1、一一、離散型隨機變量的分布律離散型隨機變量的分布律二二、常見離散型隨機變量的概率分布常見離散型隨機變量的概率分布三三、小結小結第二節第二節 離散型隨機變量及其分布律離散型隨機變量及其分布律 一、離散型隨機變量的分布律一、離散型隨機變量的分布律 所所有有可可能能取取的的值值為為設設離離散散型型隨隨機機變變量量 X, ), 2 , 1( kxk,取取各各個個可可能能值值的的概概率率XkxX 即事件即事件的概率的概率,為為)(kxXP kp., 2, 1 k由概率的定義由概率的定義, :滿滿足足如如下下兩兩個個條條件件kp;, 2, 1,01 kpk.121 kkp.的的分分布布律律稱稱此此為為離離

2、散散型型隨隨機機變變量量X說明說明：分布律也可以用表格的形式來表示分布律也可以用表格的形式來表示: Xkpnxxx21nppp21取取各各個個值值的的概概變變量量表表格格直直觀觀地地表表示示了了隨隨機機X率的規律率的規律. ,取取各各個個值值各各占占一一些些概概率率X這些概率合這些概率合 起來是起來是1. 可以想象成可以想象成: 概率概率1以一定的規律分布在以一定的規律分布在 各個可能值上各個可能值上. 例例1 設一汽車在開往目的地的道路上需經過設一汽車在開往目的地的道路上需經過4組信組信 號燈號燈, 通通的的概概率率允允許許或或禁禁止止汽汽車車每每組組信信號號燈燈以以21,表表示示汽汽車車首

3、首次次停停下下時時以以X它已通過的信號燈它已通過的信號燈組數，組數，.分布律分布律求求X解解 .車車通通過過的的概概率率表表示示每每組組信信號號燈燈禁禁止止汽汽以以p的的分分布布律律為為易易知知X.過過假設各組信號燈的工作是相互獨立的假設各組信號燈的工作是相互獨立的,kpX43210ppp)1( pp2)1 ( pp3)1 ( 4)1(p 或寫成或寫成 kXP ,)1(ppk , 3 , 2 , 1 , 0 k4 XP .)1(4p 代代入入得得以以21 pXkp432105 . 025. 0 125. 0 0625. 0 0625. 0二、常見離散型隨機變量的概率分布二、常見離散型隨機變量的

4、概率分布 (一一) (01)分布分布 ,10兩兩個個值值與與只只可可能能取取設設隨隨機機變變量量 X其分布是其分布是 kXP ,)1(1 kkpp 1, 0 k, )10( p.)10(分分布布或或兩兩點點分分布布為為參參數數的的服服從從以以則則稱稱 pX(01)分布的分布律也可寫成分布的分布律也可寫成 Xkp0p 11p實例實例 “拋硬幣拋硬幣”試驗試驗, 觀察正、反兩面情況觀察正、反兩面情況. )(eXX , 1 , 0,正面正面當當 e.反面反面當當 e 隨機變量隨機變量X服從服從( (01) )分布分布. . Xkp012121其分布律為其分布律為 對于一個隨機試驗對于一個隨機試驗,

5、如果它的樣本空間只包含如果它的樣本空間只包含 兩個元素兩個元素, ,21eeS 即即上上定定義義一一個個我我們們總總能能在在 S服從服從(01)分布的隨機變量分布的隨機變量 X )(eX , 01ee 當當., 12ee 當當來描述這個隨機試驗的結果來描述這個隨機試驗的結果. 兩點分布隨機數兩點分布隨機數演示演示(二二) 伯努利試驗、二項分布伯努利試驗、二項分布 :只只有有兩兩個個可可能能結結果果設設試試驗驗E,AA及及為為則則稱稱E伯努利伯努利(Bernoulli)實驗實驗. ,)10()( ppAp設設此此 .1)(pAP 時時,次次獨獨立立重重復復進進行行將將nE則稱這一則稱這一 .重重

6、伯伯努努利利試試驗驗串串重重復復獨獨立立的的試試驗驗為為 n它有廣泛的應用它有廣泛的應用, 是研究最多的模型之一是研究最多的模型之一. 伯努利資料伯努利資料n重伯努利試驗是一種非常重要的數學模型，重伯努利試驗是一種非常重要的數學模型，實例實例1 拋一枚硬幣觀察得到正面或反面拋一枚硬幣觀察得到正面或反面. 若將硬若將硬幣拋幣拋 n 次次,就是就是n重伯努利試驗重伯努利試驗. 實例實例2 拋一顆骰子拋一顆骰子n次次,觀察是否觀察是否 “出現出現 1 點點”, 就就是是 n重伯努利試驗重伯努利試驗. 二項概率公式二項概率公式 ,發生的次數發生的次數重伯努利試驗中事件重伯努利試驗中事件表示表示若若An

7、X所所有有可可能能取取的的值值為為則則 X., 2, 1, 0n,)0(時時當當nkkX .次次次試驗中發生次試驗中發生在在即即knA 次次kAAA, 次次knAAA 次次1 kAAAA A 次次1 knAAA次次的的方方式式共共有有次次試試驗驗中中發發生生在在得得knA,種種 kn且兩兩互不相容且兩兩互不相容. . nknknnkpqpknpqnqpnkX 1110稱這樣的分布為稱這樣的分布為二項分布二項分布. .記為記為 . ),(pnbX次的概率為次的概率為次試驗中發生次試驗中發生在在因此因此knAknkppkn )1(pq 1記記knkqpkn 的分布律為的分布律為得得 X二項分布二項

8、分布1 n兩點分布兩點分布二項分布的圖形二項分布的圖形 二項分布隨機數二項分布隨機數演示演示例如例如 在相同條件下相互獨立地進行在相同條件下相互獨立地進行 5 次射擊次射擊,每每次射擊時擊中目標的概率為次射擊時擊中目標的概率為 0.6 ,則擊中目標的次則擊中目標的次數數 X 服從服從 b (5,0.6) 的二項分布的二項分布. 5) 4 . 0(44 . 06 . 015 324 . 06 . 025 234 . 06 . 035 4 . 06 . 0454 56 . 0Xkp012345二項分布隨機數二項分布隨機數演示演示例例2 按規定按規定, 某種型號的電子元件的使用壽命超過某種型號的電子

9、元件的使用壽命超過1500小時的為一等品小時的為一等品. 已知某一大批產品的一級已知某一大批產品的一級品品率為率為0.2, 現在從中隨機抽查現在從中隨機抽查20只只. 問問20只元件中恰只元件中恰 ？為為一一級級品品的的概概率率是是多多少少只只有有)20, 2 , 1 , 0( kk解解 因而此抽樣可近似當作放回抽樣來處理因而此抽樣可近似當作放回抽樣來處理, , 這是不放回抽樣這是不放回抽樣. 但由于這批元件的總數很大但由于這批元件的總數很大, 且抽查元件的數量相對于元件的總數來說又很小且抽查元件的數量相對于元件的總數來說又很小, 這樣做有這樣做有一些誤差一些誤差, 但誤差不大但誤差不大. 我

10、們把檢查一只會元件看我們把檢查一只會元件看它是否為一等品看成是一次試驗它是否為一等品看成是一次試驗, 檢查檢查20只元件相只元件相當于做當于做20重伯努利試驗重伯努利試驗. 只只元元件件中中一一級級記記以以20X品的只數品的只數, 那么那么, ,是是一一個個隨隨機機變變量量X且有且有 ).2 . 0,20( bX所求概率為所求概率為 kXP ,)8 . 0()2 . 0(2020 kkk .20, 1, 0 k將計算結果列表如下將計算結果列表如下: 012. 00 XP058. 01 XP137. 02 XP205. 03 XP218. 04 XP175. 05 XP109. 06 XP055

11、. 07 XP022. 08 XP007. 09 XP002. 010 XP時時當當11,001. 0 kkXP圖示概率分布圖示概率分布 例例3 某人進行射擊某人進行射擊, 假設每次射擊的命中率為假設每次射擊的命中率為0.02, 獨立射擊獨立射擊400次次, 試求至少擊中兩次的概率試求至少擊中兩次的概率. 解解 將一次射擊看成是一次試驗將一次射擊看成是一次試驗. 設擊中的次數為設擊中的次數為 ,X.)02. 0 ,400( bX則則的的分分布布律律為為XkXP ,)98. 0()02. 0(400400 kkk .400, 1, 0 k于是所求概率為于是所求概率為 2 XP1 XP 01 XP

12、399)98. 0)(02. 0(400 400)98. 0(1 .9972. 0結果的實際意義：結果的實際意義： 1. 決不能輕視小概率事件決不能輕視小概率事件. 2.由實際推斷原理由實際推斷原理, 我們懷疑我們懷疑“每次射擊命中率為每次射擊命中率為 0.02”這一假設這一假設, 認為該射手射擊的命中率不到認為該射手射擊的命中率不到0.02 例例4 設有設有80臺同類型設備臺同類型設備, 各臺工作是相互獨立各臺工作是相互獨立的的, 發生故障的概率都是發生故障的概率都是 0.01, 且一臺設備的故障且一臺設備的故障能由一個人處理能由一個人處理. 考慮兩種配備維修工人的方法考慮兩種配備維修工人的

13、方法, 其一是由其一是由4人維護人維護, 每人負責每人負責20臺臺; 其二是由其二是由3人共人共 共同維護共同維護80臺臺. 試比較這兩種方法在設備發生故障試比較這兩種方法在設備發生故障 時不能及時維修的概率的大小時不能及時維修的概率的大小. 解解 按第一種方法按第一種方法, 臺臺中中人人維維護護的的第第記記以以201“X同一時刻發生故障的臺數同一時刻發生故障的臺數”， 表示表示以以)4 , 3 , 2 , 1( iAi,”20“維維修修臺臺中中發發生生故故障障不不能能及及時時人人維維護護第第事事件件i則知則知80臺中發生故障臺中發生故障而不能及時維修的概率為而不能及時維修的概率為 )(432

14、1AAAAP)(1AP .2 XP ,)01. 0 ,20( bX而而故有故有 2 XP 101kkXP kkkk 2010)99. 0()01. 0(201 .0169. 0 按第二種方法按第二種方法, , 臺臺中中同同一一時時刻刻發發生生故故記記以以80Y障的臺數障的臺數, 此時此時, , )01. 0 ,80( bY故故80臺中發生故障臺中發生故障 而不能及時維修的概率為而不能及時維修的概率為 4 YP 3080)99. 0()01. 0(801kkkk .0087. 0我們發現我們發現, 在后一種情況盡管任務重了在后一種情況盡管任務重了(每人平每人平 均維護約均維護約27臺臺), 但工

15、作效率不僅沒有降低但工作效率不僅沒有降低, 反而提反而提 高了高了. (三三)泊松分布泊松分布 , 2 , 1 , 0所所有有可可能能取取的的值值為為設設隨隨機機變變量量 X而而取各個值的概率為取各個值的概率為 kXP ,!ekk ,2 , 1 ,0 k，是是常常數數其其中中0 ,的的泊泊松松分分布布服服從從參參數數為為則則稱稱 X. )( X記為記為泊松資料泊松資料泊松分布的圖形泊松分布的圖形 泊松分布的背景及應用泊松分布的背景及應用 二十世紀初盧瑟福和蓋克兩位科學家在觀察二十世紀初盧瑟福和蓋克兩位科學家在觀察 與分析放射性物質放出的粒子個數的情況時與分析放射性物質放出的粒子個數的情況時,

16、他們他們 做了做了2608次觀察次觀察(每次時間為每次時間為7.5秒秒), 發現放射性物發現放射性物 質在規定的一段時間內質在規定的一段時間內, 其放射的粒子數其放射的粒子數X服從泊服從泊 松分布松分布. 電話呼喚次數電話呼喚次數 交通事故次數交通事故次數 商場接待的顧客數商場接待的顧客數 地震地震 火山爆發火山爆發 特大洪水特大洪水 上面我們提到上面我們提到 二項分布二項分布 )(nnp 泊松分布泊松分布 泊松定理泊松定理 ,0是是一一個個常常數數設設 是是任任意意正正整整n數數, , nnp設設,k整整數數則則對對于于任任一一固固定定的的非非負負有有 knnknnppkn )1(lim .

17、!ekk 證證 ,npn 由由有有 knnknppkn )1( knknnkknnn )1(!)1()1( knnknppkn )1( knknnkknnn )1(!)1()1( .1111111!knknnnknk ,k對對于于固固定定的的時時當當 n nkn11111,1nn 1,e kn 1.1故有故有 knnknnppkn )1(lim .!ekk nnpnnp很很大大時時意意味味著著當當常常數數定定理理的的條條件件)( 必定很小必定很小, 因此因此, ,很很大大上上述述定定理理表表明明當當 n(很很小小p時時有有以以下下近近似似式式) np. )(np 其中其中率率值值可可以以為為參

18、參數數的的二二項項分分布布的的概概也也就就是是說說以以pn,.似似的的泊泊松松分分布布的的概概率率值值近近由由參參數數為為np 上式上式 也能用來作二項分布概率的近似計算也能用來作二項分布概率的近似計算. !)1(keppknkknk 例例5 計算機硬件公司制造某種特殊型號的微型芯計算機硬件公司制造某種特殊型號的微型芯 次品率達次品率達0.1%, 各芯片成為次品相互獨立各芯片成為次品相互獨立. 在在1000只產品中至少有只產品中至少有2只次品的概率只次品的概率. 記記產產以以X品中的次品數品中的次品數, ).001. 0,1000( bX解解 所求概率為所求概率為 2 XP 101 XPXP )001. 0()999. 0(11000)999. 0(19991000 3680635. 03676954. 01 2642411. 0片片,求求利用近似計算得：利用近似計算得： 001. 01000 ,12 XP 101 XPXP 11ee1 2642411. 0顯然利用近似計算來得方便顯然利用近似計算來得方便. 一般一般, ,20 n當當.)1(!的的近近似似值值頗頗佳佳作作為為用用knkkppknke 時采用近似計算：時采用近似計算：05. 0 p離散型隨機變量的分布離散型隨機變量的分布 兩點分布兩點分布 二項分布