1、專題八 自選模塊 3310020|()1.2.3.abcabcabcabcaxbc caxbcaxbcaxbc ccaxbcxaxbc xaxbc cababab ， ，當且僅當時，等號成立或；，型不等式的解法，一般用零三個正數的算術平均幾何平均不等式絕對值不等式的解法絕對值的三點分段討角不等式論法或數形結合法注意等號成立的條件 R12122222221212n1 1222121212()(bbb)()4.0nnnnnnnnaaabbbaaaa ba baaaa bbbbbbbR， ， ， ， ， ， ，則，當且僅當或時等柯西不等式號成立 2221.1192222abcabcabcbccaab

2、abbccabccaab 已知正數 ， ， 滿足求證：；求例1的最小值 12()abc中分子、分母同除以，使分子變為常數，分母用基本不等式求最小值即可可構造柯西不等式 此外可乘上分母之和分析：求得 11.111111111()3()()()32229.111.11199abcbccaababcabcabcabcbacbacabbccab ac bc aa bb ca cabcbccaababc：證明：因為所以，即解析 22222222222 2(2)(2)22241.2223132224.3abbccabccaabbccaababbccaabbccaabcbccaababbccaabcbcca

3、ab 由柯西不等式得，將，代入得，當且僅當時，有最小值柯西不等式應用的關鍵在于緊扣題意構造出兩組數，要求熟悉常見的構造方式；常規的不等式證明問題的方法技巧也要熟練運用 222824444333.333xyzxyzxyzxyz已知 ， ，且，求證：，變式，訓練 R22222218820.28820044404.44.333xyzxyxyxyzzxytz tzzzyx 方法 ：顯然，所以 ， 是方程的兩個實根由證明：，得同理可得，2222222222282411(11)24284.4444.33yzxyzxyzyzxxxyz方法 ：顯然，根據柯西不等式有，即，解得同理可得， 22211222(20

4、21110.)aabcabcabbcbccamxxxmx 設正實數 ， ， 滿足，求的最小值；已知，解關于例2浙江不等式選的考R 222222231()2(2 )(2 )2221.2223abcabbccaabbccaabcabcabcabcabbcca：運用柯西不等式與基本不等式求最小值，絕對值不等式問題可用零點分段法進行分類討論去絕對值： 根據柯西不等式有解析，所以分析 211111122111111.12xmxmxxmxmxxmxmxxxmxmmmxxmmmmmmxxmx 原不等式等價于： 或，即 或 由得 或 或11.121111.11221111)211)2mmmxxmmmmmmxx

5、xmmmmm 由得 或即 或 或綜上所述，當時，解集為；當時，解集為，；當時，解集為，根據絕對值的定義去絕對值是解決絕對值問題的一般方法，要加強分類討論思想的運用在解不等式或證不等式的過程中，如含參數等問題，一般要對參數進行分類討論，復習時，學生要學會分析引起分類討論的原因，合理的分類，做到不重不漏 121212122221212().1316221(201056)f xabf af bxxxxf xf xxxSxyxyxxaybSabxxabf xf x已知函數的定義域為 ， ，且，對于定義域內的任意實數 ，都有設，當且僅當，時， 取得最小值，求 ， 的值；在的條件下，證明：對任意 ， ，變

6、式訓練浙江模有 擬 成立 222222221121212121131622261621.3162211551.655262.5566.62xyxyxxyxyxxyxyxxySxxxxf xaf xxxb 解析：故，由柯西不等式得，當且僅當時等號成立，即， 取得最小值證明：不妨設當時，顯然有； 1212121212122112125655555.2636656xxf af bf xf xf xf af bf xf xf af xf bxaxbxabxxxxxabf xf x當時，因為，故故對任意 ， ，有成立 2212111222011233.2323xyzxyxxyyyxyzxyyzzxxzx

7、yz已知 ， ， 是正數，且，求的最小值；若， ，且，求證：例3 12： 中可通過分子分母同除以平方項將欲求式子的形式向已知式子的形式轉化，再分析考慮應用柯西不等式；基于同樣的思路， 中通過將欲求式子各項同乘分子實現目標 2222222222411211221421()()121421112( 1)( 4) ()() 61214yxxxyyxyyxxyyxxyxy解：析221112( 14)61214212211411211414162yxxyxyyxyyxxxyxy，當且僅當時，即， 22222212211222()(2)232323(2)(25).15.216xyxyxxyyyzxyxyy

8、xyzyzxzxzyzxzxyzxxyyzzxxy所以當，即時，取等號又，達到最小值根據柯西不等式有，又時，22222222232323232323.2322233.33.yzxxyzyzxyxyzyzxzxxyzxyzxyzxyzxyyzzxxyyzzxxyz 所以、又所以22333223232313(2 3)41(2 32 3)43.txyztyzxtxyztt令，則用基本不等式或柯西不等式求最值或證明不等式時，很多時候需要將所求式子進行轉化，使之盡量與已知式子接近，應該多積累有關轉化技巧 2211021025abcaaccaba ab 設變式訓，練 求 的最小值22222112102511(5 )11(5 )0224.5011aaccaba abacaabababa abacaba ababa abacaba ab 解析