1、 快樂成長 從心開始 學生 個 性 化 教 學 輔 導 教 案學校年級科目教師日期時段次數課題能被4、8、9整除的數的特征教學重點難點重點：能被4，8，9整除的數的特征難點：能被4，8，9整除的數的特征教學步驟及教學內容一、作業檢查：二、課前熱身： 三、內容講解：數的整除具有如下性質：性質1 如果甲數能被乙數整除，乙數能被丙數整除，那么甲數一定能被丙數整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。性質2 如果兩個數都能被一個自然數整除，那么這兩個數的和與差也一定能被這個自然數整除。例如，21與15都能被3整除，那么2115及21-15都能被3整除。性質3 如果一個數能分

2、別被兩個互質的自然數整除，那么這個數一定能被這兩個互質的自然數的乘積整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9與7互質，那么126能被9×763整除。利用上面關于整除的性質，我們可以解決許多與整除有關的問題。為了進一步學習數的整除性，我們把學過的和將要學習的一些整除的數字特征列出來：1一個數的個位數字如果是0，2，4，6，8中的一個，那么這個數就能被2整除。2一個數的個位數字如果是0或5，那么這個數就能被5整除。3一個數各個數位上的數字之和如果能被3整除，那么這個數就能被3整除。4一個數的末兩位數如果能被4或25整除，那么這個數就能被4或25整除。5一個數的末三位數如果能被8或

3、125整除，那么這個數就能被8或125整除。6一個數各個數位上的數字之和如果能被9整除，那么這個數就能被9整除。其中123是三年級學過的內容，456是本講要學習的內容。因為100能被4或25整除，所以由整除的性質1知，整百的數都能被4或25整除。因為任何自然數都能分成一個整百的數與這個數的后兩位數之和，所以由整除的性質2知，只要這個數的后兩位數能被4或25整除，這個數就能被4或25整除。這就證明了4。類似地可以證明5。6的正確性，我們用一個具體的數來說明一般性的證明方法。8378003078×1003×1078×9913×9178×9983&#

4、215;9378×993×9837。因為99和9都能被9整除，所以根據整除的性質1和性質2知，8×993×9能被9整除。再根據整除的性質2，由837能被9整除，就能判斷837能被9整除。利用456還可以求出一個數除以4，8，9的余數：4一個數除以4的余數，與它的末兩位除以4的余數相同。5一個數除以8的余數，與它的末三位除以8的余數相同。6一個數除以9的余數，與它的各位數字之和除以9的余數相同。例1 在下面的數中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？234，789，7756，8865，3728.8064。解：能被4整除的數有7756，3728，

5、8064； 能被8整除的數有3728，8064； 能被9整除的數有234，8865，8064。例2 在四位數562中，被蓋住的十位數分別等于幾時，這個四位數分別能被9，8，4整除？解：如果562能被9整除，那么56213應能被9整除，所以當十位數是5，即四位數是5652時能被9整除；如果562能被8整除，那么62應能被8整除，所以當十位數是3或7，即四位數是5632或5672時能被8整除；如果562能被4整除，那么2應能被4整除，所以當十位數是1，3，5，7，9，即四位數是5612，5632，5652，5672，5692時能被4整除。到現在為止，我們已經學過能被2，3，5，4，8，9整除的數的

6、特征。根據整除的性質3，我們可以把判斷整除的范圍進一步擴大。例如，判斷一個數能否被6整除，因為62×3，2與3互質，所以如果這個數既能被2整除又能被3整除，那么根據整除的性質3，可判定這個數能被6整除。同理，判斷一個數能否被12整除，只需判斷這個數能否同時被3和4整除；判斷一個數能否被72整除，只需判斷這個數能否同時被8和9整除；如此等等。例3 從0，2，5，7四個數字中任選三個，組成能同時被2，5，3整除的數，并將這些數從小到大進行排列。解：因為組成的三位數能同時被2，5整除，所以個位數字為0。根據三位數能被3整除的特征，數字和270與570都能被3整除，因此所求的這些數為270，

7、570，720，750。例4 五位數能被72整除，問：A與B各代表什么數字？分析與解：能被72整除。因為728×9，8和9是互質數，所以既能被8整除，又能被9整除。根據能被8整除的數的特征，要求能被8整除，由此可確定B6。再根據能被9整除的數的特征，的各位數字之和為A329BA3f296A20，因為lA9，所以21A2029。在這個范圍內只有27能被9整除，所以A7。解答例4的關鍵是把72分解成8×9，再分別根據能被8和9整除的數的特征去討論B和A所代表的數字。在解題順序上，應先確定B所代表的數字，因為B代表的數字不受A的取值大小的影響，一旦B代表的數字確定下來，A所代表的

8、數字就容易確定了。例5 六位數是6的倍數，這樣的六位數有多少個？分析與解：因為62×3，且2與3互質，所以這個整數既能被2整除又能被3整除。由六位數能被2整除，推知A可取0，2，4，6，8這五個值。再由六位數能被3整除，推知3ABABA33A2B能被3整除，故2B能被3整除。B可取0，3，6，9這4個值。由于B可以取4個值，A可以取5個值，題目沒有要求AB，所以符合條件的六位數共有5×420個。例6 要使六位數能被36整除，而且所得的商最小，問A，B，C各代表什么數字？分析與解：因為364×9，且4與9互質，所以這個六位數應既能被4整除又能被9整除。六位數能被4整

9、除，就要能被4整除，因此C可取1，3，5，7，9。要使所得的商最小，就要使這個六位數盡可能小。因此首先是A盡量小，其次是B盡量小，最后是C盡量小。先試取A=0。六位數的各位數字之和為12BC。它應能被9整除，因此BC6或BC15。因為B，C應盡量小，所以BC6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使盡可能小，應取B1，C5。當A=0，B=1，C5時，六位數能被36整除，而且所得商最小，為150156÷364171。四、課堂小結 【知識歸納】數的整除具有如下性質：性質1 如果甲數能被乙數整除，乙數能被丙數整除，那么甲數一定能被丙數整除。性質2 如果兩個數都能被一個自然數整除，那么這兩個

10、數的和與差也一定能被這個自然數整除。性質3 如果一個數能分別被兩個互質的自然數整除，那么這個數一定能被這兩個互質的自然數的乘積整除。能被4，8,9整除的數的特征： 1一個數的末兩位數如果能被4或25整除，那么這個數就能被4或25整除。2一個數的末三位數如果能被8或125整除，那么這個數就能被8或125整除。3一個數各個數位上的數字之和如果能被9整除，那么這個數就能被9整除。 4一個數除以4的余數，與它的末兩位除以4的余數相同。 5一個數除以8的余數，與它的末三位除以8的余數相同。 6一個數除以9的余數，與它的各位數字之和除以9的余數相同。五、作業布置 16539724能被4，8，9，24，36，72中的哪幾個數整除？2個位數是5，且能被9整除的三位數共有多少個？3一些四位數，百位上的數字都是3，十位上的數字都是6，并且它們既能被2整除又能被3整除。在這樣的四位數中，最大的和最小的各是多少？4 五位數能被12整除，求這個五位數。5有