1、1.6 事件的獨立性 實例實例 一個袋子中有一個袋子中有4個紅球，個紅球，6個白球個白球. （1）采用有放回方式從中摸球兩次；）采用有放回方式從中摸球兩次； （2）采用不放回方式從中摸球兩次）采用不放回方式從中摸球兩次. 設(shè)設(shè)A=第一次摸出紅球第一次摸出紅球，B=第二次摸出紅球第二次摸出紅球 ()( ). 0 4P B AP B |()( )13P B AP B |:( ). ,( ).0 40 4P AP B 不不放放回回摸摸球球:( ). ,( ). ,().P AP BP B A0 40 40 4有有放放回回摸摸球球|()()( )( )()( ) ( )( )p ABP B AP BP

2、 BP ABP A P BP A()()( )( )()( ) ( )( )p ABP A BP AP AP ABP A P BP B( ),( )00P AP B當(dāng)當(dāng)時時，ABAB有有放放回回摸摸球球： 發(fā)發(fā)生生與與否否不不影影響響 發(fā)發(fā)生生的的概概率率，事事件件 和和 獨獨立立. .ABAB不不放放回回摸摸球球： 發(fā)發(fā)生生與與否否影影響響 發(fā)發(fā)生生的的概概率率，事事件件 和和 不不獨獨立立. .兩個事件獨立的定義 .ABAB則則稱稱事事件件 和和 是是相相互互獨獨立立的的，簡簡稱稱“ 和和 獨獨立立”()() ( ).P ABP A P B :AB(1) 定定義義中中不不要要求求事事件件

3、和和 的的概概率率一一定定大大于于零零. .注注(2) .必必然然事事件件、不不可可能能事事件件和和任任何何事事件件都都獨獨立立(3) .在在實實際際應(yīng)應(yīng)用用中中，經(jīng)經(jīng)常常從從直直觀觀判判斷斷事事件件的的獨獨立立性性，然然后后利利用用下下式式來來簡簡化化計計算算ABP ABP A P B ()() (),對對任任意意兩兩個個事事件件 和和 ，如如果果()() ( ).P ABP A P B 例例1.20 擲兩枚均勻的硬幣擲兩枚均勻的硬幣, ,令令 =A第第一一枚枚硬硬幣幣正正面面朝朝上上 ， =B第第二二枚枚硬硬幣幣反反面面朝朝上上AB則則 和和 是是相相互互獨獨立立. . hh ht th

4、tt ,證證明明： Ahh htBht tt,.=P AB 1(),4P AP B1()( ).2AB所所以以 和和 是是相相互互獨獨立立. .例例1.21 ( (不容易直觀判斷獨立性的例子不容易直觀判斷獨立性的例子) )P ABP A P B ()() ( ),考慮所有兩個小孩的家庭考慮所有兩個小孩的家庭, ,假定生男和生女是等可能的假定生男和生女是等可能的. . =A既既有有男男孩孩又又有有女女孩孩 ， =B至至多多一一個個女女孩孩 ,bb bg gb gg= = ,Abg gbBbb bg gb=AB事事件件 和和 不不獨獨立立. .(),12P AB ( ),12P A ( )34P

5、B 例例1.21 ( (不容易直觀判斷獨立性的例子不容易直觀判斷獨立性的例子) )P ABP A P B ()() ( )考慮所有三個小孩的家庭考慮所有三個小孩的家庭, ,假定生男和生女是等可能的假定生男和生女是等可能的. . =A既既有有男男孩孩又又有有女女孩孩 ， =B至至多多一一個個女女孩孩 ,bbb bbg bgb bgg gbb gbg ggb ggg= =.AB事事件件 和和 是是獨獨立立的的(),P AB 38( ),P A 34( )12P B ,Bbbb bbg bgb gbb= = ,Abbg bgb bgg gbb gbg ggb= =ABAB和和 獨獨立立， 和和 獨獨

6、立立. .AB只只須須證證明明 和和 獨獨立立 ()P ABP BAP BABP BP AB = = = =- - ( ).1P BP A P BP BP AP B P A ABAB如如果果事事件件 和和 獨獨立立, ,則則 和和 獨獨立立, ,獨立條件下的加法公式和乘法公式 111P AP B ()( ) ().ABP ABP A P B A 對對任任意意 和和 ，則則 .ABP ABP AP BP AB對對任任意意事事件件 和和 ，則則()( ) ( ).ABP ABP A P B 如如果果 和和 獨獨立立，則則 11P ABP ABP A P BAB如如果果事事件件 和和 相相互互獨獨立

7、立，則則思考：思考：如果兩個事件互不相容，那么它們獨立嗎？如果兩個事件互不相容，那么它們獨立嗎？ AB 0ABP AB 如如果果 和和 互互不不相相容容，則則， 00P AP B當(dāng)當(dāng)，時時， P ABP A P B .AB事事件件 和和 不不獨獨立立 0,0=0ABP AP BP ABP A P B如如果果 和和 獨獨立立，且且，則則.AB事事件件 和和 是是相相容容的的.AAB只只有有當(dāng)當(dāng) 是是不不可可能能事事件件時時， 和和 既既獨獨立立又又互互斥斥三個事件的獨立性ABC三三個個事事件件 、 、 相相互互獨獨立立，下下列列等等式式都都應(yīng)應(yīng)成成立立. .這等價于下面的四個等式這等價于下面的四

8、個等式. ()() ( )()() ( )()( ) ( )1P ABP A P BP ACP A P CP BCP B P C ()( ) ( ) ( )2P ABCP A P B P C ( )()()()P AP A BP A CP A BC ( )()()()P BP B AP B CP B AC ( )()()()P CP C AP C BP C AB 這這說明說明 (1) 式中三個等式成立，但式中三個等式成立，但 (2) 式的等式不成立式的等式不成立.可以可以舉例說明舉例說明(2)成立，但成立，但(1)式不成立式不成立. , , ,1 2 3 41 21 31 4ABC ,12P

9、AP BP C ,14P ABP ACP BC 1.4P ABCP A P B P C （1 1）中等式成立但（）中等式成立但（2 2）不成立的反例）不成立的反例對于三個事件對于三個事件A、B、C，如果如果下面四個等式同時成立，下面四個等式同時成立，則稱則稱事件事件A、B、C 相互獨立相互獨立. 可以類似地推廣到可以類似地推廣到n個事件相互獨立個事件相互獨立. 它需要用它需要用2321nnnnnCCCn 個等式來定義個等式來定義. ()() ( )()() ( )()( ) ( )1P ABP A P BP ACP A P CP BCP B P C ()( ) ( ) ( )2P ABCP A

10、 P B P C 7.ABC如如果果事事件件 、 、 相相互互獨獨立立，則則下下面面的的 組組事事件件也也獨獨立立 ,A B CA B CA B CA B CA B CA B CA B C思考思考（1）如何證明？如何證明？ （2）如何把這個結(jié)論推廣到）如何把這個結(jié)論推廣到n個事件？個事件？ 例例2 2 三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為概率分別為1/5，1/3，1/4，問三人中至少有一人能將密碼，問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？譯出的概率是多少？ 獨立性在計算概率中的應(yīng)用 ()( ) ( ) ( )P ABCP ABCP

11、A P B P C 11 111311115345 ABC記記 三三個個人人分分別別能能破破譯譯出出密密碼碼的的事事件件分分別別為為 ， ， ，所所求求概概率率為為解：231n231n獨立性在可靠性中的應(yīng)用由由 個個相相同同的的元元件件組組成成一一個個串串聯(lián)聯(lián)系系統(tǒng)統(tǒng)， 每每個個元元件件正正常常工工作作nr的的概概率率為為 ，假假設(shè)設(shè)各各元元件件能能否否正正常常工工作作是是獨獨立立的的, ,那那么么系系統(tǒng)統(tǒng)nnrr正正常常工工作作的的概概率率為為 ，系系統(tǒng)統(tǒng)失失效效的的概概率率為為1-1- 。 111nnrr. .系系統(tǒng)統(tǒng)失失效效的的概概率率為為. .對對于于由由 個個相相同同的的元元件件組組

12、成成的的并并聯(lián)聯(lián)系系統(tǒng)統(tǒng)，n假假設(shè)設(shè)同同上上，那那么么系系統(tǒng)統(tǒng)正正常常工工作作的的概概率率為為123n123n. nnr由由 個個元元件件組組成成的的串串聯(lián)聯(lián)系系統(tǒng)統(tǒng)的的可可靠靠性性為為整整個個系系統(tǒng)統(tǒng).nr看看成成是是由由兩兩個個可可靠靠性性為為的的元元件件組組成成的的并并聯(lián)聯(lián)系系統(tǒng)統(tǒng)所所以以串串并并系系統(tǒng)統(tǒng)的的可可靠靠性性為為2n由由個個相相同同的的元元件件組組成成一一個個串串并并系系統(tǒng)統(tǒng)，假假設(shè)設(shè)每每個個元元件件的的.r可可靠靠性性都都是是 ，并并且且各各元元件件是是否否正正常常工工作作是是獨獨立立的的 求求這這個個.串串并并系系統(tǒng)統(tǒng)的的可可靠靠性性 .nnnRrrr 2111223n1

13、123n r22由由 個個元元件件組組成成的的并并聯(lián)聯(lián)系系統(tǒng)統(tǒng)的的可可靠靠性性為為1- 1-1- 1-，n整整個個系系統(tǒng)統(tǒng)可可看看成成是是由由 個個子子系系統(tǒng)統(tǒng)組組成成的的串串聯(lián)聯(lián)系系統(tǒng)統(tǒng)，并并串串系系統(tǒng)統(tǒng)的的可可靠靠性性為為 nnnRrrr 221122n由由個個相相同同的的元元件件組組成成一一個個并并串串系系統(tǒng)統(tǒng)，假假設(shè)設(shè)每每個個元元件件的的.r可可靠靠性性都都是是 ，并并且且各各元元件件是是否否正正常常工工作作是是獨獨立立的的 求求這這個個.并并串串系系統(tǒng)統(tǒng)的的可可靠靠性性 Rppppppp pp p 5132451234111111111112345根據(jù)全概率公式，考慮元件根據(jù)全概率公

14、式，考慮元件5正常和失效兩種可能正常和失效兩種可能.5由由 個個元元件件組組成成如如下下的的電電路路，假假設(shè)設(shè)每每個個元元件件正正常常工工作作的的 , .ip i 1 2 3 4 5概概率率為為，求求系系統(tǒng)統(tǒng)的的可可靠靠性性各種系統(tǒng)可靠性的數(shù)值比較取元件的可靠性取元件的可靠性 r=0.95，n=10.系統(tǒng)類型系統(tǒng)類型可靠性公式可靠性公式數(shù)值數(shù)值串聯(lián)系統(tǒng)串聯(lián)系統(tǒng)0.5987并聯(lián)系統(tǒng)并聯(lián)系統(tǒng)1.0000串并系統(tǒng)串并系統(tǒng)0.8389并串系統(tǒng)并串系統(tǒng)0.9752nr nr 11 nnrr 2 nnrr 21.7 貝努里概率模型 高爾頓釘板試驗高爾頓釘板試驗: :如圖，一木如圖，一木板上均勻地釘上幾排釘

15、子，將板上均勻地釘上幾排釘子，將一小球從頂端放入，小球碰上一小球從頂端放入，小球碰上釘子后等可能地向左或向右落釘子后等可能地向左或向右落下，最后落入下面的格子中下，最后落入下面的格子中. .分別求小球落入分別求小球落入1 1號、號、2 2號、號、3 3號、號、4 4號、號、5 5號格子中的概率號格子中的概率. . 12345樹形圖球落的格子號球落的格子號12345概概 率率1/164/166/164/161/16LLRLRRLRLRLRRLLRLR L RLR LRL RL RLR122324 34543 2 343 3RL右左 小球在下落的過程中與釘子碰撞小球在下落的過程中與釘子碰撞4次，每

16、次碰撞后都等可能次，每次碰撞后都等可能地向左或向右下落地向左或向右下落. 且上一次碰撞向左或向右下落與下一次碰且上一次碰撞向左或向右下落與下一次碰撞向左或向右下落是獨立的撞向左或向右下落是獨立的. kAkk用用=0,1,2,3,4=0,1,2,3,4 表表示示4 4次次碰碰撞撞后后向向右右下下落落了了 次次，則則012341 2 3 4 5AAAAA， ，分分別別對對應(yīng)應(yīng)小小球球落落入入 ，號號格格子子中中，.由由獨獨立立性性假假定定可可得得所所求求事事件件的的概概率率數(shù)學(xué)模型()(), ,kkn kknP BC ppkn 10 1 2 ，()()-P Ap P ApEn , ,1 1，將將試

17、試驗驗 獨獨立立重重復(fù)復(fù)進(jìn)進(jìn)行行 次次，,EAA如如果果一一個個試試驗驗 只只有有兩兩個個可可能能結(jié)結(jié)果果： 和和其其中中kBnAk設(shè)設(shè)為為 次次獨獨立立重重復(fù)復(fù)試試驗驗中中事事件件 發(fā)發(fā)生生了了 次次的的事事件件，則則 例例1. 24 金工車間有金工車間有10臺同類型的機(jī)床臺同類型的機(jī)床, 每臺機(jī)床配備電機(jī)每臺機(jī)床配備電機(jī)的功率為的功率為10千瓦，實際開工率為千瓦，實際開工率為0.2，如果只供，如果只供50千瓦的電千瓦的電力，求這力，求這10臺機(jī)床能正常工作的概率臺機(jī)床能正常工作的概率.解：假設(shè)解：假設(shè)10臺機(jī)床同時開動的機(jī)床數(shù)為臺機(jī)床同時開動的機(jī)床數(shù)為X，則則()., ,kkkP XkCk

18、 10100 20 80 1 210，k012345P0.10740.26840.30200.20130.08810.0264k678910P0.00550.00080.00010.00000.0000().P X 50 994 例例1. 25 校隊與系隊進(jìn)行乒乓球比賽，校隊的一個運動員與校隊與系隊進(jìn)行乒乓球比賽，校隊的一個運動員與系隊一個運動員比賽時，校隊運動員獲勝的概率為系隊一個運動員比賽時，校隊運動員獲勝的概率為0.6,0.6,有有三種比賽方案三種比賽方案: :(1) 雙方各出雙方各出3人，比三局人，比三局;(2) 雙方各出雙方各出5人，比五局人，比五局;(3)雙方各出雙方各出7人，比七

19、局人，比七局;比賽結(jié)果以獲勝人數(shù)多的一方為勝利，哪一種方案對系隊比賽結(jié)果以獲勝人數(shù)多的一方為勝利，哪一種方案對系隊有利有利? 解：設(shè)系隊獲勝的人數(shù)為設(shè)系隊獲勝的人數(shù)為，三種方案系隊獲勝的概率為：，三種方案系隊獲勝的概率為：( )().,3323120 40 60 352kkkPk 人數(shù)越少，對系隊越有利人數(shù)越少，對系隊越有利.( )().,5535230 40 60 317kkkPk ( )().7747340 40 60 290kkkPk n=3n=5n=700.21600.07800.02810.43210.25910.13120.28820.34620.26130.06430.23030

20、.29040.07740.19450.01050.07760.01770.002設(shè)設(shè)表示進(jìn)行的試驗次數(shù)，則表示進(jìn)行的試驗次數(shù)，則的分布列為的分布列為 , ,kkP Xkppp kn 11111 21LL .1111nP Xnpp L 1,1 2kkpP Akn （ ）， ，k一一個個試試驗驗需需要要分分多多步步模模型型完完成成，第第 次次：試試驗驗中中關(guān)關(guān)心心kkAA事事件件是是否否發(fā)發(fā)生生，一一旦旦發(fā)發(fā)生生，則則試試驗驗終終止止，或或試試驗驗.n進(jìn)進(jìn)行行到到第第 次次也也終終止止試試驗驗2,.1nAA（ ）相相互互獨獨立立 實例實例 某地最近出臺一項機(jī)動車駕照考試規(guī)定：每位考某地最近出臺一項

21、機(jī)動車駕照考試規(guī)定：每位考試者一年之內(nèi)最多有試者一年之內(nèi)最多有4次考試機(jī)會，一旦某次考試通過次考試機(jī)會，一旦某次考試通過，便可領(lǐng)取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考，便可領(lǐng)取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第到第4次為止如果李明決定參加駕照考試，設(shè)他每次次為止如果李明決定參加駕照考試，設(shè)他每次參加考試通過的概率依次為參加考試通過的概率依次為0.6，0.7，0.8，0.9 求在一年內(nèi)參加駕照考試次數(shù)求在一年內(nèi)參加駕照考試次數(shù)X 的分布列，并求李的分布列，并求李明在一年內(nèi)領(lǐng)到駕照的概率明在一年內(nèi)領(lǐng)到駕照的概率 =kAki設(shè)設(shè)“在在第第 次次考考試試時時通通過過”, , = =1 1,

22、,2 2, ,3 3, ,4 4第第2 2次次第第1 1次次第第3 3次次第第4 4次次X取值取值0.60.40.70.30.80.20.90.1421341A1A4A2A3A3A2A4A,A A A A1234相相互互獨獨立立。 . ,P XP A 110 6 .,P XP A A 1220 40 70 28 .,P XP A A A 12330 40 30 80 096 .P XP A A A 12340 40 30 20 024一年內(nèi)領(lǐng)到駕照的概率為一年內(nèi)領(lǐng)到駕照的概率為 .pP A A A A 123410 40 30 20 10 9976 例例1. 26 m把外形相同的鑰匙，其中只有一把能打開家門，把外形相同的鑰匙，其中只有一把能打開家門，某人一天醉酒后下意識從某人一天醉酒后下意識從m把鑰匙中隨便取一把開門，求把鑰匙中隨便取一把開門，求第第k次才把門打開的概率。次才把門打開的概率。().kkkP A AAAmm 1121111 所求的概率為所求的概率為=kAki解解：設(shè)設(shè)“在在第第 次次試試開開時時打打開開了了門門”, , = =1 1, ,2 2, ,3 3,