklklakaaaakla ;(

14、)()()k lklklklaaa aaak al a ()()()kkkkkkabkababa bab R構成實數域構成實數域 R上的線性空間上的線性空間 ;()()k ak b 1(4),aRRa 11,aa從線性空間的定義，可推導出它的一些簡單性質。從線性空間的定義，可推導出它的一些簡單性質。 證明證明這里僅證明（這里僅證明（1）( (3）, ,其余的證明留作練習。其余的證明留作練習。（1） 零向量零向量0是唯一的是唯一的.（3）00, （4）若）若 ，則，則 或或 。 0k0k0 (1) (1) 設設 和和 都是零元素都是零元素, ,則由定義有：則由定義有： 011000 ,10100

15、0 ,又又 110000 ,100零元素是唯一的。零元素是唯一的。 （3）先證先證 00( (注意等號兩邊的注意等號兩邊的“0”代表不同的對象）；代表不同的對象）； （2） 一個向量的負向量是唯一的一個向量的負向量是唯一的.00,k( 1); 對任意對任意 ,V0是是V中的零元素，根據零元素的中的零元素，根據零元素的唯一性唯一性得得 000.再證再證 ( 1) ( 1) ( 1)是是 的負元素，根據負元素的的負元素，根據負元素的唯一性唯一性得得 ( 1). 最后證最后證 00.k0()kk ()kk 10(10)1(1 ( 1)0 ()kk( 1)kk()00kk 0 1.2 線性空間的基、維

16、數與向量的坐標線性空間的基、維數與向量的坐標 即線性空間的構造如何？即線性空間的構造如何？怎樣才能便于運算？怎樣才能便于運算？問題問題如何把線性空間的全體元素表示出來？如何把線性空間的全體元素表示出來？這些元素之間的關系又如何呢？這些元素之間的關系又如何呢？（基的問題）（基的問題）問題問題線性空間是抽象的，如何使其元素與具體的東西線性空間是抽象的，如何使其元素與具體的東西數發生聯系數發生聯系, ,使其能用比較具體的數學式子來表達？使其能用比較具體的數學式子來表達？（坐標問題）（坐標問題） 在線性代數中討論在線性代數中討論n維向量時，我們曾引進了線性組維向量時，我們曾引進了線性組合、線性相關合、

17、線性相關(無關無關)、等價向量組、極大無關組等許多重、等價向量組、極大無關組等許多重要概念要概念, 而這些概念僅與而這些概念僅與n維向量的加法及數乘有關，所以維向量的加法及數乘有關，所以不難將它們推廣到一般的數域不難將它們推廣到一般的數域P上的線性空間上的線性空間V。 定義定義3 設設 是向量空間是向量空間V的的r個向量，個向量， 是數域是數域P中任意中任意r個數個數. 我們把和我們把和r,2112,ra aarraaa2211叫做向量叫做向量 的一個向量組合的一個向量組合或或線性表示線性表示.r,21 如果如果V 中某一向量中某一向量 可以表示成向量可以表示成向量 的線的線性組合，我們也說性

18、組合，我們也說 可以由可以由 線性表示線性表示.r,21r,21例例 向量組向量組 1=(1,2,3), 2=(1,0,2)與向量組與向量組 1=(3,4,8), 2=(2,2,5), 3=(0,2,1) 定義定義4 設設 和和 是向量是向量空間空間V的兩個向量組的兩個向量組,如果每一個如果每一個 都可以由都可以由 線性表示線性表示,而每一而每一 也可以由也可以由 線性表示線性表示, 那么那么,21r12,.,s iir,2112,.,s 零向量顯然可以由任意一組向量零向量顯然可以由任意一組向量 線性線性表示，因為表示，因為120000.rr,21就說這兩個向量組就說這兩個向量組等價等價.等價

19、等價.定義定義5 設設12,rV 若存在若存在不全為零不全為零的數的數 12,rk kkP，使得，使得 11220rrkkk則稱向量組為則稱向量組為線性相關線性相關的的；12,r 如果向量組如果向量組 不是線性相關不是線性相關的，即的，即12,r 11220rrkkk只有在時才成立。只有在時才成立。 120rkkk則稱則稱為為線性無關線性無關的的 12,r 例例 令令P是任意一個數域。是任意一個數域。 中向量中向量3P 1=（1,2,3), 2=（2,4,6), 3=（3,6, 9） 例例 5在連續函數空間在連續函數空間C（R）中，討論向量組的）中，討論向量組的 線性相關性線性相關性: : 2

20、1,cos,cos2 .xx解解 1cos22cos2xx0cos)2(2cos12xx根據定義根據定義5，向量組，向量組 是線性相關是線性相關的，但向量組的，但向量組 中任意兩個都是線中任意兩個都是線性無關的。性無關的。 21,cos,cos2xx21,cos,cos2xx 1=（1,0,0)， 2=（0,1,0)， 3=（0,0,1）線性相關線性相關;線性無關。線性無關。 例例 6 6在多項式空間在多項式空間 中，討論向量組的線性中，討論向量組的線性關性關性: : xR211, ,.nx xx解解 若若 0112210nnxkxkxkk 則必有則必有 01210nkkkk12, 1nxxx

21、是線性無關的。是線性無關的。 2. 設向量組設向量組 線性無關線性無關,而而 線性相關線性相關.那么那么一定可以由一定可以由 線性表示線性表示.,21r,21rr,211. 單個向量單個向量 是線性相關的充要條件是是線性相關的充要條件是 0; r,213. 設向量組設向量組 線性無關線性無關,而而且可以被且可以被 線性表示，則線性表示，則 . .由此推出，兩個由此推出，兩個,21rs,21sr 等價的線性無關向量組必定含有相同個數的向量。等價的線性無關向量組必定含有相同個數的向量。 仿照以前的證明，可得以下常用的一些仿照以前的證明，可得以下常用的一些結論結論 : 兩個以上的向量兩個以上的向量

22、線性相關的充要條件線性相關的充要條件是其中一個向量可用其余向量線性表示。是其中一個向量可用其余向量線性表示。 定義定義6 設設V是數域是數域P上一個向量空間上一個向量空間.V 中滿足下列兩個條件中滿足下列兩個條件的向量組的向量組 叫做叫做V的一個的一個基基:n,21（1） 線性無關；線性無關； n,21（2）V的每一個向量都可以由的每一個向量都可以由 線性線性表示表示:n,211122.nnxxx 線性空間的基底，維數與坐標線性空間的基底，維數與坐標向量空間的基所含向量個數向量空間的基所含向量個數n叫做的叫做的維數維數, 記記nV dim,而而12( , ,)nnx xxPn,21關于基關于基

23、稱為稱為的的坐標坐標. 注意注意：1.若線性空間若線性空間V只含有一個零向量，則稱只含有一個零向量，則稱V 2.若若V中有任意多個線性無關的向量，則稱中有任意多個線性無關的向量，則稱V是無是無限維的。例如實多項式空間限維的。例如實多項式空間 中，對任意正整數中，對任意正整數n,n, 都是線性無關，從而都是線性無關，從而 是無限維是無限維. . R x12, 1nxxx R x 3.若若V有一個基，則基是不唯一的。但由于有一個基，則基是不唯一的。但由于V的不同的不同基是等價的，從而不同基含有相同個數的向量，因此基是等價的，從而不同基含有相同個數的向量，因此V的的維數是唯一確定。另外，根據前面的結

24、論維數是唯一確定。另外，根據前面的結論2， 在在V的一的一個基個基 下的坐標下的坐標 是唯一的。是唯一的。 n,2112( , ,)nx xx是零空間，并稱零空間的維數為是零空間，并稱零空間的維數為0;本課程主要討論有限維線性空間，不討論無限維線性空本課程主要討論有限維線性空間，不討論無限維線性空間間。 例例 3 維幾何空間維幾何空間R3 ( , , ) , ,x y z x y zR123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)是是R3的一組基；的一組基； 123(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)也是也是R3的一組基的一組基一般地，向量空間一般地，向量空間12( ,),1,

25、2, nniPa aaaP in為為n維的，維的， 12(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)n就是就是 Pn 的一組基稱為的一組基稱為Pn的的標準基標準基. 1234, 下的坐標，其中下的坐標，其中 1234(1,1,1,1),(1,1, 1, 1),(1, 1,1, 1),(1, 1, 1,1) 解：解：設設 1 1223 344xxxx，則有線性方程組，則有線性方程組12341234123412341211xxxxxxxxxxxxxxxx解之得，解之得， 12345111,4444xxxx 在基在基 1234, 下的坐標為下的坐標為 5 111( ,)4 444 例例 在線性空間

26、在線性空間 中求向量中求向量 在基在基 4P(1,2,1,1) 例例7求復數集求復數集C分別作為實線性空間和復線性空分別作為實線性空間和復線性空間（對于通常的加法與數乘）的一個基、維數及任間（對于通常的加法與數乘）的一個基、維數及任一復數一復數 在對應基下的坐標。在對應基下的坐標。bia 解解 (1)(1)C看成實線性空間看成實線性空間, ,則可驗證則可驗證: :bia( , ).a b （2）C看成復線性空間看成復線性空間, ,則可驗證則可驗證: :bia.abi 例例8求實線性空間求實線性空間 的一個基、維數及任意矩陣的一個基、維數及任意矩陣 在這個基下在這個基下的坐標。的坐標。 2 22

27、 2(), ,1,2.ijijRAaaR i j2 2()ijAa其維數其維數dimC=2dimC=2，復數，復數 在基在基1, i1, i下的坐標為下的坐標為 1, i 是是V的一個基的一個基，其維數其維數dimC=1dimC=1，復數，復數 在基在基1下的坐標為下的坐標為 1 是是V的一個基，的一個基， 解解 設設 1110,00E1201,00E2100,10E2200.01E 若有實數若有實數 ，使得，使得 4321,kkkk0224213122111EkEkEkEk是是 中線性無關組，又對任意中線性無關組，又對任意 ，有，有則容易推得則容易推得 , , 故故 12340kkkk222

28、11211,EEEE2 2()ijAa22R2222212112121111EaEaEaEaA11122122,EEEE 是的是的 個基，個基， 22R4dim22R11122122(,).aaaa任意矩陣任意矩陣A在這個基下的坐標為在這個基下的坐標為 解解211, ,nx xx211, ,nx xx可由可由 線性表示，所以線性表示，所以 例例9求實線性空間求實線性空間 的一個基、維數及多項式的一個基、維數及多項式 在這個基下的坐標。在這個基下的坐標。 nR x1011( )nnf xaa xax（a為任一實數）也是為任一實數）也是 的一個基。根據的一個基。根據 公式，公式，任意任意 有：有：

29、 121)(, 1nnaxax nR xTaylor( ) nf xR x1)1(2)()!1()()(! 2)()()()( nnaxnafaxafaxafafxf1011( ) nnnf xaa xaxR x是線性無關的，且任意是線性無關的，且任意 為為 的一個基，其維數的一個基，其維數 ， 在這個在這個 nR xnxRndim)(xf011(,).na aa211, ,nx xx基下的坐標為基下的坐標為 另外，容易驗證另外，容易驗證故故 在在 下的坐標為下的坐標為 )(xf11,()nxaxa(1)( )( )( ( ),( ),).2!(1)!nfafaf afan例例10已知全體正實

30、數已知全體正實數R對于加法與數量乘法：對于加法與數量乘法：,kababk aaa bRkR 構成實數域構成實數域R上的線性空間，求上的線性空間，求R的維數與一組基的維數與一組基. . 解解:即即 x 可由可由 a 線性表出線性表出.任取任取R中的一個數中的一個數 a , 且且 ，則，則a是線性無關的是線性無關的.1a ,log,又有使axRkxR 故故R是一維的，任一正實數就是是一維的，任一正實數就是R的一組基的一組基.( 1)a ,11xRxxx 數數 1 是是 R 的零元素的零元素.kak a logaxxa 1.3基變換與坐標變換基變換與坐標變換 從例從例9可看出，同一個向量在兩個不同基

31、下的坐可看出，同一個向量在兩個不同基下的坐標一般是不同的，標一般是不同的，因此在處理一些問題時，如何因此在處理一些問題時，如何選擇選擇適當的基適當的基使我們所討論的向量的坐標比較簡單是一個使我們所討論的向量的坐標比較簡單是一個實際的問題為此我們首先要知道同一向量在不同基實際的問題為此我們首先要知道同一向量在不同基下的坐標之間有什么關系，即隨著基的改變，向量的下的坐標之間有什么關系，即隨著基的改變，向量的坐標是如何變化的坐標是如何變化的. 本節主要討論這個問題。本節主要討論這個問題。 12,n 定義定義7 設設n維線性空間維線性空間V中有兩個基中有兩個基 （舊的舊的） 與與 （新的新的） 它們之

32、間的關系為：它們之間的關系為：12,n nnnnnnnnnnaaaaaaaaa22112222112212211111此關系可此關系可形式地寫成形式地寫成 1112121222121212,nnnnnnnaaaaaaaaa 12,nA 1112121222121212,nnnnnnnaaaaaaaaa 12,nA n,21 由過渡矩陣的定義看出，過渡矩陣由過渡矩陣的定義看出，過渡矩陣A的第的第j列正好是向量列正好是向量 在基在基 下的坐標（下的坐標（ ）。 jnj, 2 , 1上式稱為上式稱為基變換公式基變換公式，其中矩陣，其中矩陣 稱為從基稱為從基 到基到基 的的過渡矩陣過渡矩陣。可以。可以

33、證明過渡矩陣必是可逆的。證明過渡矩陣必是可逆的。 n,21()ijn nAa12,n 在形式書寫法下有下列運算規律在形式書寫法下有下列運算規律1212(,) )(,)()nnA BAB 1212(,)(,)nnAB ； 1212(,)(,)nnAA ；1122(,)nnA 若若 12,n 線性無關，則線性無關，則1212(,)(,).nnABAB 12(,)()nAB 定理定理1設設n維線性空間維線性空間V的一個基的一個基 到另一到另一個基個基 的過渡矩陣是的過渡矩陣是A，V中中 元素元素 在這二在這二個 基 下 的 坐 標 分 別 是 （個 基 下 的 坐 標 分 別 是 （ ） 和和（ ）

34、 ，則有坐標變換公式，則有坐標變換公式 或或 nxxx,21nyyy,21nnyyyAxxx2121nnxxxAyyy2112112,n n,21 證明證明nnyyy2211 可形式地寫成可形式地寫成12(,)n nyyy21Anyyy2112(,)n12( ,)n nyyy21 又又 nnxxx221112(,)n 12nxxx根據向量在基下的根據向量在基下的坐標唯一性坐標唯一性得到得到 nnyyyAxxx2121nnxxxAyyy21121 或或例例 在在Pn中，求由基中，求由基 12,n 到基到基 12,n 過渡矩陣其中過渡矩陣其中 12(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)n

35、12(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)n解：解： 的過渡矩陣及由基的過渡矩陣及由基 12,n 12,n 到基到基 的的并求向量并求向量 在基在基 下的坐標下的坐標. . 12,n 12(,)na aa 112n 22n nn 11212100110(,)(,)111nn 1210001 100(,)01 100001n 而，而， 1212100110(,)(,)111nn 故，由基故，由基 12,n 到基到基 12,n 的過渡矩陣為的過渡矩陣為100110111A 12,n 12,n 到基到基 由基由基的過渡矩陣為的過渡矩陣為 110001 10001 100001A 11212100110(,)(,)111nn 1210001 100(,)01 100001n 而，而，例例 考慮中考慮中 以下兩組向量：以下兩組向量： 3R1 , 3 , 2 ,1 , 1 , 1 ,2 , 1 , 33211 , 0 , 2 ,3 , 2 , 1 ,1 , 1 , 1321證明：證明： 和和 都是的基求出由都是的基求出由基基 到基到基 的過渡矩陣。的過渡矩陣。321 , ,321 , ,321 , ,321 , , 解：解： 123123, , ,A , B,321321321 , ,3R BA,-1321321321,321,因此，由