1、關于二重積分的概念現在學習的是第1頁，共25頁一一. . 二重積分的概念二重積分的概念1 1引例引例曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積 曲頂柱體：曲頂柱體： 柱體的柱體的底底是是xoyxoy面上的一有界閉區域面上的一有界閉區域D D； 側面側面是以是以D D的邊界曲線為準線而母線平的邊界曲線為準線而母線平 行于行于z z軸的柱面；軸的柱面； 頂頂是曲面是曲面z=f(x,y)(f(x,y) 0),fz=f(x,y)(f(x,y) 0),f在在D D 上連續。上連續。 區域的直徑：區域的直徑：閉區域上任意兩點間距離的閉區域上任意兩點間距離的 最大值，稱為閉區域的直徑最大值，稱為閉區域的直徑。現在學習的是

2、第2頁，共25頁平頂平頂(z=f(x,y)=(z=f(x,y)=常數常數) )柱體的體積：柱體的體積： 體積體積 = = 高高（z=z=常數）常數） 底面積底面積（區域（區域D D的面積）的面積）（請回憶在（請回憶在61解決計算曲邊梯形面積的思想分析方法：解決計算曲邊梯形面積的思想分析方法：）oxyzD Dz=f(x,y)z=f(x,y)yxzz=f(x,y)z=f(x,y)oD D( ( i i, , i i) ) i i現在學習的是第3頁，共25頁曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積V:V:分割：分割：D = D = 1 1 2 2 n n V V = = V V1 1V V2 2 V Vn n

3、( ( i i為為V Vi i窄條曲頂柱體的底；窄條曲頂柱體的底；d di i為為 i i的直徑。的直徑。) )近似：近似：近似地將小曲頂視為平頂近似地將小曲頂視為平頂（滿足條件：滿足條件：z=f(x,y)z=f(x,y) 連續，小區域連續，小區域 i i的直徑的直徑d di i很小）很小），以點以點( ( i i, , i i) ) i i的豎坐標的豎坐標f(f( i i, , i i) )為高，則得每個小為高，則得每個小 窄條曲頂柱體的體積近似值窄條曲頂柱體的體積近似值 V Vi if(f( i i, , i i) ) i i (i=1,2, ,n)(i=1,2, ,n)求和求和：取極限取

4、極限： 其中其中d = maxd = maxd d1 1,d,d2 2,d,dn n, ,用用 i i也示小區域的面積。也示小區域的面積。11( , )nniiiiiiVVf 01lim( ,)niiidiVf 現在學習的是第4頁，共25頁2 2引例引例平面薄片的質量平面薄片的質量 有一個平面薄片有一個平面薄片, 在在 xoy 平面上占有區域平面上占有區域 D ,),(Cyx計算該薄片的質量計算該薄片的質量 M .度為度為),(),(常數若yx設設D 的面積為的面積為 ,則則M若若),(yx非常數非常數 , 仍可用仍可用其面密其面密 “分割分割, ,近似和近似和, 求求 極限極限” 解決解決.

5、1)“分割分割”用用任意任意曲線網分曲線網分D 為為 n 個小區域個小區域,21n相應把薄片也分為小區域相應把薄片也分為小區域 .Dyx現在學習的是第5頁，共25頁2)“近似近似”中中任取任取一點一點k在每個),(kk3)“近似和近似和”nkkMM1nkkkk1),(4)“取極限取極限”)(max1knk令nkkkkM10),(limk),(kk),2, 1(),(nkMkkkk則第則第 k 小塊的質量小塊的質量yx現在學習的是第6頁，共25頁兩個問題的兩個問題的共性共性：(1) 解決問題的步驟相同解決問題的步驟相同(2) 所求量的結構式相同所求量的結構式相同“分割分割, 近似和近似和,取極限

6、取極限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲頂柱體體積曲頂柱體體積: 平面薄片的質量平面薄片的質量: 現在學習的是第7頁，共25頁2.2.定義（定義（二重積分二重積分）：）： 設設z=f(x,y)z=f(x,y)在區域在區域D上有界，則上有界，則分割：分割：用平面曲線網將用平面曲線網將D分成分成n個小區域個小區域 1 1, , 2 2, , , n n 各個小區域的面積是各個小區域的面積是 1 1 , , 2 2 , n n 各個小區域的直徑是各個小區域的直徑是 d d1 1,d,d2 2 ,d,dn n近似：近似：在各個小區域上任取一點在各個小區域上任取一點 ( (

7、i i, , i i) ) i i ， 作乘積作乘積 f(f( i i, , i i) ) i i (i=1,2, ,n)(i=1,2, ,n)求和：求和：1( ,)niiiif 現在學習的是第8頁，共25頁取極限：取極限：當當n且且 =max=maxd d1 1,d,d2 2,d,dn n0 0時，時， 極限極限 存在，則稱此極限值為存在，則稱此極限值為z=f(x,y)z=f(x,y)在在D上的上的 二重積分二重積分，記為，記為 即即 f(x,y) f(x,y) 被積函數被積函數 f(x,y)df(x,y)d 被積表達式被積表達式 d d 面積元素面積元素 x,y x,y 積分變量積分變量

8、D 積分區域積分區域 積分和式積分和式01lim( ,)niiiif ( ,)Df x y d01( , )lim( ,)niiiiDf x y df 1( , )niiiif 現在學習的是第9頁，共25頁注記注記： 在直角坐標系中，在直角坐標系中，i( x xi i)()( y yi i) ) 面積元素面積元素 d d =dxdy,=dxdy,故二重積分又有形式故二重積分又有形式 由于二重積分的定義，曲頂柱體的體積是由于二重積分的定義，曲頂柱體的體積是 二重積分的幾何意義：二重積分的幾何意義： 當當f(x,y)0f(x,y)0時，二重積分的幾何意義是：曲頂柱體的體積時，二重積分的幾何意義是：

9、曲頂柱體的體積； 當當f(x,y)0f(x,y)0時，二重積分的幾何意義是：曲頂柱體的體積的負值時，二重積分的幾何意義是：曲頂柱體的體積的負值； 當當f(x,y)f(x,y)在在D D上既有在若干分區域上取正值，也有在其余區域上取負值時，上既有在若干分區域上取正值，也有在其余區域上取負值時，二重積分的幾何二重積分的幾何意義是：意義是：xoyxoy面上方的柱體體積為正、下方的為負時的柱體體積的代數和。面上方的柱體體積為正、下方的為負時的柱體體積的代數和。( ,)Df x y dxdy( ,)DVf x y d現在學習的是第10頁，共25頁 函數函數f(x,y)f(x,y)在閉區域在閉區域D D上

10、連續，則上連續，則f(x,y)f(x,y)在在D D上的二上的二重積分必定存在。重積分必定存在。 n(n( 0)0)時，積分和式極限存在，與對時，積分和式極限存在，與對D D 區域的分法無關，與區域的分法無關，與( ( i i, , i i) ) i i的取法無的取法無 關，僅與關，僅與D D和和f(x,y)f(x,y)有關。有關。 “ i i的直徑很小的直徑很小” 與與 “ i i的面積很小的面積很小” 對對 于于 “近似近似” 有根本的區別，因此極限過程用有根本的區別，因此極限過程用 00，而不能僅用而不能僅用nn來描述。來描述。現在學習的是第11頁，共25頁二二重積分的性質二二重積分的性

11、質( , )( , )DDa f x y daf x y d ( , )( , )( , )( , )DDDf x yg x y df x y dg x y d12( , )( , )( , )DDDf x y df x y df x y dDd（ 為為D的面積）的面積）（D=D1+D2）現在學習的是第12頁，共25頁 在在D D上上, ,若恒有若恒有f(x,y)g(x,y)f(x,y)g(x,y)，則，則 特別地，在特別地，在D上若上若f(x,y)0 f(x,y)0 ( 0 )( 0 ) 恒成立，恒成立， 則則 在在D D上若上若mf(x,y)M mf(x,y)M ， 為為D D的面積，則的

12、面積，則( , )( , )DDf x y dg x y d( , )0Df x y d( 0 )( 0 )( , )( , )DDf x y df x y d( , )Dmf x y dM現在學習的是第13頁，共25頁 二重積分中值定理：二重積分中值定理： 設設f(x,y)f(x,y)C(D)C(D)，D D為有界閉區域，為有界閉區域， 為為D D的面積，的面積， 則至少則至少 ( ( , , ) )DD， 使使( , )( , )Df x y df 現在學習的是第14頁，共25頁例題解析例題解析例例1122 311(),( , )| 11, 22DIxydDx yxy 其中222 322(

13、),( , )|01,02DIxydDx yxy其中設設利用二重積分的幾何意義說明利用二重積分的幾何意義說明I I1 1和和I I2 2之間的關系之間的關系現在學習的是第15頁，共25頁解：解： 由二重積分的幾何意義知，由二重積分的幾何意義知，I I1 1表示底為表示底為D D1 1，頂為曲面，頂為曲面z=z=（x x2 2+y+y2 2）3 3的曲頂柱體的曲頂柱體M M1 1的體積；的體積；I I2 2表示底為表示底為D D2 2，頂為曲面，頂為曲面z=z=（x x2 2+y+y2 2）3 3的曲頂柱體的曲頂柱體M M2 2的體積；由于位于的體積；由于位于D D1 1上方的曲面上方的曲面z=

14、z=（x x2 2+y+y2 2）3 3關于關于yoxyox面和面和zoxzox面均對稱，故面均對稱，故yozyoz面和面和zoxzox面將面將M M1 1分成四個等積的部分，其中位于第一卦限的部分即為分成四個等積的部分，其中位于第一卦限的部分即為M M2 2。由此可知由此可知124IIxy1-1-22現在學習的是第16頁，共25頁例例2利用二重積分的幾何意義確定二重積分利用二重積分的幾何意義確定二重積分223)Dxyd（的值，其中的值，其中22:9D xy解：解：曲頂柱體的底部為圓盤曲頂柱體的底部為圓盤229xy其頂其頂 是下半圓錐面是下半圓錐面223zxy故曲頂柱體為一圓錐體，它的底故曲頂

15、柱體為一圓錐體，它的底面半徑及高均為面半徑及高均為3，所以，所以223)9Dxyd（現在學習的是第17頁，共25頁例例3利用二重積分的幾何意義說明：利用二重積分的幾何意義說明：（1 1） 當積分區域當積分區域D D關于關于y y軸對稱，軸對稱，f f（x x，y y）為）為x x的奇的奇函數，即函數，即f f（-x-x，y y）= -f= -f（x x，y y）時有）時有( , )0Df x y d（2 2） 當積分區域當積分區域D D關于關于y y軸對稱，軸對稱，f f（x x，y y）為）為x x的偶的偶函數，即函數，即f f（-x-x，y y）= f= f（x x，y y）時有）時有1(

16、 , )2( , )DDf x y df x y d（D D1 1為為D D在在x0 x0的部分）的部分）現在學習的是第18頁，共25頁12222()2()DDxydxyd( , )0Df x y d現在學習的是第19頁，共25頁注記注記：結論的推廣結論的推廣（1 1） 當積分區域當積分區域D D關于關于x x軸對稱，軸對稱，f f（x x，y y）為）為y y的奇的奇函數，即函數，即f f（x x，-y-y）= -f= -f（x x，y y）時有）時有( , )0Df x y d（2 2） 當積分區域當積分區域D D關于關于x x軸對稱，軸對稱，f f（x x，y y）為）為y y的偶的偶函

17、數，即函數，即f f（x x，-y-y）= f= f（x x，y y）時有）時有1( , )2( , )DDf x y df x y d（D D1 1為為D D在在y0y0的部分）的部分）現在學習的是第20頁，共25頁例例4比較比較23()0()0DDxydxy d和的大小，22( , )|(2)(1)2Dx yxy其中分析：主要考慮分析：主要考慮2322()()( , )|(2)(1)2xyxyDx yxy與在的大小現在學習的是第21頁，共25頁【附注附注】比較比較 和和 的大小的大小( , )f x y( , )x y先令先令 得曲線得曲線( , )( , )f x yx y( , )( , )( , )0F x yf x yx y在在 的兩側的兩側