1、雙曲線的幾何性質雙曲線的幾何性質 的雙曲線方程。求經過的雙曲線方程。且過點有相同焦點，求與雙曲線)5 ,316(),415, 3(. 2)3154,10(13664. 122QPyx1、范圍：、范圍： 方程在直線在 之間圖象axax,沒有沒有，byax22221axa，x或將方程化為 ，by022因為0122ax所以，ax122于是，雙曲線上點的坐標（x,y）都適合 22ax 即所以2、對稱性：、對稱性： 1）幾何法觀察雙曲線的形狀，可以發現雙曲線既是 A 軸對稱圖形軸對稱圖形 又是 A中心對稱圖形中心對稱圖形 實軸長： A2、對稱性：、對稱性： 2）代數法1）將方程的x用一x代替，方程不變，

2、雙曲線關于 對稱2）將方程的y用一y代替，方程不變，雙曲線關于 對稱 3）將方程的x和y分別用一x和一y代替，方程不變，雙曲線關于 對稱y軸軸 x軸軸 原點原點 是雙曲線的對稱軸， 是雙曲線的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。坐稱軸坐稱軸原點原點3、頂點：、頂點： 令，y 0得a，x 因此，雙曲線和x軸有兩個交點a2雙曲線的實軸： A雙曲線的虛軸： A虛軸長： A雙曲線和y軸有兩個虛交點、bB), 0(1)0(2，bBb221AA21BB、aA)0 ,(1)0(2a，A實半軸長： A虛半軸長： Aab 實軸與虛軸等長的雙曲線實軸與虛軸等長的雙曲線叫叫等軸雙曲線等軸雙曲線特殊特殊:)0

3、(22mmyx222aac4、離心率：、離心率： 因為ca0，所以離心率的取值范圍是： 。1）離心率：雙曲線的焦距與實軸的比ace1e122ac2）雙曲線的離心率對所代表雙曲線的形狀的影響 由于 ab12e所以e越大， 也越大， ab即漸近線 的斜率絕對值越大 xaby這時雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊 ，結論：雙曲線的離心率越 ，大大 它的開口就越 。 開闊開闊 注意：焦點在y軸上的雙曲線的幾何性質可以類似得出，雙曲線的幾何性質與坐標系的選擇無關，即不隨坐標系的改變而改變aac22ace 222bac二四個參數中，知二可求、在ecba 等軸雙曲線的離心率等軸雙曲線的離心率e= ?2的雙曲線

4、是等軸雙曲線離心率2eA1A2B1B2abc222cbax0y幾何意義與這兩條直線 A的平行線 。x。y321）漸近線的含義：5、漸近線：、漸近線： 14922yx，經過A1（-3，0），A2（3，0）也可以看到，雙曲線的各支向外延伸時，對于雙曲線12222byaxxaby2）漸近線的求法的漸近線的方程是雙曲線作y軸的平行線經過B1（0，-2），B2（0，2）作x軸14922yx，x3角線所在直線的方程是2y逐漸接近逐漸接近四條直線圍成一個矩形，矩形的兩條對12222bxayxbay的漸近線的方程是雙曲線利用漸近線可以較準確的畫出雙曲線的草圖利用漸近線可以較準確的畫出雙曲線的草圖雙曲線的漸近線

5、方程雙曲線的漸近線方程對于雙曲線 ，把方程右邊的“1”換成“0”，得雙曲線漸近線方程為)0, 0(12222babyax.002222xabybyaxbyax或或思考：對于雙曲線 的漸近線有怎樣的結論呢？)0, 0( 12222babxay例例1：求下列雙曲線：求下列雙曲線 的實半軸長和虛半軸長、焦的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程。點坐標、離心率、漸近線方程。 14416922xy422 xy1）2）分析：把方程化為標準方程解：1）把方程 化為標準方程14416922xy1342222xy由此可知，實半軸長a=4，虛半軸長b=3；5342222bac焦點坐標是（0，一5），（

6、0，5）；離心率45ace漸近線方程為xy34例例3：求下列雙曲線：求下列雙曲線 的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程。率、漸近線方程。 14416922xy224yx 1）2）解：2）把方程 化為標準方程分析：把方程化為標準方程224yx 1222222yx由此可知，實半軸長a=2，虛半軸長b=2；22222222bac焦點坐標是 ， ；離心率2ace漸近線方程為xy) 0 , 22() 022(，221492454xye例 求與橢圓有公共焦點，且離心率的雙曲線方程。.22185xy例例: :求求以以橢橢圓圓的的焦焦點點為為頂頂點點，而而以以

7、橢橢圓圓的的頂頂點點為為焦焦點點的的雙雙曲曲線線的的方方程程。把橢圓與雙曲線的性質分析、歸納，完成下表把橢圓與雙曲線的性質分析、歸納，完成下表 ： ?y?x222bac222baca，xabyba，xax ，a是實長半軸長，b是虛短半軸長，c是半焦距a是長半軸長，b是短半軸長，c是半焦距平面內與兩個F1，F2的距離之差的絕對值等于常數（小于|F1F2）的點的軌跡平面內與兩個F1，F2的距離之和等于常數（大于|F1F2）的點的軌跡范圍a、b、c的意義a、b、c關系標準方程圖形定義雙曲線橢圓分類)0( 12222babyax) 00( 12222，babyaxRy把橢圓與雙曲線的性質分析、歸納，完

8、成下表把橢圓與雙曲線的性質分析、歸納，完成下表（續上表） ，aA)0 ,(1)0 ,(2aA),0(1bB), 0(2bB) 0 ,(1aA )0 ,(2aAace ace ，cF)0 ,(1)0 ,(2cF，cF)0 ,(1)0,(2cFxaby，無關于x軸和y軸對稱，也關于原點對稱關于x軸和y軸對稱，也關于原點對稱漸近線對稱性雙曲線橢圓分類頂點 離心率 焦點坐標 ,45516:dMFMPMxlMd的軌跡就是集合點的距離，根據題意，到直線是點解：設.45516)5(2xyx由此得,14416922yx 簡，得將上式兩邊平方，并化191622yx即所以，點所以，點M的軌跡是實軸、虛軸長分別為的

9、軌跡是實軸、虛軸長分別為8、6的雙曲線。的雙曲線。MxyOHFd例5 點M(x,y)與定點F(5,0)的距離和它到直線的距離的比是常數 ,求點M的軌跡.16:5l x 54 22222222222210000210nxyyxmmnxymnxyxyabxyab 共漸近線的雙曲線系：漸近線方程為：即的雙曲線方程可設為：時表示焦點在 軸上的雙曲線；時表示焦點在 軸上的雙曲線；與雙曲線有相同的漸近線的雙曲線方程可設為： 222213 2 391629213213 2 2164xyyxxy 求下列雙曲線的標準方程：（1）與雙曲線有相同漸近線，且過點，；漸近線方程為：且過點，（3）與雙曲線有相同焦點，且過

10、典點例題，型； 2210916xy 解： 設所求雙曲線方程為912916則，2219164xy故所求雙曲線方程為 220332xyyx 漸近線方程可化為22094xy 設所求雙曲線方程為8114294則，解得22222194188xyxy故所求雙曲線方程為即22191644xy即14解得 222213 2 391629213213 2 2164xyyxxy 求下列雙曲線的標準方程：（1）與雙曲線有相同漸近線，且過點，；漸近線方典程為：且過點，（3）與雙曲線有相同焦點，且過點例題，型； 32 5 0解： 焦點為， ，221 02020 xymmm設所求雙曲線方程為184120mm則810m 解得

11、或（舍）221128xy故所求雙曲線方程為122212121,916,.3F PFxyF FPFPFS例5、雙曲線的左右焦點為，點 在雙曲線上，且求Py.F2F1O.x64mn 22221222221211,xyyxe eabbaee例6、雙曲線與的離心率分別是則的最小值為？babeabae222221,解：1112221ee221)(ee )11)(2(2221222121eeeeee)2211 (212222212112eeeeeeee824222)(min21ee20308 33xyxy例7、求漸進線方程為，且直線所截得的弦長為的雙曲線方程.例例 ：如圖所示，過雙曲線：如圖所示，過雙曲線

12、 的右焦點的右焦點F2,傾斜角為傾斜角為 30的直線交雙曲線于的直線交雙曲線于A，B兩點，求兩點，求|AB|22136xyF1F2xyOAB法一法一: :設直線設直線ABAB的方程為的方程為3(3)3yx 與雙曲線方程聯立得與雙曲線方程聯立得A、B的坐標為的坐標為92 3( 3, 2 3),( ,)55 由兩點間的距離公式得|AB|=1635例例 ：如圖所示，過雙曲線：如圖所示，過雙曲線 的右焦點的右焦點F2,傾斜角為傾斜角為 30的直線交雙曲線于的直線交雙曲線于A，B兩點，求兩點，求|AB|22136xyF1F2xyOAB法二法二: :設直線設直線ABAB的方程為的方程為3(3)3yx 與雙曲線方程聯立消與雙曲線方程聯立消y得得5x2+6x-27=0由兩點間的距離公式得由兩點間的距離公式得222212121212212121|()()()()32316()4335ABxxyyxxxxxxxx 設設A、B的坐標為的坐標為(x1,y1) 、(x2,y2),則則1212627,55xxxx 22| 8 3AF y.F2F1O.xAB時，不滿足條件解：當0k),(),(),(002211yxyxByxA中點坐標設22112222113113xyxy2121212113yyx