1、第第1頁頁 共共23頁頁速率速率大學物理大學物理第第2頁頁 共共23頁頁 目標：討論體系中粒子按能量的最概然分布目標：討論體系中粒子按能量的最概然分布 即：即：N個粒子在個粒子在 E 守恒條件下，如何分布在各能級、守恒條件下，如何分布在各能級、各狀態中，其實現的可能性最大？各狀態中，其實現的可能性最大？然然分分布布取取極極大大值值的的分分布布：最最概概求求在最概然分布下在最概然分布下每個能級上的粒子數每個能級上的粒子數?iN能級中每個狀態被占據的概率能級中每個狀態被占據的概率?)(iiigNf大學物理大學物理第第3頁頁 共共23頁頁求求 的極大值的極大值運用斯特林公式，變分法，拉格朗日乘子法運

2、用斯特林公式，變分法，拉格朗日乘子法kTiiiegNkTiiiiegNf1)(守守恒恒確確定定、待待定定常常數數，由由NE:得：得：個個狀狀態態中中去去的的方方式式分分組組，并并分分別別放放入入個個粒粒子子按按已已知知：將將iiggNNN,11iNiiiigNN!大學物理大學物理第第4頁頁 共共23頁頁 定性說明：定性說明：由于分子頻繁碰撞，動能在各運動形式、由于分子頻繁碰撞，動能在各運動形式、各自由度之間轉移，平衡時，各種平均動能按自由度均各自由度之間轉移，平衡時，各種平均動能按自由度均分。分。分子的平均總動能分子的平均總動能: :kTi2k 在溫度在溫度T的平衡態下，物質（固，液，氣）分子

3、的每的平衡態下，物質（固，液，氣）分子的每一個可能的自由度都有相同的平均動能一個可能的自由度都有相同的平均動能kT211. 能均分定理能均分定理大學物理大學物理第第5頁頁 共共23頁頁由能均分定律，其他各自由度上平均動能均為由能均分定律，其他各自由度上平均動能均為kT21由溫度公式由溫度公式kTvvvmvmzyxt23)(21212222kTvmvmvmzyx21212121222每個自由度上的平均平動動能：每個自由度上的平均平動動能：kTs2平均平動動能平均平動動能kTt2平均轉動動能平均轉動動能kTr2平均振動動能平均振動動能平均總動能平均總動能kTikTsrt2)(21k: 能均分定律是

4、統計規律，反映大量分子系統能均分定律是統計規律，反映大量分子系統的整體性質，對個別分子或少數分子不適用。的整體性質，對個別分子或少數分子不適用。大學物理大學物理第第6頁頁 共共23頁頁2) 理想氣體內能：（分子數理想氣體內能：（分子數 N）模型：模型：分子間無相互作用分子間無相互作用無分子相互作用勢能無分子相互作用勢能分子動能：分子動能：kTiN2原子振動勢能：原子振動勢能：kTsN2kTsrtN)2(212. 理想氣體的內能理想氣體的內能1) 實際氣體實際氣體的內能的內能：（分子數：（分子數 N）所有分子的動能：所有分子的動能：kTiNkTsrtN2)(21微振動：采用諧振動模型微振動：采用

5、諧振動模型所有分子內原子振動勢能：所有分子內原子振動勢能：pkEE kTsN2分子間相互作用勢能：與體積有關分子間相互作用勢能：與體積有關與與T,V有關有關大學物理大學物理第第7頁頁 共共23頁頁剛性分子剛性分子無振動自由度無振動自由度分子數為分子數為 N 的理想氣體的內能為的理想氣體的內能為kTiNNE2k對對 1mol 剛性分子理想氣體剛性分子理想氣體RTikTiNEA22剛性分子理想氣體剛性分子理想氣體對對molMRTiME2單原子分子單原子分子RTME23RTME25剛性雙原子分子剛性雙原子分子剛性多原子分子剛性多原子分子RTME3溫度溫度 T 的的單值函數單值函數rti大學物理大學物

6、理第第8頁頁 共共23頁頁平衡態下，物質分子每個自由度上的平均動能平衡態下，物質分子每個自由度上的平均動能平衡態下，物質分子的平均平動動能平衡態下，物質分子的平均平動動能平衡態下，物質分子的平均總動能平衡態下，物質分子的平均總動能平衡態下，平衡態下，1 1mol理想氣體內能理想氣體內能指出下列各量的物理意義指出下列各量的物理意義:21kT:23kT:2kTi:2RTi:2RTiM理理想想氣氣體體內內能能平平衡衡態態下下，molM大學物理大學物理第第9頁頁 共共23頁頁條件：條件： 理想氣體，平衡態（熱動平衡）理想氣體，平衡態（熱動平衡）宏觀：宏觀：有有確確定定值值、Tpn微觀微觀:各分子不停運

7、動且頻繁碰撞，各分子不停運動且頻繁碰撞，無無規規運運動動不不斷斷變變化化,v 對大量分子整體而言，氣體分子按速率分布具有確定對大量分子整體而言，氣體分子按速率分布具有確定的規律。的規律。分布函數：分布函數：概率密度概率密度 ，是，是 x 的函數的函數xNNAxNNxWxfdddd)(NNWdd一般情況：一般情況： N次測量中次測量中A事件出現的概率事件出現的概率NNWAAlimN大學物理大學物理第第10頁頁 共共23頁頁 1. .內容內容 平衡態下，平衡態下，時，理想氣體分子速率在時，理想氣體分子速率在v v+d+dv 間的概率為間的概率為vvkTmNNWkTmvde)2(4dd22232分布

8、函數：分布函數：分子速率在分子速率在 v 附近附近的概率的概率22232e)2(4dd)(vkTmvNNvfkTmv大學物理大學物理第第11頁頁 共共23頁頁2. 麥克斯韋速率分布曲線麥克斯韋速率分布曲線: : 0 1) 氣體分子速率可取氣體分子速率可取的一切值，但的一切值，但v 很小和很小和v很大很大的分子所占比率小，具有中的分子所占比率小，具有中等速率分子所占比率大。等速率分子所占比率大。令令解解得得0d)(dvvfRTmNTkNmkTvAAp222數量級：數量級：132sm1010室溫下室溫下,:最概然速率最概然速率pvOvf(v)vp大學物理大學物理第第12頁頁 共共23頁頁物理意義：

9、物理意義：的的分分子子數數最最多多？是是不不是是速速率率正正好好等等于于pvRTmNTkNmkTvAAp222最最概概然然速速率率:pv vNvfNvNNvfdd,dd)(0d0dNv則則若若 若將若將v分為相等的速率間隔，則在包含分為相等的速率間隔，則在包含vp的間隔中的的間隔中的分子數最多。分子數最多。Ovf(v)vp大學物理大學物理第第13頁頁 共共23頁頁窄條：窄條：NNvvNNvvfddddd)( 分子速率在分子速率在 v v+dv 區間內的概率區間內的概率部分：部分：NNNNvvfvvvvvv212121dd)(區區間間的的概概率率分分子子速速率率在在21 vv 2) 曲線下的面積

10、曲線下的面積： vf(v)v+dvvf(v)vf(v)OOvv1v2O大學物理大學物理第第14頁頁 共共23頁頁總面積：總面積：1dd)(00NNNNvvf歸一化條件歸一化條件：pvvvfvvNfd)(d)(pvvvNfvvnf0d)(d)(的物理意義的物理意義?vf(v)v+dvvf(v)vf(v)OOvv1v2O大學物理大學物理第第15頁頁 共共23頁頁m一定一定,mkTvTp23) 分布曲線隨分布曲線隨 m 、T 變化變化： 曲線峰值右移，總面曲線峰值右移，總面積不變，曲線變平坦。積不變，曲線變平坦。速率速率T 一定一定, ,mkTvmp2 曲線峰值左移，總面積不曲線峰值左移，總面積不變

11、，曲線變尖銳。變，曲線變尖銳。Ovf(v)vp2vp1m1m2 m1T一定一定大學物理大學物理第第16頁頁 共共23頁頁1) 平均速率平均速率RTRTmkTvvvfv60.188d)(03) 最概然速率最概然速率(最可幾速率最可幾速率)RTRTmkTvp41. 1222) 方均根速率方均根速率mkTvvfvv3d)(022RTRTmkTv73. 13323. .分子速率的三種統計平均值分子速率的三種統計平均值wMMd0d)()()(vvfvgvg一般情況：一般情況：大學物理大學物理第第17頁頁 共共23頁頁三者關系：三者關系：2vvvpOvf(v)vpv2v:則則若若,BASSvv 0pvv

12、020vv NNNvv21000(1)下列答案中正確的是：下列答案中正確的是：Ovf(v)v0SASB大學物理大學物理第第18頁頁 共共23頁頁(2)區間的分子的平均速率區間的分子的平均速率求速率在求速率在21 vv解一：解一：2121d)(vvvvvvvfv解二：解二：21212121212121d)(d)(d)(d)(ddvvvvvvvvvvvvvvvvfvvvfvvNfvvvNfNNvv哪一種解法對？哪一種解法對？;ddddd)(21212121vvvvvvvvvNNvvvNNvvvvf2121212121dddvvvvvvvvvvvNNvNNv大學物理大學物理第第19頁頁 共共23頁頁

13、4. 實驗驗證實驗驗證(高真空技術的發展促進驗證精度的提高高真空技術的發展促進驗證精度的提高)教材教材: 1955年年 密勒密勒.庫什實驗庫什實驗 不同不同v分子到達分子到達 P所用時間不等所用時間不等, 沉淀于玻片上不同位沉淀于玻片上不同位置置, 用光學方法測玻片上鉍厚度分布可推知分子速率分用光學方法測玻片上鉍厚度分布可推知分子速率分布。布。介紹介紹: 1934年年 葛正權實驗葛正權實驗O: 鉍蒸汽源鉍蒸汽源平平行行狹狹縫縫:,321SSSP ：繞中心：繞中心軸轉動的圓軸轉動的圓筒內貼玻片筒內貼玻片O 大學物理大學物理第第20頁頁 共共23頁頁,Fv處理理想氣體分子速率分布的統計方法可用于處

14、理理想氣體分子速率分布的統計方法可用于金屬中自由電子金屬中自由電子(“(“電子氣電子氣”模型模型),),設導體中自由電設導體中自由電子子數為數為N, ,電子速率最大值為費米速率電子速率最大值為費米速率且已知電子且已知電子速率在速率在 v v + d v 區間概率為區間概率為NNd0d2vAv)()0(FFvvAvv為常數為常數 畫出電子氣速率分布曲線畫出電子氣速率分布曲線AvF定出定出由由2,vvvp求求大學物理大學物理第第21頁頁 共共23頁頁: 由歸一化條件由歸一化條件330023,13dd)(FFvvAvAvAvvvfFFvFFpvvvvvvvvfvvvF75. 0d3d)(;2003FFFFvvvvvvvvvvF77. 06 . 06 . 0d3222022vNNvfdd)()(0)0(2FFvvvvAvOvf(v)vF大學物理大學物理第第22頁頁 共共23頁頁無外力場存在時無外力場存在時, 麥氏分子速率分布定律麥氏分子速率分布定律vvkTmNNWkTmvde)2(4dd22232麥氏分子速度分布定律麥氏分子速度分布定律zyxvvvkTmvvvkTmNNWzyxddde)2(dd)(223222保守力場中，粒子不再均勻分布保守力場中，粒子不再均勻分布重力場中粒子按高度分布規律重力場中粒子按高度分布規律粒子按勢能分布規律粒子按勢能分布規律或：或：大學物理大學