1、7.1第7章 平面彎曲內(nèi)力7.1 平面彎曲的概念與實(shí)例平面彎曲的概念與實(shí)例7.2 平面彎曲內(nèi)力平面彎曲內(nèi)力剪力與彎矩剪力與彎矩7.3 剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖7.4 彎矩、剪力和載荷集度間的關(guān)系彎矩、剪力和載荷集度間的關(guān)系小結(jié)小結(jié)7.27.17.1 平面彎曲的概念與實(shí)例 彎曲是工程實(shí)際中最常見的一種基本變形。彎曲是工程實(shí)際中最常見的一種基本變形。 例如：火車輪軸受力后的變形；例如：火車輪軸受力后的變形； 工廠車間里的行車受力后的變形；工廠車間里的行車受力后的變形； 還有水泥梁、公路上的橋梁等受力后的變還有水泥梁、公路上的橋梁等受力后的變形。形。 7.1.1 7.1.1 平面彎曲的概念與實(shí)例

2、平面彎曲的概念與實(shí)例 彎曲：構(gòu)件在通過其軸線的面內(nèi)，受到力偶或垂直于軸線的橫向外彎曲：構(gòu)件在通過其軸線的面內(nèi)，受到力偶或垂直于軸線的橫向外力的作用（受力特點(diǎn)），桿的軸線由直線變?yōu)榍€（變形特點(diǎn)）。力的作用（受力特點(diǎn)），桿的軸線由直線變?yōu)榍€（變形特點(diǎn)）。 7.3 平面彎曲：如果梁有一個(gè)或幾個(gè)縱向?qū)ΨQ面平面彎曲：如果梁有一個(gè)或幾個(gè)縱向?qū)ΨQ面（梁的軸線應(yīng)為該縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的一條平面直線，（梁的軸線應(yīng)為該縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的一條平面直線，且該縱向?qū)ΨQ面與各橫截面的交線也是各橫截面且該縱向?qū)ΨQ面與各橫截面的交線也是各橫截面的對(duì)稱軸），當(dāng)作用于梁上的所有外力（包括橫的對(duì)稱軸），當(dāng)作用于梁上的所有外力（包括橫向外

3、力、力偶、支座反力等）都位于梁的某一縱向外力、力偶、支座反力等）都位于梁的某一縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時(shí)，使得梁的軸線由直線變?yōu)樵诳v向向?qū)ΨQ面內(nèi)時(shí)，使得梁的軸線由直線變?yōu)樵诳v向?qū)ΨQ面內(nèi)的一條平面曲線，這種彎曲變形就稱為對(duì)稱面內(nèi)的一條平面曲線，這種彎曲變形就稱為平面彎曲。平面彎曲。 梁：變形為彎曲變形或以彎曲變形為主的桿件，工程上習(xí)慣稱之為梁：變形為彎曲變形或以彎曲變形為主的桿件，工程上習(xí)慣稱之為梁梁。 7.17.1 平面彎曲的概念與實(shí)例 7.4 1.1.簡支梁簡支梁 梁的一端為活動(dòng)梁的一端為活動(dòng)鉸支座，另一端為固定鉸支座。鉸支座，另一端為固定鉸支座。 2.2.外伸梁外伸梁 梁的一端或兩梁的一端或兩端伸出支

4、座之外的簡支梁。端伸出支座之外的簡支梁。 3.3.懸臂梁懸臂梁 梁的一端為固梁的一端為固定端支座、另一端自由。定端支座、另一端自由。 根據(jù)支座對(duì)梁約束的不同特點(diǎn)（支座可簡化為三種形式：活動(dòng)鉸支根據(jù)支座對(duì)梁約束的不同特點(diǎn)（支座可簡化為三種形式：活動(dòng)鉸支座、固定鉸支座、固定端支座），簡單的梁有三種類型：座、固定鉸支座、固定端支座），簡單的梁有三種類型： 一、梁的計(jì)算簡圖一、梁的計(jì)算簡圖 簡化為一直桿并用梁的軸線來表示。簡化為一直桿并用梁的軸線來表示。 二、梁的分類二、梁的分類 7.1.2 7.1.2 梁的計(jì)算簡圖及分類梁的計(jì)算簡圖及分類 7.17.1 平面彎曲的概念與實(shí)例 7.5 又如：為了減少懸

5、臂梁的變形和提高其強(qiáng)度，在梁的自由端增設(shè)一又如：為了減少懸臂梁的變形和提高其強(qiáng)度，在梁的自由端增設(shè)一活動(dòng)鉸支座后，梁也就成了活動(dòng)鉸支座后，梁也就成了一次超靜定梁一次超靜定梁。 例如：為了減少簡支梁的變形和提高其強(qiáng)度，在梁的跨中增設(shè)一活例如：為了減少簡支梁的變形和提高其強(qiáng)度，在梁的跨中增設(shè)一活動(dòng)鉸支座后，梁就成了動(dòng)鉸支座后，梁就成了一次超靜定梁一次超靜定梁。 這三種梁承受載荷后的支座反力都可由靜力平衡方程求得，故一般這三種梁承受載荷后的支座反力都可由靜力平衡方程求得，故一般將它們統(tǒng)稱為將它們統(tǒng)稱為靜定梁靜定梁，如梁的支座反力的數(shù)目多于靜力平衡方程的數(shù)目，如梁的支座反力的數(shù)目多于靜力平衡方程的數(shù)目

6、的梁，用靜力平衡方程無法求得全部支座反力，這類梁稱為的梁，用靜力平衡方程無法求得全部支座反力，這類梁稱為超靜定梁超靜定梁。 7.17.1 平面彎曲的概念與實(shí)例 7.67.27.2 平面彎曲內(nèi)力剪力與彎矩 7.2.1 7.2.1 截面法求內(nèi)力截面法求內(nèi)力 問題：梁在發(fā)生平面彎曲變形時(shí)，橫截面上會(huì)產(chǎn)生何種內(nèi)力素？在問題：梁在發(fā)生平面彎曲變形時(shí)，橫截面上會(huì)產(chǎn)生何種內(nèi)力素？在橫截面上會(huì)有幾種內(nèi)力素同時(shí)存在？如何求出這些內(nèi)力素？橫截面上會(huì)有幾種內(nèi)力素同時(shí)存在？如何求出這些內(nèi)力素？ 例：欲求圖示簡支梁任意截面例：欲求圖示簡支梁任意截面1-11-1上的內(nèi)力。上的內(nèi)力。 1.1.截開：截開： 在在1-11-1

7、截面處將梁截分為左、右兩部截面處將梁截分為左、右兩部分，取左半部分為研究對(duì)象。分，取左半部分為研究對(duì)象。 2.2.代替：代替： 在左半段的在左半段的1-11-1截面處添畫內(nèi)截面處添畫內(nèi)力力 、 ，( (由平衡解釋由平衡解釋) )代替右半部分代替右半部分對(duì)其作用。對(duì)其作用。 SFM7.73.3.平衡：整個(gè)梁是平衡的，截開后的每一部分也應(yīng)平衡。平衡：整個(gè)梁是平衡的，截開后的每一部分也應(yīng)平衡。 由由 01SAyFFFF得得 1FFFAS 由由 0)(1MaxFFMAXC得得 )(1axFFMAX 如取右半段為研究對(duì)象，同樣可以求得截面如取右半段為研究對(duì)象，同樣可以求得截面1-11-1上的內(nèi)力上的內(nèi)力

8、 和和 ，但，但左、右半段求得的左、右半段求得的 及及 數(shù)值相等，方向（或轉(zhuǎn)向）相反。數(shù)值相等，方向（或轉(zhuǎn)向）相反。 SFMSFM7.2.2 7.2.2 剪力和彎矩剪力和彎矩 ：是橫截面上切向分布內(nèi)力分量的合力，因與截面：是橫截面上切向分布內(nèi)力分量的合力，因與截面1-11-1相切，故稱相切，故稱為截面為截面1-11-1的剪力。的剪力。 SF ：是橫截面上法向分布內(nèi)力分量的合力偶矩，因在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)且：是橫截面上法向分布內(nèi)力分量的合力偶矩，因在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)且與截面垂直，故稱為截面與截面垂直，故稱為截面1-11-1的彎矩。的彎矩。 M7.27.2 平面彎曲內(nèi)力剪力與彎矩 7.8 由于取左半段與取右

9、半段所得剪力和彎矩的方向（或轉(zhuǎn)向）相反，由于取左半段與取右半段所得剪力和彎矩的方向（或轉(zhuǎn)向）相反，為使無論取左半段或取右半段所得剪力和彎矩的正負(fù)符號(hào)相同，必須對(duì)為使無論取左半段或取右半段所得剪力和彎矩的正負(fù)符號(hào)相同，必須對(duì)剪力和彎矩的正負(fù)符號(hào)做適當(dāng)規(guī)定。剪力和彎矩的正負(fù)符號(hào)做適當(dāng)規(guī)定。 剪力的正負(fù)：剪力的正負(fù)： 使微段梁產(chǎn)生左側(cè)截面向上、右側(cè)截面向下的剪力為正，反之為負(fù)。使微段梁產(chǎn)生左側(cè)截面向上、右側(cè)截面向下的剪力為正，反之為負(fù)。 彎矩的正負(fù)：彎矩的正負(fù)： 使微段梁產(chǎn)生上凹下凸彎曲使微段梁產(chǎn)生上凹下凸彎曲變形的彎矩為正，反之為負(fù)。變形的彎矩為正，反之為負(fù)。 歸納剪力和彎矩的計(jì)算公式：歸納剪力和

10、彎矩的計(jì)算公式： 7.27.2 平面彎曲內(nèi)力剪力與彎矩 7.9FFS（截面上的剪力等于截面一側(cè)所有橫向外力的代數(shù)和。）（截面上的剪力等于截面一側(cè)所有橫向外力的代數(shù)和。） CMM（截面上的彎矩等于截面一側(cè)所有外力對(duì)截面形心取力（截面上的彎矩等于截面一側(cè)所有外力對(duì)截面形心取力矩的代數(shù)和。）矩的代數(shù)和。） 公式中外力和外力矩的正負(fù)規(guī)定：公式中外力和外力矩的正負(fù)規(guī)定： 剪力公式中外力的正負(fù)規(guī)定：截面左段梁上向上作用的橫向外力或剪力公式中外力的正負(fù)規(guī)定：截面左段梁上向上作用的橫向外力或右段梁上向下作用的橫向外力在該截面上產(chǎn)生的剪力為正，反之為負(fù)。右段梁上向下作用的橫向外力在該截面上產(chǎn)生的剪力為正，反之為

11、負(fù)。以上可歸納為一個(gè)簡單的口訣以上可歸納為一個(gè)簡單的口訣“左上、右下為正左上、右下為正”。 7.27.2 平面彎曲內(nèi)力剪力與彎矩 7.10 彎矩公式中外力矩的正負(fù)規(guī)定：截面左段梁上的橫向外力（或外力彎矩公式中外力矩的正負(fù)規(guī)定：截面左段梁上的橫向外力（或外力偶）對(duì)截面形心的力矩為順時(shí)針轉(zhuǎn)向或右段梁上的橫向外力（或外力偶）偶）對(duì)截面形心的力矩為順時(shí)針轉(zhuǎn)向或右段梁上的橫向外力（或外力偶）對(duì)截面形心的力矩為逆時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)，在該截面上產(chǎn)生的彎矩為正，反之對(duì)截面形心的力矩為逆時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)，在該截面上產(chǎn)生的彎矩為正，反之為負(fù)。以上也可歸納為一個(gè)簡單的口訣為負(fù)。以上也可歸納為一個(gè)簡單的口訣“左順、右逆為正左順、右

12、逆為正”。 例例7.1 7.1 簡支梁如圖所示。試求圖中各指定截面的剪力和彎矩。簡支梁如圖所示。試求圖中各指定截面的剪力和彎矩。AFBF 解解 （1 1）求支反力）求支反力 設(shè)設(shè) 、 方向向上。方向向上。 由由 0AM及及 0BM （2 2）求指定截面的剪力和彎矩）求指定截面的剪力和彎矩 7.27.2 平面彎曲內(nèi)力剪力與彎矩 可求得可求得kNFkNFBA10107.11kN101ASFF（由（由1-11-1截面左側(cè)計(jì)算）截面左側(cè)計(jì)算） 7.27.2 平面彎曲內(nèi)力剪力與彎矩 （由（由1-11-1截面左側(cè)計(jì)算）截面左側(cè)計(jì)算） 1011011kNmFMA （由（由2-22-2截面左側(cè)計(jì)算）截面左側(cè)計(jì)

13、算） 212102kNFFFAS（由（由2-22-2截面左側(cè)計(jì)算）截面左側(cè)計(jì)算） 100110012kNmFFMA（由（由3-33-3截面右側(cè)計(jì)算）截面右側(cè)計(jì)算） 2102423kNFqFBS（由（由3-33-3截面截面右側(cè)計(jì)算）右側(cè)計(jì)算） 821012442123kNmFqMMBe（由（由4-44-4截面右側(cè)計(jì)算）截面右側(cè)計(jì)算） 2102424kNFqFBS（由（由4-44-4截面右側(cè)計(jì)算）截面右側(cè)計(jì)算） 122101242124kNmFqMB7.12 從以上從以上1-11-1、2-22-2截面的剪力值可以看出，截面的剪力值可以看出，在集中力在集中力 作用處的兩側(cè)截面的作用處的兩側(cè)截面的剪力

14、值將發(fā)剪力值將發(fā)生突變，生突變，突變值就等于該集中力突變值就等于該集中力 的大小；的大小；而從而從3-33-3、4-44-4截面的彎矩值可以看出，在集截面的彎矩值可以看出，在集中力偶中力偶 作用處的兩側(cè)截面的作用處的兩側(cè)截面的彎矩值將發(fā)生彎矩值將發(fā)生突變突變，突變值就等于該集中力偶矩，突變值就等于該集中力偶矩 的大小。的大小。FeMeMF7.27.2 平面彎曲內(nèi)力剪力與彎矩 7.137.3.1 7.3.1 剪力方程與彎矩方程剪力方程與彎矩方程 梁橫截面上的剪力與彎矩是隨著截面的位置而發(fā)生變化的，以橫坐梁橫截面上的剪力與彎矩是隨著截面的位置而發(fā)生變化的，以橫坐標(biāo)標(biāo) 表示橫截面的位置，則其剪力和彎

15、矩都可以表示為表示橫截面的位置，則其剪力和彎矩都可以表示為 的函數(shù)。的函數(shù)。 xx 即：即： )()(xMMxFFSS將其稱為梁的剪力方程與彎矩方程。將其稱為梁的剪力方程與彎矩方程。 7.37.3 剪力圖與彎矩圖 列內(nèi)力方程時(shí)應(yīng)根據(jù)梁上載荷的分布情況分段進(jìn)行，集中力（包括列內(nèi)力方程時(shí)應(yīng)根據(jù)梁上載荷的分布情況分段進(jìn)行，集中力（包括支座反力）、集中力偶的作用點(diǎn)和分布載荷的起、止點(diǎn)均為分段點(diǎn)。支座反力）、集中力偶的作用點(diǎn)和分布載荷的起、止點(diǎn)均為分段點(diǎn)。 7.3.2 7.3.2 剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖 為了一目了然地表示出梁的各橫截面上剪力與彎矩沿梁軸線的分布為了一目了然地表示出梁的各橫截面上剪

16、力與彎矩沿梁軸線的分布7.14x)(xFFSS)(xMM 情況，通常可以情況，通常可以 為橫坐標(biāo)，以各內(nèi)力為縱坐標(biāo)，繪出為橫坐標(biāo)，以各內(nèi)力為縱坐標(biāo)，繪出 和和 的函數(shù)圖象，將其稱為剪力圖與彎矩圖。的函數(shù)圖象，將其稱為剪力圖與彎矩圖。 從剪力圖與彎矩圖上可以很方便地確定梁的最大剪力和最大彎矩，從剪力圖與彎矩圖上可以很方便地確定梁的最大剪力和最大彎矩，從而迅速確定梁危險(xiǎn)截面的位置。從而迅速確定梁危險(xiǎn)截面的位置。 繪制剪力圖與彎矩圖的最基本方法是列剪力方程與彎矩方程繪制內(nèi)繪制剪力圖與彎矩圖的最基本方法是列剪力方程與彎矩方程繪制內(nèi)力圖。力圖。 例例7.2 7.2 如圖所示簡支梁如圖所示簡支梁AB ，受

17、向下均布載荷，受向下均布載荷 作用。試列出梁的作用。試列出梁的剪力方程與彎矩方程。并畫出剪力圖與彎矩圖。剪力方程與彎矩方程。并畫出剪力圖與彎矩圖。 q7.3 7.3 剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖7.157.3 7.3 剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖解：解：1 1）求支反力）求支反力2qlFFBA由對(duì)稱關(guān)系，由對(duì)稱關(guān)系， 。 2 2）列剪力方程和彎矩方程）列剪力方程和彎矩方程 )0(2)(lxqxqlqxFxFAS（a） )0(222)(2lxxqxqlxqxxFxMA（b） 3 3）繪制剪力圖與彎矩圖）繪制剪力圖與彎矩圖 7.167.3 7.3 剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖 由由 式（式（a a

18、）可知剪力圖為一條斜直線，斜率為）可知剪力圖為一條斜直線，斜率為 ，向下傾斜（即左，向下傾斜（即左高右低）。高右低）。 q 由式（由式（b b）可知彎矩圖為一條開口向下的）可知彎矩圖為一條開口向下的拋物線。可采用三點(diǎn)繪圖法繪制其彎矩圖。拋物線。可采用三點(diǎn)繪圖法繪制其彎矩圖。 (1)(1)起點(diǎn)起點(diǎn) 0)0(0Mx (2)(2)終點(diǎn)終點(diǎn) 0)(lMlx 根據(jù)根據(jù) 時(shí)，時(shí)， ； 時(shí)，時(shí)， 。 0 x2qlFSlx 2qlFS即可繪出剪力圖。即可繪出剪力圖。)0(2)(lxqxqlqxFxFAS（a） )0(222)(2lxxqxqlxqxxFxMA（b） 7.17（3 3）極值點(diǎn)（拋物線的最高點(diǎn)或最

19、低點(diǎn)）極值點(diǎn)（拋物線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)） 令令 02d)(dqxqlxxM可得可得 2lx （從而確定了極值截（從而確定了極值截 面的位置）面的位置） 將將 代入彎矩計(jì)算公式得代入彎矩計(jì)算公式得 （此即拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可繪出拋物線，也就是梁的彎矩圖。（此即拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可繪出拋物線，也就是梁的彎矩圖。 2lx 8)2(222)2(22qllqlqllM 由剪力圖與彎矩圖可以很方便地看出：由剪力圖與彎矩圖可以很方便地看出： 最大剪力發(fā)生在兩端截面的內(nèi)側(cè)，其絕對(duì)值為最大剪力發(fā)生在兩端截面的內(nèi)側(cè)，其絕對(duì)值為 ； 2maxqlFS 最大彎矩發(fā)生在中截面，最大彎矩發(fā)生在中截面， 。 82ma

20、xqlM7.3 7.3 剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖2( )( 0)( )222AxqlqM xFxqxxxxlb 7.18 例例7.37.3 圖圖7.14a7.14a所示簡支梁所示簡支梁AB，在，在C點(diǎn)受集中力點(diǎn)受集中力F作用，試列出梁的作用，試列出梁的剪力方程和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。剪力方程和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。 解解 1 1）求支反力）求支反力 由平衡方程得由平衡方程得 內(nèi)力，即可得內(nèi)力，即可得AC的剪力方程和彎矩方程：的剪力方程和彎矩方程： lFbFAlFaFB 2 2）分段列剪力方程和彎矩方程）分段列剪力方程和彎矩方程 對(duì)對(duì)AC段，在段內(nèi)取坐標(biāo)為段，在段內(nèi)取坐標(biāo)

21、為 的截面計(jì)算的截面計(jì)算 1x7.37.3 剪力圖與彎矩圖 )0()(11axlFbFxFAS)0()(1111axxlFbxFxMA(a)(a)(b)(b)7.19 3 3）繪制剪力圖和彎矩圖）繪制剪力圖和彎矩圖7.3 7.3 剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖 同理可得同理可得CB段的剪力方程和彎矩方程：段的剪力方程和彎矩方程： )()(22lxalFaFlFbFFxFAS)()()()(22222lxaxllFaaxFxFxMA(d)(c)7.20 式（式（b b）表示在）表示在AC段內(nèi)的彎矩圖是一條向右上方傾斜的斜直線，段內(nèi)的彎矩圖是一條向右上方傾斜的斜直線， 由由 lFabMaxMx,;0

22、,0 決定。決定。 而式（而式（d d）表示在）表示在BC段內(nèi)的彎矩圖是一條向右下方傾斜的斜直線，段內(nèi)的彎矩圖是一條向右下方傾斜的斜直線， 由由 0,;,MlxlFabMax 決定整個(gè)梁的彎矩決定整個(gè)梁的彎矩圖在集中力圖在集中力F作用處形成一折角。作用處形成一折角。 由由 圖和圖和 圖可知，當(dāng)圖可知，當(dāng) 時(shí)，時(shí)， CB 段內(nèi)任意截面上的剪力值為最段內(nèi)任意截面上的剪力值為最大，大， ； 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，AC 段內(nèi)任意截面上的剪力值為最大，段內(nèi)任意截面上的剪力值為最大， SFMba lFaFSmaxba 7.3 7.3 剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖7.21 從從 圖上可以看出，在集中力圖上可以看出，

23、在集中力F作用的作用的C 截面處，剪力值發(fā)生了突截面處，剪力值發(fā)生了突變，突變值就等于該集中力變，突變值就等于該集中力 的大小。的大小。 SFF 例例7.4 7.4 圖示簡支梁圖示簡支梁AB ，在，在C 截面處受截面處受集中力偶集中力偶 作用。試列出梁的剪力方程和作用。試列出梁的剪力方程和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。 eM解解 1 1）求支反力）求支反力 ,eeABMMFFll由平衡條件得：7.3 7.3 剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖lFbFSmax 。梁上的最大彎矩值發(fā)生在集中力。梁上的最大彎矩值發(fā)生在集中力F作用的作用的C 截面上，其值截面上，其值為：為

24、： 。lFabMmax7.22同理，可得同理，可得CB 段的剪力方程和彎矩方程：段的剪力方程和彎矩方程： 22()()( )eSAMFxFaxlcl7.3 7.3 剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖2 2）分段列剪力方程和彎矩方程）分段列剪力方程和彎矩方程 對(duì)對(duì)AC段，在段內(nèi)取坐標(biāo)為段，在段內(nèi)取坐標(biāo)為 的截面計(jì)算內(nèi)力，即可得的截面計(jì)算內(nèi)力，即可得AC的剪力方程的剪力方程和彎矩方程：和彎矩方程：1x1111()(0)( )eAMM xF xxxabl11()(0)( )eSAMF xFxaal2222()()( )eAeeMM xF xMxMaxldl7.23 由式（由式（a a）和（）和（c c），

25、）， 圖為一條平行于圖為一條平行于 軸的水平線。由此可見，軸的水平線。由此可見， 集中力偶對(duì)集中力偶對(duì) 圖無影響，梁上任一截面的剪力均為最大值圖無影響，梁上任一截面的剪力均為最大值 。 SFxSFlMFSmax 由式（由式（b b）和（）和（d d）可知，在）可知，在AC 和和CB 段內(nèi)，彎矩圖均為斜率為段內(nèi)，彎矩圖均為斜率為 的斜直線，相互平行，但在集中力偶的斜直線，相互平行，但在集中力偶 作用的作用的C 截面處，圖發(fā)生突變，截面處，圖發(fā)生突變，突變的絕對(duì)值等于集中力偶的大小。若突變的絕對(duì)值等于集中力偶的大小。若 ，則在，則在C 點(diǎn)的左側(cè)截面上有點(diǎn)的左側(cè)截面上有最大彎矩最大彎矩 ；若；若 ，

26、則在，則在C 點(diǎn)的右側(cè)截面上有最大彎點(diǎn)的右側(cè)截面上有最大彎lMMba alMMemaxba 7.3 7.3 剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖矩矩 。 blMMemax7.24如何能比較簡單、方便地繪制梁的剪力圖與彎矩圖呢？如何能比較簡單、方便地繪制梁的剪力圖與彎矩圖呢？ 下面我們來看一下前面學(xué)習(xí)過的例下面我們來看一下前面學(xué)習(xí)過的例7.2 7.2 ，梁的剪力方程與彎矩方程，梁的剪力方程與彎矩方程分別為：分別為： 7.47.4 彎矩、剪力和載荷集度間的關(guān)系 )0(2)(lxqxqlqxFxFAS)0(222)(2lxxqxqlxqxxFxMA 如果將彎矩方程和剪力方程分別對(duì)如果將彎矩方程和剪力方程分別

27、對(duì) 求導(dǎo)數(shù)，求導(dǎo)的結(jié)果恰好是剪力求導(dǎo)數(shù)，求導(dǎo)的結(jié)果恰好是剪力方程和載荷集度（設(shè)方程和載荷集度（設(shè)q以向上時(shí)為正）。即：以向上時(shí)為正）。即： xqxxFxFqxqlxxMssd)(d)(2d)(d（7.37.3） 7.257.4 7.4 彎矩、剪力和載荷集度間的關(guān)系彎矩、剪力和載荷集度間的關(guān)系 設(shè)圖示簡支梁設(shè)圖示簡支梁AB 上作用有任意載荷，作用于上作用有任意載荷，作用于 微段梁上的載荷集度微段梁上的載荷集度可以認(rèn)為是均布的。建立直角坐標(biāo)系（一般以左端面的形心可以認(rèn)為是均布的。建立直角坐標(biāo)系（一般以左端面的形心A 為坐標(biāo)原為坐標(biāo)原點(diǎn)，規(guī)定分布載荷向上時(shí)為正。點(diǎn)，規(guī)定分布載荷向上時(shí)為正。 xd 在

28、這些力作用下，由于整個(gè)梁原本在這些力作用下，由于整個(gè)梁原本是平衡的，所以是平衡的，所以 微段梁也處于平衡狀微段梁也處于平衡狀態(tài)。態(tài)。xd 取取 微段梁為研究對(duì)象，設(shè)其左側(cè)截微段梁為研究對(duì)象，設(shè)其左側(cè)截面上的剪力與彎矩分別為面上的剪力與彎矩分別為 和和 ；右側(cè)截；右側(cè)截面上的剪力與彎矩分別為面上的剪力與彎矩分別為 和和 。 xdSF)d(SSFF MMdM7.26 由由 0yF0)d(dSSSFFxqF（a a） 由由 0oM（b b） 0)d(2dddMMxxqxFMS 由（由（a a）可得：）可得： qxFSdd（7.3a7.3a） 由（由（b b）略去二階微量）略去二階微量 2)d(21x

29、q整理后可得：整理后可得： SFxMdd（7.3b7.3b） 將（將（7.3b7.3b）代入（）代入（7.3a7.3a）可得：）可得： qxM22dd（7.3c7.3c） 綜合以上三式，可寫為：綜合以上三式，可寫為： qxFxMdSddd22 式（式（7.3a7.3a）表示：剪力圖中曲線上某點(diǎn)的斜率等于梁上對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的載荷）表示：剪力圖中曲線上某點(diǎn)的斜率等于梁上對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的載荷集度；式（集度；式（7.3b7.3b）表示：彎矩圖中曲線上某點(diǎn)的斜率等于梁上對(duì)應(yīng)截面）表示：彎矩圖中曲線上某點(diǎn)的斜率等于梁上對(duì)應(yīng)截面上的剪力。上的剪力。7.4 7.4 彎矩、剪力和載荷集度間的關(guān)系彎矩、剪力和載荷集度間的關(guān)系

30、7.277.4 7.4 彎矩、剪力和載荷集度間的關(guān)系彎矩、剪力和載荷集度間的關(guān)系 式（式（7.3b7.3b）可改寫為積分形式，即）可改寫為積分形式，即 xFMMbaSabd（7.4b7.4b） 式（式（7.4b7.4b）表示：梁上）表示：梁上 截面上的彎矩等于截面上的彎矩等于 截面上的彎矩截面上的彎矩與對(duì)應(yīng)與對(duì)應(yīng) 截面之間剪力圖曲線截面之間剪力圖曲線與與 x 軸所圍幾何圖形面積的代數(shù)和。軸所圍幾何圖形面積的代數(shù)和。 bx ax ba, 但要注意的一點(diǎn)是：當(dāng)梁上有集中力作用時(shí)，該力作用的截面處式但要注意的一點(diǎn)是：當(dāng)梁上有集中力作用時(shí)，該力作用的截面處式（7.3a7.3a）不適用；而在梁上有集中力

31、偶作用的截面處式（）不適用；而在梁上有集中力偶作用的截面處式（7.3b7.3b）和式）和式 （7.4b7.4b）不適用。）不適用。 掌握了彎矩、剪力和載荷集度之間的關(guān)系，有助于正確、簡捷地繪掌握了彎矩、剪力和載荷集度之間的關(guān)系，有助于正確、簡捷地繪制剪力圖與彎矩圖。同時(shí)，也可使用其檢查已繪制好的剪力圖與彎矩圖制剪力圖與彎矩圖。同時(shí)，也可使用其檢查已繪制好的剪力圖與彎矩圖是否有錯(cuò)誤。是否有錯(cuò)誤。 7.287.4 7.4 彎矩、剪力和載荷集度間的關(guān)系彎矩、剪力和載荷集度間的關(guān)系 根據(jù)式（根據(jù)式（7.37.3）和集中力、集中力偶作用的截面處內(nèi)力圖的變化規(guī)律，）和集中力、集中力偶作用的截面處內(nèi)力圖的變

32、化規(guī)律，可以將剪力圖、彎矩圖和梁上載荷三者之間的規(guī)律小結(jié)見表可以將剪力圖、彎矩圖和梁上載荷三者之間的規(guī)律小結(jié)見表7.17.1。 7.297.4 7.4 彎矩、剪力和載荷集度間的關(guān)系彎矩、剪力和載荷集度間的關(guān)系利用表利用表7.17.1所歸納的規(guī)律，只需要計(jì)算梁上某些特殊截面的內(nèi)力值，就可所歸納的規(guī)律，只需要計(jì)算梁上某些特殊截面的內(nèi)力值，就可以直接繪制出剪力圖與彎矩圖，而不必列出彎矩方程和剪力方程，我們以直接繪制出剪力圖與彎矩圖，而不必列出彎矩方程和剪力方程，我們將這種繪制內(nèi)力圖的方法簡稱為將這種繪制內(nèi)力圖的方法簡稱為“控制點(diǎn)作圖法控制點(diǎn)作圖法”。 例例7.5 7.5 利用利用 之間的關(guān)系，之間的

33、關(guān)系，畫出圖示梁的內(nèi)力圖。畫出圖示梁的內(nèi)力圖。 qFMS, 解解 1 1）求支反力）求支反力 以梁以梁AB 為研究對(duì)象為研究對(duì)象 由由 0AM03124FMqFeB得得 kN34313123BF7.307.4 7.4 彎矩、剪力和載荷集度間的關(guān)系彎矩、剪力和載荷集度間的關(guān)系由由 020FqFFFBAy得得 kN43123AF 2 2）利用）利用 之間的關(guān)系，畫圖示梁的內(nèi)力計(jì)算各段起、止截之間的關(guān)系，畫圖示梁的內(nèi)力計(jì)算各段起、止截面的剪力值，畫內(nèi)力圖。面的剪力值，畫內(nèi)力圖。 qFMS, a a）從各截面左邊的橫向外力計(jì)算各截）從各截面左邊的橫向外力計(jì)算各截面剪力畫剪力圖。面剪力畫剪力圖。 kN4

34、ASAFFkN22342qFFASCkN22qFFASDkN112342FqFFASD7.31 對(duì)于右端面對(duì)于右端面B 的左側(cè)面剪力，從右邊計(jì)算顯然很簡捷。的左側(cè)面剪力，從右邊計(jì)算顯然很簡捷。 kN3BSBFF 注意：各剪力符號(hào)右上角的注意：各剪力符號(hào)右上角的 + +、- - 號(hào)表示該截面的右截面或左截面。號(hào)表示該截面的右截面或左截面。 由表由表7.17.1所歸納的作圖規(guī)律可知：剪力圖在所歸納的作圖規(guī)律可知：剪力圖在AC 段為向右下傾斜的直段為向右下傾斜的直線，在線，在CD、DB 段內(nèi)為水平線。根據(jù)數(shù)據(jù)作圖。段內(nèi)為水平線。根據(jù)數(shù)據(jù)作圖。 b b）從各截面左邊的外力（包括力偶）計(jì)算各截面彎矩，畫

35、彎矩圖。）從各截面左邊的外力（包括力偶）計(jì)算各截面彎矩，畫彎矩圖。0AMmkN67. 233. 132133. 142122qxxFMAEmkN2232124221222qFMAC7.4 7.4 彎矩、剪力和載荷集度間的關(guān)系彎矩、剪力和載荷集度間的關(guān)系7.327.4 7.4 彎矩、剪力和載荷集度間的關(guān)系彎矩、剪力和載荷集度間的關(guān)系mkN53232124221222eACMqFM 對(duì)于截面對(duì)于截面D及右端面及右端面B剪力，從右邊計(jì)算顯然很簡捷。剪力，從右邊計(jì)算顯然很簡捷。 0BMmkN3131BDFM 由表由表7.17.1所歸納的作圖規(guī)律可知：彎矩圖在所歸納的作圖規(guī)律可知：彎矩圖在AC 段內(nèi)為上

36、凸的拋物線，段內(nèi)為上凸的拋物線，在在CD、DB 段內(nèi)為向右下傾斜的直線。根據(jù)數(shù)據(jù)作圖。段內(nèi)為向右下傾斜的直線。根據(jù)數(shù)據(jù)作圖。 注意：關(guān)于注意：關(guān)于AC 段拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)確定段拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)確定： 首先要確定位置坐標(biāo)首先要確定位置坐標(biāo) ， 其方法有兩種：其方法有兩種： Ex7.33 (2)(2)可由已繪制的剪力圖中，用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例來求。可由已繪制的剪力圖中，用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例來求。 7.4 7.4 彎矩、剪力和載荷集度間的關(guān)系彎矩、剪力和載荷集度間的關(guān)系 求出了位置坐標(biāo)求出了位置坐標(biāo) ，就可代入彎矩計(jì)算公式計(jì)算，就可代入彎矩計(jì)算公式計(jì)算拋物線頂點(diǎn)的縱坐拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)（即彎矩的極值）標(biāo)（即彎矩的極值）。 ExmkN67. 2)34(3213442122maxEEAExqxFMM同樣求得同樣求得 。 由由 24224EExxECAE即m34Ex (1)(1)據(jù)式（據(jù)式（7.3b7.3b） 可知，函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)為零時(shí)，函數(shù)有可知，函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)為零時(shí)，函數(shù)有極值，剪力為零的截面上，彎矩有極值。我們可以設(shè)此截面橫坐標(biāo)極值，剪力為零的截面上，彎矩有極值。我們可以設(shè)此截面橫坐標(biāo)為為 ，由，由 求得求得 。 SFxMddEx034EEASExxqFFm3