1、大學物理剛體定軸轉動注意注意：1. 為物體相對于指定參考點的位矢，所以求物體所為物體相對于指定參考點的位矢，所以求物體所受的力矩時必須先指明參考點，相對于不同的參考點，受的力矩時必須先指明參考點，相對于不同的參考點，對應的位矢對應的位矢 不同。物體所受的力矩不同。不同。物體所受的力矩不同。rr3.如果力如果力 的方向始終指向一個固定點，則該力就稱為的方向始終指向一個固定點，則該力就稱為有心力，該固定點稱為這個力的力心。有心力，該固定點稱為這個力的力心。F受到有心力作用的物體，相對于力心，其所受力矩為零。受到有心力作用的物體，相對于力心，其所受力矩為零。2.何時何時 為零？為零？ Ma.0Fc.

2、受到有心力作用受到有心力作用b.力的作用線與軸相交力的作用線與軸相交2 質點的角動量定理質點的角動量定理定義：定義：角動量角動量角動量定理角動量定理作用在質點上的力矩等于質點角動量對時間的變化作用在質點上的力矩等于質點角動量對時間的變化率。此即質點對固定點的角動量定理。率。此即質點對固定點的角動量定理。00dttM tLL0dttM t叫沖量矩叫沖量矩 的方向符合右手法則的方向符合右手法則.LvmrLz角動量角動量1. 2.質點在垂直于質點在垂直于 z 軸平面軸平面上以角速度上以角速度 作半徑為作半徑為 的圓運動，相對圓心的圓運動，相對圓心rsinvrmL 大小大小rzvmo90A2mrrmL

3、v（圓運動）（圓運動）oPdd3. 質量為質量為m的汽車的汽車,以速率以速率v沿直線運動沿直線運動,求它對求它對O點的角動量為點的角動量為多少多少?對對 P點的角動量為多少點的角動量為多少?mvoPddoPddoPdd求角動量時必須先指明參考點求角動量時必須先指明參考點!三三 質點角動量守恒定律質點角動量守恒定律若若 ，則，則 0MLrm常數v質點所受外力對某參考點的力矩為零，則質點對該參考質點所受外力對某參考點的力矩為零，則質點對該參考點的角動量守恒。這就是質點的角動量守恒定律。點的角動量守恒。這就是質點的角動量守恒定律。 何時何時 為零？為零？ Ma.0Fc.受到有心力作用受到有心力作用b

4、.力的作用線與軸相交力的作用線與軸相交注意注意：討論：討論：以下各系統哪些量守恒？以下各系統哪些量守恒？機械能守恒，動量不守恒機械能守恒，動量不守恒機械能守恒，動量也守恒機械能守恒，動量也守恒機械能不守恒，動量守恒機械能不守恒，動量守恒動量不守恒，角動量守恒動量不守恒，角動量守恒2.勻速圓周運動的質點受到向心力的作用，所以其勻速圓周運動的質點受到向心力的作用，所以其角動量一定守恒。角動量一定守恒。rvmLOOFF 用繩系一質量為用繩系一質量為m小球使之在光滑的桌面上作圓周運動，球的速率小球使之在光滑的桌面上作圓周運動，球的速率vo ，半徑，半徑為為ro 。問：當緩慢拉下繩的另一端，圓的半徑變為

5、問：當緩慢拉下繩的另一端，圓的半徑變為 r 時，小球的速率時，小球的速率v是多少？是多少？解：因為通過轉軸的合解：因為通過轉軸的合力矩為零，所以小球的角動量力矩為零，所以小球的角動量 守恒守恒rovoZLv 剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發生變化的物體剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發生變化的物體. （任意兩質點間距離保持不變的特殊質點組）（任意兩質點間距離保持不變的特殊質點組）剛體的運動形式：平動、轉動剛體的運動形式：平動、轉動. 剛體平動剛體平動 質點運動質點運動v 平動：若剛體中所有點平動：若剛體中所有點的運動軌跡都保持完全相同，的運動軌跡都保持完全相同，或者說剛體內任意兩點間的連

6、或者說剛體內任意兩點間的連線總是平行于它們的初始位置線總是平行于它們的初始位置間的連線間的連線.一一 剛體定軸轉動的描述剛體定軸轉動的描述2-6 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動v 轉動：剛體中所有的點都繞同一直線做圓周運動轉動：剛體中所有的點都繞同一直線做圓周運動 . 轉動轉動又分定軸轉動和非定軸轉動又分定軸轉動和非定軸轉動 .v 剛體的一般運動剛體的一般運動 質心的平動質心的平動繞質心的轉動繞質心的轉動+剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動 剛體繞某一固定軸轉動時剛體繞某一固定軸轉動時,其上各質元都在垂直于轉軸其上各質元都在垂直于轉軸的平面內作圓周運動的平面內作圓周運動,且所有質元的矢徑在相同的時間內

7、且所有質元的矢徑在相同的時間內轉過的角度相同轉過的角度相同,根據這一特點根據這一特點,常取垂直于轉軸常取垂直于轉軸 的平面為參的平面為參考系考系,這個平面稱轉動平面。雖然剛體上各質元的線速度這個平面稱轉動平面。雖然剛體上各質元的線速度、 加速度一般是不同的，但由于各質元的相對位置保持加速度一般是不同的，但由于各質元的相對位置保持不變不變,所以描述各質元運動的角量所以描述各質元運動的角量,如角位移、如角位移、 角速度角速度 和角加速和角加速度都是一樣的。因此描述剛體的運動時度都是一樣的。因此描述剛體的運動時,用角量最為方便。用角量最為方便。轉動平面轉動平面 Ovimi轉軸轉軸Zri轉軸轉軸二二

8、質點系的角動量定理質點系的角動量定理1 1、質點系對固定點的角動量定理、質點系對固定點的角動量定理設有一質點系，共有設有一質點系，共有n個質點，其第個質點，其第i個質點受力為個質點受力為則則i質點對固定點質點對固定點o的角動量定理為的角動量定理為一對內力的力矩之和：一對內力的力矩之和：Oirjrijrjifji i i 由于內力成對出現，每對內力對由于內力成對出現，每對內力對O O的力矩之和為零，的力矩之和為零，因此內力矩之總和為零因此內力矩之總和為零 作用于質點系的外力矩的矢量和等于質點系角動量對作用于質點系的外力矩的矢量和等于質點系角動量對時間的變化率，這就是質點系對固定點的角動量定理。時

9、間的變化率，這就是質點系對固定點的角動量定理。內力不改變系統的總角動量！內力不改變系統的總角動量！注意：注意：FFF/當我們用力當我們用力 F 推門時，該力可推門時，該力可以分解為垂直于門軸方向的力和平以分解為垂直于門軸方向的力和平行于門軸方向的力，平行于門軸方行于門軸方向的力，平行于門軸方向的力對門的轉動是否起作用？向的力對門的轉動是否起作用？問題問題:oiiriFiiZi表示表示 Fi與與 r i的夾角的夾角垂直于垂直于Z軸軸垂直于垂直于Z軸軸3. 整個剛體受合外力矩沿整個剛體受合外力矩沿Z軸的分量：軸的分量：ioOZpFiFiZrivimiioiZ 第第 i 個質點對個質點對O點角動量點

10、角動量垂直于垂直于Z軸軸平行于平行于Z軸軸OZoi2 2、質點系對軸的角動量定理、質點系對軸的角動量定理質點系對質點系對z z軸的角動量定理為軸的角動量定理為質點系內各質點均繞同一軸、并以相同角速度質點系內各質點均繞同一軸、并以相同角速度 作圓周作圓周運動，則這時運動，則這時2i iJmr 令轉動慣量式中式中LzJ，即為質點系對，即為質點系對z軸的角動量的表示式軸的角動量的表示式。也適用于剛體系統。也適用于剛體系統。剛體轉動時慣性大小的量度剛體轉動時慣性大小的量度繞定軸轉動的剛體的角加速度與作用于剛體上的合繞定軸轉動的剛體的角加速度與作用于剛體上的合外力矩成正比，與剛體的轉動慣量成反比外力矩成

11、正比，與剛體的轉動慣量成反比. . 三三 剛體的轉動定律剛體的轉動定律小貼士小貼士： 剛體轉動定律在定軸轉動中的地位相當于牛頓第二定律剛體轉動定律在定軸轉動中的地位相當于牛頓第二定律在質點力學中的地位，且由此可以看出，定軸轉動中的轉動慣量相在質點力學中的地位，且由此可以看出，定軸轉動中的轉動慣量相當于質點力學中的質量，都是慣性大小的量度。當于質點力學中的質量，都是慣性大小的量度。轉動慣量的計算轉動慣量的計算轉動慣量的單位：千克轉動慣量的單位：千克米米2 2（kgmkgm2 2）對于單個質點對于單個質點 2Jmr質點系質點系 2i iJmr22ddmmJrmrV若物體質量連續分布若物體質量連續分

12、布解解 (1)(1)轉軸通過棒的中心并與棒垂直轉軸通過棒的中心并與棒垂直例例2.182.18如圖所示，求質量為如圖所示，求質量為m，長為，長為l的均勻細棒的的均勻細棒的轉動慣量：轉動慣量：(1)(1)轉軸通過棒的中心并與棒垂直；轉軸通過棒的中心并與棒垂直；(2)(2)轉轉軸通過棒一端并與棒垂直軸通過棒一端并與棒垂直. .mlddmx整個棒對中心軸的轉動慣量為整個棒對中心軸的轉動慣量為(2)轉軸通過棒一端并與棒垂直時，整個棒對該軸的轉動慣轉軸通過棒一端并與棒垂直時，整個棒對該軸的轉動慣量為量為由此看出，同一均勻細棒，轉軸位置不同，轉動慣量不由此看出，同一均勻細棒，轉軸位置不同，轉動慣量不同同.解

13、解(1) (1) 在環上任取一質元，在環上任取一質元，其質量為其質量為d dm，距離為，距離為R，則該質，則該質元對轉軸的轉動慣量為元對轉軸的轉動慣量為例例2.192.19設質量為設質量為m，半徑為，半徑為R的細圓環和均勻圓盤分別繞的細圓環和均勻圓盤分別繞通過各自中心并與圓面垂直的軸轉動，求圓環和圓盤的轉動慣通過各自中心并與圓面垂直的軸轉動，求圓環和圓盤的轉動慣量量. .所有質元到轉軸的距離均為所有質元到轉軸的距離均為R，所以細圓環對中心軸的轉動，所以細圓環對中心軸的轉動慣量為慣量為RoZdrr(2)設圓盤單位面積上的質量為設圓盤單位面積上的質量為在圓盤上取半徑為在圓盤上取半徑為r，寬為，寬為

14、 dr 的圓環，該圓環質量：的圓環，該圓環質量：圓盤轉動慣量為圓盤轉動慣量為討討 論：論：轉動慣量與質量類似轉動慣量與質量類似,它是剛體轉動慣性大小的量度它是剛體轉動慣性大小的量度;轉動慣量不僅與剛體質量有關轉動慣量不僅與剛體質量有關,而且與剛體轉軸的位置及剛體而且與剛體轉軸的位置及剛體的質量分布有關：質量分布離軸越遠，轉動慣量越大。的質量分布有關：質量分布離軸越遠，轉動慣量越大。轉動慣量具有迭加性轉動慣量具有迭加性;如果三個剛體繞同一轉軸的轉動慣量分別為如果三個剛體繞同一轉軸的轉動慣量分別為J1,J2,J3,則該剛體則該剛體系統繞該軸的轉動慣量為系統繞該軸的轉動慣量為J=J1+J2+J3同一

15、剛體同一剛體,轉軸不同轉軸不同,質量對轉軸的分布不同質量對轉軸的分布不同,因而轉動慣量因而轉動慣量不同。即轉動慣量具有相對性。不同。即轉動慣量具有相對性。竿子長些還是短些較安全？竿子長些還是短些較安全？ 飛輪的質量為什么大飛輪的質量為什么大都分布于外輪緣？都分布于外輪緣？五五 剛體組對軸的角動量定理及其守恒定律剛體組對軸的角動量定理及其守恒定律 定軸轉動剛體的角動量增量等于合外力矩的沖量定軸轉動剛體的角動量增量等于合外力矩的沖量矩矩. JLzttzzLdtM0外力對某軸的力矩之和為零，則該物體對同一軸的角動量外力對某軸的力矩之和為零，則該物體對同一軸的角動量守恒守恒. 1.1.角動量守恒有兩種

16、情況角動量守恒有兩種情況: :注意注意: :2.2.角動量守恒定律與動量守恒定律、角動量守恒定律與動量守恒定律、 能量守恒定律一樣都是能量守恒定律一樣都是自然界的規律。自然界的規律。一是轉動慣量與角速度都不變一是轉動慣量與角速度都不變; ;二是兩者都變但二者的乘積不變。二是兩者都變但二者的乘積不變。一、轉動慣量與角速度都不變一、轉動慣量與角速度都不變; ; 一個繞固定軸轉動的剛體一個繞固定軸轉動的剛體,當它所受的合外力矩當它所受的合外力矩(對該轉軸而對該轉軸而言言)為零時為零時,它將保持原有的角速度不變。該定理反映了任何它將保持原有的角速度不變。該定理反映了任何轉動物體都有轉動慣性。轉動物體都

17、有轉動慣性。剛體轉動的第一定律剛體轉動的第一定律:二、兩者都變但二者的乘積不變。二、兩者都變但二者的乘積不變。v花樣滑冰花樣滑冰跳水中的角動量守恒現象跳水中的角動量守恒現象 對于剛體組：對于剛體組：四四 定軸轉動的動能定理定軸轉動的動能定理剛體繞定軸轉動時的轉動動能等于剛體的轉動慣量與角剛體繞定軸轉動時的轉動動能等于剛體的轉動慣量與角速度平方乘積的一半速度平方乘積的一半. . 1、轉動動能、轉動動能類比質點力學中動能（平動動能）：類比質點力學中動能（平動動能）：221vmEk21dAM力矩的功力矩的功2、力矩的功、力矩的功 類比質點力學中外力的功：類比質點力學中外力的功：bardFA3、剛體定

18、軸轉動的動能定理、剛體定軸轉動的動能定理 合外力矩對定軸轉動的剛體所做的功等于剛體轉動合外力矩對定軸轉動的剛體所做的功等于剛體轉動動能的增量動能的增量 .類比質點力學中動能定理：類比質點力學中動能定理：2022121mvmvrdFbam4、質量為、質量為m的不太大的整個剛體的重力勢能的不太大的整個剛體的重力勢能ydmycC一個不太大的剛體的重力勢能和一個不太大的剛體的重力勢能和它的全部質量集中在質心時所具有的它的全部質量集中在質心時所具有的勢能一樣。勢能一樣。結論：結論：XYOz5、剛體系統的功能原理、剛體系統的功能原理A外力外力 +A非保守內力非保守內力=（Ek2 +Ep2 ）-（Ek1 +

19、Ep1）當含剛體的系統在運動過程中只有保守力內力做功時當含剛體的系統在運動過程中只有保守力內力做功時,在該過程在該過程中系統機械能守恒。中系統機械能守恒。速度速度trddv角速度角速度t dd加速度加速度tvdda角加速度角加速度t dd質量質量 m轉動慣量轉動慣量mrJd2角動量角動量JL 動量動量vmP 力力F力矩力矩M質點運動與剛體定軸轉動對照質點運動與剛體定軸轉動對照質點運動質點運動剛體定軸剛體定軸轉動轉動位移位移rd角位移角位移d質點運動與剛體定軸轉動對照質點運動與剛體定軸轉動對照質點運動質點運動剛體定軸剛體定軸轉動轉動amFJMMiz00PPdtFtt00LLMdtttbardFA

20、baMdA221vmEk221JEk0F當當 時，時，0PP當當 時，時，0M0LL 例例2.162.16在光滑的水平桌面上，放有質量為在光滑的水平桌面上，放有質量為M的木塊，的木塊，木塊與一彈簧相連，彈簧的另一端固定在木塊與一彈簧相連，彈簧的另一端固定在O點，彈簧的勁點，彈簧的勁度系數為度系數為k，設有一質量為，設有一質量為m的子彈以初速的子彈以初速 垂直于垂直于OA射向射向M并嵌在木塊內并嵌在木塊內. .彈簧原長彈簧原長 ，子彈擊中木塊后，木，子彈擊中木塊后，木塊塊M運動到運動到B點時刻，彈簧長度變為點時刻，彈簧長度變為l，此時，此時OB垂直于垂直于OA，求在，求在B點時，木塊的運動速度點

21、時，木塊的運動速度 . .解解擊中瞬間，在水平擊中瞬間，在水平面內，子彈與木塊組成面內，子彈與木塊組成的系統沿的系統沿 方向動量守方向動量守恒，即有恒，即有0v在由在由AB的過程中，子彈、木塊系統機械能守恒的過程中，子彈、木塊系統機械能守恒 在由在由AB的過程中木塊在水平面內只受指向的過程中木塊在水平面內只受指向O點的點的彈性有心力，故木塊對彈性有心力，故木塊對O點的角動量守恒，設點的角動量守恒，設 與與OB方向成方向成角，則有角，則有2v例例 質量很小長度為質量很小長度為l 的均勻細桿的均勻細桿, 可繞過其中心可繞過其中心 O 并與紙面并與紙面垂直的軸在豎直平面內轉動垂直的軸在豎直平面內轉動 . 當細桿靜止于水平位置時當細桿靜止于水平位置時, 有一只有一只小蟲以速率小蟲以速率 垂直落在距點垂直落在距點 O 為 l/4 處處, 并背離點并背離點O 向細桿向細桿的端點的端點 A 爬行爬行. 設小蟲與細桿的質量均為設小蟲與細桿的質量均為m. 問問: 欲使細桿以欲使細桿以恒定的角速度轉動恒定的角速度轉動, 小蟲應以多大速率向細桿端點爬行小蟲應以多大速率向細桿端點爬行?解解: 碰撞前后系統角動量守碰撞前后系統角動量守恒恒角動量定理角動量定理考慮到考慮到t例例2.212.21轉動著的飛輪的轉動慣量為轉動著的飛輪的轉動慣量為J，在，在t0時角速度時角速度為為 . .此后飛輪經歷